산술적 조합론

수학에서, 산술 조합학은 수 이론, 조합론, 에르고딕 이론, 조화 해석의 교차점에 있는 분야이다.

범위

산술 조합론은 산술 연산(더하기, 빼기, 곱하기 및 나눗셈)과 관련된 조합 추정치에 관한 것입니다.가법 조합학은 덧셈과 뺄셈 연산만 수반하는 특수한 경우이다.

Ben Green은 Tao와 ^[1]Vu의 "Additive Combinatorics" 리뷰에서 산술 조합학을 설명합니다.

중요한 결과

세메레디의 정리

Szemerédi의 정리는 정수의 부분 집합에서 산술 급수에 관한 산술 조합론의 결과이다.1936년, 에르데스와 투란은 양의 자연 밀도를 가진^[2] 정수 A의 모든 집합이 k마다 k항 산술 급수를 포함한다고 추측했다.Szemerédi의 정리가 된 이 추측은 판 데르 바덴의 정리에 대한 진술을 일반화한다.

그린-타오 정리 및 확장

2004년 ^[3]벤 그린과 테렌스 타오에 의해 증명된 그린-타오 정리는 소수의 수열이 임의로 긴 산술 급수를 포함한다고 말한다.즉, k항이 있는 소수에는 산술적 수열이 존재하며, 여기서 k는 자연수가 될 수 있습니다.그 증거는 Szemerédi의 정리의 연장선이다.

2006년에 Terence Tao와 Tamar Ziegler는 다항식 ^[4]수열로 결과를 확장했다.보다 정확히는, 하나의 미지의 m에 정수값 다항식₁ P,..., P가_k 모두 상수항 0일 때, x + P₁(m), ..., x + P_k(m)가 동시에 소수인 정수 x, m이 무한히 많다.다항식이 m, 2m, ..., km인 특수한 경우는 소수의 길이 k의 산술적 수열이 있다는 이전 결과를 의미한다.

브루이야르-그린-타오 정리

2011년 ^[5]Emmanuel Breuillard, Ben Green, Taro에 의해 증명된 Breuillard-Green-Tao 정리는 대략적인 군들을 완전히 분류한다.이 결과는 프라이만 정리의 비벨적 버전과 다항식 성장 그룹에 대한 그로모프 정리의 일반화라고 볼 수 있다.

예

A가 N개의 정수 집합인 경우, 합계가 얼마나 크거나 작을 수 있는가?

${\displaystyle A+A:=\{x+y:x,y\in A\}$

차집합

${\displaystyle A-A:=\{x-y:x,y\in A\}$

제품 세트

$(\displaystyle A\cdot A:=\{xy:x,y\in A\})$

이러한 세트의 크기는 어떻게 관련되어 있습니까?(혼란하지 마세요: 차분 세트와 제품 세트는 다른 의미를 가질 수 있습니다.)

내선번호

연구되고 있는 집합은, 예를 들면 그룹, 링, ^[6]필드등의 정수 이외의 대수 구조의 서브 세트일 수도 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 덧셈수 이론
• 대략적인 그룹
• 코너즈 정리
• 에르고딕 램지 이론
• 산술 수열 문제
• 쉬니렐만 밀도
• 샤플리-포크만 법칙
• 사이돈 집합
• 무합금 세트
• 총곱 문제

메모들

레퍼런스

• Łaba, Izabella (2008). "From harmonic analysis to arithmetic combinatorics". Bull. Amer. Math. Soc. 45 (1): 77–115. doi:10.1090/S0273-0979-07-01189-5.
• Additive Combinatorics and Theological Computer Science, Luca Trevisan, SIGACT News, 2009년 6월
• Bibak, Khodakhast (2013). "Additive combinatorics with a view towards computer science and cryptography". In Borwein, Jonathan M.; Shparlinski, Igor E.; Zudilin, Wadim (eds.). Number Theory and Related Fields: In Memory of Alf van der Poorten. Vol. 43. New York: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. pp. 99–128. arXiv:1108.3790. doi:10.1007/978-1-4614-6642-0_4. ISBN 978-1-4614-6642-0.
• 가법 조합학, E Croot, V Lev의 미해결 문제
• 회전 바늘에서 파도의 안정성: 조합, 분석 및 PDE의 새로운 연결성, Terence Tao, AMS 통지 2001년 3월
• Tao, Terence; Vu, Van H. (2006). Additive combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 105. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-85386-9. MR 2289012. Zbl 1127.11002.
• Granville, Andrew; Nathanson, Melvyn B.; Solymosi, József, eds. (2007). Additive Combinatorics. CRM Proceedings & Lecture Notes. Vol. 43. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4351-2. Zbl 1124.11003.
• Mann, Henry (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Corrected reprint of 1965 Wiley ed.). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: the Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 164. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. MR 1395371.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 165. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. MR 1477155.

추가 정보

• Terence Tao의 산술 조합의 주요 특징, 자료
• 가법 조합: 2007년 겨울, K Soundarajan
• Luca Trevisan, Additive Combinatorics and Computer Science의 초기 연결