선형순서군

수학, 구체적으로는 추상대수학에서 선형순서 또는 완전순서집단은 번역불가역인 총순서 "순서"를 갖춘 집단 G이다.이것은 다른 의미를 가질 수 있다.우리는 (G, ≤)은 다음과 같이 말한다.

• 좌순 정렬된 그룹이 좌상향인 경우, 즉 ≤ b는 G에서 모든 a, b, c에 대한 ca cb cb를 의미한다.
• ord이 우측 상각인 경우, 즉 b b는 모든 a, b, c에 대한 ac ≤ b를 의미한다.
• ≤이 이차변성인 경우, 즉 좌차변성과 우차변성 모두인 양차변성군이다.

그룹 G는 G에 좌(또는 우) 불변 순서가 있는 경우 좌(또는 우) 순서가 있다고 한다. 그룹이 좌(-) 순서가 되기 위해 단순하게 필요한 조건은 유한한 순서의 요소가 없는 것이다. 그러나 이것은 충분하지 않은 조건이다.이것은 그룹이 좌순 또는 우순 주문 가능한 것과 동등하지만, 양순 주문할 수 없는 좌순 주문 가능한 그룹이 존재한다.

추가 정의

이 섹션의 $▼{\displaystyle }$ ${\displaystyle \leq }$은(는) ID 요소 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$이(가) 있는 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 좌상각 주문이며$,$ 언급된 모든 것은 명백한 수정으로 우측 상각 주문에 적용된다.$≤{\displaystyle \leq }$이($가{\displaystyle {}^{}}$) 좌상반환되는 것은 h${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$≤ ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$인 경우에만$$$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ′ ${\displaystyle {\prime }^{}}$h {\displaystyth g\$leq 'h}$에 의해 정의된$$ 순서$≤{\\\\$ \leq \}와 동일하다.특히 좌주문이 가능한 그룹은 우주문이 가능한 그룹과 동일하다.

보통 숫자와 유사하게, e${\displaystyle e}$ g${\displaystyle g\not=e}$을(를) positive 그룹(positive g) 중$$ $g{\displaystyle }$ e e ${\displaystyle e\leq$ g$\}.$순서가 정해진 그룹에서 양의 원소 집합을 양의 원뿔이라고 하는데, 흔히 $G{\displaystyle {}_{}}$+ ${\$로 표기한다$.$ 약간 다른 표기법 $G{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$는 식별 원소와 함께 양의 원뿔에 사용된다$$.^[1]

포지티브 콘 $G{\displaystyle {}_{}}$+ ${\$는 순서 $≤{\displaystyle$$\leq$$$}의 특성을$$ 나타내며$,$ 실제로 좌상각으로 보면 $g{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ h ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\$ $g$$^{-1}h\in G_$인 경우에만$$ $g{\displaystyle \le }$ ${\displaystyle h}$를$볼$수 있다.사실 좌순 그룹은 다음과 같은 두 조건을 만족하는$$ 부분 $집합{\displaystyle }$ P ${\displaystyle P}$과 함께 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle$ G$}$로 정의할 수 있다.

1. $g{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle g,h\in P}$의 경우 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle gh\in P$
2. $Let$ $P{\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$,${\displaystyle {}^{}g}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$ $}$ ${\displaystyle$ P$^{-1}=\{g^{-1$ $p\}},$ 그러면 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은 P${\displaystyle ,}$ $P{\displaystyle }$ - ${\displaystyle 1^{}}$$displaystyle$ P,$P^{-1},$${e$의 분리 결합이다.

The order ${\displaystyle \leq _{P}}$ associated with ${\displaystyle P}$ is defined by ${\displaystyle g\leq _{P}h\Leftrightarrow g^{-1}h\in P}$; the first condition amounts to left-invariance and the second to the order being well-defined and total.$\le {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\$의 양의 $원뿔$은 P ${\displaystyle P}$이다$.$

The left-invariant order ${\displaystyle \leq }$ is bi-invariant if and only if it is conjugacy invariant, that is if ${\displaystyle g\leq h}$ then for any ${\displaystyle x\in G}$ we have ${\displaystyle xgx^{-1}\leq xhx^{-1}}$ as well.이것은 내면의 자동형성 하에서 양성 원뿔이 안정되어 있는 것과 같다.

${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\in$ G$\}$인 경우 $displaystyle$a $\}$ 로 표시된$$${\displaystyle a}$의 절대값은 다음과 같이 정의된다.

또한 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 아벨리안이라면, $임의$의 a ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$G {\$displaystyle a,b\in$ G$}$에 대해 ${\displaystyle 삼각}$ 불평등이 충족된다: a +${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle a}$ + b${\displaystyle }$≤ ${\displaystyle a}$ + b$\displaysty$ a+b$\leq$ a + $b$

예

좌, 우 순서가 가능한 어떤 집단은 비틀림 없이, 즉 정체성 외에 유한 질서의 요소를 포함하지 않는다.반대로, F. W. Levi는 토션 없는 아벨리안 그룹이 바이오더블이라는 것을 보여주었다;^[2] 이것은 영일전트 그룹에^[3] 대해서는 여전히 사실이지만 토션 없는 정밀하게 제시된 그룹들이 있고 좌주문이 불가능한 그룹들이 있다.

아르키메데스가 주문한 단체들

오토 뮐더는 모든 아르키메데스 그룹(아키메데스 속성을 만족하는 바이오더 그룹)이 실제 숫자의 첨가물 그룹의 하위 그룹과 이형성이 있음을 보여주었다(Fuchs & Salce 2001, 페이지 61)아르키메데스 l.o. 그룹을 승법적으로 쓴다면, $이$는 n ${\displaystyle n}$뿌리에$$ 따른 l.o. 그룹 폐쇄의$$ 데데킨드 $완료{\displaystyle \stackrel{}{}}$, G ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$을 고려함으로써 나타날 수 있다.We endow this space with the usual topology of a linear order, and then it can be shown that for each ${\displaystyle g\in {\widehat {G}}}$ the exponential maps ${\displaystyle g^{\cdot }:(\mathbb {R} ,+)\to ({\widehat {G}},\cdot$$\lim _{i}q_{i}\mathb {Q} \mapsto \lim_{i}g^{q_{i}}}}$은(는) 잘 정의된 순서로서, 위상학적 그룹 이소몰리즘을 보존/반복한다.아르키메데스가 아닌 경우에는 L.O. 그룹을 완성하는 것이 어려울 수 있다.이 경우, 집단을 그 등급별로 분류할 수 있다. 즉, 볼록한 부분군의 가장 큰 순서 유형과 관련이 있다.

기타 예

무료 그룹은 좌주문이 가능하다.보다 일반적으로 직각 아르틴 그룹의 경우도 그러하다.^[4]땋은 그룹도 좌주문이 가능하다.^[5]

이 단체는 프레젠테이션이 주어지⟨, b 2b2b− 1, b2b2는 − 1⟩{\displaystyle \langlea,b a^{2}ba^{2}b^{)},b^{2}ab^{2}a^{)}\rangle}은 비틀리지 않지만left-orderable,[6]에는 그것은 3차원 결정 학적인 그룹( 할 수 있지 현실화는 그룹 생성에 의해서 두glided half-tu.rns직교 축과 같은 번역 길이)로 단위 추측에 대한 백례로 입증된 그룹과 동일하다.보다 일반적으로 3-manifold 그룹의 순서성에 대한 주제는 다양한 위상학적 불변제와의 관계 때문에 흥미롭다.^[7]좌주문이 가능하지만 바이주문이^[8] 불가능한 3-매니폴드 그룹이 존재한다(사실 그것은 현지에서 지시할 수 있는 약한 특성을 만족시키지 못한다).

좌주문 가능한 그룹들은 또한 동질성에 의해 실제 라인에서 작용하는 경우에만 계산 가능한 그룹이 좌주문 가능한 것으로 알려져 있다.^[9]이 패러다임과 관련된 비예시들은 상위 Lie 그룹의 격자들이다; (${\displaystyle 예}$를 들어) S $L{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathb {Z})$의 유한 지수 부분군은 좌순서가 불가능한 것으로$$ 알려져 있다;^[10] 이것에 대한 광범위한 일반화가 최근에 발표되었다.^[11]

참고 항목

• 주기순서군
• 한 임베딩 정리
• 부분순서군

메모들

참조

• Deroin, Bertrand; Navas, Andrés; Rivas, Cristóbal (2014). "Groups, orders and dynamics". arXiv:1408.5805 [math.GT].
• Levi, F.W. (1942), "Ordered groups.", Proc. Indian Acad. Sci., A16 (4): 256–263, doi:10.1007/BF03174799
• Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Modules over non-Noetherian domains, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 84, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1963-0, MR 1794715
• Ghys, É. (2001), "Groups acting on the circle.", L'Enseignement Mathématique, 47: 329–407