제곱이 없는 정수

수학에서 정사각형 없는 정수(또는 정사각형 없는 정수)는 1 이외에는 완벽한 정사각형으로 구분할 수 없는 정수다. 즉, 그것의 주요 요소화는 그 안에 나타나는 각각의 주요 요소들을 정확히 한 가지씩 가지고 있다. 예를 들어 10 = 2 ⋅ 5는 제곱이 없는 것이지만 18 = 2 3 3 ⋅ 3은 18이 9 = 3으로 나누어지기² 때문에 그렇지 않다. 가장 작은 양의 제곱이 없는 숫자는

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 38, 39, ... (OEIS의 경우 순서 A005117)

사각자유인자화

모든 양의 정수 n은 다음과 같이 고유한 방법으로 반영될 수 있다.

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}q_{i}^{i}}}}$

여기서 하나와 다른$$ ${\$는 쌍으로 이루어진 정사각형이 없는 정수다.

이를 n의 제곱 없는 인자화라고 한다.

내버려두다

${\displaystyle n=\prod _{j=1}^{h}p_{j}^{e_{j}}}}}$

p가_j 구별되는 소수인 n의 주요 인자화다. 그 다음, 제곱 없는 인자화의 인자는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle q_{i}=\prod _{j:e_{j}=i}p_{j}.}$

정수는 모든 i > 1에 ${\displaystyle {대해}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{qi}}$= 1 {\$displaystyle q_{$i}=1}인 경우에만 제곱이 없다. $1$보다 큰 정수는 k가${\displaystyle {}_{}\mathrm{qi}}$ div 1. {\$displaystyle q_{i}\neq$ 1$.}$과 같은 i의 divisor인 경우에만 다른 정수의 k번째 검정력이다${\displaystyle \mathrm{.}}$

정수의 제곱 없는 인자화 사용은 그 계산이 원시 인자화 계산만큼 어렵다는 사실에 의해 제한된다. 정사각형이 없는 요인화 계산에 대해 더 정확하게 알려진 모든 알고리즘은 또한 주요 요인화 계산도 한다. 이는 동일한 정의를 내릴 수 있는 다항식의 경우와는 현저한 차이가 있으나, 이 경우 정사각형 없는 인자화는 완전한 인자화보다 계산이 용이할 뿐만 아니라 모든 표준 인자화 알고리즘의 첫걸음이다.

정수의 제곱이 없는 계수

정수의 래디컬은 가장 큰 정사각형이 없는 인자로, ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{section}}}$ i =${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$1 $q$ i ${\$i=1}^{k$}q_{i}}}}}$이다. 정수는 그것의 급진성과 같을 경우에만 사각형이 없다.

모든 양의 정수 n은 강력한 수(모든 주요 인자의 제곱으로 구분되는 정수)의 산물로서 독특한 방식으로 표현될 수 있는데, 이 정수들은 정사각형 없는 정수로, 즉 복음화된다. 이 인자화에서 제곱 없는 인자는 $q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle q_{1}}}$이며, 강력한 숫자는${\displaystyle \underset{i}{\overset{}{}}}$i = 2 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$i .$${\$displaystyle \textstyle \prod _{i=2}^{k}q_{i}^{$i}^{i}^{$i}}}.$$}$

n의 제곱이 없는 부분은 $q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle q_{$1}이며, n/k와 일치하는 n의 제곱이 없는 divisor k 중 가장 크다. 정수의 정사각형이 없는 부분은 가장 큰 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{정사각형}}}$이 없는 구분자보다 작을 수 있는데, $\prod {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ k ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$}$

임의의 양의 정수 n은 정사각형과 정사각형이 없는 정수의 산물로 고유하게 나타낼 수 있다.

${\displaystyle n=m^{2}k}$

이 요소화에서 m은² n의 divisor 중 가장 큰 divisor로 m은 n의 divisor이다.

요약하면, 모든 정수와 자연스럽게 연관되는 3개의 제곱 없는 인자가 있는데, 즉 제곱 없는 부분, 위의 인자 k, 가장 큰 제곱 없는 인자가 있다. 각각은 다음 것의 요소다. 모든 것이 1차 요인화 또는 제곱이 없는 요인화에서 쉽게 추론된다.

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{hp_{i}^{e_{i}}=\prod _{i=1}^{k}q_{i}^{i}}}}}}}}}}}}$

n의 primary factorization과 square-free factorization이다. 여기서 ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$,${\displaystyle }$p ${\displaystyle h_{}}$ ${\$는 구별되는 prime number이고, square-free 부분은 다음과 같다.

${\displaystyle \prod _{e_{i}=1}p_{i}=q_{1},}$

그러한 인수가 제곱인 정사각형 없는 요인은

${\displaystyle \prod _{e_{i}{\text{홀수}p_{i}=\prod _{i{\text{홀수}q_{i}}}}}}$

그리고 가장 큰 사각형 없는 요인은

${\displaystyle \prod _{i=1}^{h}p_{i}=\prod _{i=1}^{k}q_{i}.}$

For example, if ${\displaystyle n=75600=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7,}$ one has ${\displaystyle q_{1}=7,\;q_{2}=5,\;q_{3}=3,\;q_{4}=2.}$ The square-free part is 7, the square-free factor such that the quotient is a square is 3 ⋅ 7 = 21이고, 가장 큰 제곱 없는 계수는 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210이다.

완전한 원시 인자화 계산보다 더 빠른 이러한 제곱 없는 인자를 계산하는 알고리즘은 알려져 있지 않다. 특히 정수의 제곱이 없는 부분을 계산하거나 정수가 제곱이 없는지를 결정하는 데까지 알려진 다항식 시간 알고리즘이 없다.^[1] 이와는 대조적으로 다항식 시간 알고리즘은 원시성 시험에 대해 알려져 있다.^[2] 이것은 다항식 알고리즘이 다항식의 제곱 없는 인자화(요컨대 다항식의 가장 큰 제곱 없는 인자는 다항식 및 그 형식 유래자의 최대 공통점수에 의한 지수)로서 정수의 산술과 단항식 다항식 다항식의 산술의 주요한 차이점이다.e).^[3]

등가 특성화

양의 정수 n은 n의 주요 인자화에서 1보다 큰 지수를 가진 주요 인자가 발생하지 않는 경우에만 제곱이 없다. 다른 방법은 n의 모든 주요 인자 p에 대해 prime p가 n / p를 균등하게 나누지 않는다는 것이다. 또한 n은 모든 인자화 n = ab에서 요인 a와 b가 동일하다면 제곱이 없다. 이 정의의 즉각적인 결과는 모든 소수들이 제곱이 없다는 것이다.

양의 정수 n은 순서의 모든 아벨 그룹 n이 이형인 경우에만 사각형이 없는 것으로, 그러한 그룹이 순환인 경우에만 그러하다. 이것은 정밀하게 생성된 아벨리아 집단의 분류에서 따온 것이다.

정수 n은 인자가 Z/nZ(모듈식 산술 참조)가 필드의 산물인 경우에만 사각형이 없다. 이는 중국의 나머지 정리에서 따르며, Z/kZ형식의 고리는 k가 프라임일 경우에만 필드라는 사실을 말한다.

모든 양의 정수 n에 대해, 우리가 순서 관계로 불량을 사용할 경우, n의 모든 양의 구분자 집합은 부분적으로 순서 집합이 된다. 부분적으로 주문한 이 세트는 항상 분배 격자야. n이 제곱이 없는 경우에만 부울 대수다.

양의 정수 n은 μ(n) μ 0인 경우에만 제곱이 없는 것이며, 여기서 μ는 뫼비우스 함수를 나타낸다.

디리클레트 시리즈

뫼비우스 함수의 절대값은 제곱이 없는 정수에 대한 지표 함수로서, 즉 n이 제곱이 없는 경우에는 μ(n)가 1이고, 그렇지 않은 경우에는 0이 된다. 이 지표 함수의 디리클레 시리즈는

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\flac {\mu(n)}{n^{s}}={\frac {\zeta(s)}{\zeta(2s)}}},}$

여기서 ζ은 리만 제타 함수다. 이것은 오일러 제품에서 나온 것이다.

${\displaystyle {\frac {\p^{-s}}{\\zeta(2s)}=\pod _{p}{p^{-2s}}{{p}}}{{{p^}}}}}{{p}}}}}},}$

생산물이 소수보다 많은 곳

분배

Q(x)는 1과 x 사이의 제곱이 없는 정수(OEIS: A013928 변화 지수 1을 나타냄)를 나타낸다. 큰 n의 경우, n보다 작은 양의 정수의 3/4는 4로 분할되지 않으며, 이 숫자의 8/9는 9로 분할되지 않는다. 이러한 비율은 승수 특성을 만족시키기 때문에(이것은 중국의 나머지 정리에서 따옴) 근사치를 구한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}())&,\approx x\prod _{p\{\text{총리}}}\left(1-{\frac{1}{p^{2}}}\right)=x\prod _{p\{\text{총리}}}{\frac{1}{(1-{\frac{1}{p^{2}}})^{)}}}\\&,\approx x\prod _{p\{\text{총리}}}{\frac{1}{1+{\frac{1}{p^{2}}}+{\frac{1}{p^{4}}}+\cdots}}={\frac{)}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^{2}}}}}={\frac{)}{\zeta(.2)}}){\frac {6x}{\pi ^{2}}.\end{정렬}}}$

이 주장은 (큰 O 표기법을 사용하여) 견적을 얻기 위해 엄격하게 만들어질 수 있다.

${\displaystyle Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}+O\왼쪽({\sqrt {x}\오른쪽).}$

증거의 스케치: 위의 특성은 다음과 같다.

${\displaystyle Q(x)=\sum _{n\leq x}\sum _{d^{2}\mid n}\mu (d)=\sum _{d\leq x}\mu (d)\sum _{n\leq x,d^{2}\mid n}1=\sum _{d\leq x}\mu (d)\left\lfloor {\frac {x}{d^{2}}}\right\rfloor ;}$

> ${\$에 대한 마지막 합계가 0인 것을 관찰하면 다음과 같은 결과가 나온다

${\displaystyle{\begin{정렬}())&, =\sum _{d\leq{\sqrt{)}}}\mu(d)\left\lfloor{\frac{)}{d^{2}}}\right\rfloor =\sum _{d\leq{\sqrt{)}}}{\frac{x\mu(d)}{d^{2}}}+O\left(\sum_{d\leq{\sqrt{x}}}1\right)=x\sum _{d\leq{\sqrt{)}}}{\frac{\mu(d)}{d^{2}}}+O({\sqrt{x}})\\&, =x\sum _{d}{\frac{\mu(d)}{d^{2}}}+O\left(x\sum _{d>,{\sqrt{)}}.}{\frac{1}{d^{2}}}+{\sqrt{x}}\오른쪽)={\frac {x}{\zeta(2)}+O({\sqrt{x}}).\end{정렬}}}$

리만 제타 함수 중 가장 큰 것으로 알려진 제로 프리 영역을 이용하여 아놀드 월피즈(Arnold Walfisz)는 다음과^[4] 같은 근사치를 개선했다.

${\displaystyle Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}+O\왼쪽(x^{1/2})\exp \left(-c{\frac {(\log x)^{3/5}}{{1/5}}}{1/5}}}\rig)\right)}}}$

어떤 양의 상수 c를 위해.

리만 가설에서는 오차항을 다음과 같이^[5] 줄일 수 있다.

${\displaystyle Q(x)={\frac {x}{\xeta(2)}+O\좌(x^{17/54+\varepsilon }\우)={\frac {6}{{\pi^{2}}x+O\좌(x^{17/54+\brepsilon }우).}$

최근(2015년) 에러 기간이 더욱 축소되었다^[6].

${\displaystyle Q(x)={\frac {6}{\pi^{2}}x+O\왼쪽(x^{11/35+\varepsilon }\오른쪽).}$

따라서 정사각형이 없는 숫자의 점증적/자연적 밀도는 다음과 같다.

${\displaystyle \lim_{x\to \flt}{Q(x)}{x}}}{\frac {6}{\pi ^{2}}}\약 0.6079}$

따라서 정수의 3/5 이상은 제곱이 없다.

마찬가지로 Q(x,n)가 1과 x 사이의 n-free 정수(예: 3-free 정수인 큐브-free 정수)의 수를 나타내는 경우, 이를 나타낼^[7] 수 있다.

${\displaystyle Q(x,n)={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}}}+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)={\frac {x}{\zeta (n)}}+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right).}$

4의 배수는 4=2의² 제곱 인자를 가져야 하기 때문에 4개의 연속 정수가 모두 제곱이 없는 것은 발생할 수 없다. 반면에, 4n +1, 4n +2, 4n +3 모두 제곱이 없는 정수 n은 무한히 많이 존재한다. 그렇지 않으면 4n과 4n +1, 4n +2, 4n +3 중 적어도 하나는 충분히 큰 n에 대해 정사각형이 아닐 수 있다는 것을 관찰하면, 모든 양의 정수의 절반은 정사각형을 뺀 값이어야 하므로 정사각형이 아닌 정수가 되어야 한다.

${\displaystyle Q}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{}}$ ${\displaystyle 2}$+ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Q(x)\leq {\frac {x}{2}}+C},$ 일부 상수 C에 대한$$ 경우

$Q{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle Q(x)}$에 대한 위의 무증상 추정과는 반대로$.$

임의 길이의 연속 비제곱 정수의 순서가 존재한다. 실제로 n이 동시적 합치를 만족한다면

${\displaystyle n\equiv -i{\pmod {p_{i}^{2}}\qquad (i=1,2,\ldots,l)}$

${\displaystyle {}_{}}$되는 primes $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{p\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle }$, $...$ , p l {\$displaystyle p_{1},p_{$^[8]2},\ldots$,$$p_{l},$ 그 다음 $각{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n+i}$은 p로 구분된다_i ². On the other hand, the above-mentioned estimate ${\displaystyle Q(x)=6x/\pi ^{2}+O\left({\sqrt {x}}\right)}$ implies that, for some constant c, there always exists a square-free integer between x and ${\displaystyle x+c{\sqrt {x}}}$ for positive x. Moreover, an elementary argument a$x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle x\sqrt{}}$ x ${\$을(를) $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$/ 5 ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle x+cx^{1/5}\log x.}$로 교체할 수 있음$$^[9] ABC 추측은 $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}^{}}$ ${\displaystyle {(}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\$ 스타일 $x+x^{o(1)}}$을(를) 허용할 것이다$.$^[10]

Q(x) 표, 6/4x² 및 R(x)

표는 Q${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ $6$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ x ${\displaystyle {6}{\pi ^{2$}}$x}$가 10의 힘으로 어떻게 비교되는지 보여준다.

$R$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle Q}$( x${\displaystyle }$) = Q ( )${\displaystyle }$- 6 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ x ${\displaystyle R(x)=Q(x)-{\frac {6}{\pi$ $^{$2}}$x},$ $$$\Delta {\displaystyle \mathrm{}(}$x ${\displaystyle )}$ $($x $)$로 표시되기도 한다$.$

${\displaystyle x}$	${\displaystyle Q(x)}$	${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}x}$	${\displaystyle R(x)}$
10	7	6.1	0.9
102	61	60.8	0.2
103	608	607.9	0.1
104	6,083	6,079.3	3.7
105	60,794	60,792.7	1.3
106	607,926	607,927.1	- 1.3
107	6,079,291	6,079,271.0	20.0
108	60,792,694	60,792,710.2	- 16.2
109	607,927,124	607,927,101.9	22.1
1010	6,079,270,942	6,079,271,018.5	- 76.5
1011	60,792,710,280	60,792,710,185.4	94.6
1012	607,927,102,274	607,927,101,854.0	420.0
1013	6,079,271,018,294	6,079,271,018,540.3	- 246.3
1014	60,792,710,185,947	60,792,710,185,402.7	544.3
1015	607,927,101,854,103	607,927,101,854,027.0	76.0

${\displaystyle R}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle R(x)}$은(는) x ${\displaystyle x}$이(가) 무한대로 경향이$$ 있기 때문에 기호를 무한히 자주 변경한다$$.^[11]

$R{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle R(x)}$의 절대값은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 비해 놀라울 정도로 작다$$$.$

이진수로 인코딩

무한 제품으로 사각형이 없는 숫자를 나타내는 경우

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infit }}^{a_{n}},a_{n}\in \lbrace 0,1\rbrace,{\text{\p_{n}{n}{\text}{}}}}}는 }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {그런}_{}}$ 다음 n ${\$을(를) 사용하여 인코딩이 있는 이진수의 비트로 사용할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infit }{a_{n}\cdot 2^{n}.}$

무정사각형 42번에는 인수 2 × 3 × 7이 있고, 또는 무한 제품으로서¹¹ 2⁰ · 3 · 5¹ · 7⁰ · 11 · 13⁰ · 3 · 13 · . 따라서 숫자 42를 이진 순서 또는 소수 11로 인코딩할 수 있다. (무한제품의 순서에서 2진수가 거꾸로 된다.)

모든 숫자의 주요 인자화는 고유하기 때문에 제곱이 없는 정수의 모든 이진 인코딩도 마찬가지다.

그 반론도 사실이다. 모든 양의 정수는 고유한 이진 표현을 가지고 있기 때문에 이 인코딩을 반대로 하여 정사각형이 없는 고유한 정수로 디코딩할 수 있다.

다시, 예를 들어, 만약 우리가 42라는 숫자로 시작한다면, 이번에는 단순히 양의 정수로서, 우리는 그것의 이진 표현을 가지고 있다. 이것은⁰ 2 · 3¹ · 5⁰ · 7¹ · 7 · 11⁰¹ · 13 = 3 × 7 × 13 = 273으로 해독된다.

따라서 사각형 없는 숫자의 이진 부호화는 음이 아닌 정수와 양의 사각형 없는 정수 사이의 편차를 설명한다.

(OEIS의 시퀀스 A019565, A048672 및 A064273을 참조하십시오.)

에르드스 네모 없는 추측

중심 이항 계수

${\displaystyle {2n \선택 n}$

n > 4에 대해서는 결코 사각형이 아니다. 이는 1985년 안드라스 사르코지에 의해 충분히 큰 정수에 대해,^[12] 그리고 1996년 올리비에 라마레와 앤드류 그랜빌에 의해 모든 정수에 대해 증명되었다.^[13]

스퀘어프리 코어

곱셈 함수 $c{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ t ${\displaystyle {}_{}n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm {core} _{t}(n)$은 prime power presentation modulo t:에서 지수를 줄임으로써 n을 t-free 숫자에 매핑하도록 정의된다$$.

${\displaystyle \mathrm {core} _{t}(p^{e})=p^{e{\bmod{t}}.}$

$특히{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ c ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2}}_{}}${\$displaystyle \mathrm {core}$$_{2$}}의 값 집합은 제곱이 없는 정수다. Dirichlet 생성 기능은

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mathrm {core} _{t}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (ts)\zeta (s-1)}{\zeta (ts-t)}}}$.

OEIS 대표자는 OEIS: A007913(t=2), OEIS: A050985(t=3) 및 OEIS: A053165(t=4)이다.

메모들

참조

• Shapiro, Harold N. (1983). Introduction to the theory of numbers. Oxford University Press Dover Publications. ISBN 978-0-486-46669-9.
• Granville, Andrew; Ramaré, Olivier (1996). "Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients". Mathematika. 43: 73–107. CiteSeerX 10.1.1.55.8. doi:10.1112/S0025579300011608. MR 1401709. Zbl 0868.11009.
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
• "OEIS Wiki". Retrieved 24 September 2021.