미적분학.

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미적분학.
기본정리 한계 연속성 롤의 정리 평균값 정리 역함수 정리
미분 정의들 도함수(일반화) 미분 극소의 어떤 기능의 총 컨셉트 미분표기호 이계도함수 암묵적 분화 대수분화 관련요금 테일러 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 호스피탈의 통치 역 라이프니츠 장군 파디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 적분 목록 적분 변환 라이프니츠 적분 규칙 정의들 유도체 적분(부적합) 리만 적분 르베그 적분 등고선 적분 역함수의 적분 통합: 부품. 디스크 원통형 포탄 대체(삼각법, 접선 반각, 오일러) 오일러 공식 부분분수 순서변경 축약식 적분 기호 아래에서 미분하기 리쉬 알고리즘
시리즈 기하학적(산술 기하학적) 하모닉 교대 힘 이항법 테일러 수렴시험 합산한계(항검정) 비 뿌리 적분 직접비교 한계비교 교대급수 코시 결로 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향도함수 아이덴티티 정리 그라데이션 그린스 스톡스' 발산 일반화된 스톡스
다변수 형식주의 매트릭스 텐서 겉감 기하학적 정의들 편미분 다중적분 선분적분 표면적분 부피적분 야코비안 헤센인
고급. 유클리드 공간의 미적분학 일반화함수 분배한도
특화된 분수 말리아빈 확률적 변주곡
여러가지 종류의 전발굴절 역사 용어집 토픽 목록 인테그레이션 비 수리해석학 비표준분석
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수학
지역들 수론 기하학. 대수학 미적분학과 분석 이산수학 논리와 집합론 확률 통계학 및 의사결정과학 과학과의 관계 물리학 화학 지구과학 계산 생물학 언어학 경제학 철학 교육
포탈
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미적분학은^{[nb 1]} 기하학이 형태를 연구하고 대수학이 산술 연산의 일반화를 연구하는 것과 같은 방식으로 연속적인 변화를 연구하는 수학적 학문입니다.

그것은 두 개의 주요한 갈래인 미분적분학과 적분적분학을 가지고 있는데, 전자는 순간적인 변화 속도와 곡선의 기울기에 관한 것이고, 후자는 양의 축적과 곡선 아래 또는 곡선 사이의 영역에 관한 것입니다.이 두 갈래는 미적분학의 기본 정리에 의해 서로 연관되어 있으며, 무한 수열과 무한급수의 수렴이라는 기본 개념을 잘 정의된 한계로 사용합니다.^[1]

무한소 미적분학은 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에 의해 17세기 후반에 독자적으로 개발되었습니다.^[2][3]한계의 개념을 성문화하는 것을 포함한 이후의 작업은 이러한 발전을 보다 견고한 개념적 기반 위에 놓았습니다.오늘날 미적분학은 과학, 공학 그리고 사회과학에서 널리 사용되고 있습니다.^[4]

어원

수학 교육에서 미적분학은 주로 함수와 한계 연구에 전념하는 초등 수학 분석 과정을 의미합니다.미적분학이라는 단어는 라틴어로 "작은 조약돌"("돌"을 의미하는 calx의 축소형)을 뜻하며, 의학에서 여전히 남아있는 의미입니다.이러한 조약돌은 거리를 세고,^[5] 표를 집계하고, 주판 연산을 하는 데 사용되었기 때문에, 그 단어는 계산 방법을 의미하게 되었습니다.이런 의미에서, 그것은 라이프니츠와 뉴턴이 출판되기 몇 년 전인 1672년 초에 영어로 사용되었습니다.^[6]

미분적분학과 적분적분학 외에도 이 용어는 수학적 측면에서 특정 개념을 모델링하려는 특정 계산 방법과 관련 이론을 명명하는 데에도 사용됩니다.이 규약의 예로는 명제 연산, 리치 연산, 변분 연산, 람다 연산, 과정 연산 등이 있습니다.게다가, "계산"이라는 용어는 벤담의 완전한 미적분학과 윤리적인 미적분학과 같은 체계들에 대해 윤리학과 철학에서 다양하게 적용되어 왔습니다.

역사

현대 미적분학은 17세기 유럽에서 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에 의해 개발되었습니다. (서로 독립적으로, 처음에는 비슷한 시기에 출판되었습니다.) 그러나 그것의 요소들은 고대 이집트와 나중에 그리스에서, 그 다음에는 중국과 중동에서, 그리고 여전히 중세 유럽과 인도에서 처음 나타났습니다.

고대의 선구자

이집트

부피와 넓이의 계산, 즉 적분학의 한 가지 목표는 이집트 모스크바 파피루스(기원전 1820년)c.에서 찾을 수 있지만, 공식들은 그것들이 어떻게 얻어졌는지에 대한 표시가 없는 단순한 지시사항들입니다.^[7][8]

그리스

적분학의 기초를 세우고 극한의 개념을 암시하면서, 고대 그리스 수학자 크니도스 (390–337 BC)c.는 원뿔과 피라미드 부피의 공식을 증명하기 위해 소진법을 개발했습니다.

헬레니즘 시대 동안, 이 방법은 아르키메데스 (기원전 287년 – 기원전 c.212년)에 의해 더욱 발전되었는데, 아르키메데스는 이 방법을 무한소의 전조인 불가분성의 개념과 결합하여 현재 적분학으로 처리된 몇 가지 문제를 해결할 수 있게 했습니다.예를 들어, 역학 정리의 방법에서 그는 고체 반구의 무게 중심, 원 포물선의 파국의 무게 중심, 포물선과 그의 부선 중 하나로 경계를 이루는 영역의 면적을 계산하는 것을 설명합니다.^[9]

중국

소진법은 후에 기원후 3세기에 류휘에 의해 중국에서 독자적으로 원의 넓이를 발견했습니다.^[10][11]서기 5세기에, 주총지의 아들인 주징지는 구체의 부피를 찾기 위해 나중에 카발리에리의 원리라고 불리는 방법을^[12][13] 세웠습니다.

중세의

중동

중동에서, 라틴어로 Alhazen (c. 965–c. 1040 AD)로 번역된 Hassan Ibn al-Haytham은 네 번째 힘의 합에 대한 공식을 도출했습니다.그는 그 결과를 사용하여 적분 제곱과 4차 거듭제곱의 합에 대한 공식으로 포물선의 부피를 계산할 수 있는 이 함수의 적분이라고 불리는 것을 수행했습니다.^[14]

인디아

증거에 따르면 바스카라는 미분적분학의 몇 가지 아이디어를 알고 있었다고 합니다.^[15]바스카라는 또한 '미분적분학'으로 더 깊이 들어가 함수의 극값에서 미분계수가 사라짐을 제안하며, 이는 '무한한 극값'의 개념에 대한 지식을 나타냅니다.^[16]그의 작품에는 롤의 정리의 초기 형태에 대한 증거가 있습니다.롤의 정리의 현대적인 공식은 $만약$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle a}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle b}$ ) = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle f\left$($a$$\right$) =$f\left (b\right$) = $0$$}$이면 < ${\displaystyle x}$ 의 $일부$ $x$ ${\$$displaystyle f'\left (x\$$right$) = 0 이라고 말합니다이 천문학 연구에서, 그는 무한소 방법의 전조처럼 보이는 한 가지 방법을 제시했습니다.즉, 만약 $x{\displaystyle }$≈ ${\displaystyle y}${\$displaystyle x\proxy}$이면 ${\displaystyle \sin }$ ⁡ ${\displaystyle (y)}$ -${\displaystyle \sin }$ ⁡ ${\displaystyle (x)}$ ≈ (${\displaystyle y}$- x${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \cos }$ ⁡ ${\displaystyle (y)}$ ${\displaystyle \sin(y$) -$\sin(x)\prox (y-x)\cos(y)}$는 그가 도함수에 대한 개념을 개발하지는 않았지만 사인의 도함수입니다.14세기에 인도 수학자들은 일부 삼각함수에 적용할 수 있는 미분과 유사한 엄격하지 않은 방법을 제시했습니다.Samamagrama의 Madhava와 Kerala School of Astronomy and Mathematics는 미적분학의 구성 요소를 기술했습니다.이러한 구성 요소를 포괄하는 완전한 이론은 현재 서양 세계에서 테일러 급수 또는 무한 급수 근사로 잘 알려져 있습니다.^[18][19]그러나, 그들은 "도함수와 적분이라는 두 통일된 주제 아래에서 많은 다른 아이디어를 결합하고, 둘 사이의 연결을 보여주며, 미적분학을 오늘날 우리가 가진 훌륭한 문제 해결 도구로 바꿀 수 없었습니다."^[14]

현대의

요하네스 케플러의 작품 스테레오메트릭 돌리오룸은 적분학의 기초를 형성했습니다.^[20]케플러는 타원의 초점에서 추출된 많은 반지름의 길이를 합함으로써 타원의 면적을 계산하는 방법을 개발했습니다.^[21]

중요한 연구는 논문이었는데, 그 기원은 부피와 면적은 무한히 얇은 단면의 부피와 면적의 ^[21]합으로 계산되어야 한다고 주장한 보나벤투라 카발리에리가 쓴 케플러의 방법이었습니다.그 생각은 방법론의 아르키메데스의 것과 비슷했지만, 이 논문은 13세기에 유실되어 20세기 초에야 재발견된 것으로 알려져 카발리에리에게는 알려지지 않았을 것입니다.카발리에리의 연구는 그의 방법이 잘못된 결과를 초래할 수 있었기 때문에 잘 존경받지 못했고, 그가 소개한 극소량은 처음에 평판이 좋지 않았습니다.

미적분학에 대한 공식적인 연구는 거의 비슷한 시기에 유럽에서 발전된 유한한 차이의 미적분학과 Cavalieri의 무한소를 결합시켰습니다.피에르 드 페르마는 디오판토스로부터 빌렸다고 주장하면서, 최소 오차항까지의 균등성을 나타내는 적합성의 개념을 도입했습니다.^[22]이 결합은 존 월리스, 아이작 배로우, 제임스 그레고리에 의해 성취되었는데, 이 두 사람은 1670년경 미적분학의 두 번째 기본 정리의 전임자임을 증명합니다.^[23][24]

아이작 뉴턴은 수학 물리학의 문제를 풀기 위해 적용한 특이한 표기법으로 곱 규칙과 사슬 규칙,^[25] 고등 도함수와 테일러 급수의 개념,^[26] 분석 함수의^[27] 개념을 사용했습니다.뉴턴은 그의 작품에서 그의 생각을 당대의 수학적 관용구에 맞게 개괄하여, 계산을 무한소로 대체하여 비난의 여지가 없는 것으로 간주했습니다.그는 행성 운동, 회전하는 유체의 표면의 모양, 지구의 편평성, 사이클로이드 위에서 미끄러지는 무게의 운동, 그리고 그의 수학 원리 (1687)에서 논의된 많은 다른 문제들을 풀기 위해 미적분학의 방법들을 사용했습니다.다른 작업에서 그는 분수 및 비합리적인 힘을 포함한 함수에 대한 시리즈 확장을 개발했으며 테일러 시리즈의 원리를 이해하고 있음이 분명했습니다.그는 이 모든 발견을 발표하지 않았고, 이 때에도 극히 작은 방법들은 여전히 평판이 좋지 않은 것으로 여겨졌습니다.^[28]

이 아이디어는 원래 뉴턴에 의해 표절로 비난을 받았던 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에 의해 무한소의 진정한 미적분학으로 배열되었습니다.^[29]그는 현재 미적분학의 독립적인 발명가이자 기여자로 여겨지고 있습니다.그의 기여는 무한소량으로 작업할 수 있는 명확한 규칙 세트를 제공하고, 2차 이상의 도함수를 계산할 수 있도록 하며, 미분적이고 통합적인 형태로 제품 규칙과 체인 규칙을 제공하는 것이었습니다.뉴턴과는 달리 라이프니츠는 자신이 선택한 표기법에 공을 들였습니다.^[30]

오늘날 라이프니츠와 뉴턴은 모두 미적분학을 독자적으로 발명하고 발전시킨 공로를 인정받고 있습니다.뉴턴은 미적분학을 일반물리학에 적용한 최초의 사람이었습니다.라이프니츠는 오늘날 미적분학에 사용되는 표기법의 많은 부분을 발전시켰습니다.^{[31]: 51–52} 뉴턴과 라이프니츠가 제공한 기본적인 통찰은 미분과 적분의 법칙이었고, 미분과 적분은 역과정이며, 제2 및 고차 미분이며, 근사 다항식 급수의 개념임을 강조했습니다.

뉴턴과 라이프니츠가 그들의 결과를 처음 발표했을 때, 어느 수학자가 (그러므로 어느 나라가) 공을 받을 자격이 있는지에 대해 큰 논란이 있었습니다.뉴턴은 그의 연구 결과를 처음으로 도출했지만(나중에 그의 Method of Fluxions에 출판됨), 라이프니츠는 그의 "Nova Methodus pro Maximis et Minimis"를 처음으로 출판했습니다.뉴턴은 라이프니츠가 그의 출판되지 않은 노트에서 아이디어를 훔쳤다고 주장했고, 그 노트는 뉴턴이 왕립 학회의 몇몇 회원들과 공유했습니다.이 논란은 수년간 영어를 사용하는 수학자들과 유럽 대륙의 수학자들을 갈라놓아 영어 수학에 해를 끼쳤습니다.^[32]라이프니츠와 뉴턴의 논문을 면밀히 검토한 결과 라이프니츠가 먼저 통합을 시작하고 뉴턴이 차별화를 통해 독립적으로 결과에 도달했음을 알 수 있습니다.그러나 이 새로운 학문에 이름을 붙인 사람은 라이프니츠입니다.뉴턴은 그의 미적분학을 19세기까지 영국 학교에서 지속된 용어인 "흐름의 과학"이라고 불렀습니다.^{[33]: 100} 영어로 쓰여지고 라이프니츠 표기법을 사용한 미적분학에 관한 최초의 완전한 논문은 1815년까지 출판되지 않았습니다.^[34]

라이프니츠와 뉴턴의 시대 이래로, 많은 수학자들이 미적분학의 지속적인 발전에 기여해 왔습니다.무한소와 적분 모두에 관한 최초의 그리고 가장 완전한 작품들 중 하나는 마리아 가에타나 아그네스시에 의해 1748년에 쓰여졌습니다.^[35][36]

기초

미적분학에서 기초는 공리와 정의로부터 주제의 엄격한 발전을 말합니다.초기 미적분학에서, 극소량의 사용은 엄격하지 않다고 생각되었고, 몇몇 작가들, 특히 미셸 롤과 비숍 버클리에 의해 맹렬한 비판을 받았습니다.버클리는 1734년 그의 책 The Analyst에서 무한소를 죽은 양의 유령으로 묘사한 것으로 유명합니다.뉴턴과 라이프니츠에 이어 세기의 대부분 동안 미적분학에 대한 엄격한 기초를 마련하는 것은 오늘날에도 여전히 활발한 연구 분야입니다.^[37]

매클로린을 포함한 여러 수학자들은 무한소를 사용하는 것의 건전성을 증명하려고 노력했지만, 코시와 바이어슈트라스의 연구로 인해 마침내 무한소량의 단순한 "개념"을 피할 수 있는 방법이 발견된 150년이 지나서야 비로소 발견될 것입니다.^[38]미분적분학과 적분적분학의 기초가 마련되었습니다.코시의 Cours d'Analyse에서 우리는 무한소의 관점에서 연속성의 정의와 미분의 정의에서 한계의 (약간 부정확한) 프로토타입을 포함한 광범위한 기초 접근 방식을 발견합니다.^[39]바이어스트라스는 그의 연구에서 극한의 개념을 공식화하고 무한소의 개념을 제거했습니다.Weiersstrass의 연구에 따라, 비록 이 주제는 여전히 때때로 "infinitimal mediculus"라고 불리지만, 결국에는 무한정의 양 대신에 극한에 기초하는 것이 일반적이 주제는 여전히 때때로 "infinitimal mediculus"라고 불립니다.베른하르트 리만은 적분의 정확한 정의를 위해 이 아이디어를 사용했습니다.^[40]미적분학의 아이디어가 복소해석학의 발달과 함께 복소평면으로 일반화된 것도 이 시기였습니다.^[41]

현대 수학에서 미적분학의 기초는 미적분학의 정리의 완전한 정의와 증명을 포함하는 실제 분석 분야에 포함됩니다.미적분학의 범위도 크게 확장되었습니다.앙리 르베그(Henri Lebesgue)는 에밀 보렐(Emile Borel)의 초기 개발에 기초하여 측도 이론을 발명하고 이 이론을 사용하여 가장 병리학적인 함수를 제외한 모든 함수의 적분을 정의했습니다.^[42]Laurent Schwartz는 어떤 함수의 도함수를 취하는데 사용될 수 있는 분포를 소개했습니다.^[43]

미적분학의 기초에 대한 엄격한 접근법은 한계만이 아닙니다.또 다른 방법은 에이브러햄 로빈슨의 비표준 분석을 사용하는 것입니다.1960년대에 개발된 로빈슨의 접근법은 수학적 논리의 기술적 기계를 사용하여 원래의 뉴턴-라이프니츠 개념처럼 실수 체계를 무한소와 무한소로 증강시킵니다.결과적인 수는 초실수라고 불리고, 그것들은 일반적인 미적분 규칙의 라이프니츠와 같은 발전을 제공하는 데 사용될 수 있습니다.^[44]유도 과정에서 더 높은 출력의 무한소를 무시해야 한다는 점에서 비표준 분석과 다른 매끄러운 무한소 분석도 있습니다.^[37]F. W. Lawvere의 아이디어와 범주 이론의 방법을 사용하여 매끄러운 무한소 분석은 모든 함수를 연속적이고 이산적인 개체로 표현할 수 없다고 봅니다.이 공식의 한 가지 측면은 배제된 중간의 법칙이 성립하지 않는다는 것입니다.^[37]배제중의 법칙은 수, 함수 또는 다른 수학적 대상의 존재에 대한 증명이 대상의 구성을 제공해야 한다고 주장하는 수학의 한 분야인 구성 수학에서도 거부됩니다.건설적인 틀에서 미적분학의 재구성은 일반적으로 건설적인 분석의 주제의 일부입니다.^[37]

의의

미적분학의 많은 개념들이 그리스, 중국, 인도, 이라크, 페르시아 그리고 일본에서 더 일찍 개발되었지만, 미적분학의 사용은 뉴턴과 라이프니츠가 그것의 기본적인 원리들을 소개하기 위해 초기 수학자들의 연구를 기반으로 만들었던 17세기 동안 유럽에서 시작되었습니다.^[11][28][45]헝가리의 수학자 존 폰 노이만은 이 작품에 대해 다음과 같이 썼습니다.

미적분학은 현대 수학의 첫 번째 업적이었고 그 중요성을 과대평가하기는 어렵습니다.현대 수학의 시초를 무엇보다 명확하게 규정하고 있으며, 그 논리적 발전인 수학적 분석의 체계는 여전히 정확한 사고에서 가장 큰 기술적 진보를 이루고 있다고 생각합니다.^[46]

미분적분학의 응용에는 속도와 가속도, 곡선의 기울기, 최적화 등이 포함됩니다.^{[47]: 341–453} 적분학의 응용은 면적, 부피, 호 길이, 질량 중심, 일, 압력을 포함하는 계산을 포함합니다.^{[47]: 685–700} 보다 발전된 응용 분야로는 파워 시리즈와 푸리에 시리즈가 있습니다.

미적분학은 또한 공간, 시간, 움직임의 본질에 대해 더 정확하게 이해하기 위해 사용됩니다.수세기 동안, 수학자들과 철학자들은 무한히 많은 숫자들의 합 또는 0으로 나눗셈을 포함하는 역설과 씨름했습니다.이러한 질문들은 움직임과 영역에 대한 연구에서 발생합니다.고대 그리스 철학자 엘레아의 제노는 그러한 역설의 몇가지 유명한 예를 제시했습니다.미적분학은 역설을 해결하는 도구, 특히 극한과 무한급수를 제공합니다.^[48]

원칙

극한과 무한소

미적분학은 보통 매우 적은 양으로 작업함으로써 발전합니다.역사적으로, 그렇게 하는 첫번째 방법은 무한소 동물에 의한 것이었습니다.이것들은 실수처럼 취급될 수 있지만 어떤 의미에서는 "무한히 작은" 물체입니다.예를 들어, 무한소 수는 0보다 클 수 있지만, 수열 1, 1/2, 1/3, ...의 어떤 수보다 작으며, 따라서 양의 실수보다 작습니다.이런 관점에서 미적분학은 무한소를 조작하는 기술의 집합입니다.기호 ${\displaystyle \mathrm{dx}}$ ${\displaystyle dx}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{dy}}$ ${\displaystyle dy}$은(는) 무한소로 사용되고$$ 파생 ${\displaystyle \mathrm{dy}}$/ ${\displaystyle \mathrm{dx}}$ ${\displaystyle dy$ /$dx}$은(는) 해당 비율입니다$$.^[37]

19세기에는 극소의 개념을 정확하게 만들기 어려웠기 때문에 극소의 접근법이 인기를 잃게 되었습니다.19세기 후반, 학계 내에서 무한소는 한계에 대한 델타 접근법인 엡실론으로 대체되었습니다.한계는 특정 입력에서 함수의 동작을 인근 입력에서 값으로 설명합니다.그들은 실수 시스템의 고유 구조(가장 작은 상한 속성을 가진 메트릭 공간)를 사용하여 소규모 동작을 캡처합니다.이 처리에서 미적분학은 특정 한계를 조작하기 위한 기술의 집합입니다.무한 소수는 더 작은 수와 더 작은 수의 수열로 대체되고, 함수의 무한 작은 동작은 이러한 수열에 대한 제한 동작을 취함으로써 발견됩니다.한계는 미적분학의 더 엄격한 기초를 제공한다고 생각되었고, 이러한 이유로 그것들은 20세기 동안 표준적인 접근법이 되었습니다.그러나 20세기 들어 비정규 분석과 원활한 극소 분석의 도입으로 극소 개념이 되살아나 무한소 조작의 확실한 토대를 마련하게 되었습니다.^[37]

미분적분학

미분적분학은 함수의 도함수의 정의, 성질, 응용을 연구하는 학문입니다.도함수를 찾는 과정을 미분이라 합니다.함수와 도메인의 점이 주어졌을 때, 그 점의 도함수는 그 점 근처의 함수의 소규모 동작을 부호화하는 방법입니다.함수 영역의 모든 점에서 함수의 도함수를 찾음으로써, 도함수 또는 원래 함수의 도함수라고 하는 새로운 함수를 생성하는 것이 가능합니다.형식적으로 말하면, 도함수는 함수를 입력으로 하고 두 번째 함수를 출력으로 하는 선형 연산자입니다.이것은 함수가 일반적으로 숫자를 입력하고 다른 숫자를 출력하는 초등 대수학에서 연구된 많은 과정보다 더 추상적입니다.예를 들어, 곱하기 함수에 입력 3이 주어지면 6을 출력하고 제곱 함수에 입력 3이 주어지면 9를 출력합니다.그러나 도함수는 제곱 함수를 입력으로 사용할 수 있습니다.즉, 도함수는 2가 4에, 3이 9에, 4가 16에 등과 같이 제곱함수의 모든 정보를 가져가고 이 정보를 다른 함수를 생성하는 데 사용합니다.제곱 함수를 미분하여 생성된 함수는 배가 함수로 밝혀졌습니다.^{[31]: 32}

좀 더 명확한 용어로 " doubling 함수"는 g(x) = 2x, "제곱 함수"는 f(x) = x로 나타낼 수 있습니다. 이제 "deriv"는 식 "x"에 의해 정의되는 함수 f(x)를 입력으로 받아들입니다. 2는 4로, 3은 9로, 4는 16으로 보내는 등의 모든 정보입니다.n은 다른 함수인 함수 g(x) = 2x를 출력하기 위해 출력됩니다.

라그랑주 표기법에서 도함수의 기호는 프라임이라고 불리는 아포스트로피 같은 기호입니다.따라서 f라고 불리는 함수의 도함수는 f'로 표시되며, "f prime" 또는 "f dash"로 발음됩니다.예를 들어, f(x) = x가 제곱 함수이면 f'(x) = 2x는 그 도함수입니다(위에서 두 배 함수 g).

함수의 입력이 시간을 나타내는 경우, 도함수는 시간에 대한 변화를 나타내는 것입니다.예를 들어 f가 입력으로 시간이 걸리는 함수이고 그 시간에 공의 위치를 출력으로 주는 함수라면, f의 도함수는 시간에 따라 위치가 어떻게 변화하는지, 즉 공의 속도입니다.^{[31]: 18–20}

함수가 선형이면(즉, 함수의 그래프가 직선이면) 함수는 y = mx + b로 쓸 수 있으며, 여기서 x는 독립 변수, y는 종속 변수, b는 y intercept, 그리고 다음과 같습니다.

${\displaystyle m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}={\frac {\text{change in }}y}{{\text{change in }x}}={\frac {\Deltay}}{\Deltax}}}.$

이렇게 하면 직선의 기울기에 대한 정확한 값을 얻을 수 있습니다.^{[49]: 6} 그러나 함수의 그래프가 직선이 아닌 경우 y의 변화를 x의 변화로 나눈 값이 달라집니다.파생상품은 투입 변화에 관한 산출 변화의 개념에 정확한 의미를 부여합니다.구체적으로 f를 함수라 하고 f 의 도메인에 있는 점 a 를 고정합니다. (a, f(a))는 함수의 그래프 상의 점입니다.h가 0에 가까운 숫자이면 a + h는 a에 가까운 숫자입니다.따라서 (a + h, f(a + h))는 (a, f(a))에 가깝습니다.이 두 점 사이의 기울기는

${\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}.$

이 식을 차분계수라고 합니다.곡선의 두 점을 통과하는 선을 할선이라고 하며, sm은 (a, f(a))와 (a + h, f(a + h)) 사이의 할선의 기울기입니다.두 번째 줄은 a에서 +h 사이에 일어나는 일을 설명하지 않기 때문에 점 a에서 함수의 동작에 대한 근사치일 뿐입니다.h를 0으로 설정하면 정의되지 않은 0으로 분할해야 하므로 a에서 동작을 검색할 수 없습니다.도함수는 h가 0인 경향에 따라 한계를 취함으로써 정의되며, h가 0인 경우에 대해 일치된 값을 추출한다는 것을 의미합니다.

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}}$

기하학적으로 도함수는 fat의 그래프에 대한 접선의 기울기입니다.접선은 미분이 차분계수의 극한인 것과 마찬가지로 할선의 극한입니다.이러한 이유로, 도함수는 때때로 함수 f의 기울기라고 불립니다.^{[49]: 61–63}

여기 입력 3에서의 제곱 함수의 도함수인 특정한 예가 있습니다.f(x) = x를 제곱함수라 하자.

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}\&=\lim _{h\to 0}{6h} \over {h}}\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\&=6\end{aligned}}}$

점 (3, 9)의 제곱 함수에 대한 접선의 기울기는 6, 즉 오른쪽으로 가는 것보다 6배 빠르게 올라가고 있습니다.방금 설명한 한계 과정은 제곱 함수의 영역에 있는 모든 점에 대해 수행할 수 있습니다.이것은 제곱함수의 도함수 또는 줄여서 제곱함수의 도함수를 정의합니다.위의 계산과 유사한 계산은 제곱 함수의 도함수가 배가 함수임을 보여줍니다.^{[49]: 63}

라이프니츠 표기법

위의 예제에서 도함수에 대한 일반적인 표기법은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}$

한계에 기반한 접근 방식에서 기호 dy/dx는 두 숫자의 몫이 아니라 위에서 계산된 한계의 축약어로 해석됩니다.^{[49]: 74} 그러나 라이프니츠는 x에 적용된 무한히 작은 변화 dx에 의해 야기된 y의 무한히 작은 변화 dy인 두 개의 무한히 작은 수의 몫을 나타내려고 의도했습니다.우리는 d/dx를 미분 연산자로 생각할 수도 있는데, 미분 연산자는 함수를 입력으로 하고 또 다른 함수인 도함수를 출력으로 주는 것입니다.예를 들어,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.}$

이 사용법에서 분모의 dx는 "x에 관하여"로 읽힙니다.^{[49]: 79} 올바른 표기법의 또 다른 예는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+2t+4\\{d \overdt}g(t)&=2t+2\end{aligned}}$

미적분학이 무한소가 아닌 극한을 이용하여 개발된 경우에도 dx, dy와 같은 기호를 실수인 것처럼 조작하는 것이 일반적인데, 이러한 조작을 피하는 것은 가능하지만, 전미분과 같은 연산을 표현하는 데 있어서는 명목상 편리한 경우가 있습니다.

적분학

적분학은 부정적분과 정적분의 두 가지 관련 개념의 정의, 성질, 응용에 대한 학문입니다.적분의 값을 찾는 과정을 적분이라고 합니다.^{[47]: 508} 부정적분은 도함수에 대한 역함수입니다.^{[49]: 163–165} f가 F의 도함수일 때 F는 f의 부정적분입니다. (함수와 그것의 부정적분에 대한 소문자와 대문자의 사용은 미적분학에서 일반적입니다.)정적분은 함수를 입력하고 입력 그래프와 x축 사이의 넓이의 대수적 합을 나타내는 숫자를 출력합니다.정적분의 기술적 정의는 리만 합이라고 불리는 직사각형의 넓이의 합의 극한을 포함합니다.^{[50]: 282}

동기부여가 되는 예는 주어진 시간 동안 이동한 거리입니다.^{[49]: 153} 속도가 일정한 경우에는 곱셈만 필요합니다.

${\displaystyle \mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time}}$

하지만 속도가 바뀌면 더 강력한 거리 찾기 방법이 필요합니다.그러한 방법 중 하나는 시간을 많은 짧은 시간 간격으로 나눈 다음 각 간격에서 경과한 시간에 해당 간격의 속도 중 하나를 곱하여 이동 거리를 근사화하는 것입니다. 그리고 각 간격에서 이동한 근사 거리의 합(리만 합)을 구하는 것입니다.기본적인 생각은 짧은 시간이 흐르면 속도는 어느 정도 유지된다는 것입니다.그러나 리만 합은 이동 거리의 근사치만 제공합니다.우리는 정확한 이동 거리를 찾기 위해 모든 그러한 리만 합의 극한을 취해야만 합니다.

속도가 일정할 때, 주어진 시간 간격 동안 이동한 총 거리는 속도와 시간을 곱하여 계산할 수 있습니다.예를 들어 3시간 동안 50mph의 속도로 일정하게 주행하면 총 거리가 150마일이 됩니다.속도를 시간 함수로 표시하면 높이가 속도와 같고 폭이 시간 경과와 같은 직사각형이 됩니다.따라서 속도와 시간의 곱은 또한 (정)속도 곡선 아래의 직사각형 영역을 계산합니다.^{[47]: 535} 곡선 아래의 영역과 이동한 거리 사이의 연결은 특정 기간 동안 변동 속도를 나타내는 불규칙한 형태의 영역으로 확장될 수 있습니다.f(x)가 시간에 따라 달라지는 속도를 나타내는 경우 a와 b로 표시된 시간 사이의 이동 거리는 f(x)와 x 축 사이, x = a와 x = b 사이의 영역의 면적입니다.

그 영역을 근사화하기 위해 직관적인 방법은 a와 b 사이의 거리를 기호 δx로 표시되는 각 세그먼트의 길이인 몇 개의 동일한 세그먼트로 나누는 것입니다.각 작은 세그먼트에 대해 함수 f(x)의 값 하나를 선택할 수 있습니다.그 값을 h라고 부릅니다.그러면 기본 δx와 높이 h가 있는 직사각형의 넓이는 해당 세그먼트에서 이동한 거리(시간 δx에 속도 h를 곱한 값)를 제공합니다.각 세그먼트와 연관된 함수의 평균값은 f(x) = h입니다. 이러한 모든 직사각형의 합은 이동한 총 거리의 근사치인 축과 곡선 사이의 넓이의 근사치를 제공합니다.δx의 값이 작을수록 더 많은 직사각형을 얻을 수 있고 대부분의 경우 더 나은 근사치를 얻을 수 있지만 정확한 답을 얻기 위해서는 δx가 0에 가까워짐에 따라 한계를 설정해야 합니다.

적분의 기호는$$∫ ${\displaystyle \int}$이며$,$ 합을 제안하기 위해 선택된 길쭉한 S입니다.정적분은 다음과 같이 적습니다.

${\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\, dx.}$

x에 대하여 "x의 a에서 b까지의 적분"으로 읽힙니다.라이프니츠 표기 dx는 곡선 아래의 영역을 무한한 수의 직사각형으로 나누어 너비 δx가 무한히 작은 dx가 되도록 제안하기 위한 것입니다.

부정적분 또는 항미분은 다음과 같이 표기됩니다.

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

상수만 다른 함수는 동일한 도함수를 가지며, 주어진 함수의 도함수는 상수만 다른 함수군임을 알 수 있습니다.^{[50]: 326} 함수 y = x + C의 도함수, C는 임의의 상수이므로, 후자의 도함수는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}$

부정적분 또는 원시함수에 존재하는 불특정 상수 C를 적분 상수라고 합니다.^{[51]: 135}

기본정리

미적분학의 기본 정리는 미분과 적분이 역연산이라는 것을 말합니다.^{[50]: 290} 더 정확하게 말하면, 그것은 원시함수의 값을 확실한 적분과 연관시킵니다.미분적분을 계산하는 것이 정적분의 정의를 적용하는 것보다 일반적으로 더 쉽기 때문에 미적분학의 기본 정리는 정적분을 계산하는 실용적인 방법을 제공합니다.그것은 차별화가 통합의 역이라는 사실을 정확하게 표현하는 것으로도 해석될 수 있습니다.

미적분학의 기본 정리는 다음과 같습니다.만약 함수 f가 구간 [a, b]에서 연속이고, 만약 F가 구간 (a, b)에서 f인 함수라면,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$

또한, 구간 (a, b)의 모든 x에 대하여,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)}$

뉴턴과 라이프니츠 모두에 의해 이루어진 이 깨달음은 그들의 연구가 알려진 후 분석적 결과가 확산되는 데 핵심적이었습니다. (뉴턴과 라이프니츠가 전임자들로부터 영향을 받은 정도, 특히 라이프니츠가 아이작 바로우의 연구로부터 배웠을지도 모르는 것,이들간의 우선권 분쟁으로 인해 판단이 어렵습니다.)^[52]기본 정리는 미분에 대한 공식을 찾음으로써 한계 과정을 수행하지 않고 많은 정적분을 계산하는 대수적 방법을 제공합니다.그것은 또한 미분 방정식의 원형 솔루션입니다.미분 방정식은 미지의 함수를 그것의 도함수와 연관시키며 과학에서 어디에나 있습니다.^{[53]: 351–352}

적용들

미적분학은 물리학,^{[54]: 1} 보험수리학, 컴퓨터과학, 통계학, 공학, 경제학, 비즈니스, 의학, 인구통계학의 모든 분야에서 사용되며, 문제를 수학적으로 모델링하고 최적의 해결책을 원하는 곳에서 사용됩니다.^[55]이것은 한 사람이 (불변적인) 변화율에서 전체 변화로 또는 그 반대로 변화할 수 있게 해줍니다. 그리고 우리가 어떤 문제를 연구할 때 여러 번 우리는 하나를 알고 있고 다른 문제를 찾으려고 노력하고 있습니다.^[56]미적분학은 다른 수학 학문과 함께 사용될 수 있습니다.예를 들어 선형 대수와 함께 사용하여 도메인의 점 집합에 대한 "최적 적합" 선형 근사치를 찾을 수 있습니다.또는 확률 이론에서 확률 밀도 함수가 주어진 연속 확률 변수의 기대 값을 결정하는 데 사용할 수 있습니다.^{[57]: 37} 함수, 미적분학의 그래프를 연구하는 분석기하학에서는 높은 점과 낮은 점(최대점과 최소점), 기울기, 오목점과 변곡점을 찾는 데 사용됩니다.미적분학은 방정식의 근사해를 찾는 데도 사용됩니다. 실제로는 미분 방정식을 풀고 대부분의 응용에서 근찾기를 하는 표준 방법입니다.뉴턴 방법, 고정점 반복, 선형 근사와 같은 방법이 그 예입니다.예를 들어, 우주선은 무중력 환경 내의 곡선 코스를 근사화하기 위해 오일러 방법의 변형을 사용합니다.

물리학은 미적분학을 특별히 사용합니다; 고전역학과 전자기학의 모든 개념은 미적분학을 통해 연관되어 있습니다.밀도가 알려진 물체의 질량, 물체의 관성 모멘트, 중력과 전자기력에 의한 퍼텐셜 에너지는 모두 미적분학을 사용하여 구할 수 있습니다.역학에서 미적분학이 사용된 예로는 뉴턴의 운동 제2법칙이 있는데, 시간에 대한 물체의 운동량의 도함수는 그것에 대한 순력과 같다는 것입니다.반대로, 뉴턴의 제2법칙은 알짜힘이 물체의 질량과 가속도의 곱과 같으며, 속도의 시간 미분이고 따라서 공간 위치의 두 번째 시간 미분입니다.우리는 물체가 어떻게 가속되는지 아는 것에서 출발하여 미적분학을 사용하여 물체의 경로를 도출합니다.^[58]

맥스웰의 전자기 이론과 아인슈타인의 일반 상대성 이론도 미분적분학의 언어로 표현됩니다.^{[59][60]: 52–55} 화학은 또한 반응 속도를^{[61]: 599} 결정하고 방사성 붕괴를 연구하는 데 미적분학을 사용합니다.^{[61]: 814} 생물학에서 개체수 역학은 개체수 변화를 모델링하기 위해 번식률과 사망률로 시작합니다.^{[62][63]: 631}

단순한 폐곡선 C 주위의 선분과 C로 경계를 이루는 평면영역 D 위의 이중적분 사이의 관계를 제공하는 그린의 정리는 평면계로 알려진 도구에 적용되며, 이는 도면에서 평면의 면적을 계산하는 데 사용됩니다.^[64]예를 들어, 불규칙한 모양의 화단이나 수영장이 건물의 배치를 설계할 때 차지하는 면적을 계산하는 데 사용할 수 있습니다.

의학의 영역에서 미적분학은 흐름을 최대화하기 위해 혈관의 최적의 분기각을 찾는 데 사용될 수 있습니다.^[65]미적분학은 약물이 몸에서 얼마나 빨리 사라지는지 또는 암 종양이 얼마나 빨리 자라는지를 이해하기 위해 적용될 수 있습니다.^[66]

경제학에서 미적분학은 한계비용과 한계수익 모두를 쉽게 계산할 수 있는 방법을 제공함으로써 최대이윤의 결정을 가능하게 합니다.^{[67]: 387}

참고 항목

• 미적분학 용어집
• 미적분학 주제 목록
• 대체 계산법의 도함수 및 적분 목록
• 감별아이덴티티
• 미적분학 간행물
• 적분표

메모들

참고문헌

추가열람

외부 링크

• "Calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Calculus". MathWorld.
• Planet Math의 미적분학에 관한 주제들.
• 실바누스 P가 만든 미적분학 (1914) Thompson PDF의 전체 텍스트
• BBC의 우리의 시간에 관한 미적분학
• Calculus.org : 캘리포니아 대학교 데이비스의 미적분 페이지에는 리소스와 다른 사이트에 대한 링크가 포함되어 있습니다.
• 일부 수학 단어의 가장 초기에 알려진 용법:미적분학과 분석
• 대학수학에서 미적분학의 역할을 ERICDigests.org 에서 확인할 수 있습니다.
• 매사추세츠 공과대학교 오픈코스웨어 미적분학
• 무한소 미적분학 – 수학 백과사전의 역사적 발전에 관한 기사, ed.미치엘 헤이즈윙켈.
• Daniel Kleitman, MIT. "Calculus for Beginners and Artists".
• 미적분 교육 자료는 imomath.com 에서 볼 수 있습니다.
• (영어 및 아랍어)미적분학의 탐구, 1772