자기 설명 수

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수학에서 자기 서술형 번호는 주어진 b 자리수인 정수 m이며, 이 숫자에서 위치 n의 각 자리수 d(위치 0에서 가장 유의한 자리수, 위치 b-1에서 가장 유의한 자리수)는 m에서 숫자 n의 인스턴스 수를 계산한다.

예

예를 들어, 베이스 10에서 6210001000이라는 숫자는 다음과 같은 이유로 인해 자체 서술형이다.

기준 10에서 숫자는 기준치를 나타내는 10자리를 가진다.
위치 0에 6을 포함하며, 이는 6210001000에 6개의 0이 있음을 나타낸다.
위치 1에 2를 포함하며, 이는 6210001000에 2개의 1이 있음을 나타낸다.
위치 2에 1을 포함하며, 이는 6210001000에 2가 있음을 나타낸다.
위치 3에 0을 포함하며, 이는 6210001000에 3이 없음을 나타낸다.
위치 4에 0을 포함하며, 이는 6210001000에 4가 없음을 나타낸다.
위치 5에 0을 포함하며, 이는 6210001000에 5가 없음을 나타낸다.
위치 6에 1을 포함하며, 이는 6210001000에 6이 있음을 나타낸다.
위치 7에 0을 포함하며, 이는 6210001000에 7이 없음을 나타낸다.
위치 8에 0을 포함하며, 이는 6210001000에 8이 없음을 나타낸다.
위치 9에 0을 포함하며, 이는 6210001000에 9가 없음을 나타낸다.

서로 다른 베이스에서

베이스 1, 2, 3 또는 6에는 자기 서술형 숫자가 없다. 베이스 7 이상에서는, 다른 것이 없다면$,{\displaystyle }$ 형태 (${\displaystyle b}$- ${\displaystyle 4}$) ${\displaystyle b^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$+ 2 ${\displaystyle b^{}}$- ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$+ b${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 3^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ +$displaystyle (b-4)b^{b-1}+2b-^{b-2}+b-3}+b^{b-$}+b^{3}+b^{3}+b^{$3$}+b^{3]가 있다.$}}}$은$($는) 0의 b-4 인스턴스, 1의 두 인스턴스, 2의 인스턴스, 2의 인스턴스, 1개의 숫자 b – 4의 인스턴스, 그리고 다른 숫자의 인스턴스가 없다. 다음 표에는 몇 가지 선택된 기초에 있는 몇 가지 자기 서술적 숫자가 나열되어 있다.

베이스	자체 서술형 번호(OEIS의 순서 A138480)	기준값 10(OEIS의 순서 A108551)
4	1210, 2020	100, 136
5	21200	1425
7	3211000	389305
8	42101000	8946176
9	521001000	225331713
10	6210001000	6210001000
11	72100001000	186492227801
12	821000001000	6073061476032
...	...	...
16	C210000000001000	13983676842985394176
...	...	...
36	21000원...0001000 (엘립시스 23 0 제외)	약 9.4733 × 1055
...	...	...

특성.

표에 열거된 숫자들을 보면, 모든 자기 서술적 숫자들은 그들의 기초와 같은 숫자 합을 가지고 있고, 그것들은 그 기초의 배수인 것처럼 보일 것이다. 첫 번째 사실은 숫자 합이 기준과 동일한 총 자릿수와 같다는 사실에서 사소한 것으로 자기 서술적 숫자의 정의에서 따르게 된다.

base b의 자기 서술형 숫자가 그 기저값의 배수여야 한다는 것(또는 동등하게, 자기 서술형 숫자의 마지막 숫자가 0이어야 한다는 것)은 다음과 같은 모순으로 증명될 수 있다:b-digits는 길지만 b의 배수가 아닌 자기 서술형 숫자 m이 있다고 가정한다. b – 1 위치의 자릿수는 1 이상이어야 하며, 이는 최소 1 in m의 숫자 b – 1의 인스턴스(instance)가 하나 이상 있음을 의미한다. 어떤 위치 x 그 자리 b – 1이 되든, 최소 b – 1개의 자리 x 인자가 m에 있어야 한다. 따라서 우리는 숫자 1의 최소한 하나의 인스턴스, b – 1 x의 인스턴스(instance)를 가지고 있다. 만약 x > 1이면 m은 b자릿수를 초과하여 우리의 초기 진술과 모순되게 된다. 그리고 x = 0 또는 1이면 그것 또한 모순으로 이어진다.

base b에서 자기 서술형 번호가 base b에서 Harshad 번호라는 것을 따른다.

자전적 숫자

자전적 숫자로 불리는 자기 서술적 숫자의 일반화는 숫자에 포함된 숫자가 그것을 완전히 설명하기에 충분하다면, 기초보다 적은 숫자를 허용한다. 예를 들어, 베이스 10에서 3211000은 3개의 0, 2개의 0, 1의 1, 2와 1의 3을 가진다. 이는 다른 현재 숫자에 대한 추가 정보를 추가하지 않고 후행 0을 슈트만큼 포함하도록 허용되는 것에 달려 있다는 점에 유의하십시오.

선행 0은 기록되지 않기 때문에 모든 자전적 숫자에는 적어도 하나의 0이 들어 있으므로 첫 번째 자리는 0이 아니다.

숫자가 0의 개수, 10의 개수 등 반대 순서로 처리되는 가상의 경우를 생각해 보면, 그러한 자화자찬 숫자가 없다. 하나의 결과를 구성하려고 시도하면 점점 더 많은 숫자를 추가해야 하는 폭발적 요건이 발생한다.

참조

• Pickover, Clifford (1995). "Chapter 28, Chaos in Ontario". Keys to Infinity. New York: Wiley. pp. 217–219. ISBN 978-0471118572.
• Weisstein, Eric W. "Self-Descriptive Number". MathWorld.
• Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A108551 (Self-descriptive numbers in various bases)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
• Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A046043 (Autobiographical numbers)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
• Autobiographical Numbers

외부 링크

• Khovanova, Tanya (23 August 2018). "Can You Solve the Leonardo da Vinci Riddle?". Lesson about autobiographical numbers. TED-Ed.