제곱수

수학에서 제곱수( perfect數, )는 정수의 제곱인 정수를 말합니다. 즉, 어떤 정수와 그 정수의 곱입니다.예를 들어, 9는 $3$ 과² 같으므로 $제곱수이며 3$ × 3으로 쓸 수 있습니다.

n의 제곱에 $대한$ 일반적인 표기법은 $곱$ n × $n$ 이 아니라 동등한 지수 $n$ 이며², 보통 " $n$ 제곱"으로 발음됩니다.사각형이라는 이름은 모양의 이름에서 따온 것입니다.면적 단위는 단위 제곱( $1$ × $1$ )의 면적으로 정의됩니다.따라서 변의 길이가 $n$ 인 정사각형은 면적 $n$ 을² 갖습니다.제곱수가 n개의 점으로 표시되면 각 변의 점 수가 n의 제곱근과 동일한 제곱으로 점을 행으로 배열할 수 있습니다. 따라서 제곱수는 도형수의 한 종류입니다(다른 예로는 세제곱수와 삼각수가 있습니다).

실수 체계에서 제곱수는 음수가 아닙니다.음이 아닌 정수는 제곱근이 다시 정수일 때 제곱수입니다.예를 들어 ${\sqrt {9}}=3,$ = ${\sqrt {9}}=3,$ , ${\displaystyle {\sqrt {$ 9}} = $3,}$ 이므로 9는 제곱수입니다.

1을 제외하고 제곱수가 없는 양의 정수를 제곱 프리라고 합니다.

음이 아닌 정수 $n$ 의 경우 n번째 제곱수는 $n$ 이고, $0$ = $0$ 은 0입니다.제곱의 개념은 몇몇 다른 수 체계로 확장될 수 있습니다.유리수가 포함된 경우 제곱은 두 제곱 정수의 비율이고, 반대로 두 제곱 정수의 비율은 제곱입니다. 예를 들어 $\textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$ = $\textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$ ( $\textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$ ) ${\displaystyle {\frac {4}{9$ }}=\ $left$ ({\ $frac {2}{3}\right)^{2}}.$

1부터 시작하여 $m$ 까지 ⌊ $\lfloor {\sqrt {m}}\rfloor$ 의 ⌋ {\ $displaystyle$ \ $l$ floor {\ $sqrt$ { $m}}\rfloor }$ 개의 제곱수가 존재하며, 여기서 식 ⌊ $\lfloor x\rfloor$ ⌋ $\lfloor x\rfloor }$ 는 $x개$ 의 바닥을 나타냅니다.

예

60 = 3600보다 작은 정사각형(OEIS의 A000290 수열)은 다음과 같습니다.

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

임의의 완전 제곱과 그 앞 제곱의 차이는 $항등식$ n - $(n$ - $1)$ = $2n$ - $1$ 로 주어집니다. 이와 동등하게 마지막 제곱, 마지막 제곱의 근, 현재 근, $즉$ n = ( $n$ - $1) +$ ( $n$ - $1)$ + $n$ 을 합하여 제곱수를 셀 수 있습니다.

특성.

숫자 m은 제곱에 m개의 점을 배열할 수 있는 경우에만 제곱수입니다.

$m = 1 = 1$
$m = 2 = 4$
$m = 3 = 9$
$m = 4 = 16$
$m = 5 = 25$

n번째 제곱수에 대한 식은 $n$ 입니다².이 값은 위의 그림에서 볼 수 있는 것처럼 $처음$ n개의 홀수를 합한 것과도 같으며, 여기서 정사각형은 홀수의 점(마젠타로 표시)을 더함으로써 이전의 것과 결과가 됩니다.공식은 다음과 같습니다.

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).

예를 들어

5

=

25

=

1

+

3

+

5

+ 7 +

9

입니다.

제곱수를 계산하는 데는 몇 가지 재귀적 방법이 있습니다.예를 들어, n번째 제곱수는 $n$ = ( $n$ - 1 $)$ + ( $n$ - $1)$ + n= ( $n$ - 1 $)$ + ( $2n$ - 1)로 이전 제곱으로부터 계산할 수 있습니다 $.$ $또는$ n = $2(n$ - $1)$ - $(n$ - $2)$ + $2$ 이기 $때문$ 에 n - 1 $제곱$ 을 곱하고 n $- 2$ 제곱수를 뺀 후 2를 더하면 앞의 2에서 n 제곱수를 계산할 수 있습니다. 예를 들어,

2

×

5

-

4

+ 2

= 2

×

25

-

16

+ 2

= 50

-

16

+ 2

= 36

=

6

.

숫자 $m$ 에서 1을 뺀 제곱은 항상 $m-1$ - $m-1$ 1 $m-1$ 과 $m-1$ $m+1;$ + $m+1;$ 의 곱입니다 $m+1;$ $m+1;$ ${\displaystyle m+1;},$ 즉,

m^{2}-1=(m-1)(m+1).

예를 들어,

7

=

49

이므로 하나는

6\times 8=48

×

6\times 8=48

=

6\times 8=48

{\displaystyle 6\times

8 = 48

}

입니다

6\times 8=48

소수는 단지

1

의 인자를 가지고 그 자신을 가지고 있고,

m

=

2

는 위의 식의 오른쪽에

1

의 인자를 주는

유일

한 0이 아닌 값이므로,

3

은 제곱보다 작은 유일한 소수 (3 = 2 -

1

)입니다.

일반적으로 두 숫자의 제곱의 차이는 두 숫자의 합과 차이의 곱입니다.그것은,

a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

이것은 squares의 차분 공식으로, 암산에 유용할 수 있습니다. 예를 들어,

47

×

53

은

50

-

3

=

2500

-

9

=

2491

로 쉽게 계산할 수 있습니다.제곱수는 연속되는 두 삼각형 숫자의 합이기도 합니다.연속되는 두 제곱수의 합은 중심이 되는 제곱수입니다.모든 홀수 제곱은 중심이 있는 팔각형 수이기도 합니다.

제곱수의 또 다른 속성은 (0을 제외하고) 홀수의 양수를 갖는 반면 다른 자연수는 짝수의 양수를 갖는다는 것입니다.정수근은 제곱수를 산출하기 위해 자신과 쌍을 이루는 유일한 약수이며, 다른 약수들은 쌍을 이룹니다.

라그랑주의 4제곱 정리는 임의의 양의 정수는 4개 이하의 완전 제곱의 합으로 쓸 수 있다고 말합니다. $3개의 k 정사각형$ 은 $4($ 8m + 7) 형태의 숫자로는 충분하지 않습니다 $.$ 양의 정수는 소인수분해가 $4k$ + $3$ 형태의 소수의 홀수 거듭제곱을 포함하지 않는 경우 정확히 두 제곱의 합으로 나타낼 수 있습니다.이것은 와링의 문제로 일반화됩니다.

밑 10에서 제곱수는 0, 1, 4, 5, 6 또는 9의 숫자로만 끝날 수 있습니다.

숫자의 끝자리가 0이면, 그 제곱은 00으로 끝납니다.
숫자의 끝자리가 1 또는 9일 경우, 그 정사각형은 짝수 자리로 끝나고 그 다음에 1이 나옵니다.
숫자의 끝자리가 2 또는 8이면, 그 정사각형은 짝수 자리로 끝나고 그 뒤에 4.
숫자의 끝자리가 3 또는 7이면, 그 정사각형은 짝수 자리로 끝나고 그 뒤에 9가 나옵니다.
숫자의 끝자리가 4 또는 6이면, 그 정사각형은 홀수 자리로 끝나고 그 뒤에 6이 나옵니다.
만약 어떤 숫자의 끝자리가 5이면, 그 숫자의 제곱은 25로 끝납니다.

밑줄 12에서 제곱수는 다음과 같이 제곱수(밑줄 12에서와 같이 소수는 소수 또는 1로만 끝날 수 있음), 즉 0, 1, 4 또는 9로 끝날 수 있습니다.

숫자가 2와 3으로 둘 다 나뉠 경우(즉, 6으로 나뉠 수 있음), 그 정사각형은 0으로 끝나며, 앞자리는 0 또는 3이어야 합니다.
만약 어떤 숫자가 2나 3으로 나뉠 수 없다면, 그 정사각형은 1로 끝나고, 그 앞자리는 짝수여야 합니다.
숫자가 2로 나뉠 수 있지만 3으로 나뉠 수 없는 경우, 그 정사각형은 4로 끝나며, 그 앞자리는 0, 1, 4, 5, 8, 9이어야 합니다.
만약 어떤 숫자가 2로 분할되지 않고 3으로 분할된다면, 그 숫자의 정사각형은 9로 끝나고, 그 숫자의 앞자리는 0 또는 6이어야 합니다.

다른 밑줄이나 이전 숫자(예를 들어 단위 숫자 대신 십)에도 유사한 규칙이 제공될 수 있습니다.^{[citation needed]}이러한 모든 규칙은 고정된 사례 수를 확인하고 모듈러 산술을 사용하여 증명할 수 있습니다.

일반적으로 만약 $소수$ p가 $제곱수$ m을 $나눈다면$ p의 $제곱$ 도 m을 나눈다; $만약$ $p$ 가m/ $p$ 를 나누지 못한다면 $m$ 은 제곱이 아닙니다.앞 문장의 나눗셈을 반복하면서, 모든 소수는 주어진 완전 제곱을 짝수의 횟수(가능한 0회 포함)로 나누어야 한다는 결론을 내립니다.따라서 숫자 $m$ 은 표준 표현에서 모든 지수가 짝수인 경우에만 제곱수입니다.

제곱 검정은 큰 수의 인수 분해에서 대안적인 방법으로 사용될 수 있습니다.분할 가능성을 검정하는 대신 제곱성을 검정합니다. 주어진 $m$ 과 어떤 수 $k$ 에 $대해 2$ k - $m$ 이 $정수$ n의 $제곱$ 이면k - $n$ 은 m을 나눕니다. (이것은 두 제곱 차이의 인수분해를 적용한 것입니다.)예를 들어 $1002$ - $9991$ 은 3의 제곱이므로 결과적으로 $100$ - $3$ 은 9991을 나눕니다.이 검정은 $k$ - $n$ 에서 $k$ + n $범위$ 의 홀수 분할자에 대해 결정적이며, $k$ 는 자연수 $k\geq {\sqrt {m}}.$ ≥ $k\geq {\sqrt {m}}.$ 의 일부 범위를 포함합니다 $k\geq {\sqrt {m}}.$ $k\geq {\sqrt {m}$

제곱수는 완벽한 수가 될 수 없습니다.

n개의 첫 제곱수의 합은

\sum _{n=0}^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}

이들 합의 첫 번째 값인 사각뿔수는 다음과 같습니다. (OEIS의 A000330 수열)

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

1로 시작하는 첫 홀수 정수의 합은 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7 등의 완벽한 제곱입니다.이것은 갈릴레오의 홀수 법칙을 설명합니다: 만약 정지 상태에서 떨어지는 물체가 첫 번째 임의의 시간 구간에서 거리의 한 단위를 덮는다면, 그것은 같은 길이의 다음 시간 구간에서 거리의 단위인 3, 5, 7 등을 덮습니다. $s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$ = $s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$ + 12 $s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$ $s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$ ${\displaystyle$ s = $ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2$ $u$ = $0$ , 상수 $a$ (공기 저항이 없는 중력에 의한 acce)에서 $s$ 는 $t$ 에 비례하며, 시작점으로부터의 거리는 경과한 시간의 정수 값에 대해 연속 제곱입니다.

n개의 첫 번째 정육면체의 합은 n개의 첫 번째 양의 정수의 합의 제곱입니다. 이것이 니코마코스의 정리입니다.

네 번째 힘, 여섯 번째 힘, 여덟 번째 힘 등은 모두 완벽한 사각형입니다.

삼각형 $T_{n}$ $T_{n}$ ${\$ 와의 고유한 관계는 다음과 $T_{n}$ 같습니다.

{\displaystyle(T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}}

홀수와 짝수 제곱수

짝수인 제곱은 짝수이며 $(2n)$ = $4n$ 이므로 4로 나눕니다.( $2n$ + 1 $)$ = $4n$ $(n$ + $1)$ + $1$ 이고 $n$ ( $n$ + $1)$ 은 항상 짝수이므로 홀수인 제곱은 홀수이고 1 모듈로 8과 일치합니다.즉, 모든 홀수 제곱수는 8로 나눌 때 1의 나머지를 갖습니다.

모든 홀수 완전 제곱은 중심이 잡힌 팔각형 수이다.임의의 두 홀수 완전 제곱 간의 차이는 8의 배수입니다.1과 임의의 높은 홀수 완벽 제곱의 차이는 항상 삼각수의 8배이고, 반면 9와 임의의 높은 홀수 완벽 제곱의 차이는 삼각수에서 8을 뺀 8배입니다.모든 삼각형 수는 홀수 인자를 갖지만 $2$ 의ⁿ 두 값이 홀수 인자를 포함하는 양만큼 다르지 않기 때문에 $2 n$ - $1$ 형태의 유일한 완전 제곱은 1이고 $2 n$ + $1$ 형태의 유일한 완전 제곱은 9입니다.

특수한 경우

숫자가 $m5$ 형태이고, $m$ 은 앞의 숫자를 나타내며, 그 제곱은 $n25$ 이고, $n$ = $m (m$ + $1)$ 이며, 25 이전의 숫자를 나타냅니다.예를 들어, 65의 제곱은 $n$ = 6 × $(6$ + $1)$ = $42$ 로 계산할 수 있으므로 제곱은 4225와 같습니다.
숫자가 $m0$ 형식이고, $m$ 은 앞의 숫자를 나타내며, 그 제곱은 $n00$ 이고, $n$ = $m$ 입니다.예를 들어, 70의 제곱은 4900입니다.
숫자가 2자리이고, $m$ 이 단위 숫자를 나타내는 $5m$ 형태일 경우, 그 제곱은 $aa$ = $25$ + m, $bb$ = $m$ 인 $abb$ 입니다.예를 들어, 57의 제곱을 계산하려면 $m$ = $7$ 및 $25$ + 7 = $32$ 및 $7$ = $49$ 이므로 $57$ = $3249$ 입니다.
만약 숫자가 5로 끝나면, 그 제곱은 5로 끝납니다. 마찬가지로 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625 등으로 끝납니다.만약 숫자가 6으로 끝나면, 그 제곱은 6으로 끝나며, 마찬가지로 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376으로 끝납니다.예를 들어, 55376의 제곱은 3066501376이고 둘 다 376으로 끝납니다. (5, 6, 25, 76 등의 숫자를 오토모픽 숫자라고 합니다.OEIS의 A003226 서열입니다.)^[3]
기본 10에서 제곱수의 마지막 두 자리는 25의 배수를 중심으로 대칭적으로 대칭된 반복 패턴을 따릅니다.24 및 26의 예에서는 모두 25, $24$ = $576$ 및 $26$ = $676$ 에서 1이 꺼지고 모두 76으로 끝납니다.일반적으로 ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ ( ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ + x ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ ) 2 - ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ - ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ ) ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ = ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ x ${\textstyle (25$ n + $x)^{2}$ - ( $25$ n - x $)^{2$ } = $100nx}.$ 250의 배수를 중심으로 마지막 세 자리의 경우에도 유사한 패턴이 적용됩니다 ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ 결과적으로 가능한 마지막 두 자리 수 100개 중 22개만이 제곱수 중에서 발생합니다(00과 25가 반복되므로).

참고 항목

Bramagupta–Fibonacci 항등식 – 제곱합의 곱을 제곱합으로 표현
큐빅 수 – 세 번째 거듭제곱까지 끌어올린 수
오일러의 4제곱 항등식 – 4제곱의 합으로 표현된 4제곱의 합의 곱
두 제곱의 합에 대한 페르마의 정리 – 홀수 소수가 두 제곱의 합이라는 조건
몇 개의 정사각형과 관련된 일부 항등식
정수 제곱근 – 최대 정수 제곱근 이하
제곱근 계산 방법 – 제곱근 계산 알고리즘
2의 거듭제곱 – 정수의 거듭제곱으로 2를 올립니다.
피타고라스 삼중 – 직각 삼각형의 정수 변 길이
2차 잔차 – 완벽한 제곱 모듈로 어떤 정수
이차함수 – 차수 2의 다항함수
사각 삼각형 수 – 완벽한 사각형과 삼각형 수를 모두 나타내는 정수

메모들

^ 어떤 저자들은 유리수의 제곱을 완벽한 제곱이라고 부르기도 합니다.
^ Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (2008-01-14). The Mechanical Universe: Introduction to Mechanics and Heat. Cambridge University Press. p. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A003226 (Automorphic numbers: n^2 ends with n.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

추가열람

콘웨이, J.H. 그리고 가이, R.K.숫자의 서.뉴욕: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996.ISBN 0-387-97993-X
키란 파룰레카르.사각형의 놀라운 특성과 그 계산.키란 아닐 파룰레카르, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC

[1] 어떤 저자들은 유리수의 제곱을 완벽한 제곱이라고 부르기도 합니다.

[2] Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (2008-01-14). The Mechanical Universe: Introduction to Mechanics and Heat. Cambridge University Press. p. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.

[3] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A003226 (Automorphic numbers: n^2 ends with n.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[3]

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