소수점 수열

수론에서, 산술 급수에서의 소수는 산술 급수에서의 연속된 항인 적어도 3개의 소수들의 수열이다.예를 들어, 소수점 $0\leq n\leq 2$ 3, 7, 11)의 수열은 ${\$ $0\leq n\leq 2$ ({ $displaystyle 0\leq$ n\ $leq$ 2)에 대해 $a_{n}=3+4n$ $=$ + $a_{n}=3+4n$ n(\ $displaystyle a_{$ n}=3+ $4$ n)로 $a_{n}=3+4n$ 지정됩니다.

그린-토오 정리에 따르면, 산술적 수열에서 임의의 긴 소수 계열이 존재한다.때로는 합성수를 포함하는 산술 급수에 속하는 소수점에 대해서도 이 구를 사용할 수 있다.예를 들어 $an+b$ $an+b$ + $an+b$ b { $displaystyle an+$ b $an+b$ $an+b$ 의 산술적 수열에서 소수점에 대해 사용할 수 있습니다. 여기서 a와 b는 산술적 수열의 디리클레 정리에 따라 무한히 많은 소수점과 무한히 많은 합성물을 포함하는 코프라임입니다.

정수 k≤ 3의 경우 AP-k(일명 PAP-k)는 산술적 수열의 k개의 소수점 중 하나입니다.AP-k는 a·n+b 형식의 k개의 소수(공통차라고 함)와 b, n의 k개의 연속정수값으로 쓸 수 있다.AP-k는 보통 n = 0 ~k - 1로 표현된다.이것은 항상 b를 산술 급수의 첫 번째 소수로 정의함으로써 달성할 수 있다.

특성.

주어진 소수의 산술 급수는 유한한 길이를 가진다.2004년 벤 J. 그린과 테렌스 타오는 그린-타오 정리를 증명함으로써 오래된 추측을 해결했다.소수점에는 임의로 긴 산술 ^[1]급수가 포함됩니다.즉, 임의의 k에 대해 무한히 많은 AP-k가 존재합니다.

AP-k가 소수 k로 시작하지 않는 경우 공통적인 차이는 원시 k# = 2·3·5·...의 배수입니다.·j, 여기서 j는 최대 소수 ≤ k이다.

증명: AP-k는 n의 k개의 연속된 값에 대해 a·n+b로 합니다.소수 p가 a를 나누지 않으면 모듈식 산술은 p가 산술 수열의 모든 p번째 항을 나눕니다. ('예외 소수 트윈스, 삼중항, 다중항'의 H.J. Weber, Cor.10에서), ArXiv:1102.3075[math.NT])"쌍둥이, 삼중항 및 다중항 소수의 정규성", arXiv:1103.0447[math.NT], Global J.P.A.의 이론 2.3을 참조하십시오.수학 8(2012), 인쇄 중).AP가 k개의 연속된 값의 소수일 경우 a는 모든 소수 pµk로 나누어져야 합니다.

또한 공통의 차이가 a인 AP에는 a를 나누지 않는 최소 소수값보다 더 많은 소수항이 연속적으로 포함될 수 없음을 나타냅니다.

k가 소수일 경우 AP-k는 k로 시작하여 k#이 아닌 (k-1)#의 배수밖에 되지 않는 공통의 차이를 가질 수 있습니다.(H. J. Weber의 "Less Regular Exceptional and Repeating Prime Number Multiplets", ArXiv:1105.4092[math.NT], 3장).예를 들어 소수 {3, 5, 7} 및 공통차 2# = 2의 AP-3 또는 소수 {5, 11, 17, 23, 29} 및 공통차 4# = 6의 AP-5가 있습니다.이러한 예는 모든 소수 k에 존재할 것으로 추측된다.2018년 현재^[update], 이것이 확인된 최대 소수는 k = 19이며, 2013년 Wojciech I iykowski에 의해 발견된 이 AP-19의 경우 다음과 같다.

19 + 4244193265542951705·17#·n(n = 0 ~^[2]18).

이는 딕슨의 추측과 소수 k-튜플 추측의 일부 변형과 같이 널리 믿어지는 추측에서 비롯된다. 만약 p > 2가 a를 나누지 않는 최소 소수라면, 공통 차이 a를 갖는 AP-(p-1)가 무한히 많다.예를 들어, 5는 6을 나누지 않는 가장 작은 소수이므로 공통차 6을 갖는 AP-4가 무한히 많을 것으로 예상되며, 이를 섹시 프라임 사중항이라고 한다.a = 2, p = 3일 때, 이는 "AP-2"가 2개의 소수(b, b + 2)인 쌍둥이 소수 추측이다.

AP의 최소 소수점

마지막 ^[3]기간을 최소화합니다.

최소 AP-k

k	n = 0 ~ k-1의 소수
3	3 + 2n
4	5 + 6n
5	5 + 6n
6	7 + 30 n
7	7 + 150 n
8	199 + 210n
9	199 + 210n
10	199 + 210n
11	110437 + 13860n
12	110437 + 13860n
13	4943 + 60060n
14	31385539 + 420420n
15	115453391 + 4144140n
16	53297929 + 9699690n
17	3430751869 + 87297210n
18	4808316343 + 717777060n
19	8297644387 + 4180566390n
20	214861583621 + 18846497670n
21	5749146449311 + 26004868890n

AP에서 알려진 최대 소수점

소수 Q의 경우, q#은 소수 2/3·5·7·...를 나타냅니다.·q.

2019년 9월^[update] 현재 가장 오래된 AP-k는 AP-27입니다.AP-26에는 몇 가지 예가 있습니다.2010년 4월 12일, Bryan Little에 의해 PlayStation ^[2]3에 포팅된 Jaroswaw Wroblewski와 Geoff Reynolds의 소프트웨어가 설치된 PlayStation 3의 Benoawt Perichon에 의해 처음으로 발견되었다.

43142746595714191 + 23681770·23#·n(n = 0 ~25). (23# = 223092870)(OEIS의 시퀀스 A204189)

첫 번째 AP-26이 발견되었을 때 PrimeGrid는^[4] 검색을 131,436,182개의 세그먼트로 나누어 전 세계 32/64비트 CPU, Nvidia CUDA GPU 및 Cell 마이크로프로세서에 의해 처리했습니다.

그 이전에는 2008년 ^[2]5월 17일 Raan Chermoni와 Jaroswaw Wroblewski가 발견한 AP-25가 기록이었습니다.

6171054912832631 + 366384·23#·n(n = 0 ~24). (23# = 223092870)

AP-25 검색은 Athlon 64에서 약 3분 걸리는 세그먼트로 나뉘었고, Wroblewski는 "라난이 1,000,000 미만의 세그먼트를 ^[5]거쳤다고 생각한다"고 보고했다(Athlon 64에서는 약 57 CPU년이 걸렸다).

이전의 기록은 2007년 1월 18일 Jaroswaw Wroblewski가 단독으로 발견한 AP-24였다.

468395662504823 + 205619·23#·n(n = 0 ~23).

이 보고서에서는 64비트 Athlons 15대, 듀얼코어 64비트 Pentium D 805대, 32비트 Athlons 2500대, Durons ^[6]900대 등 총 75대의 컴퓨터를 사용했습니다.

다음 표는 검출 연도와 종료 소수점에서의 소수점 이하 자릿수를 가진 기존의 최대 AP-k를 나타내고 있습니다.기존의 가장 큰 AP-k는 AP-(k+1)의 끝일 수 있습니다.일부 레코드 세터에서는 먼저 고정 p를 사용하여 c·p#+1 형식의 큰 소수 집합을 계산하고 다음으로 소수를 생성한 c 값 중 AP를 검색합니다.이는 일부 레코드의 표현에 반영됩니다.표현은 a·n+b로 쉽게 고쳐 쓸 수 있다.

2022년 4월^[2] 현재 알려진 최대 AP-k

k	n = 0 ~ k-1의 소수	숫자	연도	디스커버
3	(806879602425·2-1^1290000) + (33·2^2939063 - 5606879602425·2^1290000)·n	884748	2021	라이언 프로퍼, 세르게 바탈로프
4	(6727153 + 5210718·n)·60919#+1	26383	2022	세르게 바탈로프
5	(440012137 + 18195056·n)·30941#+1	13338	2022	세르게 바탈로프
6	(14454944+141836149·n)·16301#+1	7036	2018	켄 데이비스
7	(2554152639 + 577051223·n)·7927# + 1	3407	2022	세르게 바탈로프
8	(9898104751 + 3026809034·n) · 5303# + 1	2271	2019	노먼 런, 폴 언더우드, 켄 데이비스
9	(65502205462 + 6317280828·n) · 2371# + 1	1014	2012	켄 데이비스, 폴 언더우드
10	(20794561384 + 1638155407·n) · 1050# + 1	450	2019	노먼 런
11	(16533786790 + 1114209832·n) · 666# + 1	289	2019	노먼 런
12	(15079159689 + 502608831·n)·1024 # + 1	180	2019	노먼 런
13	(50448064213 + 4237116495·n)·229# + 1	103	2019	노먼 런
14	(55507616633 + 670355577·n) · 229# + 1	103	2019	노먼 런
15	(14512034548 + 87496195·n)·1024 # + 1	68	2019	노먼 런
16	(9700128038 + 75782144·(n+1)·83# + 1	43	2019	노먼 런
17	(9700128038 + 75782144·n)·83# + 1	43	2019	노먼 런
18	(33277396902 + 139569962 · (n+1) · 53# + 1	31	2019	노먼 런
19	(33277396902 + 139569962·n)·53# + 1	31	2019	노먼 런
20	23 + 134181089232118748020·19#·n	29	2017	보이치에흐 이지코스키
21	55477969915859897641 + 29#·n	22	2014	야로스와프 브로블레스키
22	22231637631603420833 + 8·41#·(n+1)	20	2014	야로스와프 브로블레스키
23	22231637631603420833 + 8·41#·n	20	2014	야로스와프 브로블레스키
24	224584605939537911 + 81292139·23#·(n+3)	18	2019	롭 게한, 프라임 그리드
25	224584605939537911 + 81292139·23#·(n+2)	18	2019	롭 게한, 프라임 그리드
26	224584605939537911 + 81292139·23#·(n+1)	18	2019	롭 게한, 프라임 그리드
27	224584605939537911 + 81292139·23#·n	18	2019	롭 게한, 프라임 그리드

산술적 수열의 연속 소수점

산술수열의 연속소수는 산술수열의 연속항인 적어도 3개의 연속소수를 말한다.AP-k와는 달리 진행 조건 사이의 다른 모든 숫자는 복합 값이어야 합니다.예를 들어 AP-3 {3, 7, 11}은(는) 5도 소수이므로 적합하지 않습니다.

정수 k ≤ 3에 대해 CPAP-k는 k개의 연속된 소수이다.임의로 긴 CPAP가 있는 것으로 추측된다.이는 모든 k에 대해 무한히 많은 CPAP-k를 의미합니다.CPAP-3의 중간 소수는 균형 소수라고 불립니다.2022년 현재^[update] 가장 큰 숫자는 15004자리입니다.

최초의 CPAP-10은 1998년 Manfred Topplic에 의해 Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, Michel Mizony 및 Paul Zimmermann에 ^[7]의해 조직된 분산 컴퓨팅 프로젝트 CP10에서 발견되었습니다.이 CPAP-10은 7# = 210의 가능한 최소 공통차를 가집니다.2018년 현재 CPAP-10으로 알려진 유일한 CPAP-10은 2008년 같은 사람에 의해 발견되었다.

CPAP-11이 존재하는 경우 11# = 2310의 배수인 공통의 차이가 있어야 합니다.따라서 11개의 소수 중 첫 번째와 마지막 소수의 차이는 23100의 배수가 됩니다.11개의 소수점 사이에 적어도 23090개의 합성 번호가 필요하기 때문에 CPAP-11을 찾는 것은 매우 어려워 보입니다.더브너와 짐머만은 CPAP-10보다 ^[8]적어도¹² 10배는 더 단단할 것으로 추정하고 있다.

AP의 최소 연속 소수점

CPAP-k의 첫 번째 발생은 k≤ 6(OEIS의 시퀀스 A006560)에 대해서만 알려져 있습니다.

최소 CPAP-k^[9]

k	n = 0 ~ k-1의 소수
3	3 + 2n
4	251 + 6n
5	9843019 + 30n
6	121174811 + 30n

AP에서 알려진 최대 연속 소수점

이 표는 k = 3 ~ 10에 대해 산술적 연속적으로 k개의 소수가 존재하는 가장 큰 경우를 보여준다.

2022년 ^[10]4월^[9] 현재 가장 큰 CPAP-k,

k	n = 0 ~ k-1의 소수	숫자	연도	디스커버
3	2494779036241 · 2⁴⁹⁸⁰⁰ + 1 + 6n	15004	2022	세르게 바탈로프
4	62399583639 · 9923# - 3399421607 + 30n	4285	2021	세르게 바탈로프
5	2738129459017 · 4211# + 3399421517 + 30n	1805	2022	세르게 바탈로프
6	53309836554 · 2357# + 3399421517 + 30n	1012	2021	세르게 바탈로프
7	145706980166212 · 1069# + x₂₅₃ + 420 + 210n	466	2021	세르게 바탈로프
8	8081110034864 · 619# + x₂₅₃ + 210 + 210 n	272	2021	세르게 바탈로프
9	7661619169627 · 379# + x₁₅₃ + 210n	167	2021	세르게 바탈로프
10	189382061960492204 · 257# + x₁₀₆ + 210n	121	2021	세르게 바탈로프

x는_d 소수점 사이에 필요한 컴포지트 중 비정상적으로 많은 수의 작은 인자를 확보하기 위해 위의 레코드 중 하나에서 사용되는 d자리 숫자입니다.
x₁₀₆ = 115376 222832726497420 78637565852209646810 56709682233916942487 509252343185977097 083158339094378791
x₁₅₃ = 9656383640115 0396547227409810 695853057694471085 87650405377826 98320398681243637298 57205796522034199218 0988129732061363 55565438188074 = 379₂₅₃#
x₂₅₃ = 1617599999298905 320471304802538658739879 836579879 836255156677103737377181199 9113122595507343774520536148 51992474776758 816780187247878484387377484377484407484377484377484377377377377377377377377378

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Green, Ben; Tao, Terence (2008), "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions", Annals of Mathematics, 167 (2): 481–547, arXiv:math.NT/0404188, doi:10.4007/annals.2008.167.481, MR 2415379, S2CID 1883951
^ ^a ^b ^c ^d 옌스 크루즈 안데르센과 노먼 룬, 산술수열기록의 소수점.2020-08-31을 취득했습니다.
^ OEIS 시퀀스 A133277
^ 존, AP26 포럼입니다.2013년 10월 20일 취득.
^ Wróblewski, Jarosław (2008-05-17). "AP25". primenumbers (Mailing list). Retrieved 2008-05-17.
^ Wróblewski, Jarosław (2007-01-18). "AP24". primeform (Mailing list). Retrieved 2007-06-17.
^ H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony, H. Nelson, P. Zimmermann, 산술 급수 10개의 연속 소수, 계산의 수학 71(2002), 1323–1328.
^ 맨프레드 토픽, 나인 앤 텐 프라임 프로젝트2007-06-17에 취득.
^ ^a ^b 옌스 크루즈 안데르센, 알려진 가장 큰 CPAP입니다.2020년 1월 28일에 회수.
^ 크리스 K.콜드웰, 알려진 가장 큰 CPAP입니다.2021-01-28에 취득.

레퍼런스

크리스 콜드웰, 프라임 글로사리: 산술적 수열, 상위 20위: 소수점 및 상위 20개의 산술적 수열: 산술 수열의 연속 소수점, 모두 프라임 페이지에 수록되어 있습니다.
Weisstein, Eric W. "Prime Arithmetic Progression". MathWorld.
야로스와프 브로블레스키 산술 급수에서 26개의 소수를 어떻게 검색합니까?
P. Erd's 및 P.투란, J.런던 수학의 정수 수열도 있어Soc. 11(1936), 261~264.

[1] Green, Ben; Tao, Terence (2008), "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions", Annals of Mathematics, 167 (2): 481–547, arXiv:math.NT/0404188, doi:10.4007/annals.2008.167.481, MR 2415379, S2CID 1883951

[APrecords-2] 옌스 크루즈 안데르센과 노먼 룬, 산술수열기록의 소수점.2020-08-31을 취득했습니다.

[3] OEIS 시퀀스 A133277

[PrimeGridForum-4] 존, AP26 포럼입니다.2013년 10월 20일 취득.

[5] Wróblewski, Jarosław (2008-05-17). "AP25". primenumbers (Mailing list). Retrieved 2008-05-17.

[6] Wróblewski, Jarosław (2007-01-18). "AP24". primeform (Mailing list). Retrieved 2007-06-17.

[7] H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony, H. Nelson, P. Zimmermann, 산술 급수 10개의 연속 소수, 계산의 수학 71(2002), 1323–1328.

[8] 맨프레드 토픽, 나인 앤 텐 프라임 프로젝트2007-06-17에 취득.

[Kruse_Andersen-9] 옌스 크루즈 안데르센, 알려진 가장 큰 CPAP입니다.2020년 1월 28일에 회수.

[Chris_K._Caldwell-10] 크리스 K.콜드웰, 알려진 가장 큰 CPAP입니다.2021-01-28에 취득.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

v t 소수 클래스
공식에 의한	페르마 ( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센 $(2 p$ - 1) $더블 2 p -1$ 메르센(2 - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로스( $k \cdot2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 초기( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스어 ( $4n$ + $1$ ) 피어폰트( $2 m \cdot3 n +1$ ) 쿼탄( $x 4$ + $y 4$ ) 솔리나(2 ± $2 m$ ± $1 n$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) 우돌( $n \cdot2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3$ - $y 3)/(x$ - $y$ ) 레이랜드 ( $x y$ + $y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) 윌리엄스(( $b-1)\cdotb-1 n$ ) 밀스( $A 3 n)$
정수순서별	피보나치 루카스 펠 뉴먼 생크스 윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
속성별	비페리히(페어) 벽-태양-태양 볼스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 규칙적인. 강한. 스턴 슈퍼싱귤러(엘리전트 곡선) 초대칭(문신 이론) 좋아요. 잘 하는 군요 힉스 고공역성
베이스 의존	회문 에미르프 유닛 $(10 n$ - $1)/9$ 치환 가능 원형 잘라낼 수 있다 최소 연약한 원시 전체 파충류 독특한 행복해 자신 스마란다슈웰린 스트로보그라마틱 이면체 테트라디크
패턴	트윈 ( $p, p$ + $2$ ) 쌍방향 체인( $n \pm 1$ , $2n \pm 1$ , $4n \pm 1$ , $\dots)$ 삼중항( $p, p$ + 2 $또는$ p + $4,$ p + $6$ ) 4중항( $p, p$ + 2 $, p$ + $6,$ p + $8$ ) k태플 사촌 ( $p, p$ + $4$ ) 섹시 ( $p, p$ + $6$ ) 첸 Sophie Germain / Safe ( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p \pm 1$ , $4p \pm 3$ , $8p$ $\pm 7$ , $...)$ 산술 수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0, 1, 2, 3$ , $...)$ 밸런스( $연속$ p - $n,$ $p, p$ + $n$ )
크기별	메가(1,000,000자리 이상) 알려진 최대 크기
복소수	아이젠슈타인 소수 가우스 프라임
합성수	의사 시간 카탈로니아어 타원형 오일러 오일러-야코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머-루카스 강한. 카마이클 수 거의 프라임 세미프라임 인터프라임 유해.
관련 토픽	개연소수 산업용 프라임 부정한 소수 소수 공식 프라임 갭
처음 60개의 소수점	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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