곱셈 역수

수학에서, 1/x 또는 x로⁻¹ 표시되는 수 x에 대한 곱셈 역수 또는 역수는 x를 곱했을 때 곱셈 항등식이 1이 되는 수입니다.분수 a/b의 곱셈 역수는 b/a입니다.실수의 곱셈 역의 경우 1을 숫자로 나눕니다.예를 들어 5의 역수는 1/5(1/5 또는 0.2)이고 0.25의 역수는 1을 0.25 또는 4로 나눈 값입니다.역수 함수, 즉 x를 1/x로 매핑하는 함수 f(x)는 자신의 역수(involution)인 함수의 가장 간단한 예 중 하나입니다.

숫자를 곱하는 것은 그 역수로 나누는 것과 같고 그 반대도 마찬가지입니다.예를 들어 4/5(또는 0.8)을 곱하면 5/4(또는 1.25)로 나누는 것과 같은 결과가 나옵니다.따라서 숫자를 곱한 후에 그 역수를 곱하면 원래의 숫자가 산출됩니다(숫자와 그 역수의 곱은 1이므로).

역수라는 용어는 적어도 æ디아 브리태니커 백과사전의 세 번째 판(1797년)에서 곱이 1인 두 수를 묘사할 때까지 널리 사용되었습니다. 반비례의 기하학적 양은 유클리드의 원소의 1570년 번역에서 역수로 설명됩니다.

곱셈 역순 구문에서 한정자 곱셈은 생략된 후 암묵적으로 이해되는 경우가 많습니다(곱셈 역순과 대조적으로).곱셈 역수는 숫자뿐만 아니라 여러 수학 영역에 걸쳐 정의될 수 있습니다.이러한 경우에 ab ≠ ba가 발생할 수 있습니다. 그러면 "inverse"는 일반적으로 한 요소가 왼쪽과 오른쪽의 역이 둘 다 된다는 것을 의미합니다.

함수 f의 역함수에 대해서도 표기 f가 사용되는 경우가 있는데, 이는 대부분의 함수가 곱셈 역함수와 같지 않은 경우입니다.예를 들어, 승수 역 1/(sin x) = (sin x)는 x의 여집합이며, sin x 또는 arcsin x로 표시되는 x의 역사인이 아닙니다.많은 저자들이 역사적인 이유(예를 들어, 프랑스어에서는 역함수를 비투영 레시프로크(bijection réciproque)라고 한다)와 반대되는 명명 규칙을 선호하기 때문에 용어 차이 역수 대 역수는 이러한 구별을 하기에 충분하지 않습니다.

예제 및 반례

실수에서 0은 0을 곱한 실수가 1을 생성하지 않기 때문에 역수를 갖지 않습니다(0으로 나누는 것은 정의되지 않음).0을 제외하면 모든 실수의 역수는 실수이고, 모든 유리수의 역수는 유리수이며, 모든 복소수의 역수는 복소수입니다.0을 제외한 모든 원소가 곱셈 역수를 갖는 속성은 필드 정의의 일부이며, 이는 모두 예제입니다.반면에 1과 -1 이외의 정수는 정수 역수를 갖지 않으므로 정수는 필드가 아닙니다.

모듈러 산술에서, a의 모듈러 곱셈 역수는 정의되기도 합니다: 그것은 ax ≡ 1 (modn)과 같은 숫자 x입니다.이 곱셈 역수는 a와 n이 공변량인 경우에만 존재합니다.예를 들어, 4 ⋅ 3이 1(mod 11)을 ≡하므로 3 모듈로 11의 역수는 4입니다.확장된 유클리드 알고리즘은 그것을 계산하는 데 사용될 수 있습니다.

이들은 0이 아닌 모든 원소가 곱셈 역수를 갖지만, 그럼에도 불구하고 0의 약수, 즉 xy = 0인 0이 아닌 원소 x, y를 갖는 대수입니다.

정방행렬은 행렬식이 계수환에서 역을 가지는 경우에만 역을 갖습니다.일부 기저에 대해 행렬 A를⁻¹ 갖는 선형 맵은 A를 동일한 기저에 행렬로 갖는 맵의 역함수입니다.따라서 이 경우 함수의 역에 대한 두 개의 다른 개념은 강하게 관련되어 있지만, Ax의 곱셈 역은 Ax가⁻¹ 아니라 (⁻¹Ax)이기 때문에 여전히 일치하지 않습니다.

예를 들어, 함수 $f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}$ ( x ) = x $f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}$ = $f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}$ $f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}$ ⁡ ( $f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}$ {\ $displaystyle f(x$ ) = $x^{i$ } = $e^{i\ln(x))}$ 에서, $\ln$ $\ln$ 은 복소 로그 및 $e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }$ - $e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }$ π의 주 분지입니다 $e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }$ < $e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }$ < $e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }$ π ${\displaystyle e^{-\pi$ } < $x$ < e $^{\pi }$ :

((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

(

((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

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f

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((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

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)

((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

1

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((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

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⁡

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((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

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⁡

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((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

{\displaystyle ((1/f)\circ

f

)

x)

=

1/(f(

)} =

1/e

^{i\ln(

((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

)} = 1/e

^{i\ln(

)} = 1

/e

^{i\ln(

((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

)} = 1/e^{-\

ln(

)} = 1/e^{-\ln(

((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

)} =

x}

삼각함수는 역수 항등식에 의해 연관됩니다. 공접점은 접선의 역수이고, 항등점은 코사인의 역수이고, 항등점은 사인의 역수입니다.

0이 아닌 모든 원소가 곱셈 역수를 갖는 고리는 나눗셈 고리입니다. 마찬가지로 이것이 나눗셈 대수입니다.

복소수

위에서 언급한 바와 같이, 0이 아닌 모든 복소수 $z$ = a + $bi$ 의 역수는 복소수입니다.1/z의 위와 아래를 모두 곱한 복소수 ${\bar {z}}=a-bi$ ¯ = a - ${\bar {z}}=a-bi$ ${\displaystyle {\bar {$ z}}= $a-bi},$ $z{\bar {z}}=\|z\|^{2}$ ¯ = ‖ $z{\bar {z}}=\|z\|^{2}$ ‖ $z{\bar {z}}=\|z\|^{2}$ ${\displaystyle z{\bar {$ z}}=\ $z\^{2$ $실수$ a + $b$ 인 z 제곱의 절대값:

{\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}={\frac {\bar {z}}}={\frac {\bar {z}}{\z\^{2}}a{\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}i.

직감적으로는

{\frac {\bar {z}}{\z\}

크기가 $1$ $1$ 인 복잡한 컨쥬게이트를 제공하므로 $1$ ‖ $\|z\|$ ‖ $\z\$ 로 다시 나누면 크기가 원래 크기의 역수와 같아집니다. 따라서 다음과 같습니다.

{\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\z\^{2}}

특히, z = $1/z={\bar {z}}$ 이면 (z는 단위 크기를 가진다 $1/z={\bar {z}}$ 1 / $1/z={\bar {z}}$ = $1/z={\bar {z}}$ ¯ {\ $displaystyle$ 1 $/z$ = ${\bar$ {z $1/z={\bar {z}}$ 결과적으로허수 단위 ± $i$ 는 곱셈 역수와 같은 덧셈 역수를 가지며, 이 성질을 가진 유일한 복소수입니다.예를 들어 $i$ 의 덧셈 역과 곱셈 역은 각각 - $(i)$ = $-i$ 및 $1/ i$ = $-i$ 입니다.

극형 $z$ = $r (cos$ φ+ $is$ $in$ φ)의 복소수의 경우 $,$ 역수는 단순히 크기의 역수와 각도의 음의 역수를 취합니다.

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos (-\varphi )+i\sin (-\varphi )\right)

미적분학.

실수 미적분학에서 $1/ x$ = $x$ 의 도함수는 -1의 거듭제곱 법칙에 의해 주어집니다.

{\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}

적분에 대한 거듭제곱 법칙(카발리에리의 직교 공식)은 1/x 의 적분을 계산하는 데 사용할 수 없습니다.

\int {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{0}}{0}}+C

대신 적분값은 다음과 같습니다.

\int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,

\int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.

여기서 ln은 자연로그입니다.이를 표시하려면 d

{\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}

{\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}

=

{\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}

{\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y

}=

e^{y

인

x=e^{y}

x =

x=e^{y}

{\

displaystyle

x=

e^{y}

이고 y =

y=\ln x

⁡

y=\ln x

{\

displaystyle

y=\

ln

x

}

인 경우 다음과 같습니다

y=\ln x

{\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}=x\quad \오른쪽 화살표 \quad {\frac {dx}{x}}=dy\[10mu]&\quad \오른쪽 화살표 \quad \int {\frac {dx}{x}}=\int dy=y+C=\ln x+C.\end{aligned}

알고리즘

역수는 긴 나눗셈을 사용하여 손으로 계산할 수 있습니다.

몫 a/b는 먼저 1/b를 계산한 후 a를 곱하여 계산할 수 있기 때문에 많은 분할 알고리즘에서 역수를 계산하는 것은 중요합니다. $f(x)=1/x-b$ ( $f(x)=1/x-b$ ) $f(x)=1/x-b$ = $f(x)=1/x-b$ / $f(x)=1/x-b$ - $f(x)=1/x-b$ ${\displaystyle f(x$ ) = $1$ / x - $b}$ 가 x = 1/b 에서 영점을 갖는다는 점에 주목하여 뉴턴의 방법은 추측 x $x_{0}$ $x_{0}$ 로 시작하여 규칙을 사용하여 이 영점을 찾을 수 있습니다.

{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n}}}=x_{n}-{\frac {1/x_{n}-b}{-1/x_{n}^{2}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).

이 작업은 원하는 정밀도에 도달할 때까지 계속됩니다.예를 들어 정밀도 3자리로 1/17 ≈ 0.0588을 계산하려고 합니다.x = 0.1을 취하면 다음과 같은 시퀀스가 생성됩니다.

x = 0.1(2 - 17 x 0.1) = 0.03

x = 0.03(2 - 17 x 0.03) = 0.0447

x = 0.0447 (2 - 17 x 0.0447) ≈ 0.0554

x = 0.0554 (2 - 17 x 0.0554) ≈ 0.0586

x = 0.0586 (2 - 17 x 0.0586) ≈ 0.0588

일반적인 초기 추측은 b를 2에 가까운 거듭제곱으로 반올림한 다음 비트 시프트를 사용하여 그 역수를 계산함으로써 찾을 수 있습니다.

구성 수학에서 실수 x가 역수를 가지려면 x가 0을 ≠하는 것만으로는 충분하지 않습니다.대신에 0 < r < x.와 같은 유리수 r이 주어져야 합니다. 위에서 설명한 근사 알고리즘의 관점에서, 이것은 y의 변화가 결국 임의로 작아질 것이라는 것을 증명할 필요가 있습니다.

이 반복은 행렬의 역과 같이 더 넓은 종류의 역으로 일반화될 수도 있습니다.

무리수 역수

0을 제외한 모든 실수나 복소수는 역수를 가지며, 특정 무리수의 역수는 중요한 특수한 성질을 가질 수 있습니다.예를 들어, e의 역수(≈ 0.367879)와 황금 비율의 역수(≈ 0.618034)가 있습니다.첫 번째 역수는 자신의 거듭제곱으로 할 때 다른 양수는 더 낮은 수를 생성할 수 없기 때문에 $f(1/e)$ 합니다. f ( $f(1/e)$ / $f(1/e)$ ) ${\displaystyle$ f $(1$ / $e)}$ 는 $f(x)=x^{x}$ ( $f(x)=x^{x}$ = $f(x)=x^{x}$ ${\displaystyle f(x$ ) = $x^{x}$ 의 전역 최소값입니다 $f(x)=x^{x}$ 두 번째 숫자는 역수에 1을 더한 것과 같은 유일한 양수입니다. φ = 1 / $\varphi =1/\varphi +1$ φ $\varphi =1/\varphi +1$ + 1 {\ $displaystyle$ \ $varphi$ = $1/\varphi$ + $1}$ 입니다 $\varphi =1/\varphi +1$ 이 가산 역수는 역수에서 1을 뺀 값과 같은 유일한 음수입니다 $-\varphi =-1/\varphi -1$ - $-\varphi =-1/\varphi -1$ φ = $-\varphi =-1/\varphi -1$ - $-\varphi =-1/\varphi -1$ / $-\varphi =-1/\varphi -1$ φ $-\varphi =-1/\varphi -1$ - $-\varphi =-1/\varphi -1$ ${\displaystyle$ - $\varphi$ = $-1/\varphi -1}.$

함수 ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ ( ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ ) ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ = ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ + ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ ( n ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ + ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ ∈ ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ > ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ ${\textstyle f(n$ )= $n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N},n>0}$ 은 정수만큼 역수와 다른 무리수를 무한히 제공합니다.예를 들어 $f(2)$ $f(2)$ $f(2)$ 는 $f(2)$ 무리수 $2+{\sqrt {5}}$ + 5 ${\$ 2 $+{\sqrt {5}}$ 입니다 $2+{\sqrt {5}}$ 역수 $1/(2+{\sqrt {5}})$ / $1/(2+{\sqrt {5}})$ + 5 $1/(2+{\sqrt {5}})$ ) ${\displaystyle 1/(2$ + ${\sqrt {5}}}$ 은 $1/(2+{\sqrt {5}})$ $-2+{\sqrt {5}}$ 는) - 2 $-2+{\sqrt {5}}$ + $-2+{\sqrt {5}}$ ${\$ + ${\sqrt {5}}$ 으로 $정확히$ 4 ${\displaystyle$ 4 $} 적습니다$ .이러한 무리수는 명백한 속성을 공유합니다. 이들은 정수만큼 다르기 때문에 역수와 같은 분수 부분을 갖습니다.

추가발언

곱셈이 연관성이 있는 경우, 곱셈 역이 있는 원소 x는 영수가 될 수 없습니다(일부 0이 아닌 y, xy = 0인 경우 x는 영수입니다).이를 확인하려면 방정식 xy = 0에 x의 역(왼쪽)을 곱한 다음 연관성을 사용하여 단순화하면 됩니다.연관성이 없는 경우, 이들 디멘션은 반례를 제공합니다.

역수는 성립하지 않습니다. 영수가 아닌 원소는 승수 역수를 가질 수 없습니다.Z 내에서 -1, 0, 1을 제외한 모든 정수는 예제를 제공합니다. 이들은 0의 나눗셈도 아니고 Z에 역수도 없습니다.그러나 만약 고리나 대수가 유한하다면, 영 나눗셈이 아닌 모든 원소 a는 (왼쪽과 오른쪽) 역을 갖습니다.에 대해 먼저 지도 f(x) = ax가 주입형이어야 함을 관찰합니다. f(x) = f(y)는 x = y를 의미합니다.

{\begin{aligned}ax&=ay&\quad \오른쪽 화살표 &\quad ax-ay=0\\&&\quad \오른쪽 화살표 &\quad a(x-y)=0\\&\&\quad \오른쪽 화살표 &\quad x-y=0\&\&\quad \오른쪽 화살표 &\quad x=y.\end{aligned}

별개의 요소는 별개의 요소에 매핑되므로 이미지는 동일한 유한한 수의 요소로 구성되며 맵은 반드시 주관적입니다.구체적으로, ƒ(namely 곱하기 a)는 어떤 원소 x를 1, ax = 1에 매핑하여 x가 a에 대해 역이 되도록 해야 합니다.

적용들

임의의 기저에서 역수 1/q의 확장은 q가 "적합한" 안전 소수, p가 또한 소수인 2p + 1 형태의 소수, 의사 난수의 근원으로 작용할 수 있습니다.확장을 통해 길이 q - 1의 의사 난수 시퀀스가 생성됩니다.

참고 항목

메모들

^ "비등한 평행이동 경로의 기지들은 그들의 고도까지 레트로콜입니다."OED "역수" §3a.Elements XI의 Henry Billingsley 경 번역, 34.
^ Anthony, Dr. "Proof that INT(1/x)dx = lnx". Ask Dr. Math. Drexel University. Retrieved 22 March 2013.
^ Mitchell, Douglas W., "알려진 긴 사이클 길이를 가진 비선형 난수 생성기", Cryptologia 17, 1993년 1월, 55-62.

참고문헌

수학연구소의 Matthews R.A.J. Bulletin of Mathematics와 그 응용 vol. 28 pp 147–148 1992

[1] "비등한 평행이동 경로의 기지들은 그들의 고도까지 레트로콜입니다."OED "역수" §3a.Elements XI의 Henry Billingsley 경 번역, 34.

[2] Anthony, Dr. "Proof that INT(1/x)dx = lnx". Ask Dr. Math. Drexel University. Retrieved 22 March 2013.

[Mitchell-3] Mitchell, Douglas W., "알려진 긴 사이클 길이를 가진 비선형 난수 생성기", Cryptologia 17, 1993년 1월, 55-62.

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