페르마의 작은 정리

수론에서 페르마의 작은 정리는 $만약$ p가 소수라면, 임의의 정수 $a$ 에 대하여, $수 p a$ - $a$ 는 p의 정수배라는 것을 말합니다. 모듈러 산술의 표기법에서, 이것은 다음과 같이 표현됩니다.

{\displaystyle a^{p}\equiva{\pmod {p}}입니다.

$예$ 를 들어 a = $2$ 이고p = $7$ 이면 2 = 128이고 128 - 2 = 126 = $7$ × 18은 7의 정수 배입니다.

$만약$ $a$ 가 p로 나누어지지 않는다면, 즉 $a$ 가 $p$ 에 대한 코프라임이라면, 페르마의 작은 정리는 $a p - 1$ - $1$ 이 $p$ 의 정수배라는 문장 또는 기호로 다음과 같습니다.^[1]^[2]

{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.

예를 들어 $a$ = $2$ 이고p = $7$ 이면 2 = 64, 64 - 1 = 63 = $7$ × 9는 따라서 7의 배수입니다.

페르마의 작은 정리는 페르마 소수성 검정의 기초가 되며, 기초 수론의 기초적인 결과 중의 하나입니다. 이 정리는 1640년에 이 정리를 발표한 피에르 드 페르마의 이름을 따서 붙여졌습니다. 페르마의 마지막 정리와 구별하기 위해 "작은 정리"라고 불립니다.^[3]

역사

피에르 드 페르마는 1640년 10월 18일 친구이자 친구인 프레니클 드 베시에게 보낸 편지에서 이 정리를 처음 언급했습니다. 그의 공식은 다음과 같습니다.^[3]

$p$ 가 소수이고 $a$ 가 $p$ 로 나누지 않는 정수라면 $a p - 1$ - $1$ 은 $p$ 로 나누어져 있습니다.

페르마의 원래 진술은

Tout nombre premier messure infailed empuissance une puissance $-1$ - $-1$ $-1$ decelque $-1$ progress que soit, et'exposant de la da du el issance est sus-multiple dunombre premier puisance - $-1$ 1 ${\displaystyle -1$ et, après qu' on a troubé la première puisci quait alla question, toute cells는 tought de l'exposant de la première sont multiple sont de l'exposant de la première tought de méme alla question.

이것은 이해하기 쉽도록 괄호 안에 설명과 공식을 추가하여 번역할 수 있습니다.

모든 소수 [ $p$ ]는 [[기하학] 진행 중 하나를 뺀 멱함수 중 하나를 반드시 나누며 [ $a,$ $a 2 3,$ a, $\dots]$ [즉, $p$ 가 a - $1$ 을^t 나누도록 $존재$ 합니다]. 이 멱함수 [ $t$ ]의 지수는 주어진 소수를 뺀 멱함수 [ $p$ - $1$ ]을 나누게 됩니다. 질문을 만족시키는 첫 번째 거듭제곱 [ $t$ ]를 찾은 후, 지수가 첫 번째 거듭제곱의 배수인 모든 사람들은 비슷하게 질문 [즉, 첫 $번째$ t의 모든 배수는 동일한 속성을 가진다]를 만족합니다.

페르마는 $a$ 가 $p$ 의 배수인 경우는 고려하지 않았고, 자신의 주장을 증명하지도 않았으며,^[4] 단지 다음과 같이 진술했습니다.

에셋 프로포션 에스트 제네랄먼트 브라이엔은 10개의 놈브르 프리미어와 같은 진행 상황을 보여줍니다. 드 퀘이외 에보이에리와 라데몬 시연, 제네아프레엔도이스 데트 트로프롱.

(그리고 이 명제는 일반적으로 모든 급수 [sic]과 모든 소수에 적용됩니다. 제가 너무 오래 지속되는 것을 두려워하지 않는다면, 그것을 보여드리겠습니다.)^[5]

오일러는 1736년에 《성경전》에 실린 논문 "Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium demonstratio"에서 최초로 발표된 증명을 제공했습니다. 페테르부르크 아카데미,^[6]^[7] 그러나 라이프니츠는 1683년 이전부터 출판되지 않은 원고에서 사실상 동일한 증명을 했습니다.^[3]

"페르마트의 작은 정리"라는 용어는 1913년 쿠르트 헨젤에 의해 자를렌테오리에 인쇄된 것으로 추정됩니다.^[8]

Für jede endliche Gruppe besth nune in Fundamentalsatz, Welcher der Kleine Fermatsche Satzgenannt zwerden pflegt, Weiling Ganz Spezieller Teil deselben zuerst von Fermatbiesen wordenist.

(모든 유한군에는 기본적인 정리가 있는데, 페르마가 그 중 매우 특별한 부분을 최초로 증명했기 때문에 보통 페르마의 작은 정리라고 불립니다.)

영어의 초기 사용은 A.A.에서 일어납니다. 알베르트의 현대 고등 대수학(1937), 206쪽에 있는 "이른바 '작은' 페르마 정리"를 언급합니다.^[9]

상세 내역

어떤 수학자들은 p가 소수일 $경우$ 에만 $2$ ≡ $2$ (modp)라는 관련 가설을 독립적으로 만들었습니다. 실제로 "만약" 부분은 사실이고, 이것은 페르마의 작은 정리의 특별한 경우입니다. 그러나 "Only if" 부분은 거짓입니다. 예를 들어, $2$ ≡2(mod 341)이지만 341 = 11 × 31은 기본 2에 대한 의사 소수입니다. 아래를 참고하세요.

증명

페르마의 작은 정리에 대한 몇 가지 증명이 알려져 있습니다. 그것은 오일러 정리의 상관관계로 자주 증명됩니다.

일반화

오일러 정리는 페르마의 작은 정리를 일반화한 것입니다. 임의의 $계수$ 와 $임의$ 의 정수에 대하여, $n은$

a^{\varphi(n)}\equiv 1{\pmod {n}}

여기서φ(n)은 오일러의 토토엔트 함수( $1$ 부터 $n$ 까지의 정수를 계수한 값)를 나타냅니다. $만약$ n이 소수라면φ(n) = n-1이기 때문에 페르마의 작은 정리는 정말로 특별한 경우입니다.

오일러 정리의 결과는 다음과 같습니다. 모든 양의 정수 $n$ 에 대하여, 만약 $정수$ $a$ 가 n과 코프라임이라면,

x\equiv {\pmod {\varphi(n)}}\quad {\text{implies}}\quad a^{x}\equiv a^{y}{\pmod{n}}

임의의 정수

x

와

y

에 대하여. 이것은 오일러의 정리로부터,

x\equiv y{\pmod {\varphi (n)}}

x ≡

x\equiv y{\pmod {\varphi (n)}}

(

x\equiv y{\pmod {\varphi (n)}}

φ (n))

{\style

x

\equiv

{\

pmod

x\equiv y{\pmod {\varphi (n)}}

{\varphi (n)}}라면,

어떤

정수 k에 대하여

x

= y + k φ (n)이며, 하나는

a^{x}=a^{y+\varphi (n)k}=a^{y}(a^{\varphi (n)})^{k}\equiv a^{y}1^{k}\equiv a^{y}{\pmod {n}}.

$만약$ n이 소수라면, 이것은 페르마의 작은 정리의 결과이기도 합니다. 이를 통해 큰 지수를 가진 모듈식 지수를 $n$ 보다 작은 지수로 줄일 수 있기 때문에 모듈식 산술에서 널리 사용됩니다.

오일러 정리는 공개 키 암호학, 특히 RSA 암호 시스템에서 일반적으로 다음과 같은 방식으로 $n$ 과 함께 사용됩니다.^[10]

y=x^{e}{\pmod {n}}

만약

누군가

가 φ(n)를 안다면,

y

,

e

, n의

값

에서 x를 검색하는 것은 쉽습니다. 사실, 확장 유클리드 알고리즘은

e모듈

로

φ(n)의 모듈식 역, 즉 다음과 같은

정수

f를 계산할 수 있습니다.

{\displaystyle ef\equiv 1{\pmod {\varphi(n)}}.

다음은

x\equiv x^{ef}\equiv (x^{e})^{f}\equiv y^{f}{\pmod {n}}.

반면, $n$ = $pq$ 가 서로 다른 두 소수의 곱인 경우 $,$ φ(n) = (p - 1) (q - 1)입니다. $이$ 경우 n과 $e$ 에서 $f$ 를 찾는 것은φ(n)을 계산하는 것만큼 어렵습니다(이것은 증명되지 않았지만 φ(n)를알지 못하고 $f$ 를 계산하는 알고리즘은 알려져 있지 않습니다). $n$ 만 알고 있으므로φ $($ n) = (p - 1) ( $q$ - 1) 이므로φ(n)의 계산은 본질적으로 n의 $인수분해$ 와 동일한 어려움을 가지며, 반대로 인자 p와 q는 식 x – (n - φ(n)) x + n = 0 의 (integer) 해입니다.

따라서 RSA 암호 시스템의 기본 아이디어는 다음과 같습니다. 메시지 $x$ 가 $n$ 과 $e$ 의 공개 값을 사용하여 $y$ = $x$ ( $modn$ )로 암호화되면 현재 지식으로는 $n$ 의 (비밀) 인자 $p$ 와 $q$ 를 찾지 않고는 복호화할 수 없습니다.

페르마의 작은 정리는 군론에서의 라그랑주 정리뿐만 아니라 카마이클 함수와 카마이클 정리와도 관련이 있습니다.

컨버스

페르마의 작은 정리의 반대는 카마이클 수에 대해서는 실패하기 때문에 일반적으로 사실이 아닙니다. 그러나 조금 더 강한 형태의 정리는 사실이며, 이것은 레머의 정리로 알려져 있습니다. 정리는 다음과 같습니다.

만약 다음과 같은 $정수$ 가 존재한다면,

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}

그리고

모든 소수

q

나눗셈 p -

1

에 대하여

a^{(p-1)/q}\not \equiv 1{\pmod {p}},

그럼

p는 prime 입니다.

이 정리는 중요한 소수성 검정인 루카스 소수성 검정과 프랫의 소수성 인증서의 기초가 됩니다.

의사 소수

$a$ 와^p−1 $p$ 가 a - $1$ 을 $p$ 로 나눌 수 있는 공소수라면 $p$ 는 소수일 필요가 없습니다. 그렇지 않은 경우 $p$ 는 a를 밑으로 하는 ( $페르마트$ ) 의사 소수라고 합니다. 1820년 피에르 프레데릭 사루스가 최초로 발견한 염기쌍원소는 341 = 11 × 31입니다.

모든 수 $a$ coprime $top$ 에 대하여 a를 기초로 하는 페르마 의사 소수인 수 $p$ 를 카마이클 수라고 합니다. 또는, 등식을 만족하는 임의의 $숫자$ p는

\gcd \left(p,\sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\right)=1

소수이거나 카마이클 숫자입니다.

Miller-Rabin primality 검정

밀러-라빈 소수성 검정은 페르마의 작은 정리를 다음과 같이 확장하여 사용합니다.^[14]

$p$ 가 홀수 소수이고 $p$ - 1 = $2d$ 가 s > 0이고 d 홀수 > 0인 경우, $모든$ 짝수 p에 대해 ≡1(modp) 또는 0 ≤ r < s인 r과 ≡ -1(modp)이 존재합니다.

$이$ 결과는 p가 홀수 소수이면 정수 $모듈롭$ 이 유한장을 형성한다는 사실에 $의해$ 페르마의 작은 정리에서 추론될 수 있으며, 여기서 1 모듈롭은 정확히 두 제곱근, 1 $모듈롭$ 및 -1 모듈롭을 갖는다.

$합동$ 관계가 지수화와 호환되므로 ≡ $1$ ( $모프$ )은 ≡ 1(모프)에 대해 사소하게 유지됩니다. $그리고$ a = ≡ $-1$ ( $모프$ )은 d가 홀수이므로 ≡ -1(모프) $동안$ $사소하게$ 유지됩니다. 그렇기 때문에 $일반적$ 으로구간 $1$ < $a$ < p - 1에서 $임의$ 의 a를 선택합니다.

Miller-Rabin 검정은 이 성질을 다음과 같은 방법으로 사용합니다: 원시성을 검정해야 하는 홀수 정수 $p$ 가 주어지면 p - 1 = 2d를 $s$ > 0, d 홀수 > 0으로 쓰고, 1 < a < p - 1이 되도록 임의의 a를 선택한 다음, b = a mod p를 계산하고, b가 1 또는 - 1이 아니면 - 1이 될 때까지 반복적으로 모듈로 p를 제곱한 다음, - 1을 얻거나 s - 1을 제곱할 때까지 제곱합니다. $제곱$ 하여 $b$ ≠ 1과 -1을 얻지 못한 경우 p는 $합성$ 이고 a는 p의 $합성성$ 에 대한 증인입니다. 그렇지 않으면 $p$ 는 a를 기본으로 하는 강력한 가능한 소수입니다. 즉, 소수일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. $p$ 가 합성이면 검정에서 어쨌든 강력한 확률적 소수로 선언될 확률은 기껏해야 1 ⁄4, 이 $경우$ p는 강력한 의사 $소수$ 이고 a는 강력한 거짓말쟁이입니다. $따라서$ k개의 비결정적 무작위 검정 후 $p$ 가 합성일 확률은 최대 4이므로^−k $k$ 를 증가시키면 원하는 만큼 낮게 만들 수 있습니다.

요약하면, 검정에서는 숫자가 합성임을 증명하거나 원하는 만큼 낮게 선택할 수 있는 오차 확률로 소수임을 주장합니다. 이 테스트는 구현하기가 매우 간단하며 알려진 모든 결정론적 테스트보다 계산적으로 더 효율적입니다. 따라서 일반적으로 원시성 증명을 시작하기 전에 사용됩니다.

참고 항목

메모들

^ 1972년, 87-88쪽.
^ Pettofrezzo & Byrkit 1970, pp. 110–111.
^ ^a ^b ^c 버튼 2011, 페이지 514.
^ Fermat, Pierre (1894), Tannery, P.; Henry, C. (eds.), Oeuvres de Fermat. Tome 2: Correspondance, Paris: Gauthier-Villars, pp. 206–212 (프랑스어로)
^ Mahoney 1994, 영어 번역 295쪽
^ Euler, Leonhard (1736). "Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio" [Proof of certain theorems relating to prime numbers]. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (Memoirs of the Imperial Academy of Sciences in St. Petersburg) (in Latin). 8: 141–146.
^ Ore 1988, p. 273
^ Hensel, Kurt (1913). Zahlentheorie [Number Theory] (in German). Berlin and Leipzig, Germany: G. J. Göschen. p. 103.
^ Albert 2015, p. 206
^ Trappe, Wade; Washington, Lawrence C. (2002), Introduction to Cryptography with Coding Theory, Prentice-Hall, p. 78, ISBN 978-0-13-061814-6
^ $y$ 가 $n$ 과 코프라임이 아니라면 오일러 정리는 작동하지 않지만, 이 경우는 고려되지 않을 만큼 충분히 드뭅니다. 실제로 우연히 발생한 경우, 이는 $n$ 의 인수분해를 쉽게 제공하므로 RSA의 인스턴스가 깨집니다.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A128311 (Remainder upon division of 2ⁿ⁻¹−1 by n.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Sarrus, Frédéric (1819–1820). "Démonstration de la fausseté du théorème énoncé á la page 320 du IXe volume de ce recueil" [Demonstration of the falsity of the theorem stated on page 320 of the 9th volume of this collection]. Annales de Mathématiques Pures et Appliquées (in French). 10: 184–187.
^ Rempe-Gillen, Lasse; Waldecker, Rebecca (2013-12-11). "4.5.1. Lemma (Roots of unity modulo a prime)". Primality Testing for Beginners. American Mathematical Soc. ISBN 9780821898833.

참고문헌

Albert, A. Adrian (2015) [1938], Modern higher algebra, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-54462-8
Burton, David M. (2011), The History of Mathematics / An Introduction (7th ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77171950
Mahoney, Michael Sean (1994), The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665 (2nd ed.), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-03666-3
Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 71081766

외부 링크

위키미디어 커먼즈에서 페르마의 작은 정리와 관련된 미디어
야노스 볼라이와 의사 소수자들(헝가리어)
절단면에서의 페르마의 작은 정리
절단 매듭에서의 오일러 함수와 정리
페르마의 작은 정리와 소피의 증명
"Fermat's little theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Fermat's Little Theorem". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Fermat's Little Theorem Converse". MathWorld.

[1] 1972년, 87-88쪽.

[2] Pettofrezzo & Byrkit 1970, pp. 110–111.

[Burton-3] 버튼 2011, 페이지 514.

[4] Fermat, Pierre (1894), Tannery, P.; Henry, C. (eds.), Oeuvres de Fermat. Tome 2: Correspondance, Paris: Gauthier-Villars, pp. 206–212 (프랑스어로)

[5] Mahoney 1994, 영어 번역 295쪽

[6] Euler, Leonhard (1736). "Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio" [Proof of certain theorems relating to prime numbers]. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (Memoirs of the Imperial Academy of Sciences in St. Petersburg) (in Latin). 8: 141–146.

[7] Ore 1988, p. 273

[8] Hensel, Kurt (1913). Zahlentheorie [Number Theory] (in German). Berlin and Leipzig, Germany: G. J. Göschen. p. 103.

[9] Albert 2015, p. 206

[10] Trappe, Wade; Washington, Lawrence C. (2002), Introduction to Cryptography with Coding Theory, Prentice-Hall, p. 78, ISBN 978-0-13-061814-6

[11] $y$ 가 $n$ 과 코프라임이 아니라면 오일러 정리는 작동하지 않지만, 이 경우는 고려되지 않을 만큼 충분히 드뭅니다. 실제로 우연히 발생한 경우, 이는 $n$ 의 인수분해를 쉽게 제공하므로 RSA의 인스턴스가 깨집니다.

[12] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A128311 (Remainder upon division of 2ⁿ⁻¹−1 by n.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[13] Sarrus, Frédéric (1819–1820). "Démonstration de la fausseté du théorème énoncé á la page 320 du IXe volume de ce recueil" [Demonstration of the falsity of the theorem stated on page 320 of the 9th volume of this collection]. Annales de Mathématiques Pures et Appliquées (in French). 10: 184–187.

[14] Rempe-Gillen, Lasse; Waldecker, Rebecca (2013-12-11). "4.5.1. Lemma (Roots of unity modulo a prime)". Primality Testing for Beginners. American Mathematical Soc. ISBN 9780821898833.

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v t 피에르 드 페르마
일하다.	페르마의 마지막 정리 페르마 수 페르마의 원리 페르마의 작은 정리 페르마 다각수 정리 페르마 의사 소수 페르마 점 페르마 정리(정지점) 두 제곱의 합에 관한 페르마의 정리 페르마의 나선 페르마의 직각삼각형 정리
관련된	피에르 드 페르마의 이름을 딴 목록 와일스의 페르마의 마지막 정리 증명 소설 속 페르마의 마지막 정리 페르마상 페르마의 마지막 탱고 (2000 뮤지컬) 페르마의 마지막 정리 (대중 과학 서적)

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