밀스 상수

수 이론에서 밀스의 상수는 이중 지수 함수의 바닥 함수와 같은 최소 양의 실수 A로 정의된다.

\lfloor A^{3^{n}\rfloor

모든 자연수 n의 소수.이 상수는 1947년 과이도 호헤이젤과 알버트 잉햄의 전성기 격차 결과를 바탕으로 A의 존재를 입증한 윌리엄 H. 밀스의 이름을 따서 명명되었다.^[1]그 값은 알 수 없지만, 리만 가설이 사실이라면 대략 1.3063778838630806904686144926...(OEIS의 순서 A051021).

밀스 프라임즈

밀스의 상수에 의해 생성되는 프라임은 밀스 프라임으로 알려져 있다. 만약 리만 가설이 사실이라면, 그 시퀀스는 시작된다.

2,11,1361,2521008887,16022236204009818131831320183,4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499,\ldots

(sequence A051254 in the OEIS).

만약 짓 이 시퀀스에 있는 나는 th전성기를 의미한다로 가장 작은 소수는 나는 13{\displaystyle a_{i-1}^{3}−보다}더 크기 위해서}}, n=1,2,3,…에 대한 3n{\displaystyle A^{3^{n}를 돌고, 소수 수열이야 이 시퀀스를 생성하도록 한 다음 ai. 계산할 수 있는 거겠죠 경우 나는 <.(a 나는 1− $a_{i}<(a_{i-1}+1)^{3}$ $a_{i}<(a_{i-1}+1)^{3}$ ) $a_{i}<(a_{i-1}+1)^{3}$ ${\$ 호헤이셀-Ingham $결과$ 는 충분히 큰 두 입방체 숫자 사이에 prime이 존재함을 보증하며, $a_{1}$ 우리가 충분히 큰 첫 번째 prime에서 $a_{1}$ 한다면 $이$ 을 증명하기에 충분하다 $a_{1}$ 리만 가설은 연속된 두 개의 입방체 사이에 주기가 존재하여 충분히 큰 조건을 제거할 수 있으며 밀스 프리임의 순서는 a₁ = 2에서 시작할 수 있음을 암시한다.

모든 a > $e^{e^{34}}$ $e^{e^{34}}$ ${\$ $e$ $^{e^{34}}$ 에 대해 $e^{e^{34}}$ $a^{3}$ ${\$ a $^{3}$ 와 $a^{3}$ $(a+1)^{3}$ ( $(a+1)^{3}$ + $(a+1)^{3}$ ) 3 ${\$ 사이에 적어도 하나의 프라임이 있다 $(a+1)^{3}$ ^[2] 이 상한은 그 수치 아래의 모든 숫자를 확인하는 것이 불가능하기 때문에 실용적이기에는 너무 크다.그러나 밀스 상수의 가치는 그 수치보다 큰 순서에서 첫 번째 프라임을 계산하면 확인할 수 있다.

2017년 4월 현재 이 수열의 11번째 숫자는 전성기임이 입증된 숫자 중 가장 큰 숫자다.그렇다

\displaystyle ((((((((2^{3}+3)^{3}+30)^{3}+80)^{3}+80)^{3}^{3}+450)^{3}+894)^{3}+3}+70756)^{3}+97220

그리고 20562자리의 숫자를 가지고 있다.^[3]

2015년^[update] 현재, 밀즈에서 가장 큰 것으로 알려진 (리만 가설 하에서) prime prime은 다음과 같다.

\displaystyle ((((((((((((2^{3}+3)^{3}+30)^{3}+6)^{3}+80)^{3}+12)^{3}+450)^{3}+894)^{3}+3636)^{3}+70756)^{3}+97220)^{3}+66768)^{3}+300840)^{3}+1623568

(OEIS에서 시퀀스 A108739), 555,154자리 숫자.

수치계산

밀스 프리타임의 순서를 계산해 보면 밀스의 상수를 다음과 같이 추정할 수 있다.

A\ about a(n)^{1/3^{n}}.

칼드웰과 쳉은 이 방법을 사용하여 리만 가설이 사실이라는 가정 하에 밀즈의 상수 6850의 기본 10자리를 계산했다.^[4]밀스의 상수로 알려진 폐쇄형 공식은 없으며, 이 숫자가 합리적인지조차 알 수 없다.^[5]만약 그것이 합리적이라면, 그리고 만약 그것이 반복될 정도로 그것의 소수점 확장을 계산할 수 있다면, 이것은 우리가 무한히 많은 증명할 수 있는 프리마임을 만들어낼 수 있게 해줄 것이다.

분수 표현

다음은 밀스의 상수에 근접한 분수로, 정확도를 증가시키는 순서(연속 굴절 수렴제 볼드형)로 나열된다(OEIS에서 시퀀스 A123561).

1/1, 3/2, 4/3, 9/7, 13/10, 17/13, 47/36, 64/49, 81/62, 145/111, 226/173, 307/235, 840/643, 1147/878, 3134/2399, 4281/3277, 5428/4155, 6575/5033, 12003/9188, 221482/169539, 233485/178727, 245488/187915, 257491/197103, 269494/206291, 281497/215479, 293500/224667, 305503/233855, 317506/243043, 329509/252231, 341512/261419, 353515/270607, 365518/279795, 377521/288983, 389524/298171, 401527/307359, 413530/316547, 425533/325735, 4692866/3592273, 5118399/3918008, 5543932/4243743, 5969465/4569478, 6394998/4895213, 6820531/5220948, 7246064/5546683,7671597/5872418, 8097130/6198153, 8522663/6523888, 8948196/6849623, 9373729/7175358, 27695654/21200339, 37069383/28375697, 46443112/35551055, 148703065/113828523, 195146177/149379578, 241589289/184930633, 436735466/334310211, 1115060221/853551055, 1551795687/1187861266, 1988531153/1522171477, 3540326840/2710032743, 33414737247/25578155953, ...

일반화

중간 지수 값 3에는 특별한 것이 없다.서로 다른 중간 지수 값에 대해 유사한 원시 생성 함수를 생성할 수 있다.사실 2.106 이상의 실제 숫자에 대해 이 중간 지수에서 항상 소수점을 생성하기 위해 사용할 다른 상수 A를 찾을 수 있다.더욱이 레전드레의 추측이 사실이라면 중간 지수를 값 2로 대체할^[6] 수 있다(OEIS에서 순서 A059784).

마토메키는 (전설레의 추측을 가정하지 않고) 무조건 (아마도 큰) 상수 A의 존재를 보여주었는데, $\lfloor A^{2^{n}}\rfloor$ 상수 A는 $\lfloor A^{2^{n}}\rfloor$ A $\lfloor A^{2^{n}}\rfloor$ $\lfloor A^{2^{n}}\rfloor$ $\loor A^{2^{n}}\rfloor }}}}$ 이 $\lfloor A^{2^{n}}\rfloor$ 모든 n의 프라임이다.^[7]

또한 토스는 공식의 바닥 기능이 천장 기능으로 대체될 수 있다는 것을 증명하여 다음과 같은 $B$ $상수$ B $B$ 이(가) 존재한다.

\lceil B^{r^{n}\rceil

$r>2.106\ldots$ > $r>2.106\ldots$ … $r>2.106\ldots$ 을(를) 가장 많이 나타냄 $r>2.106\ldots$ ^[8] 사례 $r=3$ = 3 ${\displaystyle r$ $=3$ $}$ 의 경우 $상수$ B의 값은 1.24055470525201424067로 시작한다 $B$ ...처음 생성된 몇 개의 프리타임은 다음과 같다.

2,7337,382739, 560620057041983603199,19199995814728732732767120910458589097055039099096068469,\ldots

Without assuming the Riemann hypothesis, Elsholtz proved that $\lfloor A^{10^{10n}}\rfloor$ is prime for all positive integers $n$ , where $A\approx 1.00536773279814724017$ , and that $\lfloor B^{3^{13n}}\rfloor$ is모든 양의 정수 $n$ 에 대해 prime( $B\approx 3.8249998073439146171615551375$ 서 B $B\approx 3.8249998073439146171615551375$ 3. $B\approx 3.8249998073439146171615551375$ ${\displaystyle B\$ 약 3 $.824999807349146171615551375$ ^[9]

참고 항목

소수점 수식

참조

^ Mills, W. H. (1947). "A prime-representing function" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 53 (6): 604. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08849-2.
^ Dudek, Adrian W. (2016). "An explicit result for primes between cubes". Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici. 55 (2): 177–197. arXiv:1401.4233. doi:10.7169/facm/2016.55.2.3. MR 3584567. S2CID 119143089.
^ Caldwell, Chris (7 July 2006). "The Prime Database". Primes. Retrieved 2017-05-11.
^ Caldwell, Chris K.; Cheng, Yuanyou (2005). "Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem". Journal of Integer Sequences. 8. p. 5.4.1. MR 2165330.
^ Finch, Steven R. (2003). "Mills' Constant". Mathematical Constants. Cambridge University Press. pp. 130–133. ISBN 0-521-81805-2.
^ Warren Jr., Henry S. (2013). Hacker's Delight (2nd ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN 9780321842688.
^ Matomäki, K. (2010). "Prime-representing functions" (PDF). Acta Mathematica Hungarica. 128 (4): 307–314. doi:10.1007/s10474-010-9191-x. S2CID 18960874.
^ Tóth, László (2017). "A Variation on Mills-Like Prime-Representing Functions" (PDF). Journal of Integer Sequences. 20. p. 17.9.8. arXiv:1801.08014.
^ Elsholtz, Christian (2020). "Unconditional Prime-Representing Functions, Following Mills". American Mathematical Monthly. 127 (7): 639–642. arXiv:2004.01285. doi:10.1080/00029890.2020.1751560. S2CID 214795216.

추가 읽기

Cheng, Yuan-You Fu-Rui (2010). "Explicit estimate on primes between consecutive cubes". The Rocky Mountain Journal of Mathematics. 40 (1): 117–153. arXiv:0810.2113. doi:10.1216/RMJ-2010-40-1-117. MR 2607111. S2CID 15502941.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Mills' Constant". MathWorld.
밀스 전화번호는 누가 기억하지? E. 코왈스키
멋진 소수 상수, 숫자 표식.

[Mills1947-1] Mills, W. H. (1947). "A prime-representing function" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 53 (6): 604. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08849-2.

[Dudek2016-2] Dudek, Adrian W. (2016). "An explicit result for primes between cubes". Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici. 55 (2): 177–197. arXiv:1401.4233. doi:10.7169/facm/2016.55.2.3. MR 3584567. S2CID 119143089.

[Caldwell2006-3] Caldwell, Chris (7 July 2006). "The Prime Database". Primes. Retrieved 2017-05-11.

[CaldwellCheng2005-4] Caldwell, Chris K.; Cheng, Yuanyou (2005). "Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem". Journal of Integer Sequences. 8. p. 5.4.1. MR 2165330.

[Finch2003-5] Finch, Steven R. (2003). "Mills' Constant". Mathematical Constants. Cambridge University Press. pp. 130–133. ISBN 0-521-81805-2.

[WarrenJr2013-6] Warren Jr., Henry S. (2013). Hacker's Delight (2nd ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN 9780321842688.

[Matomäki2010-7] Matomäki, K. (2010). "Prime-representing functions" (PDF). Acta Mathematica Hungarica. 128 (4): 307–314. doi:10.1007/s10474-010-9191-x. S2CID 18960874.

[Tóth2017-8] Tóth, László (2017). "A Variation on Mills-Like Prime-Representing Functions" (PDF). Journal of Integer Sequences. 20. p. 17.9.8. arXiv:1801.08014.

[9] Elsholtz, Christian (2020). "Unconditional Prime-Representing Functions, Following Mills". American Mathematical Monthly. 127 (7): 639–642. arXiv:2004.01285. doi:10.1080/00029890.2020.1751560. S2CID 214795216.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v t 프라임 번호 클래스
수식별	페르마( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센( $2 p$ - $1$ ) 더블 메르센( $2 2 p -1$ - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로트( $k /2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 원시적( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스 ( $4n$ + 1) 삐에폰트(2 $/3 m n$ + $1$ ) 쿼탄( $x 4 4$ + y) 솔리나스( $2 m$ ± 2 ± $1 n$ ) 컬렌 ( $n \cdot2 n$ + $1$ ) 우달( $n /2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3 3$ - y $)/(x$ - $y$ ) 레이랜드( $x y x$ + y) 타비트( $3/2 n$ - $1$ ) 윌리엄스 ( $b-1)\cdot b n$ - $1$ ) 밀스(⌊ $A 3 n ⌋)$
정수순별	피보나치 루카스 펠 뉴먼-상크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
재산별	위페리히 (페어) 월선 월스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 정규 강하다 선미 초점수(엘리프틱 곡선) 슈퍼싱글러 (달빛설) 좋아 잘 하는 군요 힉스 매우 편협한
기저 의존적	팔린드로믹 에미르프 재단위 $(10 n$ - 1 $)/9$ 퍼머블 원형 잘릴 수 있음 미니멀 섬세한 프라임벌 풀 파충류 유니크 행복하다 셀프 스마란다체-웰린 스트로보그램법 디헤드랄 테트라디어
패턴	트윈( $p,$ p + $2$ ) 바이-트윈 체인( $n$ - 1 $, n$ + 1 $, 2n$ - 1 $, 2n$ + 1, $\dots)$ 트리플릿( $p,$ $p$ + 2 $또는$ $p$ + 4 $, p$ + $6$ ) 쿼드러플릿( $p,$ $p$ + 2 $,$ $p$ + 6 $, p$ + $8$ ) k-투플 사촌( $p,$ p + $4$ ) 섹시( $p,$ p + $6$ ) 첸 소피 제르맹/세이프( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p$ ± 1, $4p$ ± 3, $8p$ ± 7, $...)$ 산술수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0,$ 1, 2 $, 3$ , $...)$ 균형( $연속$ $p$ - $n,$ $p,$ p + $n$ )
크기별	메가(100,000자리 이상) 알려진 것 중 가장 큰 것
콤플렉스	아이젠슈타인 전성기 가우스 프라임
합성수	가성비 카탈루냐 주 타원체 오일러 오일러자코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머루카스 강하다 카마이클 수 거의 전성기 세미프라임 인터프라임 치명적
관련 항목	개연성 프라임 산업용 프라임 불법 프라임 소수점 수식 프라임 갭
처음 60회	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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