소수 원소

수학에서, 특히 추상 대수학에서, 교환환의 소수는 정수의 소수와 유사한 특정 성질을 만족시키는 물체이며, 환원 불가능한 다항식이다.UFD에서 동일하지만 일반적으로 동일하지 않은 개념인 환원 불가능한 요소와 주요 요소를 구별하도록 주의해야 한다.

정의.

교환환 R의 원소 p는 0원소 또는 단위가 아니면 소수이며, p가 R의 일부 a, b를 분할할 때마다 p는 a 또는 p를 분할한다.이 정의와 함께, 유클리드의 보조 원리는 소수들이 정수의 고리 안에 있는 소수 원소라는 주장이다.마찬가지로 원소 p는 p에 의해 생성되는 주 아이디얼 p가 0이 아닌 소수 ^[1]아이디얼인 경우에만 프라임이다.(적분 영역에서 이상(0)은 소수 이상이지만, 0은 소수 원소의 정의에서 예외입니다.)

소수 원소에 대한 관심은 각 0이 아닌 정수는 본질적으로 1 또는 -1에 양의 소수 곱을 곱한 방법으로만 쓰여질 수 있다고 주장하는 산술의 기본 정리로부터 온다.이는 정수에 방금 설명된 것을 일반화하는 고유한 인수 분해 영역의 연구로 이어졌다.

소수가 된다는 것은 원소가 어떤 고리에 있다고 간주되는가에 대한 상대적인 것입니다. 예를 들어, 2는 Z의 소자이지만 2는 가우스 정수의 고리인 Z[i]에 있지 않습니다. 2 = (1 + i)(1 - i)와 2는 오른쪽의 인자를 나누지 않기 때문입니다.

가장 중요한 이상과의 관계

계수링 R/I가 적분 도메인일 경우 링 R 내의 이상 I는 소수이다.

적분 영역에서 0이 아닌 주 이상은 소자에 의해 생성되는 경우에만 소수가 된다.

환원 불가능한 원소

주요 원소는 환원 불가능한 원소와 혼동해서는 안 된다.적분 영역에서는 모든 소수는 환원할^[2] 수 없지만 일반적으로 그 반대는 사실이 아니다.단, 고유한 인수분해 ^[3]영역 또는 GCD 영역에서는 소수점과 환원 불가능한 값이 동일하다.

예

다음은 링 내 주요 요소의 예입니다.

• 정수 Z의 링에 있는 정수 ±2, ±3, ±5, ±7, ±11,
• 가우스 정수 Z[i]의 환에 있는 복소수(1+i), 19 및 (2+3i)
• Z[x]의 다항식² x - 2와² x + 1, Z에 대한 다항식의 고리입니다.
• 비율 링 Z/6Z에 2개
• x² + (x² + x)는 소수이지만 링 Q[x]/(x² + x)에서는 축소할 수 없습니다.
• 정수쌍의 고리² Z에서 (1, 0)은 소수이지만 환원할 수 없다(1,² 0) = (1, 0)를 가진다.
• $대수정수{\displaystyle \mathbf{}}$Z${\displaystyle \sqrt{}}$[ - $],$ {\$displaystyle \mathbf {Z} [{\displayrt${-5$}}}$의 환에서, 원소 3은 환원 불가능하지만 소수는 아니다(3은 9를 $=$ ($2+{\displayrt${-$5})$ (2 -$)${-5$}$는 나누지 않는다).

레퍼런스

메모들

원천

• 섹션 III.3Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 73 (Reprint of 1974 ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90518-1, MR 0600654
• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra. II (2 ed.), New York: W. H. Freeman and Company, pp. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787
• Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., pp. x+180, MR 0254021