고공역수

수학의 한 분야인 수론에서, 높은 $공역수$는 1보다 크고 방정식에 대한 더 많은 해답을 갖는 양의 $k이다$$.$

${\displaystyle x-\phi(x)=k}$

k$(\displaystyle$ k$)$보다 작거나 1보다 큰 정수입니다.$여기$서 ${\(\displaystyle\phi)$은 오일러의 전체 함수입니다.방정식에는 무한히 많은 해답이 있다

${\displaystyle k}$ $\$ $displaystyle$ k$$=$$ 1

따라서 이 값은 정의에서 제외됩니다.처음 몇 개의 높은 공역 수치는 다음과 같습니다.^[1]

2, 4, 8, 23, 35, 59, 63, 83, 113, 119, 167, 209, 269, 299, 329, 389, 419, 509, 629, 659, 779, 839, 1049, 1169, 1259, 1469, 1649, 1889, ... (OEIS의 시퀀스 A100827)

많은 공역수들은 홀수이다.실제로 8 이후는 위의 모든 숫자가 홀수이고 167 이후는 29 modulo ^{[citation needed]}30과 일치합니다.

이 개념은 고도로 합성된 숫자의 개념과 다소 유사합니다.높은 합성수가 무한히 많듯이, 높은 공역수 또한 무한히 많습니다.정수 인수분해는 숫자가 커질수록 어려워지기 때문에 계산이 어려워집니다.

예

x$(\displaystyle$ x$)$의 동위원소는${\displaystyle x}$ - ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ $){displaystyle x-\phi (x$로 정의됩니다.예를 들어 x$(\displaystyle$x$)$와 공통되는 최소1개의 소수인 x$(\displaystyle$ x$)$ $이하$의 양의 정수수는 4입니다.6:2,3,4,6과 공통되는 소인수8의 동위원소도 4인데, 이번에는 2, 4, 6, 8의 정수를 사용합니다.동위원소 4를 갖는 정확히 두 개의 숫자, 6과 8이 있다.공역 2와 공역 3(각 케이스에 하나씩)을 갖는 숫자가 적기 때문에 4는 높은 공역 숫자입니다.

(OEIS의 시퀀스 A063740)

k(공역 k는 굵은 글씨로 표시)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
x – µ(x) = k에 대한 솔루션 수	1	∞	1	1	2	1	1	2	3	2	0	2	3	2	1	2	3	3	1	3	1	3	1	4	4	3	0	4	1	4	3

n	ks (${\displaystyle k}$) ${\displaystyle =}$ \ $displaystyle k$- \$phi$ (k) $=$n } 。	${\displaystyle k}$- ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle k}$ ) $=$ {$displaystyle k-\phi ($k)=$n}($OEIS의 시퀀스 A063740)과 $같은{\displaystyle }$ ks 수
0	1	1
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...(모든 소수)	∞
2	4	1
3	9	1
4	6, 8	2
5	25	1
6	10	1
7	15, 49	2
8	12, 14, 16	3
9	21, 27	2
10		0
11	35, 121	2
12	18, 20, 22	3
13	33, 169	2
14	26	1
15	39, 55	2
16	24, 28, 32	3
17	65, 77, 289	3
18	34	1
19	51, 91, 361	3
20	38	1
21	45, 57, 85	3
22	30	1
23	95, 119, 143, 529	4
24	36, 40, 44, 46	4
25	69, 125, 133	3
26		0
27	63, 81, 115, 187	4
28	52	1
29	161, 209, 221, 841	4
30	42, 50, 58	3
31	87, 247, 961	3
32	48, 56, 62, 64	4
33	93, 145, 253	3
34		0
35	75, 155, 203, 299, 323	5
36	54, 68	2
37	217, 1369	2
38	74	1
39	99, 111, 319, 391	4
40	76	1
41	185, 341, 377, 437, 1681	5
42	82	1
43	123, 259, 403, 1849	4
44	60, 86	2
45	117, 129, 205, 493	4
46	66, 70	2
47	215, 287, 407, 527, 551, 2209	6
48	72, 80, 88, 92, 94	5
49	141, 301, 343, 481, 589	5
50		0

소수점

소수인 처음 몇 개의 높은 공역수는 다음과 같다.

2, 23, 47, 59, 83, 113, 167, 269, 419, 509, 659, 839, 1049, 1259, 1889, 2099, 2309, 2729, 3359, 3989, 4289, 4409, 5879, 6089, 6719, 9029, 9239, ... (시퀀스 A105440)

「 」를 참조해 주세요.

• 높은 합계수

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