윌슨 프라임

윌슨 프라임
이름을 따서 지음	존 윌슨
No. 통속적인	3
초항	5, 13, 563
OEIS 지수	A007540; Wilson primes : p {\ p을 (-1) !≡ - ( ⁡ p 2){\ ( !;

수론에서 윌슨 소수는 $p^{2}$ $p^{2}$ {\ $displaystyle$ p $^{2}}$ 나누기 $p^{2}$ $(p-1)!+1$ ( $(p-1)!+1$ - $(p-1)!+1$ ) $(p-1)!+1$ + 1 $(p-1)!+1$ {\ $displaystyle p-1$ )!+ $1$ 여기서 $"!$ {\ $displaystyle$ 은 계승 함수를 나타냅니다. 이것을 모든 $p$ 의 ${\displaystyle$ p $}$ 가 $p$ $(p-1)!+1$ ( $(p-1)!+1$ $(p-1)!+1$ $(p-1)!+1$ ! + $(p-1)!+1$ 의 ${\displaystyle$ ( $p-1)!$ + $1$ 을 나눈다는 윌슨의 정리와 비교해보세요. 둘 다 18세기 영국 수학자 존 윌슨의 이름을 따서 지어졌고, 1770년 에드워드 워링은 이 정리를 ^[1]윌슨의 공으로 돌렸습니다 $.$ 비록 이븐 ^[2]알-하이탐에 의해 수세기 전에 언급된 바 있습니다.

알려진 윌슨 소수는 5, 13, 563(OEIS의 수열 A007540)뿐입니다.코스타 등은 " $p=5$ p = $p=5$ ${\displaystyle$ p $p=5$ = 5}는 사소한 것"이라고 쓰고, 13이 윌슨 소수라는 관측을 매튜스(1985)에게 공을 돌립니다.이 숫자들에 대한 초기 연구는 N.G.W.H. 비거와 엠마 ^[5]^[3]^[6]레머에 의한 검색을 포함했지만, 563은 컴퓨터 검색이 문제에 ^[3]^[7]^[8]적용될 수 있었던 1950년대 초까지 발견되지 않았습니다.다른 값이 존재하는 경우에는 2 ^[3]× 10보다¹³ 커야 합니다.무한히 많은 윌슨 소수가 존재하고 구간 $[x,y]$ ] $[x,y]$ {\ $displaystyle [x,y]}$ 에서 윌슨 소수의 수는 로그 ⁡ $\log \log _{x}y$ x ⁡ $\log \log _{x}y$ ${\displaystyle \log$ _ ${x}y$ 에 $\log \log _{x}y$ 것이라고 추측했습니다.

몇 가지 ^[10]^[11]^[12]컴퓨터 검색이 새로운 윌슨 소수점을 찾으려는 희망으로 행해졌습니다.Ibercivis 분산 컴퓨팅 프로젝트에는 Wilson ^[13]primes에 대한 탐색이 포함되어 있습니다.또 다른 검색은 Great Internet Mersenne Prime Search ^[14]포럼에서 조율되었습니다.

일반화

$윌슨$ 소수 n

윌슨의 정리는 일반적으로 $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ ( $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ ) $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ ! ( $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ - $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ ) ! ≡ ( $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ - $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ ) $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ p $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ {\ $displaystyle (n-1)$ ! (p - $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ n ) !모든 $n\geq 1$ n $n\geq 1$ $n\geq 1$ {\ $displaystyle$ n $\geq$ 1 $}$ 및 $n\geq 1$ $p\geq n$ p $p\geq n$ $p\geq n$ ${\displaystyle$ p $\geq$ n $p\geq n$ 에 대해 \ $equiv$ (- $1)^{n}\bmod {p}}$ 입니다 ${\displaystyle (n-1)! (p-n)!$ . $차수$ n의 일반화된 윌슨 소수는 $p^{2}$ {\ $displaystyle$ p $^{2$ $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ $p^{2}$ ( $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ - $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ ) $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ ! ( $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ - $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ ) $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ ! - $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ ( - $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ ) $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ {\ $displaystyle (n-1)$ ! (p - n ) ^{ $n$ 입니다 $.$

모든 $자연수$ n에 대하여 $n차$ 의 윌슨 소수가 무한히 많다고 추측했습니다.

$n차$ ${\displaystyle$ n $}$ 의 $n$ 가장 작은 일반화 윌슨 소수는 다음과 같습니다.

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... (다음 항 > 1.4 × 10⁷) (OEIS의 A128666 수열)

근윌슨 소수

$p$	$B$
1282279	+20
1306817	−30
1308491	−55
1433813	−32
1638347	−45
1640147	−88
1647931	+14
1666403	+99
1750901	+34
1851953	−50
2031053	−18
2278343	+21
2313083	+15
2695933	−73
3640753	+69
3677071	−32
3764437	−99
3958621	+75
5062469	+39
5063803	+40
6331519	+91
6706067	+45
7392257	+40
8315831	+3
8871167	−85
9278443	−75
9615329	+27
9756727	+23
10746881	−7
11465149	−62
11512541	−26
11892977	−7
12632117	−27
12893203	−53
14296621	+2
16711069	+95
16738091	+58
17879887	+63
19344553	−93
19365641	+75
20951477	+25
20972977	+58
21561013	−90
23818681	+23
27783521	−51
27812887	+21
29085907	+9
29327513	+13
30959321	+24
33187157	+60
33968041	+12
39198017	−7
45920923	−63
51802061	+4
53188379	−54
56151923	−1
57526411	−66
64197799	+13
72818227	−27
87467099	−2
91926437	−32
92191909	+94
93445061	−30
93559087	−3
94510219	−69
101710369	−70
111310567	+22
117385529	−43
176779259	+56
212911781	−92
216331463	−36
253512533	+25
282361201	+24
327357841	−62
411237857	−84
479163953	−50
757362197	−28
824846833	+60
866006431	−81
1227886151	−51
1527857939	−19
1636804231	+64
1686290297	+18
1767839071	+8
1913042311	−65
1987272877	+5
2100839597	−34
2312420701	−78
2476913683	+94
3542985241	−74
4036677373	−5
4271431471	+83
4296847931	+41
5087988391	+51
5127702389	+50
7973760941	+76
9965682053	−18
10242692519	−97
11355061259	−45
11774118061	−1
12896325149	+86
13286279999	+52
20042556601	+27
21950810731	+93
23607097193	+97
24664241321	+46
28737804211	−58
35525054743	+26
41659815553	+55
42647052491	+10
44034466379	+39
60373446719	−48
64643245189	−21
66966581777	+91
67133912011	+9
80248324571	+46
80908082573	−20
100660783343	+87
112825721339	+70
231939720421	+41
258818504023	+4
260584487287	−52
265784418461	−78
298114694431	+82

합집합 $(p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ ( $(p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ $(p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ $(p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ ) 을 만족하는 $p$ p{\ $displaystyle$ p $}$ ! ≡ - $(p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ 1 + $(p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ p ( $(p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ ⁡ $(p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ 2 $(p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ ) $(p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ {\ $displaystyle (p-1 )$ ! $|B|$ B가 $displaystyle$ B $}$ 인 $|B|$ \ $equiv -1+Bp\$ (\ $operatorname {mod}$ { $p^{2}})}$ 를 $(p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ 근윌슨 프라임이라고 할 수 있습니다 $.$ B = $B=0$ ${\displaystyle$ B = $0$ }인 Near-Wilson 소수는 Wilson 소수입니다.오른쪽 표에는 10부터¹¹ ^[3] $|B|\leq 100$ 까지의 B ≤ $100$ {\displaystyle $|B|\leq 100$ B⁶ $\leq$ 100 $}$ 인 $|B|\leq 100$ 모든 소수가 나열되어 있습니다.

윌슨 수

W $W(n)\equiv 0\ (\operatorname {mod} {n^{2}})$ ) $W(n)\equiv 0\ (\operatorname {mod} {n^{2}})$ ≡ 0 ( $W(n)\equiv 0\ (\operatorname {mod} {n^{2}})$ ⁡ $W(n)\equiv 0\ (\operatorname {mod} {n^{2}})$ 2 $W(n)\equiv 0\ (\operatorname {mod} {n^{2}})$ ) $W(n)\equiv 0\ (\operatorname {mod} {n^{2}})$ {\ $displaystyle$ W $(n)\equiv$ 0 $\$ (\ $operator name {mod} {$ n^{2 $W(n)\equiv 0\ (\operatorname {mod} {n^{2}})$ 인 $자연수$ n {\ $displaystyle$ n}이고 $,$ 여기서

W(n)=\pm 1+\limit _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}{k}

\pm 1

{\displaystyle

n

}

에

n

원시 근이 있는 경우에만 ± 1

\pm 1

{\

displaystyle \pm

1

}

항이 양수이고,^[15] 그렇지 않은

경우

에는 음수입니다.모든

자연수

n {\

displaystyle

n

n

에 대해 W

)

{\

displaystyle W(n

)}는

W(n)

n

{\displaystyle

n

n

으로 나뉠 수 있으며, OEIS: A157249에 계수(일반화 윌슨 계수라고 함)가 나열됩니다.윌슨 숫자는

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ... (OEIS의 A157250 시퀀스)

$윌슨$ 숫자 n ${\displaystyle$ n $}$ 이 $n$ prime이면 $n$ {\ $displaystyle$ n $}$ 이 $n$ Wilson prime입니다.윌슨 숫자는 ^[16]5x10까지⁸ 13개가 있습니다.

참고 항목

참고문헌

^ 에드워드 워링, 명상의 대수학 (영국 케임브리지: 1770) 218페이지 (라틴어로)와링의 명상 대수학 제3판(1782)에서 윌슨의 정리는 380페이지의 문제 5로 나옵니다.그 페이지에서, 워링은 다음과 같이 진술합니다: "Hanc maxime ellegantem primorum numerorum reprimorum reprimissimus invenit vir clarissimus, rerumque mathematicalarum peritissimus Joannes Wilson Armiger." (가장 저명하고 수학에 가장 능숙한 사람인 대지주 John Wilson은 소수의 가장 우아한 속성을 발견했습니다.)
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham". MacTutor History of Mathematics Archive. University of St Andrews.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Costa, Edgar; Gerbicz, Robert; Harvey, David (2014). "A search for Wilson primes". Mathematics of Computation. 83 (290): 3071–3091. arXiv:1209.3436. doi:10.1090/S0025-5718-2014-02800-7. MR 3246824. S2CID 6738476.
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^ 프라임 용어집: 윌슨 프라임
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^ Wilson primes에 대한 분산 검색 (mersenneforum.org )
^ 가우스의 윌슨 정리의 일반화를 보다.
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추가열람

Crandall, Richard E.; Pomerance, Carl (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective. Springer-Verlag. p. 29. ISBN 978-0-387-94777-8.
Pearson, Erna H. (1963). "On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2^p−1 ≡ 1 (mod p²)" (PDF). Math. Comput. 17: 194–195.

외부 링크

[1] 에드워드 워링, 명상의 대수학 (영국 케임브리지: 1770) 218페이지 (라틴어로)와링의 명상 대수학 제3판(1782)에서 윌슨의 정리는 380페이지의 문제 5로 나옵니다.그 페이지에서, 워링은 다음과 같이 진술합니다: "Hanc maxime ellegantem primorum numerorum reprimorum reprimissimus invenit vir clarissimus, rerumque mathematicalarum peritissimus Joannes Wilson Armiger." (가장 저명하고 수학에 가장 능숙한 사람인 대지주 John Wilson은 소수의 가장 우아한 속성을 발견했습니다.)

[2] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham". MacTutor History of Mathematics Archive. University of St Andrews.

[Search-3] Costa, Edgar; Gerbicz, Robert; Harvey, David (2014). "A search for Wilson primes". Mathematics of Computation. 83 (290): 3071–3091. arXiv:1209.3436. doi:10.1090/S0025-5718-2014-02800-7. MR 3246824. S2CID 6738476.

[4] Mathews, George Ballard (1892). "Example 15". Theory of Numbers, Part 1. Deighton & Bell. p. 318.

[lehmer-5] Lehmer, Emma (April 1938). "On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson" (PDF). Annals of Mathematics. 39 (2): 350–360. doi:10.2307/1968791. JSTOR 1968791. Retrieved 8 March 2011.

[6] Beeger, N. G. W. H. (1913–1914). "Quelques remarques sur les congruences $r^{p-1}\equiv 1\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ et $(p-1)!\equiv -1\ (\operatorname {mod} {p^{2}})$ ". The Messenger of Mathematics. 43: 72–84.

[7] Wall, D. D. (October 1952). "Unpublished mathematical tables" (PDF). Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 6 (40): 238. doi:10.2307/2002270. JSTOR 2002270.

[8] Goldberg, Karl (1953). "A table of Wilson quotients and the third Wilson prime". J. London Math. Soc. 28 (2): 252–256. doi:10.1112/jlms/s1-28.2.252.

[9] 프라임 용어집: 윌슨 프라임

[10] McIntosh, R. (9 March 2004). "WILSON STATUS (Feb. 1999)". E-Mail to Paul Zimmermann. Retrieved 6 June 2011.

[11] Crandall, Richard E.; Dilcher, Karl; Pomerance, Carl (1997). "A search for Wieferich and Wilson primes". Math. Comput. 66 (217): 433–449. Bibcode:1997MaCom..66..433C. doi:10.1090/S0025-5718-97-00791-6. 443쪽 참조.

[12] Ribenboim, P.; Keller, W. (2006). Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (in German). Berlin Heidelberg New York: Springer. p. 241. ISBN 978-3-540-34283-0.

[13] "Ibercivis site". Archived from the original on 2012-06-20. Retrieved 2011-03-10.

[14] Wilson primes에 대한 분산 검색 (mersenneforum.org )

[15] 가우스의 윌슨 정리의 일반화를 보다.

[16] Agoh, Takashi; Dilcher, Karl; Skula, Ladislav (1998). "Wilson quotients for composite moduli" (PDF). Math. Comput. 67 (222): 843–861. Bibcode:1998MaCom..67..843A. doi:10.1090/S0025-5718-98-00951-X.

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[13]

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[16]

v t 소수반
공식으로	페르마 ( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센 ( $2 p$ - 1) 이중 메르센 ( $2 2 p -1$ - 1) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로트( $k \cdot2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 프라이머리( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드 ( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스 ( $4n$ + $1$ ) 피어폰트( $2 m \cdot3 n +1$ ) 사분면 ( $x 4$ + $y 4$ ) 솔리나 ( $2 m$ ± $2 n$ ± $1$ ) 컬렌( $n \cdot2 n$ + $1$ ) 우달( $n \cdot2 n$ - 1) 쿠반( $x 3$ - $y 3)/(x$ - $y$ ) 레이랜드 ( $x y$ + $y x$ ) 타비트 ( $3\cdot2 n$ - 1) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) 밀스 $($ ⌊ $A$ ⌋)
정수순으로	피보나치 루카스 펠 뉴먼-샹크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
속성별	비페리치(짝) 월-선-선 울스텐홈 윌슨 럭키 럭키 라마누잔 필라이 규칙적인. 강한. 스턴 초단형(타원곡선) 초특이형 (달빛 이론) 좋아요. 잘 하는 군요 힉스 고동위성 독특한
염기 의존적	회맹부 에미르프 Repunit $(10 n - 1)/9$ 가환성 원형 잘라낼 수 있음 미니멀 연약한 프리메발 풀파충류 끝 독특한 행복해 자신 스마란다케-웰린 스트로보그램 이면체 테트라딕
패턴	트윈( $p, p$ + $2$ ) 쌍동 체인 ( $n$ ± $1, 2n$ ± $1, 4n$ ± $1, \dots)$ 세쌍둥이 ( $p, p$ + 2 $또는$ p + $4, p$ + $6$ ) 네 쌍둥이 ( $p, p$ + $2, p$ + $6, p$ + $8$ ) k-카멜레의 사촌 ( $p, p$ + $4$ ) 섹시( $p, p +6$ ) 첸 소피 저메인/세이프( $p,2p+1$ ) 커닝햄 ( $p, 2p$ ± $1, 4p$ ± $3, 8p$ ± $7, ...)$ 산술진행( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0, 1, 2, 3, ...)$ 균형( $연속$ p - $n,$ $p, p$ + $n$ )
사이즈별	메가(1,000,000+자리) 알려진 것 중 목록.
복소수	아이젠슈타인 프라임 가우스 소수
합성수	의사 소수 카탈루냐어 타원형 오일러 오일러 야코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머루카스 강한. 카마이클 수 거의 프라임급 세미프라임 구개수 인터프라임 악성
관련주제	확률프라임 공업용 프라임 불법 프라임 소수 공식 프라임 갭
처음60개의 소수점	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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