오스트로스키 정리

수론에서, Alexander Ostrowski(1916)로 인한 Ostrowski의 정리는 $유리수{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$의 모든 사소한 절대값은 일반적인 실제$$ 절대값 또는 p-adic 절대값과 동등하다고 말합니다.^[1]

정의들

유리수의 두 절대값 ⋅ ${\$$displaystyle$ \cdot} $및$ ⋅ ∗ {\displaystyle \cdot _{*}는 동일한 토폴로지를 유도하는 경우 동일한 것으로 정의됩니다. 이는 양의 실수 λ ∈(0, ∞) {\displaystyle \lambda \in (0,\infty)}의 존재와 동일한 것으로 보여질 수 있습니다.

${\displaystyle \forall x\in K:\quad x_{*}= x^{\lambda }}$

(참고: 일반적으로 ${\displaystyle x}$ $displaystyle$ x $}$가 절대값이라면 ${\displaystyle x}$λ {\$displaystyle$ x$^{\$lambda}}는 더 이상 절대값이 아닙니다. 그러나 두 개의 절대값이 동등하다면 각각은 다른 하나의 양수입니다.) 임의의 필드 K의 자명한 절댓값은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle x_{0}:={\begin{case}0&x=0,\1&x\neq 0.\end{case}}}$

유리수 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 위의 실수 절댓값은 실수 위의 표준 절댓값이며, 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle x_{\infty}:={\begin{case}x&x\geq 0,\-x&x<0.\end{case}}}$

이것은 때때로 무한 대신 첨자 1로 적습니다.

소수 p의 경우 $Q$ ${\displaystyle \mathbb {Q}$의 p-adic 절대값은 $다음$과 같이 정의됩니다. 0이 아닌 유리 x는 x = p ${\displaystyle \frac{n}{}}$ b${\$displaystyle x = p^{n}{\tfrac {a}{b}}로 고유하게 쓸 수 있습니다. 여기서 a와 b는 p로 나눌 수 없는 코프라임 정수이고 n은 정수이므로 정의합니다.

${\displaystyle x_{p}:={\begin{cases}0&x=0,\\p^{-n}&x\neq 0.\end{case}}}$

증명

다음 증명은 쉬코프(2007)의 정리 10.1의 증명을 따릅니다.

⋅ ∗$${\$displaystyle$ \$cdot_{*}}$을 유리수의 절대값으로 지정합니다. 우리는 그것이 소수에 대해 취하는 값에 의해 완전히 결정된다는 것을 보여주는 것으로 증명을 시작합니다.

From the fact that ${\displaystyle 1\times 1=1}$ and the multiplicativity property of the absolute value, we infer that ${\displaystyle 1 _{*}^{2}= 1 _{*}}$. In particular, ${\displaystyle 1 _{*}}$ has to be 0 or 1 and since ${\displaystyle 1\n$$eq0$ $1$∗ = 1${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle$ 1 _{*}=1}이(가) 있어야 합니다. 유사한 인수를 사용하면 -1 ∗ = 1 {\displaystyle -1 _{*}=1}이(가) 표시됩니다.

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 양의 정수 ${\displaystyle \mathrm{n}}$에 대하여, 곱셈 $특성$은${\displaystyle }$- n${\displaystyle {}_{}}$∗ =${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle {}_{}}$∗ × $n$∗ = n ∗ {\displaystyle $-n$ _{*}= -1 _{*}\times n _{*}= n _{*}}을 수반합니다. 즉, 음의 정수의 절대값은 그 반대값과 일치합니다.

n을 양의 정수라고 합니다. $n{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$× ${\displaystyle \mathrm{n}}$ = 1${\$displaystyle $n^{-1$}\$times$ n = 1}이라는 사실과 다중성 속성으로부터 n - 1 ∗ = n ∗ - 1 {\displaystyle n^{-1} _{*} = n _{*}^{-1}}이라고 결론지었습니다.

이제 r을 긍정적인 이성으로 삼자. $r$ = ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {}^{}}$- 1 {\displaystyle r = pq^{-1}과 같은 두 개의 코프라임 양의 정수 p와 q가 존재합니다. ${\displaystyle 위}$의 성질은 r${\displaystyle {}_{}}$∗ =${\displaystyle {}^{}}$p${\displaystyle {}_{}}$∗ $q$ - 1 ∗ = p ∗ q ∗ - 1${\display$ r _{*} = p _{*}$q$1} _{*} = p _{*} q _{*}^{-1}}임을 보여줍니다. 전체적으로 양의 유리수의 절대값은 분자와 분모의 절대값에서 결정됩니다.

마지막으로, $P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$를 소수들의 집합이라고$$ 합니다. 모든 양의 정수 n에 대하여, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle n=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{v_{p}(n)}}$

여기서 ${\displaystyle v_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle v_{p}(n)}$은 p-adic 값 n입니다. 다중성 성질은 다음 관계식을 이용하여 소수의 그것으로부터 n의 절대값을 계산할 수 있게 해줍니다.

${\displaystyle n _{*}=\left \prod _{p\in \mathbb {P} }p^{v_{p}(n)}\right _{*}=\prod _{p\in \mathbb {P} } p_{*}^{v_{p}(n)}}$

우리는 두 가지 경우를 구분하여 증명을 계속합니다.

1. ∗ > 1 {\$displaystyle$n$_${*}> 1}; 또는 n개의 양의 정수 n이 존재합니다.
2. 모든 정수 n에 대해 하나는 ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ∗ ≤ 1 {\$displaystyle n$ _$\{*\}\backslash$leq 1}을 갖습니다.

첫번째 경우

이 ∗ > 1. {\$displaystyle n$_{*}> 1.} k를 음이 아닌 정수로 하고 b를 1${\displaystyle$1}보다 큰 양의 정수로 가정합니다. We express ${\displaystyle n^{k}}$ in base b: there exist a positive integer m and integers ${\displaystyle (c_{i})_{0\leq i<m}}$ such that for all i, ${\displaystyle 0\leq c_{i}<b}$ and ${\displaystyle n^{k}=\sum _{i<m}c_{i}b^{i}}$. ${\displaystyle {\mathrm{특히}}^{}}$ n ${\displaystyle k^{}}$ ≥$b$ m - 1${\displaystyle n$^{$k}\geq$b^{$m-1{\displaystyle \}\mathrm{som}}$ ≤ ${\displaystyle 1_{}}$ +${\displaystyle k_{}}$ $b$ ⁡ n${\displaystyle m\leq$1+k\log _{b}n}.

Each term ${\displaystyle c_{i}b^{i} _{*}}$ is smaller than ${\displaystyle (b-1) b _{*}^{i}}$. (By the multiplicative property, ${\displaystyle c_{i}b^{i} _{*}= c_{i} _{*} b _{*}^{i}}$, then using the fact that ${\displaystyle c_{i}}$ is a digit, write ${\displaystyle c_{i}=1+1+\cdots +1}$ so by the triangle inequality, ${\displaystyle c_{i} \leq 1 + 1 +\cdots + 1 =c_{i}\leq b-1}$.) Besides, $b ∗$ i$${\$displaystyle$b _{*}^{i}}는 ma${\displaystyle x}$ {1, b ∗ m - 1} {\displaystyle \max\{1, b _{*}^{m-1}\}보다 작습니다. 삼각형 부등식과 위의 경계가 m에 주어지면 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned} n _{*}^{k}&\leq m\max _{i<m}\{ c_{i}b^{i} _{*}\}\\&\leq m(b-1)\max\{1, b _{*}^{m-1}\}\\&\leq (1+k\log _{b}n)(b-1)\max\{1, b _{*}^{k\log _{b}n}\}.\end{align}}}$

따라서 양쪽을 파워 $1{\displaystyle \mathrm{}/k}${\$displaystyle$1/$k}$로 올리면 다음을 얻을 수 있습니다$.$

${\displaystyle n _{*}\leq \left((1+k\log _{b}n)(b-1)\right)^{1/k}\max\{1, b _{*}^{\log _{b}n}\}.}$

마지막으로, 무한대로 가는 극한 질문을 하는 것은

${\displaystyle n_{*}\leq \max\{1, b_{*}^{\log _{b}n}\}$

$조건$ ∗ > 1, {\$displaystyle n$ _{*} > 1과 함께,$}$ the above argument leads to ${\displaystyle b _{*}>1}$ regardless of the choice of b (otherwise ${\displaystyle b _{*}^{\log _{b}n}\leq 1}$ implies ${\displaystyle n _{*}\leq 1}$). 따라서 1보다 큰 정수는 모두 절대값이 1보다 더 큽니다. 따라서 위의 내용을 일반화하면, 2보다 크거나 같은 정수 n과 b의 임의의 선택에 대하여, 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle n _{*}\leq b _{*}^{\log _{b}n}}$

예.

${\displaystyle \log _{n} n _{*}\leq \log _{b} b _{*}$

대칭적으로 이 불평등은 평등입니다. In particular, for all ${\displaystyle n\geq 2}$, ${\displaystyle \log _{n} n _{*}=\log _{2} 2 _{*}=\lambda }$, i.e. ${\displaystyle n _{*}=n^{\lambda }= n _{\infty }^{\lambda }}$. 삼각형 부등식은 모든 양의 정수 n에 ${\displaystyle 대해}$ ${\displaystyle n}$ ∗ ≤ n {\displaystyle n _${*}\$leq n을 가짐을 의미하므로, 이 경우 0 < λ ≤ 1 {\displaystyle 0<\lambda \leq 1}인 것을 더 정확하게 얻습니다.

소수에 대한 값으로 절대값을 결정하는 위의 결과에 따르면 ${\displaystyle 모든}$ 유리 r에 대해 ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$∗ = r ∞ λ {\displaystyle r _{*}= r _{\infty}^{\lambda }가 있음을 쉽게 알 수 있으며, 따라서 실제 절대값과 동등함을 보여줍니다.

두번째 경우

모든 정수 n에 대하여 $n개의$∗ ≤$1$ {\$displaystyle n_{*}\$leq 1}을 갖는다고 가정하자. 우리의 절대값은 사소하지 않으므로, n개의 ∗ <1. {\displaystyle n_{*}<1인 양의 정수 n이 존재해야 합니다.$}$소수에서 $n개의$$∗$ {\$displaystyle$ n_{*}를 분해하면 \mathbb {P}에 p $∈$ < 1 {\displaystyle p_{*}<1}인 p $∗$ P {\displaystyle p\가 존재함을 알 수 있습니다. 우리는 이것이 실제로 오직 하나의 소수에 대해서만 그러하다고 주장합니다.

반대로 p와 q는 절대값이 1보다 작은 두 개의 서로 다른 소수라고 가정합니다. Let k be a positive integer such that ${\displaystyle p _{*}^{k}}$ and ${\displaystyle q _{*}^{k}}$ are smaller than ${\displaystyle 1/2}$. By Bezout's identity, since ${\displaystyle p^{k}}$ and ${\displaystyle q^{k}}$ are coprime, ${\displaystyle {pk}^{}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ = $.$ {\displaystyle ap^{k}+bq^{k} = 1.} 이렇게 하면 모순이 발생합니다.

${\displaystyle 1= 1 _{*}\leq a _{*} p _{*}^{k}+ b _{*} q _{*}^{k}<{\frac { a _{*}+ b _{*2}}\leq 1.}$

이는 ∗ < 1{\$displaystyle$ p_{*}<1}인 고유한 소수 p가 존재하고 다른 모든 소수 q에 대해 하나는 q ∗ = 1 {\displaystyle q_{*}= 1}인 것을 의미합니다(이 두 번째 경우의 가설로부터). Let ${\displaystyle \lambda =-\log _{p} p _{*}}$. From ${\displaystyle p _{*}<1}$, we infer that ${\displaystyle 0<\lambda <\infty }$. (And indeed in this case, all positive ${\displaystyle \lambda }$ give absolute values equivalent to the p-adic one.)

최종적으로 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ λ ${\displaystyle {}_{}}$= p -${\displaystyle }$λ = p ∗ {\displaystyle p _{$p}^{\$lambda }= $p$^{-\lambda }= p _${*}}$이고 다른 모든 프라임 q에 대해서는 q p λ = 1 = q ∗ {\displaystyle q _{p}^{\lambda }= 1 q _{*}}임을 확인합니다. 소수에 대한 값으로 절대값을 결정하는 위의 결과에 따라 ${\displaystyle 모든}$ 유리수 r에 대해 ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$∗ = r p$$λ {\display r _{*}= r _{p}^{\lambda }라고 결론지으며, 이 절대값이 p-adic 값과 동일함을 의미합니다. ${\$

또다른 오스트로스키 정리

또 다른 정리는 아르키메데스의 절댓값에 대해 완전한 어떤 필드도 (대수적, 위상적으로) 실수나 복소수와 동형이라는 것을 말합니다. 이것은 때때로 오스트로스키의 정리라고도 불립니다.^[3]

참고 항목

• 밸류에이션(대수)

참고문헌

• Cassels, J. W. S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
• Janusz, Gerald J. (1996). Algebraic Number Fields (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4.
• Jacobson, Nathan (1989). Basic algebra II (2nd ed.). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.
• Schikhof, W. H. (2007). Ultrametric Calculus (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-03287-2.
• Ostrowski, Alexander (1916). "Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy)". Acta Mathematica (2nd ed.). 41 (1): 271–284. doi:10.1007/BF02422947. ISSN 0001-5962.