이차상호주의

수 이론에서 이차적 상호주의 법칙은 이차적 방정식 모듈로 소수들의 용해성을 위한 조건을 제시하는 모듈형 산술에 관한 정리다. 미묘하기 때문에 제형이 많지만 가장 표준적인 설명은 다음과 같다.

이 법칙은 보충제와 함께 어떤 레전드르 기호를 쉽게 계산할 수 있으므로, $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$≡ 형식의 2차 방정식에 대한 정수$$ 용액이 ${\displaystyle 있는지}$ 판단할 수 있다. mod p ${\$ 홀수 $프라임{\displaystyle }$p {\$displaystyp$ 즉, "perfe"를 결정할 수 있다.ct square" $modulo{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p$ 그러나 이는 비건설적인 결과로서, 특정 해결책을 찾는 데 전혀 도움이 되지 않는다. 이를 위해서는 다른 방법이 필요하다. 예를 들어, 오일러의 기준을 사용한$$ $사례{\displaystyle }$ p${\displaystyle 3}$ 3 ${\displaystyle mod\mathrm{}}$ 4$${\$displaystyle p\equiv$ 3${\bmod{4}$의 경우, 2차 잔류물의$$ "제곱근" $modulo{\displaystyle }$ p ${\$$displaystyle$ p$\},$ $,$

${\displaystyle \pm a^{\frac {p+1}{4}}}}$

정말,

${\displaystyle \left(\pm a^{\frac {p+1}{4}}}}^{2}}=a^{\frac{p+1}{2}}=a\cdot a^{\p-1}{2}}\equiv a\left({\frac {a}{p}\오른쪽)=a{\bmod {p}}}.}$

이 공식은 ${\displaystyle a}$이(가) 이차상호주의 법칙을 이용해 확인할 수 있는 2차적 잔류물임을 미리 알고 있는 경우에만 효과가 있다.

이차적 상호주의 정리는 오일러와 레전드르에 의해 추측되었고, 가우스에게 처음으로 증명되었는데,^[1] 가우스는 그것을 그의 디스퀴지스 산수화와 그의 논문에서 '근본적 정리'라고 언급하면서 글을 썼다.

근본적인 정리는 확실히 그 유형 중에서 가장 우아한 것 중의 하나로 간주되어야 한다. (151장)

개인적으로 가우스는 그것을 "황금 정리"^[2]라고 불렀다. 그는 그것에 대한 여섯 가지 증거를 발표했고, 그의 사후 논문에서 두 가지가 더 발견되었다. 현재 240개가 넘는 출판된 증거들이 있다.^[3] 가장 짧은 것으로 알려진 증거는 법의 보충물에 대한 짧은 증거와 함께 아래에 포함되어 있다(-1과 2의 Legendre 기호).

상위권력에 대한 상호주의 법칙을 일반화하는 것은 수학의 선도적인 문제였으며, 현대 대수학, 수 이론, 대수 기하학의 많은 기계들의 발전에 결정적이 되어 아르틴 상호주의, 계급장 이론, 그리고 랭글랜드 프로그램을 정점으로 하고 있다.

동기부여 사례

2차 상호주의는 완벽한 정사각형 수를 포함하는 어떤 미묘한 요인화 패턴에서 발생한다. 이 절에서는 일반적인 사례로 이어지는 예를 제시한다.

인수² n - 5

다항식 $f{\displaystyle (n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$- 5 ${\displaystyle f(n)=n^{2}-5}$ 및 $n$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}.}$ ${\displaystyle n. {\$in $\mathb {$N}}에 대한 값을 고려하십시오$.$ 이러한$$ 값의 초기 인자화는 다음과 같이 제공된다.

n	${\displaystyle f(n)}$			n	${\displaystyle f(n)}$			n	${\displaystyle f(n)}$
1	−4	−22		16	251	251		31	956	22⋅239
2	−1	−1		17	284	22⋅71		32	1019	1019
3	4	22		18	319	11⋅29		33	1084	22⋅271
4	11	11		19	356	22⋅89		34	1151	1151
5	20	22⋅5		20	395	5⋅79		35	1220	22⋅5⋅61
6	31	31		21	436	22⋅109		36	1291	1291
7	44	22⋅11		22	479	479		37	1364	22⋅11⋅31
8	59	59		23	524	22⋅131		38	1439	1439
9	76	22⋅19		24	571	571		39	1516	22⋅379
10	95	5⋅19		25	620	22⋅5⋅31		40	1595	5⋅11⋅29
11	116	22⋅29		26	671	11⋅61		41	1676	22⋅419
12	139	139		27	724	22⋅181		42	1759	1759
13	164	22⋅41		28	779	19⋅41		43	1844	22⋅461
14	191	191		29	836	22⋅11⋅19		44	1931	1931
15	220	22⋅5⋅11		30	895	5⋅179		45	2020	22⋅5⋅101

$f{\displaystyle (n}$) ${\displaystyle f(n)}$을(를) 나누는 주요 $요인{\displaystyle }$$$p {\$displaystyle$ $p$,$$5 {\$displaystyle p$=2,$5}$이며$,$ 최종 자릿수가 $1인{\displaystyle \mathrm{}}$ 모든 프라임은 p${\displaystyle }$= ${\displaystyle$ 1$}$ $또는$ 9 ${\displaystystyle 9}$이며, $3$으로 끝나는 프리임이 나타나지$$ 않는다. Now, ${\displaystyle p}$ is a prime factor of some ${\displaystyle n^{2}-5}$ whenever ${\displaystyle n^{2}-5\equiv 0{\bmod {p}}}$, i.e. whenever ${\displaystyle n^{2}\equiv 5{\bmod {p}},}$ i.e. whenever 5 is a quadratic residue modulo ${\displaystyle p}$$$. This happens for ${\displaystyle p=2,5}$ and those primes with ${\displaystyle p\equiv 1,4{\bmod {5}},}$ and the latter numbers ${\displaystyle 1=(\pm 1)^{2}}$ and ${\displaystyle 4=(\pm 2)^{2}}$ are precisely the quadratic residues modulo ${\disp$$레이스타일 5$ 따라서 $p{\displaystyle }$= 2,${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle p=2,5}$을$($를) 제외하고, $만약$$$f {\$displaystyle$ p$}$이(가$$) 2차적 잔류물 $모듈$로 $p{\displaystyle }$$${\$displaystyle p}$이면 5 {\$displaystyle$ p}이(가) 2차적 잔류물 모듈로 p ${\$daystylease $5}$임을$$ 알 수 있다$.$

2차 상호주의 법칙은 모든 primary q에 $대해$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= n ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}q}$ ${\displaystyle f(n)=n^{2}-q}$의 primary divisors의 유사한 특성을 부여하며, 이는 모든 정수 $q{\displaystyle }$ ${\displaysty q}$에 대한 특성화를 유도한다$.$

2차 잔류물 사이의 패턴

p를 이상한 전성기가 되도록 하자. 숫자 modulo p는 정사각형(mod p)에 결합될 때마다 2차적 잔류물이며, 그렇지 않으면 2차적 비잔류다("문맥에서 명확하면 4차적"을 삭제할 수 있다) 여기서는 특별한 경우로 0을 제외한다. 그 후 유한한 순서 p의 복수 집단이 순서 p-1의 순환이라는 사실의 결과로서, 다음 문장은 다음을 유지한다.

• 2차 잔류물과 비잔여물의 수가 동일해야 한다.
• 2차 잔류물 2개의 제품은 잔류물이고, 잔류물과 비잔류물은 비잔류물이며, 비잔류 2개의 제품은 잔류물이다.

의심을 피하기 위해, 이러한 진술은 계수가 원시적이지 않으면 유지되지 않는다. 예를 들어, 승법군 모듈로 15에는 3개의 2차 잔류물(1, 4 및 9)만 있다. 더욱이 7과 8은 2차 비재배지만, 그들의 제품 7x8 = 11도 프라임 케이스와 대조적으로 2차 비재배다.

이차 잔류물은 다음 표의 항목이다.

정사각형 모드의 소수

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
n2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	441	484	529	576	625
mod 3	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1
mod 5	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0
mod 7	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2
mod 11	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9
mod 13	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1	0	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1
모드 17	1	4	9	16	8	2	15	13	13	15	2	8	16	9	4	1	0	1	4	9	16	8	2	15	13
mod 19	1	4	9	16	6	17	11	7	5	5	7	11	17	6	16	9	4	1	0	1	4	9	16	6	17
mod 23	1	4	9	16	2	13	3	18	12	8	6	6	8	12	18	3	13	2	16	9	4	1	0	1	4
mod 29	1	4	9	16	25	7	20	6	23	13	5	28	24	22	22	24	28	5	13	23	6	20	7	25	16
mod 31	1	4	9	16	25	5	18	2	19	7	28	20	14	10	8	8	10	14	20	28	7	19	2	18	5
모드 37	1	4	9	16	25	36	12	27	7	26	10	33	21	11	3	34	30	28	28	30	34	3	11	21	33
mod 41	1	4	9	16	25	36	8	23	40	18	39	21	5	32	20	10	2	37	33	31	31	33	37	2	10
mod 43	1	4	9	16	25	36	6	21	38	14	35	15	40	24	10	41	31	23	17	13	11	11	13	17	23
mod 47	1	4	9	16	25	36	2	17	34	6	27	3	28	8	37	21	7	42	32	24	18	14	12	12	14

이 테이블은 50회 미만의 홀수일 경우 완성된다. 숫자 m이 2차적 잔류물 모드의 p 중 하나인지 확인하려면 p m(mod p)과 0 ≤ a < p를 찾는다. a가 p행인 경우 m은 잔류물(mod p)이고, a가 테이블의 p행 안에 없으면 m은 비residue(mod p)이다.

이차적 상호주의 법칙은 표에서 발견되는 특정 패턴이 일반적으로 사실이라는 것이다.

레전드르 버전

데이터를 구성하는 또 다른 방법은 다음 표에서 설명한 것처럼 어떤 프리임이 잔류물 모드인지 확인하는 것이다. q 열은 2차 잔류물(mod p)인 경우 R이고, n열인 경우 N이다.

행 또는 열 또는 둘 다 both 1 (mod 4)인 경우, 항목은 파란색 또는 녹색이고, 행과 열이 모두 ≡ 3 (mod 4)인 경우 노란색 또는 주황색이다.

파란색과 녹색 항목은 대각선을 중심으로 대칭이다. p행의 q열은 q열의 입력이 R(resp N)인 경우에만 R(resp N)이다.

반면에 노란색과 주황색은 대칭이다. p 행의 q 열에 대한 항목은 q 행의 항목이 N(resp R)인 경우에만 R(resp N)이다.

상호주의 법칙은 이러한 패턴이 모든 p와 q를 유지한다고 말한다.

레전설

R	q는 잔류물(mod p)	q ≡ 1 (mod 4) 또는 p ≡ 1 (mod 4) (또는 둘 다)
N	q는 nonresidue(mod p)이다.
R	q는 잔류물(mod p)	q ≡ 3 (mod 4)과 p ≡ 3 (mod 4) 둘 다
N	q는 nonresidue(mod p)이다.

		q
		3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
p	3		N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N	R	R	N	N	R
	5	N		N	R	N	N	R	N	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N	R	N	R	N	R	N
	7	N	N		R	N	N	N	R	R	N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	R	N	N	N
	11	R	R	N		N	N	N	R	N	R	R	N	N	R	R	R	N	R	R	N	N	N	R	R
	13	R	N	N	N		R	N	R	R	N	N	N	R	N	R	N	R	N	N	N	R	N	N	N
	17	N	N	N	N	R		R	N	N	N	N	N	R	R	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N
	19	N	R	R	R	N	R		R	N	N	N	N	R	R	N	N	R	N	N	R	N	R	N	N
	23	R	N	N	N	R	N	N		R	R	N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	N	N	N
	29	N	R	R	N	R	N	N	R		N	N	N	N	N	R	R	N	R	R	N	N	R	N	N
	31	N	R	R	N	N	N	R	N	N		N	R	N	R	N	R	N	R	R	N	N	N	N	R
	37	R	N	R	R	N	N	N	N	N	N		R	N	R	R	N	N	R	R	R	N	R	N	N
	41	N	R	N	N	N	N	N	R	N	R	R		R	N	N	R	R	N	N	R	N	R	N	N
	43	N	N	N	R	R	R	N	R	N	R	N	R		R	R	R	N	R	N	N	R	R	N	R
	47	R	N	R	N	N	R	N	N	N	N	R	N	N		R	R	R	N	R	N	R	R	R	R
	53	N	N	R	R	R	R	N	N	R	N	R	N	R	R		R	N	N	N	N	N	N	R	R
	59	R	R	R	N	N	R	R	N	R	N	N	R	N	N	R		N	N	R	N	R	N	N	N
	61	R	R	N	N	R	N	R	N	N	N	N	R	N	R	N	N		N	N	R	N	R	N	R
	67	N	N	N	N	N	R	R	R	R	N	R	N	N	R	N	R	N		R	R	N	R	R	N
	71	R	R	N	N	N	N	R	N	R	N	R	N	R	N	N	N	N	N		R	R	R	R	N
	73	R	N	N	N	N	N	R	R	N	N	R	R	N	N	N	N	R	R	R		R	N	R	R
	79	N	R	N	R	R	N	R	R	N	R	N	N	N	N	N	N	N	R	N	R		R	R	R
	83	R	N	R	R	N	R	N	R	R	R	R	R	N	N	N	R	R	N	N	N	N		N	N
	89	N	R	N	R	N	R	N	N	N	N	N	N	N	R	R	N	N	R	R	R	R	N		R
	97	R	N	N	R	N	N	N	N	N	R	N	N	R	R	R	N	R	N	N	R	R	N	R

2차 상호주의에 대한 보충제

그 보충제들은 이차적 상호주의의 특정 사례에 대한 해결책을 제공한다. 완전한 정리에 의존할 필요 없이 부분적인 결과로 인용되는 경우가 많다.

q = ±1 및 첫 번째 보충제

사소한 것 1은 모든 소수에게 2차적 잔류물이다. 그 문제는 -1에게 더 흥미로워진다. 표를 조사하면 5행, 13행, 17행, 29행, 37행, 41행에서 -1을 찾지만 3, 7, 11행, 19행, 23행, 31행, 43행, 47행에서는 찾을 수 없다. 전자의 프리타임 세트는 모두 1모듈로 4이고, 후자는 3모듈로 4이다.

2차 상호주의에 대한 첫 번째 보충판. $congruence{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}1}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle md}$ p$${\$displaystyle x^{2}\equiv -1{\bmod{p}}}$은(는$)$ p {\$displaystyle p}$이(가) 1 modulo 4와 일치해야 해결 가능하다.

q = ±2 및 두 번째 보충제

표를 조사하면 7행, 17행, 23행, 31행, 41행, 47행 2개를 찾지만 3행, 5행, 11행, 13행, 19행, 29행, 37행, 43행은 아니다. 전자의 소수점은 모두 all ±1 (mod 8)이고, 후자는 모두 ≡ ±3 (mod 8)이다. 이 되다

이차적 상호주의에 대한 두 번째 보충판. 합치 x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle mod}$ p ${\$ x$^{2}\equiv$ 2${\bmod {p}}$은(는) p {\$displaystyle$ p$}$이(가) ±1 modulo 8에 합치된 경우에만 해결할 수 있다$$.

-2열은 3, 11, 17, 19, 41, 43열이지만 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37, 47열은 아니다. 전자는 ≡ 1 또는 ≡ 3 (mod 8), 후자는 ≡ 5, 7 (mod 8)이다.

q = ±3

3행은 11행, 13행, 23행, 37행, 47행이지만 5, 7, 17행, 19행, 29행, 31행, 41행, 43행은 아니다. 전자는 ≡ ±1 (mod 12)이고 후자는 모두 ≡ ±5 (mod 12)이다.

-3행은 7, 13, 19, 31, 37, 43행이지만 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47행은 아니다. 전자는 ≡ 1 (모드 3)이고 후자는 ≡ 2 (모드 3)이다.

유일한 잔류물(모드 3)이 1이기 때문에 -3은 2차 잔류물 모듈로 모든 프라임에서 잔류물 모듈로 3이다.

q = ±5

5행은 11, 19, 29, 31, 41행이지만 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43, 47행은 아니다. 전자는 ≡ ±1 (mod 5)이고 후자는 ≡ ±2 (mod 5)이다.

유일한 잔류물(모드 5)은 ±1이므로, 5는 모든 프라임에서 2차 잔류물 모듈로 잔류물 모듈로, 즉 잔류물 모듈로 5가 잔류물 모듈이다.

-5행은 3, 7, 23, 29, 41, 43, 47행이지만 11, 13, 17, 19, 31, 37행은 아니다. 전자는 1, 3, 7, 9(모드 20)이고 후자는 11, 13, 17, 19(모드 20)이다.

상위 q

-3과 5에 대한 관측은 계속 유지된다: -7은 잔류물 모듈로 p가 잔류물 모듈로 7, -11은 잔류물 모듈로 p가 잔류물 모듈로 11인 경우, 13은 잔류물(mod p)인 경우 및 p가 잔류물 모듈로 13인 경우에만 잔류물(mod p)이다. 각각 합치법 12와 20에 따라 달라지는 3과 -5의 2차 문자에 대한 보다 복잡해 보이는 규칙은 단순히 첫 번째 부록으로 작업하는 -3과 5에 대한 규칙일 뿐이다.

예. -5가 잔류물(mod p)이 되려면 5와 -1이 모두 잔류물(mod p)이거나 둘 다 비잔여물(mod p)이어야 한다. 즉, p ≡ ±1 (mod 5)과 p ≡ ±2 (mod 4)와 p ≡ 3 (mod 4)이다. 중국의 나머지 정리를 사용하면 이것들은 p ≡ 1, 9 (mod 20) 또는 p ≡ 3, 7 (mod 20)과 같다.

-3과 5에 대한 규칙의 일반화는 가우스의 이차적 상호주의 성명이다.

정리명세서

이차적 상호주의(가우스의 성명). $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\$${4$$\}\}\},$ congruence $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle {}^{}p}$ p ${\displaystyle q}$ ${\$이(가) 용해$$ 가능한 경우에만 conguence x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ q ${≡$ p q}이 해결$$ 가능하다. If ${\displaystyle q\equiv 3{\bmod {4}}}$ and ${\displaystyle p\equiv 3{\bmod {4}}}$, then the congruence ${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$ is solvable if and only if ${\displaystyle x^{2}\equiv -q{\bmod {p}}}$ is solvable.

2차 상호주의(결합된 성명). Define ${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q}$. Then the congruence ${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$ is solvable if and only if ${\displaystyle x^{2}\equiv q^{*}{\bmod {p}}}$ is solvable.

2차적 상호주의(레전드르의 성명). p 또는 q가 1 modulo 4와 일치할 경우: ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$q ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle mod}$ p ${\$은(는) $x{\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ p ${\displaystyle mod}$ {\$displaysty$ x$^{2}\equiv$ p${\bmod}}}}$이 해결 가능한$$ 경우에만 해결$$ 가능하다. p와 q가 3 modulo 4와 일치할 경우: ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$≡ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle mod}$ p$${\$displaystyle x^{2}\equiv q{\bmod{p}}}$은(는) ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle q}$ ${\$ p${\bmod}}}}}$을(은)할$$ 수 없는 경우에만 해결 가능하다$$.

마지막은 바로 위의 서론에서 언급된 현대적 형식과 동일하다. 그것은 레전드레의 진술과 가우스의 진술이 동등하다는 것을 증명하기 위한 간단한 연습이다. – 그것은 첫 번째 보충물과 잔류물 및 비회수량에 대한 사실만을 필요로 한다.

증명

보아하니, 지금까지 알려진 가장 짧은 증거는 B에 의해 발표되었다. 미국 수학 월간지의 베클리치.^[4]

보충제의 증거

위 $$증명에 사용된 -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$의 범례 기호 값은 오일러의 기준에서 직접 다음과 같다.

${\displaystyle \frac {-1}{p}\오른쪽)\equiv(-1)^{\frac {p-1}{2}}{\bmod}}}}$

오일러의 기준으로, 그러나 이 조합의 양쪽은${\displaystyle }$± $[\displaystyle \pm 1}$ 형식의 숫자이므로 동일해야 한다$.$

$2{\displaystyle }$ ${\displaystyle 2}$이(가) ${\displaystyle {2차적\mathrm{}}^{}}$ 잔류물인지 아닌지는 x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle x,y\in \mathb {Z} _{p}$ 등식이$$ x 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyx$^{$2}+y^2}$의 해법 개수를 알면 결론을 내릴 수 있다$$. Namely, all its solutions where ${\displaystyle xy\neq 0,x\neq \pm y}$ can be grouped into octuplets of the form ${\displaystyle (\pm x,\pm y),(\pm y,\pm x)}$, and what is left are four solutions of the form ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1)}$ and possibly four additional 여기서 x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle \mathrm{y}}$= 0 ${\displaystyle x^{2}=2,y=0$$}$ 및${\displaystyle }x{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle 2}${\$displaystyle$x=$0,y^{2}=2$의 용액은 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystystyle$ 2$}$이면 정확하게 존재한다. $즉{\displaystyle \mathrm{}}$$,$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle 2}$은(는) 이 방정식의 해법$$수가 8 {\$displaystyle 8}$로 분할될 경우 정확히 2차적 잔류물이다$.$ 그리고 이 방정식은 $합리적$인 수: $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$y =${\displaystyle t}$ =${\displaystyle 1}$ ${\displaysty x=a+1,y=at+1}$에 대해 여기서 해결할 수 있다${\displaystyle .<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; x=a+1,y=at+1\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/e906774a733b69c733e360e4e4e4ea3bc91ce3fa"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:21.021ex;\; height:2.509ex;">}$$(\\displaystyle a\neq$ 0$}($두${\displaystyle \mathrm{솔루션}}$(${\displaystyle 1,}$ ±${\displaystyle }$1 ) ${\displaystyle(1,\pm 1)}$을(를) 뺀 다음,$$ 원래 방정식이 로 변환된다.

${\displaystyle a=-{\frac {2(t+1)}{{(t^{2}+1)}}.}$

여기서 $t{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle t}$은 분모가 0이 되지 않는 값을 가질 수 있으며$$, 분모는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle +}$ ( -${\displaystyle \frac{}{}}$1${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$}\displaystyle 2) $가능성$$($즉$$, - 1 {\$displaystystystyle$ $-1$}이 잔류물인$$ 경우$$ $}$을 $만들지{\displaystyle \mathrm{}}$ $않는$ 경우$$ 0$}$ -) -을 만들 수 있다.${\displaystyle }$$t{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle t=-1}$을(를) 하나 더$$제외하는 {\$displaystyle$ a$\}$ 그래서 있다.

${\displaystyle p-\좌측(1+\좌측)\frac {-1}{p}\우측)-1}$

$t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t$에 대한 가능성, 즉 제외된 두 솔루션과 함께 원래 방정식의 $전체{\displaystyle }$ p${\displaystyle \frac{}{}}$-${\displaystyle }$( - ${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$ 솔루션이$$ 있다. 따라서 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle 2$$}$은(는) $8{\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle 8}$이(가) p - (${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$ ${\displaystyle {p\frac{}{}}^{}}$- ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}^{}}$ ${\$을(를) 분할하는$$ 경우에만 잔류 $모듈$로$,$ 위에서 설명한 상태의 재구성이다$.$

역사 및 대체 진술

그 정리는 현대적인 형태 이전에 여러 가지 방법으로 공식화되었다: 오일러와 레전드레는 가우스의 일치 표기법을 가지고 있지 않았고, 가우스도 레전드르 기호를 가지고 있지 않았다.

이 글에서 p와 q는 항상 구별되는 양의 홀수 소수, x와 y는 불특정 정수를 가리킨다.

페르마

페르마트는 프라임을 2차적 형태로 표현하는 것에 대한 많은 이론들을 증명했다^[5](또는 증명했다고 주장함).^[6]

${\displaystyle{\begin{정렬}p=x^{2}+y^{2}\qquad&\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad{\text{또는}}\quad p\equiv 1{\bmod{4}}\\p=x^{2}+2y^{2}\qquad&.\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad{\text{또는}}\quad p\equiv 1,3{\bmod{8}}\\p=x^{2}+3y^{2}\qquad&.\Longleftrightarrow \qquad p=3\quad{\text{또는}}\quad p\equiv 1{\bmod{3}}\\\end{정렬}}}.$

그는 이차적 상호주의 법칙을 언급하지 않았지만 -1, ±2, ±3의 경우는 이것들과 그의 다른 이론들에서 쉽게 추론된다.

또 프라임 넘버 p가 7로 끝나고(베이스 10에서) 프라임 넘버 q가 3으로, p q q q 3(모드 4에서)가 3으로 끝난다면 그때그때의 증거를 갖고 있다고 주장했다.

${\displaystyle pq=x^{2}+5y^{2}.}$

오일러는 추측했고 라그랑쥬는 그것을^[7] 증명했다.

${\displaystyle {\begin}p&\equiv 1,9{\bmod {20}\quad \longrightarrow \quad p=x^{2}+5y^{2}}}\\p,q&\equiv 3,7{\bmod {20}\quad \longrightarrow \quad pq=x^{2}+5y^{2}}}\end{정렬}}}$

페르마의 이것들과 다른 진술들을 증명하는 것은 수학자들을 상호주의 정리까지 이끈 것 중의 하나였다.

오일러

현대식 표기법으로 번역된 오일러는 구별되는 홀수 p와 q에 대해 다음과 같이 말했다.

1. q ≡ 1 (mod 4)인 경우, p ≡ b (mod q)와² 같은 정수 b가 존재하는 경우에만 q는 2차 잔류물(mod p)이다.
2. q ≡ 3 (mod 4)인 경우, q는 2차적 잔류물(mod p)이며, p b ±b² (mod 4q)와 같이 q로 분할되지 않고 홀수인 정수 b가 존재하는 경우에만 해당된다.

이것은 이차적 상호주의에 해당한다.

그는 그것을 증명할 수 없었지만, 그는 두 번째 보충판을 증명했다.^[9]

레전드르와 그의 상징

Fermat은 p가 소수이고 a가 정수라면,

${\displaystyle a^{p}\equiv a{\bmod {p}.}$

따라서 p가 a를 분할하지 않는 경우(예: 아래의 아일랜드와 로젠 참조) 잔류물 modulo p가 필드를 형성하고, 따라서 특히 곱셈 그룹이 주기적이라는 불분명한 사실(예를 들어, 아래의 아일랜드와 로젠 참조)을 사용하여 2차 방정식에 대한 최대 두 가지 해법이 있을 수 있다.

${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1{\bmod {p}}.}$

Legendre는^[10] a와 A가 pr 1 (mod 4)과 b와 B의 양수 ≡ 3 (mod 4)을 나타내도록 하고, 함께 이차적 상호주의에 해당하는 여덟 가지 이론의 표를 제시한다.

정리	언제	그 뒤를 잇다
I	${\displaystyle b^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\bmod {a}}$	${\displaystyle a^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\bmod{b}}}$
II.	${\displaystyle a^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\bmod {b}}$	${\displaystyle b^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\bmod{a}}$
III	${\displaystyle a^{\frac {A-1}{2}}\equiv 1{\bmod{A}}$	${\displaystyle A^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\bmod {a}}$
IV	${\displaystyle a^{\frac {A-1}{2}}\equiv -1{\bmod{A}}$	${\displaystyle A^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\bmod{a}}$
V	${\displaystyle a^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\bmod{b}}}$	${\displaystyle b^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\bmod {a}}$
VI	${\displaystyle b^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\bmod{a}}$	${\displaystyle a^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\bmod {b}}$
7세	${\displaystyle b^{\frac {B-1}{2}}\equiv 1{\bmod {B}}$	${\displaystyle B^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\bmod{b}}}$
8세	${\displaystyle b^{\frac {B-1}{2}}\equiv -1{\bmod {B}}$	${\displaystyle B^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\bmod{b}}}$

그는 그 서식의 표현들 때문에 그렇게 말했다.

${\displaystyle N^{\frac {c-1}{2}}:{\bmod {c},\qquad \gcd(N,c)=1}$

그는 그들을 다음과 같이 축약할 정도로 자주 나타날 것이다.

${\displaystyle \left({\frac{{N}{c}\오른쪽)\equiv N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod}=\pm 1.}$

이것은 현재 레전드르 기호로 알려져 있으며, 이와 동등한^[11][12] 정의가 오늘날 사용된다: 모든 정수 a와 모든 홀수 primes p.

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\bmod {p}}\\1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and }}\exists x:a\equiv x^{2}{\bmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and there is no such }}x.\end{case}}}$

레전드르의 이차적 상호주의 버전

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 1{\bmod {4}}\quad {\text{ or }}\quad q\equiv 1{\bmod {4}}\\-\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 3{\bmod {4}}\quad {\text{ and }}\quad q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

그는 이러한 것들이 결합될 수 있다는 점에 주목한다.

${\displaystyle \left({\frac{p}}{q}\오른쪽)\left\frac\frac {q}{p}}}=(-1)^{\frac{p-1}{2}}:{\frac {q-1}{2}}.}$

많은 증거들, 특히 가우스의 보조정리법에 근거한 증거들은 이 공식을 명시적으로 계산한다.^[13]

범례 기호를 사용한 보조 법칙

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-1}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&p\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&p\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

이 두 가지 보충제로부터 다음과 같은 2차 문자 -2에 대한 제3차 상호주의 법칙을 얻을 수 있다.

-2가 2차 잔류물인 경우 -1 또는 2는 2차 잔류물 또는 비잔여물 모두: ${\displaystyle mod}$ p ${\$

따라서 : ${\displaystyle \frac{}{}}$- 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \text{또는}}$ ${\displaystyle \frac{{p\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle 2\frac{{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{8}{}}$ ${\frac{p-1}{2}}{\text{{} 또는 }{\frac{p^{2$}-$1}{8}}}}$ 둘 다 짝수이거나$$ 둘 다 홀수인 것이다. 이 두 가지 표현들의 합은

${\displaystyle \frac{p^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\displaystyle \frac{p}{}}$- ${\displaystyle \frac{5}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ 정수인$$ {\$frac$ {p^}+4p-5}{8}}}. 그러므로

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}+4p-5}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

레전드레가 상호주의를 증명하려는 시도는 그의 다음과 같은 정리를 바탕으로 한다.

레전드레의 정리. a, b, c는 세 쌍 중 어느 한 쌍이라도 비교적 원시적인 정수가 되도록 하라. 또한 ab, bc 또는 ca 중 적어도 하나가 음수라고 가정한다(즉, 모두 같은 기호를 가지고 있지 않다). 만약

${\displaystyle {\bmod}u^{2}&\equiv -bc{\bmod{a}\\v^{2}&\bmod{b}\w^{2}\equiv -ab{\cmod}\end{liged}}}}}$

해결 가능하다면 다음 방정식은 서로 다른 정수로 해결된다.

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0.}$

예. Theorem I is handled by letting a ≡ 1 and b ≡ 3 (mod 4) be primes and assuming that ${\displaystyle \left({\tfrac {b}{a}}\right)=1}$ and, contrary the theorem, that ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)=-1.}$ Then ${\displaystyle x^{2}+ay^{2}-bz^$${2}=0}$에는 해결책이$$ 있고, 합치(모드 4)를 취하면 모순이 생긴다.

이 기법은 정리 8세에게는 통하지 않는다. B ≡ B ≡ 3 (모드 4)으로 하고 가정한다.

${\displaystyle \왼쪽({\frac {B}{b}\오른쪽)=\왼쪽({\frac {b}{B}\오른쪽)=-1.}$

그런 다음 p ≡ 1 (mod 4)과 같은 또 다른 prime p ≡ 1 (mod 4)이 있다면.

${\displaystyle \왼쪽({\frac {p}{b}\오른쪽)=\왼쪽({\frac {p}{B}\오른쪽)=-1,}$

${\displaystyle \mathrm{B}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 -${\displaystyle {}^{}}$p ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= 0 ${\displaystyle Bx^{2}+by^{2}-pz^{2}=0}$의 해결성은 모순(mod 4)으로 이어진다$$. 그러나 Legendre는 그러한 prime p가 있어야 한다는 것을 증명할 수 없었다; 그는 나중에 필요한 모든 것은 다음과 같다는 것을 보여줄 수 있었다.

레전드레의 보조정리. p가 1 modulo 4에 해당하는 prime이라면 (p${\displaystyle \frac{q}{}}$)${\displaystyle }$= - 1. ${\displaystyle \left({\$tfrac {$p}{q}\오른쪽)=-1$과 같은 이상한 prime q가 존재한다$.$$}$

하지만 그도 그걸 증명할 수 없었어 힐버트 기호(아래)는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= 0 ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$에 대한 해결책의 존재에 기초한 기법이 어떻게 작동하도록 만들어질 수 있는지$$ 논한다.

가우스

가우스는 보충법을 먼저 증명한다^[14]. 그는 ±3과 ±5의 정리를 증명하여 유도의 기초를 확립한다^[15]. 그는 +3 또는 -5보다 -3과 +5에 대해 진술하는 것이 쉽다는 점에 주목하여^[16] 다음과 같은 형태로 일반 정리를 기술한다^[17].

p가 4n + 1 형식의 프라임이라면 p이고, p가 4n + 3 형태라면 -p는 모든 프라임의 2차 잔류물(resp. nonresidue)이며, 양성 기호와 함께 p의 잔류물(resp. nonresidue)이다. 다음 문장에서 그는 그것을 "근본적인 정리"(가우스는 결코 "호리프로시티"라는 단어를 사용하지 않았다)라고 찬양한다.

a를 의미하는 R b(resp. a N b)는 2차적 잔류물(resp. nonresidue) (mod b)이며, a, a etc 등이 양수 imes 1(mod 4)과 b, b′ 등을 나타내도록 하면 양수 ≡ 3(mod4) same 3(md 4)과 같은 8례로 분해한다.

케이스	만약	그러면
1)	±a R a′	±a′ R a
2)	±a N a′	±a′ N a
3)	+a R b −a N b	±b R a
4)	+a N b −a R b	±b N a
5)	±b R a	+a R b −a N b
6)	±b N a	+a N b −a R b
7)	+b R b′ −b N b′	−b′ N b +b′ R b
8)	−b N b′ +b R b′	+b′ R b −b′ N b

다음 조항에서 그는 기본적으로 자코비 기호(아래)에 대한 규칙인 것에 대해 이것을 일반화한다. A, A′ 등이 임의의 (프라임 또는 복합) 양수 ≡ 1 (모드 4) 및 B, B ′ (모드 4) 양수 mod 3 (모드 4)을 나타내도록 하는 경우:

케이스	만약	그러면
9)	±a R A	±A R a
10)	±b R A	+A R b −A N b
11)	+a R B	±B R a
12)	−a R B	±B N a
13)	+b R B	−B N b +N R b
14)	−b R B	+B R b −B N b

이 모든 경우들은 "만약 프라이밍이 잔류물(복합체를 변형한 경우), 합성물(모드 4)에 따라 합성물이 잔류물 또는 비레시듀(모드 4)"의 형태를 취한다. 그는 이러한 것들이 사례 1) - 8)에서 나온다는 것을 증명한다.

가우스는 레전드레가 필요로 하는 것과 유사한 보조정리기가 필요했고 이를 증명할 수 있었다.^[18]

가우스의 보조정리. p가 1 modulo 8에 1차 합치되는 경우 다음과 같은 홀수 prime q가 존재한다.

${\displaystyle q<2}{\p}+1\data.\text{and}}\frac{p}}\right)=-1.}$

이차적 상호주의 증명은 완전한 유도를 사용한다.

레전드르 기호에 나오는 가우스의 버전.

${\displaystyle \left({\fract\{p}}{q}\오른쪽)={\precase}\frac\frac{p}\right)&q\equiv 1{\bmod {4}{-q}}}{p}\ipequiv 3{\bmod}}}}}}}}$

다음 사항을 결합할 수 있다.

레전드르 기호에 있는 가우스의 조합 버전. 내버려두다

${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.}$

즉, 다음과 같다.

${\displaystyle q^{*} = \cHB {\text{and}\cHB q^{*}\equiv 1{\bmod {4}}.}$

다음:

${\displaystyle \leftfr\frac {p}{q}\오른쪽)=\좌측\frac{q^{*}}{p}\오른쪽).}$

정리, 특히 가우스 합계에 근거한 여러 증거들이 이 공식을 도출한다.^[19] 또는 대수적 숫자 필드에서 소수점 분할.^[20]

기타명세서

이 절의 문장은 이차적 상호주의에 해당된다. 예를 들어 오일러의 버전을 가정할 경우, 레전드르-가우스 버전을 추론할 수 있으며, 그 반대의 경우도 그러하다.

오일러의 이차적 상호주의 공식화.^[21] $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$± ${\displaystyle \mathrm{q모드}}$ a ${\$|{\$bmod{4a}}}}$인 경우$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle p\frac{}{}}$)${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\displaystyle )}$.$${\$displaystyle \left({\tfrac {a}}}\right)=\p({\tfrac {a}}}}}}\오른쪽).$$}$

이것은 가우스의 보조정리기를 사용하여 증명될 수 있다.

2차 상호주의(^[22]Gauss; Four Proof) a, b, c, ...의 제품이 n인 양수가 아닌 양수가 되도록 하고, m을 3(모드 4)의 숫자로 한다; n/a가 a의 잔류물인지, n/b가 b의 잔류물인지, .... 발견된 비회수 수는 m ≡ 0, 1 (mod 4)일 때도 되고, m 2 2, 3 (mod 4)일 때도 이상할 것이다.

가우스의 네 번째 증거는 (가우스 합계의 값에 대한 두 공식을 비교함으로써) 이 정리를 증명하고 나서 그것을 두 개의 프리타임으로 제한하는 것으로 구성된다. 그런 다음 예를 들어, a = 3, b = 5, c = 7, d = 11. 이 중 3개, 3개, 7개, 11개 ≡ 3개(모드 4)이므로 m ≡ 3개(모드 4)가 된다. 5×7×11 R 3; 3×7×11 R 5; 3×5×11 R 7; 3×5×7 N 11. 따라서 홀수 수의 비회수가 있다.

아이젠슈타인의 이차적 상호주의 ^[23]공식화 가정하다

${\displaystyle p\neq,\displaystyle p'\neq,\displayp p'\neq'\neq',\displayp p\equiv p'{\bmod {4}.}$

그러면

${\displaystyle \leftfr\frac{p}}{q}\오른쪽)\좌측 \frac\frac\{p}}{p}}\좌측 \frac {q'}{p'}}\우측).}$

모르델의 이차적 상호주의 공식화.^[24] a, b, c를 정수로 한다. 모든 prime에 대해, abc를 나누며, 합치된 경우 abc를 나눈다.

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {\tfrac {44}{p}}}}}}}}}}}$

비독점적 해결책이 있는 경우:

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {44}}.}$

제타 함수 제형

데데킨드 제타 기능에 관한 글에서 언급된 바와 같이, 2차 상호주의는 리만 제타 함수의 산물이 되는 2차장 제타 함수와 일정한 디리클레 L-함수의 산물이 되는 제타 함수에 해당한다.

자코비 기호

자코비 기호는 레전드르 기호를 일반화한 것이다. 가장 큰 차이점은 아래 숫자는 양수이고 홀수여야 하지만 소수일 필요는 없다는 것이다. 그것이 프라임이라면, 두 상징은 일치한다. 그것은 레전드르 기호와 같은 조작 규칙을 따른다. 특히

${\displaystyle{\begin{정렬}({\frac{-1}{n}}\right)=())^{\frac{n-1}{2}}&={\begin{경우}1&, n\equiv 1{\bmod{4}}\\-1&, n\equiv 3{\bmod{4}}\end{경우}}\\\left({\frac{2}{n}}\right)=())^{\frac{{2n^}-1}{8}}&={\begin{경우}1&, n\equiv 1,7{\bmod{8}}\\-1&, n\equiv 3,5{\bmod{8}}\end{경우}}\\\left({\frac{-2}{n}}\right)=())^.{\frac{{2n^}+4n-5}{8}}&={\mod{8}\bmod{8}\\1&n\equiv 5,7{\bmod{8}\end{case}}\end{aigned}}}$

그리고 두 수치가 모두 긍정적이고 이상할 경우(이것을 "자코비의 상호주의 법칙"이라고도 한다):

${\displaystyle \left({\frac {n}{n}\오른쪽)=(1-1)^{\frac {(m-1)}{4}\좌측값\frac{n}\우측).}$

그러나 자코비 기호가 1이지만 분모가 소수인 경우에는 분자가 분모의 2차적 잔류물이라는 것을 반드시 따르는 것은 아니다. 위의 가우스의 사례 9) - 14)는 자코비 기호로 표현될 수 있다.

${\displaystyle \left({\frac {M}{p}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)}{4}\좌({\frac {p}{M}\right),}}$

그리고 p는 prime이기 때문에 왼손은 Legendre의 상징이고, 우리는 M이 잔류 modulo p인지 아닌지 알고 있다.

앞의 절에 열거된 공식은 기호가 정의되는 한 자코비 기호에 대해 참이다. 오일러의 공식은 쓰일 수 있다.

${\displaystyle \left({\frac {a}{m}\오른쪽)=\left({a}{m\pm 4an}\right),\qquad n\in \mathb {Z},m\pm 4an>0.}$

예.

${\displaystyle \left({\frac{2}}{7}\right)=\lefts\frac {2}{23}\right)=\lefts\1=\cdots=1.}$

2는 프리타임 7, 23 및 31의 잔여물이다.

${\displaystyle 3^{2}\equiv 2{\bmod{7},\mod 5^{2}\equiv 2{\bmod},\mod {23},\mod 8^{2}\equiv 2{\bmod {31}}}.}$

그러나 2는 2차 잔류 모듈로 5가 아니므로 15번째 모듈로 1개일 수는 없다. 이것은 레전드레가 가졌던 문제와 관련이 있다: $({\displaystyle \mathrm{m}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- 1,${\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}\right)=1,}$ 이 시리즈에$$ 소수점이 있다면 a는 산술 진행 m + 4a, m + 8a, ...의 모든 프라임에서 모든 프라임(prim)이 있는 비레지드(non residue modulo)이다.^[25]

아이젠슈타인의 공식은 상대적 원시성 조건을 요구한다(숫자가 원시인 경우 참).

$a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$을(를) 양의 홀수 정수로 두십시오$$.

${\displaystyle{\b}\gcd &(a,b)=\gcd(a,b')=1\\&a\equiv a'{\bmod {4}\&b\equiv b'{\bmod}}}}$

그러면

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}\오른쪽)\좌측 \frac\frac {b}{b'}}\좌측 \frac {b'}{a}}}\우측).}$

힐버트 기호

2차 상호주의 법칙은 힐버트 ${\displaystyle {기호}_{}}(,{\displaystyle a{}_{}}$, b )$$v {\$displaystyle (a,b)_${v$}$의 관점에서 공식화될 수 있다$$. 여기서 a와 b는 0이 아닌 두 개의 합리적 숫자이고 v는 이성들의 모든 비종교적 절대값(Archimedious one과 p에 대한 p-adic 절대값)에 걸쳐 있다. Hilbert 기호$(,{\displaystyle b{}_{}}$) ${\displaystyle v_{}}$ ${\$는 1 또는 -1이다. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{y}}$= 0 ${\displaystyle$ x$=y=0}$ 이외의 v에서 rationals의 완성에 솔루션이$$ 있는 경우에만 1로 정의된다$.$ ${\displaystyle \mathrm{힐베르트}}$ 상호주의 법칙에 따르면 $(,{\displaystyle }$ b${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle v_{}}$ ${\$는$$고정 a와 b를 제외한 모든 v에 대해 1이며$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에${\displaystyle \mathrm{대한}{}_{}}$(, ${\displaystyle b_{}}$) v {\$displaystyle (a,b)_{$v}의 곱은 1. (이것은 공식적으로 복잡한 분석의 잔여물과 유사하다.)

힐베르트 상호주의 증명은 몇 가지 특수한 경우를 확인하는 것으로 감소하고, 비견례적인 경우는 레전드르 상징에 대한 본법과 이차적 상호주의라는 두 가지 보충법칙에 상당하는 것으로 밝혀진다. 힐베르트 상호주의 법에는 어떤 종류의 상호주의도 없다; 그것의 이름은 단지 2차 상호주의로 그 결과의 역사적 근원을 나타낸다. 힐버트 상호주의 법칙은 수화 조건(명칭 관련 프리타임의 긍정)과 프라임 2의 특별 대우를 요구하는 2차 상호주의와 달리 이성들의 모든 절대적 가치를 동등한 입장에서 다룬다. 따라서 일반화를 지향하는 시각으로 2차 상호주의를 표현하는 것이 보다 자연스러운 방법이다: 힐버트 상호주의 법은 모든 글로벌 분야에 거의 변화가 없으며, 이러한 확장은 모든 글로벌 분야에 2차 상호주의를 일반화하는 것으로 간주할 수 있다.

사이클로토믹 필드와의 연결

이차적 상호주의에 대한 초기 증거는 비교적 모호하지 않다. 가우스가 가우스 합계를 사용하여 2차 장이 사이클로토믹 장의 하위 영역임을 보여주고, 사이클로토믹장에 대한 상호주의 정리로부터 암묵적으로 추론한 2차 상호주의라는 것을 보여주면서 상황은 달라졌다. 그의 증거는 후에 대수적 수 이론가들에 의해 현대적인 형태로 제시되었다. 이 증거는 2차적 상호주의의 광대한 일반화로 볼 수 있는 계급장 이론의 템플릿 역할을 했다.

로버트 랭랜즈는 랭글랜즈 프로그램을 공식화했는데, 이것은 계급장 이론의 방대한 일반화를 추측할 수 있게 해준다. 그는 다음과 같이 썼다.^[26]

나는 그 과목의 역사를 모르고, 또 자전거 절개술과의 연관성을 모르는 학생으로서, 법이나 소위 초급 교정쇄신들이 호소력 있는 것을 발견하지 못했다는 것을 고백한다. 수학적인 호기심보다 조금 더 적게 본다고 이런 식으로 나를 표현하지는 않았을 것이고(그리고 그럴 수도 없었을 것이다) 하지만, 당시 내가 되기를 바랐던 진지한 수학자의 관심보다는 아마추어에 더 적합할 것이다. 헤르만 바일의 대수학^[27] 이론에 관한 책에서야 나는 그것을 더더욱 높이 평가했다.

기타 반지

또한 정수 이외의 고리에는 이차적 상호주의 법칙이 있다.

인

사분위 상호주의에 관한^[28] 그의 두 번째 모노그래프에서 가우스 정수의 링$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle [i}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[i]}$에 대한 2차적 상호주의를 언급하면서, $이것$이 Z${\displaystyle }$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle \mathb {Z}[i}]$에 있는 이차적 법칙의 산술적 의미라고 말했으나$$ 어느 하나의 정리 증거를 제시하지 않았다. $디리클레트는$^[29] Z [${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[i]}$의 법칙을 4분위 상호주의를 사용하지 않고도$$ Z ${\$의 법칙에서 추론할 수 있음을 보여주었다$$.

홀수 가우스 프라임 $prime{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ 및 가우스$$ 정수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대해${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \pi ,}$은(는) $Z{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[i]$의 2차 문자를 다음을 기준으로 정의한다$$.

${\displaystyle \frac \}{\frac }{\pi }\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\\mathrm{N} \pi -1}{\bmod{\pi}}}}{\begin}\exists \eta \in \in {Z}:\cHB \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }\-1&{\text{data}\case}}}$

$\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle a}$+ b ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \mu }$= c${\displaystyle }$+ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\$d 디스플레이 $스타일 \lambda =a+bi,\mu =c+di}$는 a와 c가 홀수이고 b와 d가 짝수인 가우스 프리타임이다. 그러면^[30]

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2},\qquad \left[{\frac {i}{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{\frac {b}{2}},\qquad \left[{\frac {1+i}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{a+b}}\right).}$

아이젠슈타인 정수

다음과 같은 통합의 세 번째 루트를 고려하십시오.

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt{-3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi \imath }{3}}}.}$

아이젠슈타인 정수의 링은 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle \mathb {Z}[\omega ]$이다.$}$^[31] For an Eisenstein prime ${\displaystyle \pi ,\mathrm {N} \pi \neq 3,}$ and an Eisenstein integer ${\displaystyle \alpha }$ with ${\displaystyle \gcd(\alpha ,\pi )=1,}$ define the quadratic character for ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ by the formula

${\displaystyle \left[{\frac{\alpha}{\pi}}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac{\mathrm{N}\pi-1}{2}}{\bmod{\pi}}={\begin{경우}1&, \exists \eta \in\mathbb{Z}[\omega]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod{\pi}}\\-1&,{\text{ 그렇지 않으면}}\end{경우}}}{\displaystyle \left[{\frac{\alpha}{\pi}}\right]_{2}\equiv\alpha ^{\frac{\mathrm{N}\pi)}{.2}}{\bmod {\pi }}={\begin{case}}{\exists \eta \in \mathb {Z}[\omega ]:\alpha \equiv \equiv \equiv ^{2}{\bmod {\pi }\-1&{otherwise}}}}\case}}}}}}}}\case}}}}}\case}}}}}}}}}}}}}}\case}$

λ = a + bΩ과 μ = c + dΩ은 구별되는 아이젠슈타인 프리타임으로, a와 c는 3으로, b와 d는 3으로 나누지 않는다. 아이젠슈타인이 증명했다^[32].

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {\mathrm {N} \lambda -1}{2}}{\frac {\mathrm {N} \mu -1}{2}}},\qquad \left[{\frac {1-\omega }{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {a}{3}}\right),\qquad \left[{\frac {2}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{\mathrm {N} \lambda }}\right).}$

위의 법칙은 상상의 이차수 분야에서 정수의 고리를 고수하는 더 일반적인 법칙의 특별한 경우다. Let k be an imaginary quadratic number field with ring of integers ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$ For a prime ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$ with odd norm ${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}}$ and ${\displaystyle \$$\in {\mathcal {O}_{k}}}$은(는) ${\displaystyle {Ok}_{}}$ ${\$에 대한 2차 문자를 다음과$$ 같이 정의한다$$.

${\displaystyle \left[{\frac{\alpha}{\mathfrak{p}}}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac{\mathrm{N}{\mathfrak{p}}-1}{2}}{\bmod{\mathfrak{p}}}={\begin{경우}1&, \alpha\not \in{\mathfrak{p}}{\text{과}}\exists\eta \in{{O\mathcal}}_{k}{\text{그런}}-\eta ^{2}\in{\mathfrak{p}}\\-1& \alpha, \alpha\not \in{\mathfrak{p}}{\text{a있는 {\mathfrak {p}\eta \\0&\properties \in {\mathfrak{p}\end{case}}}에 해당되지 않음$

임의적 이상에 $대해{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \subset }$ O ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {a}\mathfak$ {a}\$subset {\mathfrak{O}_{k}}}$을(를) 프라임 이상에 인수하는$$ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\mathfrak {a}={\mathfrak{p}}\cdots{p$}}{$n$$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right]_{2}\cdots \left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{n}}}\right]_{2},}$

그리고 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 대해 정의하십시오$$.

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}}{\beta }\{\frac {\alpha }}}}}\primatcal {O}}\k}\{2}.}$

Let ${\displaystyle {Ok}_{}}$= ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle \Omega {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$Ω ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {\mathcal {O}_{k}=\mathb {Z} \omega _${1$}\oplus \mathb$ {$Z}$\mathb $\ea _{2$}, 예$$:} ${\displaystyle \left\{\omega _{1},\omega _{2}\right\}}$ is an integral basis for ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$ For ${\displaystyle \nu \in {\mathcal {O}}_{k}}$ with odd norm ${\displaystyle \mathrm {N} \nu ,}$ define (ordinary) integers a, b, c, d by t방정식,

${\displaystyle {\regated}\nu \omega _{1}&=a\omega _{1}+b\omega _{2}&=c\omega _{1}+d\omega _{2}\ended}}}}}$

그리고 기능

${\displaystyle \chi(\nu ):=\imath^{(b^{2}-a+2)c+(a^{2}-b+2)d+ad}.}$

m = Nμ와 N = N = 둘 다 이상하면 헤르글로츠가 증명했다^[33].

${\displaystyle \left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {m-1}{2}}{\frac {n-1}{2}}}\chi (\mu )^{m{\frac {n-1}{2}}}\chi (\nu )^{-n{\frac {m-1}{2}}}.}$

또한, 만약

${\displaystyle \mu \equiv \mu '{\bmod{4}}\mu '{\text{and}}\nu \equiv \nu '{\bmod}}}}}$

그러면^[34]

${\displaystyle \left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu '}{\nu '}}\right]_{2}\left[{\frac {\nu '}{\mu '}}\right]_{2}.}$

유한분야에 걸친 다항식

f는 q = pⁿ 원소를 가진 유한장이 되고, 여기서 p는 홀수 소수이고 n은 양수이며, F[x]는 F에 계수가 있는 한 변수에서 다항식의 링이 되게 한다. $f$${\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \in }$ F${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f,g\in F[x]}$ 및 f가 unreduccessible, monic 및 양수인 경우, 일반적인 방법으로 F[x]에 대한 2차 문자를 정의하십시오.

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)={\begin{cases}1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}\exists h,k\in F[x]{\text{ such that }}g-h^{2}=kf\\-1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}g{\text{ is not a square}}{\bmod {f}}\\0&\gcd(f,g)\neq 1\end{cases}}}$

$f{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$⋯ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$이(가) 단일 무지개화(monic irreducibles) 제품인 경우

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}\{f}\flac {g}{1}}\오른쪽)\좌측\frac}{f_{n}}\cdots.}$

Dedekind proved that if ${\displaystyle f,g\in F[x]}$ are monic and have positive degrees,^[35]

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)\left({\frac {f}{g}}\right)=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}(\deg f)(\deg g)}.}$

Higher powers

The attempt to generalize quadratic reciprocity for powers higher than the second was one of the main goals that led 19th century mathematicians, including Carl Friedrich Gauss, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Carl Gustav Jakob Jacobi, Gotthold Eisenstein, Richard Dedekind, Ernst Kummer, and David Hilbert to the study of general algebraic number fields and their rings of integers;^[36] specifically Kummer invented ideals in order to state and prove higher reciprocity laws.

The ninth in the list of 23 unsolved problems which David Hilbert proposed to the Congress of Mathematicians in 1900 asked for the "Proof of the most general reciprocity law [f]or an arbitrary number field".^[37] Building upon work by Philipp Furtwängler, Teiji Takagi, Helmut Hasse and others, Emil Artin discovered Artin reciprocity in 1923, a general theorem for which all known reciprocity laws are special cases, and proved it in 1927.^[38]

See also

• Dedekind zeta function
• Rational reciprocity law
• Zolotarev's lemma

Notes

References

The Disquisitiones Arithmeticae has been translated (from Latin) into English and German. The German edition includes all of Gauss's papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes. Footnotes referencing the Disquisitiones Arithmeticae are of the form "Gauss, DA, Art. n".

• Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English) (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, ISBN 0-387-96254-9 {{citation}}: first2= has generic name (help)
• Gauss, Carl Friedrich; Maser, Hermann (translator into German) (1965), Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 {{citation}}: first2= has generic name (help)

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § n".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7

These are in Gauss's Werke, Vol II, pp. 65–92 and 93–148. German translations are in pp. 511–533 and 534–586 of Untersuchungen über höhere Arithmetik.

Every textbook on elementary number theory (and quite a few on algebraic number theory) has a proof of quadratic reciprocity. Two are especially noteworthy:

Franz Lemmermeyer's Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein has many proofs (some in exercises) of both quadratic and higher-power reciprocity laws and a discussion of their history. Its immense bibliography includes literature citations for 196 different published proofs for the quadratic reciprocity law.

Kenneth Ireland and Michael Rosen's A Classical Introduction to Modern Number Theory also has many proofs of quadratic reciprocity (and many exercises), and covers the cubic and biquadratic cases as well. Exercise 13.26 (p. 202) says it all

Count the number of proofs to the law of quadratic reciprocity given thus far in this book and devise another one.

• Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1966), Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), Cambridge: The MIT Press, ISBN 0-262-02405-5
• Edwards, Harold (1977), Fermat's Last Theorem, New York: Springer, ISBN 0-387-90230-9
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4, MR 1761696
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (second edition), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X

External links

• "Quadratic reciprocity law", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Quadratic Reciprocity Theorem from MathWorld
• A play comparing two proofs of the quadratic reciprocity law
• A proof of this theorem at PlanetMath
• A different proof at MathPages
• F. Lemmermeyer's chronology and bibliography of proofs of the Quadratic Reciprocity Law (332 proofs)