프로스 프라임

프로스 프라임
이름을 따서 명명됨	프랑수아 프로트
발행년도	1878
출판사 저자	프로스, 프랑수아
No. 알려진.	270 이하 15억 이상
용어의 추측	무한
부분적합성	소수점, 소수
공식	k × 2n + 1
제1항	3, 5, 13, 17, 41, 97, 113
가장 큰 알려진 용어	1022331172165 × 2 + 1(2019년 12월 기준)
OEIS 지수	A080076; 소수점: k*2^m + 1 형식의 소수점 + 홀수 k < 2^m, m ≥ 1;

프로스 번호는 $N=k\times 2^{n}+1$ = $N=k\times 2^{n}+1$ $N=k\times 2^{n}+1$ $N=k\times 2^{n}+1$ $N=k\times 2^{n}+1$ + 1 $(\displaystyle N=k\times$ 2 $^{n}+1}$ 형식의 N으로, 여기서 $N=k\times 2^{n}+1$ k와 n은 양의 정수인 경우 k는 홀수이고 $2^{n}>k$ > $2^{n}>k$ ${\displaystyle 2^{n}}k$ 프로스 프라임은 프라임인 프로스 숫자다. 그들은 프랑스의 수학자 프랑수아 프로스의 이름을 따서 지어졌다.^[1] 처음 몇 프로스 프라임은

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857 (OEIS: A080076).

프로스 숫자의 원시성은 유사한 크기의 다른 많은 숫자보다 더 쉽게 시험될 수 있다.

정의

프로스 번호는 $N=k2^{n}+1$ = k $N=k2^{n}+1$ + 1 $N=k2^{n}+1$ 의 형태를 취하며, 여기서 $N=k2^{n}+1$ k와 n은 양의 정수, $k$ {\ $displaystyle k$ }은 $k$ 홀수, $2^{n}>k$ $2^{n}>k$ $2^{n}>k$ {\ $displaystyle$ 2 $^{n}}k$ 프로스 프라임은 프라임인 프로스 숫자다.^[1]^[2]

$2^{n}>k$ > $2^{n}>k$ $2^{n}>k$ 라는 조건이 없다면 $2^{n}>k$ 1보다 큰 모든 홀수 정수는 Proth 숫자일 것이다.^[3]

프라이머리티 테스트

Proth 숫자의 원시성은 Proth의 정리를 사용하여 테스트할 수 있으며, Proth 숫자 $p$ $p$ 이(가) 있는 경우 및 다음 중 하나에 해당하는 $a$ 정수 $a$ $a$ 이(가) 존재하는 경우에만 prime임을 $p$ 명시하고 있다.

a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}.

^[2]^[4]

This theorem can be used as a probabilistic test of primality, by checking for many random choices of $a$ whether $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}.$ If this fails to hold for several random $a$ , then it is very likely that the numbe $r$ p $[\displaystyle p}$ 은 $p$ (는) 복합적이다.^{[citation needed]} 이 테스트는 라스베이거스 알고리즘이다. 즉, 복합적인 숫자를 "가능성 있는 프라임"으로 보고하지 않고 "합성 가능한 합성"으로 보고할 수 있다.

2008년에 Sze는 ${\tilde {O}}((k\log k+\log N)(\log N)^{2})$ O ${\tilde {O}}((k\log k+\log N)(\log N)^{2})$ ~ ${\tilde {O}}((k\log k+\log N)(\log N)^{2})$ ( ${\tilde {O}}((k\log k+\log N)(\log N)^{2})$ ${\tilde {O}}((k\log k+\log N)(\log N)^{2})$ + ${\tilde {O}}((k\log k+\log N)(\log N)^{2})$ ${\tilde {O}}((k\log k+\log N)(\log N)^{2})$ N ${\tilde {O}}((k\log k+\log N)(\log N)^{2})$ ) ${\tilde {O}}((k\log k+\log N)(\log N)^{2})$ ( ${\tilde {O}}((k\log k+\log N)(\log N)^{2})$ N $){\displaystyle {\tilde{O}}(k\log$ k $+\log$ N $)(\log$ N $)^{2}}$ 시간까지 ${\tilde {O}}((k\log k+\log N)(\log N)^{2})$ 실행되는 결정론 알고리즘을 생성했는데, 여기서 is은 소프트-O 표기법이다. Proth 프라임의 일반적인 검색의 경우 일반적으로 $k$ ${\displaystyle$ k $}$ 이(가) 고정(예: 321 Primary Search 또는 Sierpinski 문제)이거나 $O(\log N)$ $O(\log N)$ $O(\log N)$ ) ${\displaysty O(\log$ N $)}($ 예: Cullen prime search)이다 $k$ . In these cases algorithm runs in at most ${\tilde {O}}((\log N)^{3})$ , or $O((\log N)^{3+\epsilon })$ time for all $\epsilon >0$ . ${\tilde {O}}((\log N)^{24/7})$ ~ ${\tilde {O}}((\log N)^{24/7})$ ( ${\tilde {O}}((\log N)^{24/7})$ ( ${\tilde {O}}((\log N)^{24/7})$ ${\tilde {O}}((\log N)^{24/7})$ N ${\tilde {O}}((\log N)^{24/7})$ ) ${\tilde {O}}((\log N)^{24/7})$ / ${\tilde {O}}((\log N)^{24/7})$ ) ${\displaystyle {\tilde{O}}(\log$ N $)^{24/7}$ 번으로 ${\tilde {O}}((\log N)^{24/7})$ 실행되는 알고리즘도 있다.^[1]^[5]

큰 소수

2019년^[update] 현재 가장 큰 것으로 알려진 프로스 프라임은 $10223\times 2^{31172165}+1$ $10223\times 2^{31172165}+1$ 2 $10223\times 2^{31172165}+1$ + $10223\times 2^{31172165}+1$ ${\displaystyle 10223\times$ 2 $^{3172165}+1}$ 이다 $10223\times 2^{31172165}+1$ 938만3761자리 숫자다.^[6] 그것은 2016년 11월 6일에 발표된 프라임그리드 분산 컴퓨팅 프로젝트에서 Szabolcs Peter에 의해 발견되었다.^[7] 그것은 또한 알려진 것 중 가장 큰 비 메르센 프라임이다.^[8]

78557이 가장 작은 시에르핀스키 숫자(Sierpinski 문제)라는 것을 증명하기 위해 $t$ $특정$ t $t$ 와 함께 프로스 프라임을 검색한 프로젝트 세븐틴 또는 버스트는 2007년까지 11개의 큰 프로스 프라임을 발견했고, 그 중 5개는 메가프라임이다. 시어피에스키의 주요 문제와 연장된 시어피에스키 문제와 유사한 해결책이 몇 개 더 나왔다.

페르마 수 $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ = $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ + $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $F_{n}=2^{2^{n1}+1$ 의 디비저는 $k\times 2^{n+2}+1$ k $k\times 2^{n+2}+1$ × $k\times 2^{n+2}+1$ + $k\times 2^{n+2}+1$ + $k\times 2^{n+2}+1$ {\ $displaysty$ k $\times$ 2 $^{n+2}+1$ }의 형식이므로 $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $k\times 2^{n+2}+1$ 새로운 프로마트 수상이 페르마 수를 분할하는지 결정하는 것이 관례다.^[9]

2022년 1월 현재 프라임그리드(PrimeGrid)는 프로스 프라임(Proth primes)을 검색하기 위한 선도적인 컴퓨팅 프로젝트다. 주요 프로젝트는 다음과 같다.

프로스 프라임 검색 일반
321 Prime Search( $3\times 2^{n}+1$ × $3\times 2^{n}+1$ + 1 $(\displaystyle 3\times$ 2 $^{n}+1}$ 형식의 프라임 검색 $3\times 2^{n}+1$ 두 번째 유형의 타비트 프라임이라고도 함)
27121 Prime Search ( $27\times 2^{n}+1$ $27\times 2^{n}+1$ $27\times 2^{n}+1$ + $27\times 2^{n}+1$ $(\displaystyle 27\time$ 2 $^{n}+1}$ 및 $121\times 2^{n}+1$ $121\times 2^{n}+1$ $121\times 2^{n}+1$ + 1 $(\displaystyle 121\time 2^{n}+1}$ 형식의 프라임 검색 $121\times 2^{n}+1$
Cullen prime search( $n\times 2^{n}+1$ $n\times 2^{n}+1$ $n\times 2^{n}+1$ + $n\times 2^{n}+1$ ${\displaystyle n\times$ 2 $^{n}+1}$ 형식의 프라임 검색 $n\times 2^{n}+1$
Sierpinski 문제(및 그 초기 및 확장 일반화) – k가 이 목록에 있는 $k\times 2^{n}+1$ $k\times 2^{n}+1$ $k\times 2^{n}+1$ $k\times 2^{n}+1$ + $k\times 2^{n}+1$ $k\times 2^{n}+1$ 형식의 프라임 검색:

k ∈ {21181, 22699, 24737, 55459, 67607, 79309, 79817, 91549, 99739, 131179, 152267, 156511, 163187, 200749, 209611, 222113, 225931, 229723, 229673, 237019, 238411}

2022년 1월 현재 프로스 프라임은 다음과 같다.^[10]

등수를 매기다	전성기의	숫자	할 때	평.	발견자(프로젝트)	참조
1	10223 × 2^31172165 + 1	9383761	2016년 10월 31일		스자볼츠 페터(Sierpinski 문제)	^[11]
2	202705 × 2^21320516 + 1	6418121	2021년 12월 1일		파벨 아트나셰프(확장 시어핀스키 문제)	^[12]
3	168451 × 2^19375200 + 1	5832522	2017년 9월 17일		벤 말로니 (프라임 시에르핀스키 문제)	^[13]
4	7 × 2^18233956 + 1	5488969	2020년 10월 1일	Fermat_18233954 F와 일반화된 Fermat F(7_18233952) 분할	라이언 프로퍼(LLR)	^[14]^[15]
5	3 × 2^16408818 + 1	4939547	2020년 10월 28일	F_16408814(3), F_16408817(5), F_16408815(8)로 구분	제임스 브라운 (PrimeGrid	^[15]
6	(2^7658613 + 1) × 2^7658614 + 1	4610945	2020년 7월 31일	가우스 메르센 규범	라이언 프로퍼와 세르게 바탈로프	^[10]
7	99739 × 2^14019102 + 1	4220176	2019년 12월 24일		브라이언 니고키 (확장 시어핀스키 문제)	^[16]
8	404849 × 2^13764867 + 1	4143644	2021년 3월 10일	131072 베이스의 일반화 컬런	라이언 프로퍼와 세르게 바탈로프	^[10]
9	9 × 2^13334487 + 1	4014082	2020년 3월 31일	F_13334485(3), F_13334486(7), F(8_13334484)로 구분	라이언 프로퍼	^[15]
10	19249 × 2^13018586 + 1	3918990	2007년 3월 26일		콘스탄틴 아가포노프(세븐틴 또는 버스트)	^[11]
11	9 × 2^12406887 + 1	3734847	2020년 3월 29일	분할_12406885 F(3)	라이언 프로퍼	^[15]
12	27 × 2^12184319 + 1	3667847	2021년 2월 6일	분할_12184313 F(8)	라이언 프로퍼	^[10]^[15]
13	9 × 2^11500843 + 1	3462100	2020년 3월 13일	분할_11500840 F(12)	라이언 프로퍼	^[15]
14	193997 × 2^11452891 + 1	3447670	2018년 4월 3일		톰 그리어(Extended Sierpinski 문제)	^[17]
15	9 × 2^11366286 + 1	3421594	2020년 3월 26일		라이언 프로퍼	^[15]
16	9 × 2^11158963 + 1	3359184	2020년 3월 13일	분할_11158962 F(5)	라이언 프로퍼	^[15]
17	3 × 2^10829346 + 1	3259959	2014년 1월 14일	F_10829343(3), F_10829345(5), F(8_10829344), F(11_10829345)로 구분	사이익 탕(321 프라임 검색)	^[18]
18	9 × 2^9778263 + 1	2943552	2020년 8월 5일	분할_9778262 F(7)	라이언 프로퍼	^[15]
19	121 × 2^9584444 + 1	2885208	2020년 11월 20일		제임스 윈스킬(27121 프라임 서치)	^[19]
20	11 × 2^9381365 + 1	2824704	2020년 3월 7일	분할_9381364 F(6)	라이언 프로퍼	^[15]

사용하다

소수 소수점(10개²⁰⁰ 미만)이 소수점 사다리 구축에 사용되어 각 용어가 이전 용어와 "가까이"(약 10개¹¹ 이내)인 소수점 순서가 사용되어 왔다. 그러한 사다리들은 프라임과 관련된 추측을 실증적으로 검증하는 데 이용되어 왔다. 예를 들어, 골드바흐의 약한 추측이 2008년에 Proth primes로 건설된 프라임 사다리들을 사용하여 8.875³⁰ × 10까지 검증되었다.^[20] (이 추측은 나중에 하랄드 헬프고트에 의해 증명되었다.)^[21]^[22]^{[better source needed]}

또한 Proth 프라임은 Diffie-Hellman 문제와 이산 로그 문제 사이의 Den Boer 감소를 최적화할 수 있다. 프라임 번호 55 × 2²⁸⁶ + 1은 이런 식으로 사용되어 왔다.^[23]

Proth primes는 단순한 이진 표현을 가지고 있기 때문에, 그것들은 또한 마이크로소프트에 의해 예를 들어 사전 컴퓨팅의 필요 없이 빠른 모듈식 감소에 이용되어 왔다.^[24]

참조

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v t 프라임 번호 클래스
수식별	페르마( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센( $2 p$ - $1$ ) 더블 메르센( $2 2 p -1$ - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로트( $k /2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 원시적( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스 ( $4n$ + 1) 삐에폰트(2 $/3 m n$ + $1$ ) 쿼탄( $x 4 4$ + y) 솔리나스( $2 m$ ± 2 ± $1 n$ ) 컬렌 ( $n \cdot2 n$ + $1$ ) 우달( $n /2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3 3$ - y $)/(x$ - $y$ ) 레이랜드( $x y x$ + y) 타비트( $3/2 n$ - $1$ ) 윌리엄스 ( $b-1)\cdot b n$ - $1$ ) 밀스(⌊ $A 3 n ⌋)$
정수순별	피보나치 루카스 펠 뉴먼-상크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
재산별	위페리히 (페어) 월선 월스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 정규 강하다 선미 초점수(엘리프틱 곡선) 슈퍼싱글러 (달빛설) 좋아 잘 하는 군요 힉스 매우 편협한
기저 의존적	팔린드로믹 에미르프 재단위 $(10 n$ - 1 $)/9$ 퍼머블 원형 잘릴 수 있음 미니멀 섬세한 프라임벌 풀 파충류 유니크 행복하다 셀프 스마란다체-웰린 스트로보그램법 디헤드랄 테트라디어
패턴	트윈( $p,$ p + $2$ ) 바이-트윈 체인( $n$ - 1 $, n$ + 1 $, 2n$ - 1 $, 2n$ + 1, $\dots)$ 트리플릿( $p,$ $p$ + 2 $또는$ $p$ + 4 $, p$ + $6$ ) 쿼드러플릿( $p,$ $p$ + 2 $,$ $p$ + 6 $, p$ + $8$ ) k-투플 사촌( $p,$ p + $4$ ) 섹시( $p,$ p + $6$ ) 첸 소피 제르맹/세이프( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p$ ± 1, $4p$ ± 3, $8p$ ± 7, $...)$ 산술수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0,$ 1, 2 $, 3$ , $...)$ 균형( $연속$ $p$ - $n,$ $p,$ p + $n$ )
크기별	메가(100,000자리 이상) 알려진 것 중 가장 큰 것
콤플렉스	아이젠슈타인 전성기 가우스 프라임
합성수	가성비 카탈루냐 주 타원체 오일러 오일러자코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머루카스 강하다 카마이클 수 거의 전성기 세미프라임 인터프라임 치명적
관련 항목	개연성 프라임 산업용 프라임 불법 프라임 소수점 수식 프라임 갭
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