프리드먼 번호

프리드먼 번호는 주어진 숫자 체계로 표현되는 정수로서, 4개의 기본 산술 연산자(+, -, ×, ),), 첨가제 삽입자, 괄호, 지수, 결합자 중 어느 하나와 결합하여 자신의 모든 숫자를 사용한 비극 식의 결과물이다.여기서 비경쟁은 연결 외에 최소한 하나의 조작을 사용하는 것을 의미한다.선행 0은 024 = 20 + 4와 같은 사소한 프리드먼 번호도 초래할 수 있으므로 사용할 수 없다.예를 들어, 347 = 7³ + 4이기 때문에, 347은 소수점 체계에서 프리드먼 숫자다.소수 Friedman 번호는 다음과 같다.

25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, ... (sequence A036057 in the OEIS).

프리드먼 번호는 플로리다 주 더랜드에 위치한 스테톤 대학교의 이제 은퇴한 수학 교수인 에리히 프리드먼의 이름을 따서 지어졌다.

프리드먼 프라임은 프리드먼의 번호로도 역시 프라임이다.십진수 프리드먼 소수점은 다음과 같다.

127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15667, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, 21943, 27653, 28547, 28559, 29527, 29531, 32771, 32783, 35933, 36457, 39313, 39343, 43691, 45361, 46619, 46633, 46643, 46649, 46663, 46691, 48751, 48757, 49277, 58921, 59051, 59053, 59263, 59273, 64513, 74353, 74897, 78163, 83357, ... (sequence OEIS의 A112419).

결과 기준 10

처음 몇 개의 프리드먼 숫자의 표현은 다음과 같다.

번호를 붙이다	표현	번호를 붙이다	표현	번호를 붙이다	표현	번호를 붙이다	표현
25	52	127	27−1	289	(8+9)2	688	8×86
121	112	128	28−1	343	(3+4)3	736	36+7
125	51+2	153	3×51	347	73+4	1022	210−2
126	6×21	216	62+1	625	56−2	1024	(4−2)10

멋진 프리드먼 번호는 표현식의 숫자가 숫자 자체와 같은 순서로 배열될 수 있는 프리드먼 번호다.예를 들어 127 = 2⁷ - 1을 127 = -1 + 2로⁷ 배열할 수 있다.Friedman의 첫 번째 숫자는 다음과 같다.

127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864, 3972, 4096, 6455, 11264, 11664, 12850, 13825, 14641, 15552, 15585, 15612, 15613, 15617, 15618, 15621, 15622, 15623, 15624, 15626, 15632, 15633, 15642, 15645, 15655, 15656, 15662, 15667, 15688, 16377, 16384, 16447, 16875, 17536, 18432, 19453, 19683, 19739 (sequence A080035 in the OEIS).

멋진 프리드먼 프라임은 또한 프라임인 멋진 프리드먼 번호다.최초의 멋진 프리드먼 프라임은 다음과 같다.

127, 15667, 16447, 19739, 28559, 32771, 39343, 46633, 46663, 117619, 117643, 117763, 125003, 131071, 137791, 147419, 156253, 156257, 156259, 229373, 248839, 262139, 262147, 279967, 294829, 295247, 326617, 466553, 466561, 466567, 585643, 592763, 649529, 728993, 759359, 786433, 937577 (sequence A252483 in the OEIS).

프리드먼의 웹사이트에는 2020년^[update] 4월 현재 약 100개의 제롤리스 패디지탈 프리드먼 숫자가 나와 있다.그 중 2개는 123456789 = ((86 + 2 × 7)⁵ - 91) / 3, 987654321⁴ = (8 × (97 + 6/⁵2) + 1) + 1) / 3. 그⁴ 중 하나만 좋다: 268435179 = -268^{(3×5 − 17)} + 4 - 9.

마이클 브랜드는 Naturals 중에서 Friedman 번호의 밀도가 1이라는 것을 증명했는데,^[1] 즉 1과 n 사이에서 무작위로 그리고 균일하게 선택된 숫자가 Friedman 번호일 확률은 1을 무한대로 하는 경향이 있다는 것이다.이 결과는 프리드먼의 어떤 표현 기준에서도 확장된다.그는 또한 2진수, 3진수, 2진수 순서 프리드먼 숫자도 마찬가지라는 것을 증명했다.^[2]기지 10의 질서정연한 프리드먼 번호의 경우는 아직 공개되어 있다.

흡혈귀 번호는 프리드먼 번호의 하위 집합으로, 여기서 유일한 연산은 1260 = 21 × 60과 같은 수의 두 개의 숫자를 곱한 것이다.

2자리 프리드먼 번호 찾기

보통 3자리보다 2자리 프리드먼 숫자가 적고 어떤 주어진 베이스에서도 더 많지만, 2자리 프리드먼을 찾기가 더 쉽다.만약 우리가 두 자리 숫자를 mb + n으로 나타낸다면, 여기서 b는 b이고 n은 b-1의 정수인 경우, 우리는 어떤 것이 진실인지 확인하기 위해 mb + n = mⁿ, mb + n = n의^m 각 가능한 조합만을 확인하면 된다.m + n 또는 m × n은 n < b> 시 항상 mb + n보다 작기 때문에 우리는 우리 자신을 신경 쓸 필요가 없다.m - n과 m / n도 동일하다.

기타 베이스

일반결과

$base{\displaystyle }$ b${\displaystyle }$= ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ -${\displaystyle }$m ${\displaystyle b=mk-m$

${\displaystyle b^{2}+mb+k=(mk-m+m)b+k=mbk+k(mb+1)}$

Friedman 번호(기본 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에 1mk = k × m1)로$$ 기록됨.^[3]

base > ${\displaystyle b>2}$에서

${\displaystyle {(b^{n}+1)^{2}=b^{2n}+2{b^{n1}$

Friedman 번호($기본{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b}$에 100으로$$ 표기됨...00200...001 = 100..${\displaystyle \mathrm{001²}}$($n{\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle n-1}$개의$$ 0이 0이 아닌 각 숫자 사이에 있음)^[3]

$base{\displaystyle }$ b${\displaystyle }$= ${\displaystyle k\frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{k}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ b$={\frac {k-1)}{2$

${\displaystyle 2b+k=2\lefted\frac {k-1){2}}\오른쪽)+k^{2}-k+k=k^{2}}:$

Friedman 번호(기본 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에 2k = k로² 기록됨).2k × b²ⁿ 형식의 모든 숫자는 k000으로 표기할 수 있다는 관찰로부터...000은² n 0으로 임의로 긴 연속 프리드먼 번호의 시퀀스를 찾을 수 있다.예를 들어 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle k=5}$또는 베이스 10에서는 250068 = 500² + 68로, 베이스 10에서는 250000부터 250099까지의 연속 프리드만 숫자의 범위를 쉽게 추론할 수 있다.^[3]

프리드먼 번호 다시 자리 표시:

• 베이스 8에서 프리드먼 숫자인 가장 작은 숫자는 33 = 3이다³.
• 베이스 10에서 Friedman 번호로 생각되는 가장 작은 자릿수는 99999999 = (9 + 9/9) ^9−9/9- 9/9이다.^[3]
• 적어도 22자리의 리피지트가 프리드먼의 멋진 숫자라는 것이 증명되었다.^[3]

베이스 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \le }$ $[\displaystyle 2\leq b\$leq b\$leq$6}의$$ 경우$,$ 모든 베이스에 Prime Friedman 숫자가 무한하다.

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {1111}^{}}$+ ${\displaystyle 111111}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {1111}^{}}$+ 10 ${\displaystyle {1000}^{}}$- ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 0}$ + 0$(\displaystyle n\cHB{1111}+1111=n\cHB 10^{1111}+10^{$1000$}-1+0+0}$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {102}^{}}$+ ${\displaystyle 1101221}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {102}^{}}$+ 2 ${\displaystyle 101}$ + 0$$+ ${\displaystyle 0}$ $displaystyle n\n^}+1101221=n\cHB 10^}+2^{101}+0+0}$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ 10 ${\displaystyle {20}^{}}$+ ${\displaystyle 310233}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {20}^{}}$+ ${\displaystyle {33}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ 0 ${\displaystyle n\beght{20}+beget233=n\beget$ 10$^{20}+33^{3}+0}$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ 10 ${\displaystyle {13}^{}}$+ ${\displaystyle 2443111}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10\mathrm{}}^{}}$ 4${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 4^{}}$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \times }$ 3${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {11}^{}}$ ${\$}+2443111$=n\beat 10^{4+4}+(2\beat 3)^{11}}}}$ 베이스 5에서$$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ 10 ${\displaystyle {13}^{}}$+ ${\displaystyle 25352411}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle 5^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle 5^{}}$+ 2${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 3^{}}$+ ${\displaystyle 4{}^{}}$) ${\$}+$25352411$=n$\n$\cHB $10^ 5-1}+(5+2)^{(3+4)}}$ 기점 6에 있음$$

베이스$$ $7{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 10}$ $(\displaystyle 7\leq b\leq$ 10$}$의 경우 $숫자$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ 10 ${\displaystyle {60}^{}}$+ ${\displaystyle 164351}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {60}^{}}$+ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 10}$+ 4${\displaystyle }$- ${\displaystyle 3{}^{}}$) 5${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 0}$+${\displaystyle }$… ${\displaystyle n\n\cH10^{60}+$351=$n\\$n\$cH10^{60}+{60$}+($10+4-3)^{5}+0+\ldots$}, 베이스 7$$,

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ 10 ${\displaystyle {60}^{}}$+ ${\displaystyle 163251}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {60}^{}}$+ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 10}$+ ${\displaystyle 3}$- 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$+ 0${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 0}$+${\displaystyle }$… ${\displaystyle n\n$\cH10$^{60}+{601=n\\cH10^{60}+($10$+3-2)^{5}+0+\ldots },$ 베이스 8$$,

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ 10 ${\displaystyle {60}^{}}$+ ${\displaystyle 162151}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {60}^{}}$+ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 10}$+ 2${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}{5\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle 0}$+${\displaystyle 0}$ +${\displaystyle }$… ${\displaystyle n\cH10^{60}+151=n\\$n\$cH10^{60$}+(10$+2-1)^{5}+0+\ldots },$ 베이스 9$$,

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ 10 ${\displaystyle {60}^{}}$+ ${\displaystyle 161051}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {60}^{}}$+ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 10}$+ ${\displaystyle 1}$- 0${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 0}$+${\displaystyle 0}$ +$$… {\$displaystyle n\n\^{60}+161051=n\\n$\capt $10^{60}+($10$+1-0)^{5}+0+\ldots$}, 베이스 10$$,

> $[\displaystyle b>10}$의 경우

${\displaystyle n\properties 10^{50}+{\text{15}AA51}}=n\time 10^{50}+(10+{\text{A}/{\text{A}}^{5}+0+0+\ldots }$

모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대한 Friedman 번호임$.$이 형식의 숫자는 산술 순서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ +${\displaystyle q}$ ${\displaystyle$ pn+$q}$이며$,$ $여기$서 b {\$displaystyle$ p}과$$$q$ ${\displaystyle q}$은$($는) 항상 prime이기 때문에$$ b ${\displaystyle$ b$}$과 b +${\displaystyle 1}$ ${\$displaysty b$+1$}이 상대적으로 pro에 의해 계산된다.gressions, 그 시퀀스에는 무한한 수의 primes가 들어있다.

듀오데시말

베이스 12에서 프리드먼 숫자가 1000보다 작은 것은 다음과 같다.

번호를 붙이다	표현
121	112
127	7×21
135	5×31
144	4×41
163	3×61
346	34×6
368	86−3
376	6×73
441	(4+1)4
445	54+4

로마 숫자 사용

사소한 의미에서 둘 이상의 기호를 가진 로마 숫자들은 모두 프리드먼 숫자다.단순히 숫자 안에 + 기호를 삽입하고, 때로는 기호 순서를 약간 재정렬하여 - 기호를 삽입함으로써 표현이 만들어진다.

로마 숫자 프리드만 번호에 대한 일부 연구에서는 이 표현이 다른 연산자 중 일부를 사용한다.이렇게 멋진 로마 숫자 프리드먼이 처음으로 발견된 숫자는 8로, 8 = (V - I) × II 이후였다.다른 비종교적인 사례들이 발견되었다.

로마 숫자에서 비종교적인 프리드먼 숫자를 찾는 어려움은 (위치 표기법 번호 체계를 사용하는 경우와 마찬가지로) 숫자의 크기가 아니라, 그것이 가지고 있는 기호의 숫자와 함께 증가한다.예를 들어 147(CXLVII)이 1001(MI)에 대해 동일한 결정을 내리는 것보다 로마 숫자로 된 프리드먼 숫자인지 알아내는 것이 훨씬 어렵다.로마 숫자로는 적어도 발견되는 어떤 새로운 표현으로부터 꽤 많은 프리드먼 표현을 이끌어낼 수 있다.8은 멋진 로마 숫자 프리드먼의 멋진 숫자이기 때문에, 8세로 끝나는 어떤 숫자도 그러한 프리드먼의 숫자라는 것이 뒤따른다.

참고 항목

• 꽤 야생적인 나르시시시즘적인 숫자 - 바늘로 찌르는 숫자

참조

외부 링크

• Friedman 번호에 대한 홈 페이지
• 프리드먼 수 온라인 정수순서 백과사전
• Friedman 번호는 밀도 1 이산 적용 수학, Vol 161, 문제 16–17, 2013년 11월 페이지 2389–2395를 갖는다.