바닥 및 천장 기능

수학과 컴퓨터 과학에서 바닥 함수는 실수 x를 입력으로 받아들이고 x보다 작거나 같은 최대 정수인 바닥(x) 또는 "x"를 출력으로 제공하는 함수입니다.마찬가지로 천장 함수는 x를 x보다 크거나 같은 최소 정수(ceil(x) 또는 "x")^[1]에 매핑합니다.

예를 들어 '2.4' = 2, '-2.4' = -3, '2.4' = 3, '-2.4' = -2 입니다.

종종 [x]로 표기되는 x의 적분 부분 또는 정수 부분은 x가 음이 아닌 경우 "x"로 정의되며,^{[citation needed]} 그렇지 않은 경우 "x"로 정의됩니다.예를 들어 [2.4] = 2 및 [-2.4] = -2입니다.잘라내기 동작은 이것을 지정된 자리수로 일반화합니다.유효 자리수로의 잘라내기는 정수 부분과 동일합니다.

일부 저자는 x 기호에 관계없이 정수 부분을 바닥으로 정의하며 이에 ^[2]대한 다양한 표기법을 사용합니다.

n의 정수의 경우, 「n」= 「n」= 「n」= 「n」

예

x	플로어 'x'	천장 'x'	단수 부품 {x}
2	2	2	0
2.4	2	3	0.4
2.9	2	3	0.9
−2.7	−3	−2	0.3
−2	−2	−2	0

표기법

숫자의 정수 부분(원본에서는 파티 엔티에르)은 1798년 Adrien-Marie Legendre가 Legendre 공식의 증거로 처음 정의했습니다.

칼 프리드리히 가우스는 그의 세 번째 2차 상호성 증명(1808)^[3]에서 대괄호 표기법 [x]를 도입했다.이것은 케네스 E까지 수학의 표준으로^[4] 남아있었다. 아이버슨은 1962년 저서 'A Programming Language'에서 '바닥'과 '천장'이라는 이름과 대응하는 표기법 'x'와 'x'^[5][6]를 소개했다.이 글에서는 Iverson의 표기법을 따를 것이지만,^[7] 두 표기법 모두 현재 수학에서 사용되고 있다.

일부 소스에서는 바닥에는 굵은 글씨 또는 이중 괄호 'x'가 사용되고 ^[8][9]천장에는 역괄호 'x' 또는 ]x[가 사용됩니다.때로는 [x]가 라운드 제로 ^{[citation needed]}함수를 의미하는 것으로 간주됩니다.

소수 부분은 톱니 함수로, 실수 x에 대해 {x}로 표시되고 공식에 의해 정의됩니다.

{x} = x - 420x^[10]

모든 x에 대해서

0 ≤ {x} < 1

다음 문자는 Unicode로 제공됩니다.

• U+2308 left 왼쪽 천장(&lceil;, & 왼쪽 천장;)
• U+2309 right 우측 천장(&rceil;, 우측 천장;)
• U+230A left 왼쪽 바닥(&left Floor;, &lfloor;)
• U+230B right RIGHT FLOOR (&rfloor;, &Right Floor;)

LaTeX 조판 시스템에서 이러한 기호는 다음과 같이 지정할 수 있습니다.\lfloor, \rfloor, \lceil그리고.\rceil연산 모드의 명령 및 를 사용하여 크기를 확장합니다.\left\lfloor, \right\rfloor, \left\lceil그리고.\right\rceil필요에 따라서,

정의 및 속성

x와 y, 정수 k, m, n 및 $정수{\displaystyle \mathbb{}}$Z(\$displaystyle \mathbb {Z$ 집합이 주어진 경우 바닥과 천장은 방정식으로 정의할 수 있습니다.

$\displaystyle \lfloor x\max\{m\in\mathbb {Z} \mid m\leq x\}$

$\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in\mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}$

길이 1의 반열림 구간에는 정확히 하나의 정수가 있기 때문에, 임의의 실수 x에 대하여, 방정식을 만족시키는 고유한 정수 m과 n이 존재한다.

$(\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1).}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $\lfloor {\displaystyle }$ x ${\displaystyle \rfloor }$ ${\displaystyle =}$ { $display$ style $\lfloor = m$} 및${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle \rceil }$ $=$ ${\displaystyle n}$ { $displaystyle \lceil$ x$\rceil = n$}은$$$$ 바닥 및 천장의 정의로도 간주할 수 있습니다.

등가

이러한 공식을 사용하여 바닥 및 ^[11]천장과 관련된 식을 단순화할 수 있습니다.

${\displaystyle {aligned}\lfloor =m&\leq x <m+1,\lceil x\rceil =n&\;{\mbox{ if and if }&n-1&<x\leq\loor }인 경우에만 {\mbox{\loor }\loor {\loor }\lf and if and if and if and if and if and if and if and if and if }&\leq\leq\loor }\leq\lf\end { aligned}}$

순서론에서 바닥함수는 리저드 맵핑, 즉 갈로아 연결의 일부입니다.정수를 실수에 삽입하는 함수의 상부 인접관계입니다.

${\displaystyle {aligned}x <n&\mbox{ if and if }\lfloor x\lloor &\n <x&\rceil }&\lceil x\rceil, \x\leq n&\rceil, \mbox{ if and if }\lf, \lf }의 경우에만.$

다음 공식은 인수에 정수를 추가하는 것이 함수에 미치는 영향을 보여 줍니다.

$(\displaystyle\lfloor x+n\lfloor +n,\lceil x+n\rceil &=\lceil x+n,\{x+n\}={x\}).\end { aligned}}$

위의 내용은 n이 정수가 아닌 경우에는 성립되지 않습니다.단, 모든 x와 y에 대해 다음과 같은 부등식이 유지됩니다.

$\displaystyle \lfloor x\lfloor +\lfloor x+y\lfloor x\lfloor +1,\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1\leq xlceil + lfloor xloor +\loor +\loor x\lflfloor + lfloor + lfloor = lfloor = lflfloor = lfloor = lfloor = lfloor =$

단조성

바닥 및 천장 기능은 모두 단조롭게 감소하지 않는 기능입니다.

$\displaystyle \begin { aligned }x_{1}\leq x_{2}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\leq x_{2}\\rfloor \leq x_{1}\rfloor \lace x{1}\rfloor,\leq x{1}\le\lexlcle\le\le\lcle\le\loor\lcle\lcle\lse$

기능 간의 관계

정의로 미루어느 정도인가

${\displaystyle x}$가 정수인 경우에만 등식을 갖는$x,$\$displaystyle$ \$lfloor \leq \lceil$x$$\$rceil.$

$\displaystyle \lceil x\lfloor x\lfloor =\mbox{if}x\in \mathbb {Z}x\in \mbox{if}x\in \mathbb {Z}\not \end{cases}}$

실제로 정수 n의 경우 바닥 및 천장 함수가 모두 동일성입니다.

$(\displaystyle \lfloor n\lceil n\rceil =n)$

인수를 부정하면 바닥과 천장이 전환되고 기호가 변경됩니다.

$(\displaystyle \lceil x\lfloor +\lceil -x\rceil &=\lceil -x\rceil &=\lfloor -x\rceil &=\lfloor -x\end {aligned})$

또, 다음과 같이 합니다.

$\displaystyle \lfloor x\lfloor +\lfoor -x\displayloor =\mathbb {Z}\x\in \mathbb {Z},\end {cases},\mathbb {Z},\mathbb {cases},\displaystyloor {cases}x}$

$\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil =\case {case}0&{\text{if}}x\in \mathbb {Z}\in \mathbb {Z}.\end{cases}가 아닙니다.$

인수를 부정하면 소수 부분이 보완됩니다.

$\displaystyle \{x\}+\{-x\}=\case}0&{\text{if}}x\in \mathbb {Z}\mathbb {Z}\x\in \mathbb {Z}.\end{case}}}$

바닥, 천장 및 부분 부품 함수는 다음과 같습니다.

$디스플레이 스타일큰 \lfloor x\lfloor \lfloor \\lfloor x\lceil \lceil \=\lceil x\rceil \=\lceil x\rceil,\\\{\\\lfloor x\lfloor x\loor\loor\lseil\loor\\\lcheil\loor\loor\loor\loor\\\lcle\loor\loor\\loor\loor\lceil\l\end { aligned}}$

중첩된 바닥 또는 천장 함수의 결과가 가장 안쪽 함수입니다.

$디스플레이 스타일큰 \lfloor x\rceil\lceil\lceil\lceil\lceil\lfloor\lceil\lceil\lfloor\lceil\lfloor\end{aligned}&=\lfloor x\loor\lceil$

정수의 아이덴티티 속성 때문입니다.

가격

m과 n이 정수이고 n 0 0일 경우,

${\displaystyle 0\leq \left\{\frac {m}{n}}\leq 1-{\frac {1}{n}}.}$

n이 양의^[12] 정수인 경우

$(\displaystyle\left\lfloor\frac {x+m}{n}\right\lfloor=\left\lfloor+m}{n}\right\lfloor,}$

$(\displaystyle\lceil\frac {x+m}{n}\rceil=\left\lceil\frac {lceil x\rceil +m}{n}\rceil.}\rceil.$

m이^[13] 양수인 경우

${\displaystyle n=\left{m}\rceil +\left\rceil {frac {n-1}{m}\rceil +\left\lceil +\frac {n-m+1}{m}\rceil,\right\rceil,}$

$(\displaystyle n=\left\lfloor\frac {n}{m}\left\lfloor +\left\lfloor +\left\lfloor \frac {n+m-1}{m}\right\loor.$

m = 2일 경우 이는 다음을 의미합니다.

$\displaystyle n=\left\lfloor\frac {n}\lceil +\left\lceil\frac {n}{2}\rceil.}$

보다 일반적으로 ^[14]양의 m에 대하여 (Hermite의 항등식 참조)

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\frac {m-1}{\frac {m}\right\rceil}$

$\displaystyle \lfloor mx\lfloor =\left\lfloor x+{\floor {1}{m}\left\lfloor +\floor {m-1}\right\floor.$

플로어를 천장으로 변환하거나 그 반대로 변환할 때 다음을 사용할 수 있습니다(m 플러스).^[15]

$\displaystyle \frac {n} {m} \rceil =\left\lfloor {n+m-1} {m} \right\loor =\left\lfloor {n-1} {m} \right\loor +1,$

$(\displaystyle\lfloor\frac{n}{m}\right\lceil\frac{n-m+1}{m}\rceil=\left\lceil\frac{n+1}{m}\rceil-1}\right\rceil$

모든 m 및 n 엄밀하게 양의 ^[16]정수인 경우:

$\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {frac {km}\right\loor = superfrac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},$

양수 및 공수 m과 n의 경우, 이 값은

$({displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {frac {km}{n}\right\loor = superfrac {1}{2}}(m-1)(\loor)$

마찬가지로 천장 함수의 경우(양수 및 공수 m 및 n의 경우),

$\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lceil {frac {km}\rceil = sparam frac {1}{2}}(m+1)(n-1).}$

일반 케이스의 오른쪽은 m과 n으로 대칭이기 때문에 이는 다음을 의미한다.

$(\displaystyle \lfloor \frac {m} {\frac {m} {\left\lfloor +\left\lfloor +\left\lac {(n-1)m} {n} \lfloor =\left\lfrac {m} {n} {\floor +\loor right\flfloor right\floor {\frac {\flflflfloor {\floor {\floor}$

보다 일반적으로 m과 n이 양수이면

$(\displaystyle\lfloor\frac {x}{n}\left\lfloor +\left\lfloor +\frac {m+x}{n}\left\lfloor +\frac {m+x}{n}\floor {floor +\frac1+n}\lflflflfloor {floor {floor {frclfright\frac {frac {floor}\floor}\fright\fl}}\right\loor +\left\lfloor {frac {2n+x}{m}}\right\cdots+\left\lfloor{(m-1)n+x}{m}\right\loor .\end {aligned}}$

이것은 때때로 상호주의 ^[17]법칙이라고 불린다.

중첩된 분할

양의 정수 n 및 임의의 실수의 경우 m,x:^[18]

$(\displaystyle\lfloor\frac x/m\lfloor}{n}\right\lfloor=\left\lfloor\frac {x}{mn}\right\floor})$

$(\displaystyle\left\lceil\frac x/m\rceil}{n}\right\rceil=\left\lceil\frac {x}{mn}\rceil.})$

연속성 및 시리즈 확장

이 문서에서 설명하는 함수는 모두 연속적이지는 않지만 모두 부분 선형입니다. 함수${\displaystyle x}$ x $、$ \$$$display$style \ $lfloor$${\displaystyle }$、 ${\$ x 、 \ display $style$ \ $lceil$x \ rceil$$$\}$${\displaystyle }$、 ${\displaystyle x}$ { $x }$ {\ {\ {\ {\ {\ {\$displaydisplaydisplaydisplay$ none none:: none$::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::$

${\displaystyle x}$ $x$ {$displaystyle$ \$lfloor x$ \ $rceil$} 、 $x$ x${\$ \ $displaystyle$ \ $lceil$ x \ rceil$$$$$\}{\displaystyle 및}$ { x$}$ { displaystyle \ {$$x \ rceil$$ }는 반각도입니다${\displaystyle .}$

이 문서에서 설명하는 기능은 모두 연속적이지 않기 때문에 멱급수 확장 기능이 없습니다.바닥과 천장은 주기적이지 않기 때문에 균일하게 수렴된 푸리에 급수 확장을 가지지 않습니다.부분적 부품 함수는 푸리에 직렬^[19] 확장을 가집니다.

${\displaystyle \{x\}=black {1}{\pi}}-{\sum _{k=1}^{\infty}{\flac {\pi kx}}{\flac {\sin(2\pi kx}}}$

x는 정수가 아닙니다.

불연속점에서는 바닥, 천장 및 부분 함수와 달리 푸리에 급수는 왼쪽과 오른쪽의 한계 평균 값인 값으로 수렴됩니다. 즉, y 고정의 경우 x mod y = 0이 아닌 y/2로 수렴되는 y의 경우 푸리에 급수입니다.연속성 지점에서는 영상 시리즈가 참 값으로 수렴됩니다.

바닥(x) = x - {x} 공식은 다음을 나타낸다.

${\displaystyle \lfloor x\floor = x-{\frac {1}{\pi }} + {\sum _ {k=1}^{\infty } {\frac {sin(2\pi kx)} {k}}$

x는 정수가 아닙니다.

적용들

Mod 연산자

정수 x와 양의 정수 y의 경우 x mod y로 표시되는 모듈로 연산은 x를 y로 나눌 때 나머지의 값을 제공합니다.이 정의는 다음 공식에 의해 실제 x와 y, y 0 0으로 확장될 수 있습니다.

${\displaystyle x440bmod {y}=x-y\lfloor {frac {x}{y}\right\loor}$

따라서 바닥 함수의 정의에서 이 확장 연산은 많은 자연 특성을 만족시킵니다.특히 x mod y는 항상 0과 y 사이입니다.

y가 양수이면

${\displaystyle 0\leq xsqbmod {y}} <y,}$

y가 음수이면

${\displaystyle 0\geq xsecbmod {y}} > y }$

이차상호성

아이젠슈타인에 의해 수정된 가우스의 2차 상호성에 대한 세 번째 증명은 두 가지 기본적인 ^[20][21]단계를 가지고 있다.

p와 q는 서로 다른 양의 홀수 소수이며,

${\displaystyle m=syslogfrac {p-1}{2}}$ ${\displaystyle n=snarfrac {q-1}{2}}.}$

첫째, 가우스의 보조정리는 레전드르 기호가 다음과 같이 주어진다는 것을 보여주기 위해 사용된다.

$(\displaystyle \left\frac {q}\right)={\lfloor1)^{\left\lfloor +\frac {2q}{p}\left\lfloor +\frac {mq}{p}\lfloor +\floor {frac {p}\frac {p}\loor}\frac {p}\loor})$

그리고.

$({displaystyle \left\frac {p}{q}\right)={\lfloor}{frac {p}{q}\left\lfloor +\frac {p}{q}\lfloor {frac {np}\loor +\frac {p}\loor}\fright\frac {p}\floor {p}\frac {p}\loor}\fright}\floor.$

두 번째 단계는 기하학적 인수를 사용하여

$\displaystyle \lfloor \frac {q} \lfloor +\left\lfloor +\left\lfloor +\lfloor +\left\lfrac {mq} \lfloor +\frac {p}\loor +\frac {p}\lfloor +\flflfloor right\floor +\frac {p}}$

이 공식들을 결합하면 다음 형태로 2차 상호관계를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \frac {p} {p} \ right} \ flac {q} \ frac { p} = flac 1 ) = pright 1)^{\ frac { p-1} {2}} {\ frac {q-1} {2}}}.}$

작은 숫자의 2차 문자 mod 홀수 소수 ^[22]p를 표현하기 위해 바닥을 사용하는 공식들이 있습니다.

${\displaystyle \leftfrac {2}{p}}\right)={\left\lfloor{frac {p+1}{4}}}\right\loor}}$

${{displaystyle\leftfrac {3}{p}}\right)={\left\lfloor{frac {p+1}{6}\right\floor }.}$

반올림

임의의 $실수{\displaystyle }$x({$displaystyle$x$\})$의 경우$$x({$displaystyle$ x$})$를 rpi${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x}$x + ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 2${\displaystyle }$⌋ ${\displaystyle =\frac{2}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$\ $displaystyle {rpi}(x$) =$\ left$ \ $lfloor${ \ $tfrac 1 }$로 반올림합니다.$rfloor$}{$2}}\right\$$rceil$$\}.$ 음의 무한대를 향해 반올림한${\displaystyle \text{값}}$은 $rni$ (x )$=$ ${\displaystyle rpair}$x -$$ ${\displaystyle \rceil }$1$rpair$x - 1 $22$ $2$display2 ⌋${\displaystyle \frac{2}{}}$2 ⌋2 ⌋2 ⌋2 ⌋⌋2 ⌋2 ⌋2 ⌋2 ⌋2 、 $display$ stypairpairpairpairpairflflflfloor {$display$ styleft$\ lflflfl$style

$타이$ 브레이킹이 0에서 떨어져 있는 경우 반올림 함수는${\displaystyle }$ri (${\displaystyle x}$ ) $=$ ${\displaystyle \mathrm{sgn}(}$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle x}$x + ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$ { $displaystyle { sgn }$ ( $x$) \$lfloor$ x + { \ $tfrac {$1$}$ ${2}}$ \ $right loor$}$$ ( x )입니다( 참조).${\displaystyle \lceil }$ ${\displaystyle \frac{2}{\mathrm{}}}$ - 1 $4$⌉⌉${\displaystyle }$-${\displaystyle \frac{}{}\mathrm{x}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ x - $1$ 1$（ displaystyle$ \$lfloor x$+ { \$tfrac$ { $1 }$ ） 、 $right$ \$lceil$+ \ $lceil$ { 2 $x 1 }$ $、 \ lfloor { 1$ }$({$ {$2x-1}{4$의 통합 표시기를 제외합니다.

자릿수

양의 정수 k의 밑수 b 자리수는

$\displaystyle \lfloor _{b}{k}\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}$

반복 문자가 없는 문자열 수

임의의 길이의 임의의 문자열 중 문자를 두 번 사용하지 않는 문자열의 수는 다음과^{[23][better source needed]} 같습니다.

${\displaystyle (n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\cdloor }$

여기서:

• n > 0은 알파벳 문자 수(예를 들어 영어의 경우 26)입니다.
• 하강 요인$({\displaystyle {}_{}n}$ ) ${\displaystyle k_{}}$ $=$ (${\displaystyle \mathrm{n}}$ - 1)${\displaystyle \cdots }$ (${\displaystyle n}$ -${\displaystyle k}$ +${\displaystyle 1}$ $){displaystyle ( n$ )$_{k$}=n$$($n-1)\cdots$($n-k+1)}$는 문자를 두 번 사용하지 않는 길이 k 문자열의 수를 나타냅니다.
• n!은 n의 계수를 나타냅니다.
• e = 2.718…은 오일러의 수이다.

n = 26의 경우 10962598503531495302234277이 됩니다.

인자 인자

n은 양의 정수이고 p는 양의 소수라고 하자.n!을 나누는 p의 최대 거듭제곱의 지수는 Legendre 공식의^[24] 버전에 의해 주어진다.

$(\displaystyle \left \lfloor +\left \lfloor +\left \lfloor +\left \lfloor {p^{2}}\left \lfloor +\lfloor {p^{3}}\lfloor +\floor =fright frac {n} {p} {p} {p} {p} {p} {p} {p} {p} {p} {p} {p} {k} {p} {p} {p} {p} {k$

$여기$서 n $=\underset{k}{}$ $\underset{}{}{}_{}$ $a_{}$ k $p^{}$ k$=$ \$sum$ _${k}a_{k}p^{k}$는 기저 p에 n을 쓰는 방법이다.p > n일 때^k 바닥은 0이기 때문에 이것은 유한합입니다.

베티 수열

비티 수열은 모든 양의 무리수가 바닥 ^[25]함수를 통해 자연수를 두 시퀀스로 분할하는 방법을 보여줍니다.

오일러 상수())

오일러 상수 θ = 0.57721 56649 ...에 대한 공식들이 있다.예를 들어 바닥과 천장과 관련된 것.^[26]

$\displaystyle \int _{1}^{\infty }\leftpoor1 \over \lfloor x\loor }-{1 \over x}\right,poor,}$

$\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}\sum _{k=1}{n}\left(\left\lceil {frac {n}{k}}}\right\rceil - {\frac {n}{k}}\right},$

그리고.

${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac\log_{2}k\right\floor}{k}=black{1}{2}-{\tfrac {1}-{{tfrac}{tfrac {1}{{tfrac}{tfrac}{{t}}{t}{t}{t}{frac}}{frac}{fr}}{frac}{frac}}{-}}$

리만 제타 함수())

부분 부분 함수는 리만 제타 함수의 적분 표현에도 나타납니다.(^[27]부품별 적분을 사용하여)${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) {$displaystyle \phi (x)}$가 닫힌 간격에서 연속 도함수를 갖는 함수일 경우 [a, b],

$\displaystyle \sum _{a\leq b}\phi (n)=\int _{a}^{b}\phi (x)\int _{a}^{b}\left (\{x\}-{\tfrac {1}{2}\right)\phi '(x,frac+\left) {1}\tfrac {{b}\f}}$

s의 실제 부분이 1보다 크고 a와 b가 정수이고 b가 무한대에 접근하도록${\displaystyle }$b (${\displaystyle }$n ) ${\displaystyle ={}^{}}$ -$$ { $displaystyle \phi$( $n$ ) = {$n$}^{-s$$$}$로 하면 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \zeta (s)=int _{1}^{\infty }{\frac {1}-\x\}{x\}{x^{s+1}},flac+{\frac{1}+{\frac{1}{\frac{1}}.}$

이 공식은 실제 부분이 -1보다 큰 모든 s(극이 있는 s = 1 제외)에 유효하며, {x}에 대한 푸리에 확장과 결합하여 제타 함수를 전체 복소 평면으로 확장하고 함수 ^[28]방정식을 증명하는 데 사용할 수 있습니다.

s = σ + 임계 스트립 0 < σ < 1의 경우,

$(\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{-\infty}\e^{-\loor \Omega }\e^{-it\Omega },d\Omega}).$

1947년 반데르폴은 제타 ^[29]함수의 근원을 찾기 위한 아날로그 컴퓨터를 만들기 위해 이 표현을 사용했다.

소수 공식

바닥 함수는 소수점을 특징짓는 여러 공식에 나타납니다.${\displaystyle 예}$를 들어$,{\displaystyle }$ "${\displaystyle \frac{n}{}}$ m${\displaystyle "}$ -${\displaystyle \frac{}{}}$"${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{}}$ - ${\displaystyle \frac{}{}}$ m$"$ ({$displaystyle\left\lfloor\right\rfloor-\left\lfloor\floor\frac {n-1}{m}\right\$rfloor$})$는 m이(가 분할된 경우) 1이고, 0이(가 정수인 경우)에^[30] 한정됩니다.

$\displaystyle _{m=1}^{infty}\left(\left\lfloor\frac {n}{m}\left\lfloor -\left\lfloor\frac {n-1}{m}\right\loor\right}=2.}$

소수를 생성하는 공식도 제시할 수 있다.예를 들어, p를 n번째 소수라고 가정하고_n, 임의의 정수 r > 1에 대하여, 합계로 실수 α를 정의한다.

$\displaystyle \alpha = \sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

그럼^[31].

$({displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\loor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{{2}}\alpha \right\loor .}$

유사한 결과는 다음과 같은 성질을 가진 숫자 θ = 1.3064... (밀스 상수)가 있다는 것입니다.

$\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\lfloor \theta ^{9}\right\lfloor \theta ^{27}\right\lfloor,\twright\loor }$

모두 ^[32]소수입니다.

숫자 = 1.9287800도 있습니다.라는 성질을 가지고

$\displaystyle \left \lfloor 2^{\lfloor }\left \lfloor 2^{2^{\mega}}\left \lfloor 2^{2^{\loor }\right \loor,\lfloor }$

모두 ^[32]소수입니다.

θ(x)를 x보다 작거나 같은 소수점이라고 하자.는 윌슨의 정리로부터^[33] 단도직입적으로 추론한 것이다.

$\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {(j-1)!+1}{j}-\left\lfloor {(j-1)!} {j} \ right \ right \ loor \ right \ loor . }$

또한 n ,^[34] 2이면

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor \left\lfloor \frac {j}\lfloor \frac {k}{j}\right\frac {k}\loor }\loor.$

이 섹션의 공식은 ^[35][36]실용적이지 않습니다.

해결된 문제

라마누잔은 이 문제들을 인도 수학 ^[37]협회 저널에 제출했다.

n이 양의 정수일 경우

1. $(\displaystyle\left\lfloor\tfrac{n}{3}}\rfloor+\left\lfloor\tfrac{n+2}{6}}}\right\lfloor +\left\lfloor =\left\lfloor {tfrac {n}{2}\right\lfloor +\left\lfloor {n+3}{6}\right\lfrac {nfloor}$
2. $\displaystyle \left \lfloor { tfrac {1} {2}}+{\tfrac {1}{2}}\right\loor =\left\lfloor {n+{\tfrac {1}{2}}+{\lfloor {n+{1}{4}}}\right\loor, {nfloor}, {nfloor},},}$
3. ${\displaystyle\lfloor {n}+{\displayrt {n+1}\rfloor =\left\lfloor {4n+2}\right\lfloor.}$

위 층의 기능 ID에 대한 몇 가지 일반화가 ^[38]입증되었습니다.

미해결 문제

Waring의 문제에 대한 연구는 미해결의 문제로 이어졌습니다.

다음과 같은^[39] 양의 정수 k ≤ 6이 있는가?

$display style$$right$$^{k}\right\loor>2^{k}-\left\lfloor\leftfloor\tfrac{3}{2}}\right)$$^{k}\right\loor -2}?$

말러는^[40] 그러한 k의 수가 유한할 수 있다는 것을 증명했다; 알려진 것은 없다.

컴퓨터 구현

대부분의 프로그래밍 언어에서 부동소수점 번호를 정수로 변환하는 가장 간단한 방법은 바닥이나 천장을 변환하지 않고 자릅니다.첫 번째 머신은 보형을 사용하고, 잘라내기는 간단하게 실장할 수 있었기 때문에, 그 이유는 과거의 것입니다(바닥은 2보형으로 심플합니다).FORTRAN은 이 동작을 요구하도록 정의되었으며, 따라서 거의 모든 프로세서가 이러한 방식으로 변환을 구현합니다.일부에서는 이것이 ^{[citation needed]}원점의 부정적인 측면의 오프셋과 그래픽을 처리하는 버그를 초래한 불행한 역사적 설계 결정이라고 생각합니다.

부호 있는 $정수{\displaystyle }$x(\$displaystyle$ x$)$를$$n(\$displaystyle$ n$)$에 의한 비트 단위의 오른쪽 시프트는${\displaystyle x\frac{}{}}$ x ${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$ \ $displaystyle \ lfloor$\$frac { x$} $\$right \ $rfloor$와 같습니다.2의 거듭제곱으로 나누면 일반적으로 오른쪽 시프트로 표시되며, 플로어의 최적화를 상정할 수 없습니다.는 필수입니다.이러한 변화를 "사전 최적화"라고 가정하고 이를 사업부로 대체하면 소프트웨어가 ^{[citation needed]}고장날 수 있습니다.

많은 프로그래밍 언어(^[41][42]C, C++,^{[43][44] [45][46]}C#, Java,^[49] PHP,^[47][48] R 및^[50] Python 포함)는 바닥 및 천장에 표준 함수를 제공합니다.floor그리고.ceil, 또는 그 이하입니다.ceilingAPL이 사용하는 ^[51]언어⌊x플로어용입니다.J Programming Language는 표준 키보드 기호를 사용하도록 설계된 APL의 후속 버전입니다.<.플로어 및>. 천장용입니다.^[52]ALGOL 사용entier플로어용입니다.

Microsoft Excel에서는 플로어 기능은 다음과 같이 구현됩니다.INT(^[53]제로가 아니라 반올림).명령어FLOOR이전 버전에서는 "int"와 "floor"가 다른 언어의 "int"와 "floor"가 하는 것과 사실상 반대인 0을 향해 반올림했다.2010년 이후FLOOR는 ^[54]이전 동작을 재현할 수 있는 추가 인수를 사용하여 반올림하도록 수정되었습니다.OpenDocument 파일 형식은 OpenOffice.org, Libreoffice 및 기타에서 사용되는 것과 동일한 함수 이름을 사용합니다.INT바닥과^[55]FLOOR0으로 ^[56]반올림할 수 있는 세 번째 인수가 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 괄호(수학)
• 정수값 함수
• 스텝 함수
• 모듈로 연산

메모들

레퍼런스

• J.W.S. Cassels (1957), An introduction to Diophantine approximation, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 45, Cambridge University Press
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN 0-387-94777-9
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics, Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5
• 니콜라스 J.하이암, 수리과학용 필기 핸드북, SIAM.ISBN 0-89871-420-6, 페이지 25
• ISO/IECISO/IEC 9899::1999(E): 프로그래밍 언어 - C(2nd ed), 1999; 섹션 6.3.1.4, 페이지 43.
• Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, Wiley
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66957-4
• Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
• Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
• 마이클 설리번.계산 전 제8판, 페이지 86
• Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), The Theory of the Riemann Zeta-function (2nd ed.), Oxford: Oxford U. P., ISBN 0-19-853369-1

외부 링크

• "Floor function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 체코 프라하 체코 과학 아카데미 컴퓨터 과학 연구소 알고리즘 수학 인터랙티브 정보 포털 슈테판 포룹스키, "정수 반올림 함수", 2008년 10월 24일 검색
• Weisstein, Eric W. "Floor Function". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Ceiling Function". MathWorld.