라플라스 변환

수학에서 라플라스 변환은 발견자 피에르-시몽 라플라스(/lˈplɑplːs/)의 이름을 딴 적분 변환으로, 실수 변수( $통상$ 시간 영역에서 t $\displaystyle$ t $t$ 의 함수를 복소수 $변수$ s $\displaystyle$ s $($ 복소수 영역에서도 s-domain으로 알려져 있음)의 함수로 변환한다.또는 s-plane).이 변환은 미분 ^[1]방정식을 푸는 도구이기 때문에 과학과 공학에 많은 응용 분야를 가지고 있습니다.특히 상미분방정식을 대수방정식으로, 컨볼루션(convolution)을 ^[2]^[3]곱셈으로 변환한다.적절한 함수 f의 경우, 라플라스 변환은 적분이다.

{L}\{f(t)\}=\int _{0}^{\infty}f(t)e^{-st},dt.

역사

피에르시몽 드 라플라세 후작

라플라스 변환은 수학자이자 천문학자인 피에르-시몽의 이름을 따왔다. 그는 확률론에 ^[4]대한 그의 연구에서 유사한 변환을 사용했다.라플라스는 에사이 철학 수르 레 확률론(1814)에서 생성함수의 사용에 대해 광범위하게 썼고,^[5] 그 결과 라플라체 변환의 적분 형태는 자연스럽게 진화했다.

라플라스의 생성 함수 사용은 현재 z 변환으로 알려진 것과 비슷했고, 닐스 헨리크 ^[6]아벨이 논의한 연속 변수 사례에 거의 주의를 기울이지 않았다.이 이론은 마티아스 러치, ^[7]올리버 헤비사이드,^[8] 토마스 브로미치에 ^[9]의해 19세기와 20세기 초에 더욱 발전되었다.

(주로 공학에서) 현재 널리 사용되고 있는 변환은 ^[10]제2차 세계대전 중과 직후에 발생하였고, 초기의 헤비사이드 연산 미적분을 대체하였다.Laplace 변환의 장점은 Gustav Doetsch에 ^[11]의해 강조되어 왔으며, Laplace 변환이라는 이름은 분명히 그의 이름에서 기인합니다.

1744년부터, 레온하르트 오일러는 형태의 적분을 조사했다.

\displaystyle z=\int X(x)e^{ax},dx\quad {text{및 }}\display z=\int X(x)x^{A},dx}

미분방정식의 해법으로 사용되지만,^[12] 그 문제를 그리 멀리 추구하지는 않았다.조셉 루이스 라그랑주는 오일러의 추종자였고 확률밀도함수의 통합에 대한 그의 연구에서 형태의 표현들을 조사했다.

\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x},dx,}

일부 현대 역사학자들이 현대 라플라스 변환 ^[13]^[14]^{[clarification needed]}이론 내에서 해석해 온 것이다.

이러한 적분 유형은 1782년에 라플레이스의 관심을 끌었던 것으로 보이며, 그는 오일러의 정신을 따라 적분 자체를 ^[15]방정식의 해로 사용했다.그러나 1785년, 라플레이스는 단순히 적분 형태의 해결책을 찾는 것이 아니라 나중에 대중화되기 위해 변형된 것을 적용하기 시작하면서 중요한 발걸음을 내디뎠다.그는 형상의 일부를 사용했다.

\int x^{s}\varphi(x),varphi,

Akin이 한 Mellin 변환에, 위해 변환된 방정식의 해결책을 찾기가 방정식의 전체를 변화시킬 때이다.그 후 같은 방식으로 라플라스 변환 적용하고, 그것의 잠재력을 이해하기 시작한 해당 속성이 파생되기 시작했습니다.[16]

라플라스는 또한 확산 방정식을 풀기 위한 조제프 푸리에의 푸리에 급수 방법이 한정된 공간 영역에만 적용될 수 있다는 것을 알아냈다. 왜냐하면 그 해들은 주기적이기 때문이다.1809년,^[17] 라플레이스는 우주에서 무한히 확산되는 해법을 찾기 위해 그의 변형을 적용했다.

형식적 정의

$모든$ 실수 t $\leq$ 0에 대해 정의된 함수 f( $t$ )의 라플라스 변환은 $함수$ F $(s)$ 이며, 이는 다음과 같이 정의되는 일방 변환이다.

F(s)=\int _{0}^{\infty}f(t)e^{-st},dt

(제1호)

여기서 s는 복소수 주파수 파라미터입니다.

s=\display +i\obega,

으로 진짜 번호와 ω σ.

Laplace 변환의 대체 ${\mathcal {L}}\{f\}$ 은 ^[3]F가 $아닌$ ${\mathcal {L}}\{f\}$ L { ${\mathcal {L}}\{f\}$ $}$ { $displaystyle$ { $mathcal$ { $L}$ \ { $f$ \ } 。

적분의 의미는 관심 함수의 유형에 따라 달라집니다.적분이 존재하기 위해 필요한 조건은 f가 [ $0,$ ∞]에서국소적으로 적분 가능해야 한다는 $것$ 이다.무한대로 붕괴하거나 지수형( $|f(t)|\leq Ae^{B|t|}$ ( $|f(t)|\leq Ae^{B|t|}$ ) $|f(t)|\leq Ae^{B|t|}$ $|f(t)|\leq Ae^{B|t|}$ $|f(t)|\leq Ae^{B|t|}$ $|f(t)|\leq Ae^{B|t|}$ t \ $display style$ f $(t)$ \ $leq$ Ae $^{B$ t $})$ 인 국소 적분 함수의 경우 적분은 (적절한) 르베그 적분으로 이해할 수 있다.단, 많은 어플리케이션에서는 조건부로 수렴되는 부적절한 적분으로 간주할 필요가 있습니다 $.$ 더 일반적으로, 적분은 약한 의미로 이해될 수 있으며, 이는 아래에서 다루어진다.

르베그^[18] 적분에 의해 유한 보렐 $측정$ μ의 라플라스 변환을 정의할 수 있다.

{L}\{\mu \}=\int _{[0,\infty}}e^{-st},d\mu(t)

중요한 특수한 경우는, 예를 들면 디락 델타 함수와 같이, μ가 확률 측도인 $경우$ 입니다.연산 미적분학에서 측정값의 라플라스 변환은 종종 측정값이 확률 $밀도$ 함수 f에서 나온 것처럼 처리된다.그 경우, 혼란을 피하기 위해, 종종 다음과 같이 글을 쓴다.

{L}\{f\}=\int _{0^{-}}{\infty}f(t)e^{-st},dt,

은 어디서 0−의 하한은 속기 기호법

{\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty}}.

이 한계는 0에 $위치$ 한 모든 점 질량이 Laplace 변환에 의해 완전히 캡처된다는 것을 강조합니다.르베그 적분에서는 이러한 한계를 취할 필요가 없지만, 라플라스-스틸트제 변환과 관련하여 보다 자연스럽게 나타난다.

쌍방향 라플라스 변환

조건 없이 "라플라스 변환"이라고 말할 때, 일반적으로 일방적 또는 일방적인 변환이 의도됩니다.라플라스 변환은 적분의 한계를 실제 축 전체로 확장함으로써 양자 라플라스 변환 또는 양면 라플라스 변환으로 정의할 수 있습니다.그렇게 되면 공통의 일방 변환은 단순히 양자 변환의 특별한 경우가 되고 변환되는 함수의 정의에 헤비사이드 스텝 함수를 곱한다.

$양쪽$ Laplace $트랜스폼$ F는 다음과 같이 정의됩니다 $.$

F(s)=\int _{-\infty}^{\infty}e^{-st}f(t),dt

(제2호)

양쪽 Laplace 변환의 대체 표기법은 F $(\displaystyle$ F $F$ 가 아닌 B $(\displaystyle {B}\{f$ 입니다.

역라플라스 변환

두 적분 가능 함수는 르베그 측정값 0 집합에서 서로 다른 경우에만 동일한 라플라스 변환을 가집니다.즉, 변환 범위에는 역변환이 존재합니다.실제로 Laplace 변환은 통합 가능한 함수 외에 다른 많은 함수 공간에서도 하나의 함수 공간에서 다른 함수 공간으로의 일대일 매핑이지만 일반적으로 범위를 쉽게 특성화할 수는 없습니다.

이것이 참인 일반적인 함수 공간에는 유계 연속 함수의 공간, $공간 \infty$ L(0,θ) $또는$ 보다 일반적으로 강화된 분포(0 $, θ)$ 가 포함된다.라플라스 변환도 정의되어 강화 분포의 적절한 공간에 주입됩니다.

이러한 경우, 라플라스 변환의 이미지는 수렴 영역의 분석 함수의 공간에 존재합니다.역라플라스 변환은 다양한 이름으로 알려진 다음과 같은 복소 적분에 의해 주어진다(브롬위치 적분, 푸리에-멜린 적분 및 멜린의 역 공식).

f(t)=parammathcal {L}^{-1}\{F\}(t)=paramfrac {1}{2\pi i}\lim_{\to\infty}\int_{\gamma +iT}e^{st}F(s)ds},ds

(제3호)

여기서 $θ$ 는 적분의 등고선 경로가 F $(s)$ 의 수렴 영역에 있도록 하는 실수이다.대부분의 어플리케이션에서 윤곽선은 닫힐 수 있으므로 잔차 정리를 사용할 수 있습니다.역라플라스 변환의 대체 공식은 Post의 반전 공식에 의해 제공됩니다.여기서의 제한은 weak-* 토폴로지로 해석됩니다.

실제로는 일반적으로 Laplace 변환을 테이블에서 얻은 함수의 기존 변환으로 분해하고 검사로 역변환을 구성하는 것이 더 편리합니다.

확률론

순수 적용 확률에서는 Laplace 변환이 기대값으로 정의됩니다.X가 $확률밀도함수$ f를 갖는 랜덤 $변수$ 일 경우 $f$ 의 라플라스 변환은 다음과 같이 계산됩니다.

{L}\{f\}(s)=\operatorname {E} \!\left[e^{-sX}\right]\!

관례상 이것은 랜덤 $변수$ X 자체의 Laplace 변환이라고 불립니다.여기서 s를 $-t$ 로 $치환$ 하면 $X$ 의 모멘트 생성 함수를 얻을 수 있다.라플라스 변환은 마르코프 연쇄와 같은 확률적 과정의 첫 통과 시간과 갱신 이론을 포함한 확률 이론 전반에 걸쳐 응용된다.

특히 다음과 같이 ^[19]라플라스 변환을 통해 연속 랜덤 $변수$ X의 누적 분포 함수를 복구할 수 있는 기능이 사용됩니다.

F_{X}(x)={L}^{-1}\!\left\{\frac {1}{s}}\operatorname {E}\left[e^{-sX}\right]\right\}\!(x)=mathcal {L}^{-1}\!\left\{\frac {1}{s}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}\!(x)

수렴 영역

f가 국소적으로 적분 가능한 함수(또는 보다 일반적으로 유계 변동의 국소적으로 보렐 측정치)인 $경우$ , $f$ 의 라플라스 $변환$ F $(s)$ 는 다음과 같이 수렴한다.

\displaystyle \lim _{R\to\infty}\int _{0}^{R}f(t)e^{-st},dt}

존재한다.

라플라스 변환은 적분된 경우 절대적으로 수렴됩니다.

\displaystyle \int _{0}^{\infty}\left f(t)e^{-st}\right \,dt}

적절한 르베그의 적분:리만 적분 이론으로 제공됩니다.그 라플라스 변환은 보통 조건부로 수렴으로, 그것이 옛날은 아니지만 후자의 의미에서 전진 의미 이해할 수 있다.

F $(s)$ 가 $절대적$ 으로 수렴하는 값의 집합은 Re $(s)$ > $a$ $또는$ Re $(s) θ$ a $형식$ 중 하나입니다. $여기$ 서 a는 -θ $θ$ aθ (지배적 수렴 정리의 결과)를 갖는 확장 실수 상수입니다. $상수$ a는 절대 수렴의 외측값으로 알려져 있으며 f $(t)$ ^[20]의 성장 동작에 따라 달라집니다.마찬가지로, 양면 변환은 a < $Re(s)$ < $b$ 의 스트립 형태로 절대적으로 수렴되며, 가능한 한 $Re (s$ ) = a $또는$ $Re (s$ ) =^[21] b의 $라인$ 을 포함한다.Laplace 변환이 절대적으로 수렴하는 $값$ 의 서브셋을 절대 수렴 영역 또는 절대 수렴 영역이라고 합니다.양면 케이스에서는 절대 컨버전스의 스트립이라고 불리기도 합니다.라플라스 변환은 절대 수렴 영역에서 분석적이다: 이것은 푸비니의 정리와 모레라의 정리의 결과이다.

마찬가지로 F $(s)$ 가 수렴하는 값 집합은 조건부 수렴 영역 또는 $단순히$ 수렴 영역(ROC)으로 알려져 있습니다.Laplace 변환이 s = $s$ 에서₀ (조건부로) 수렴하는 경우 Re $(s)$ > $Re(s 0)$ 를 $가진$ $모든$ s에 대해 자동으로 수렴됩니다.따라서, 수렴 영역은 $Re (s)$ > a $형식$ 의 반평면이며, 아마도 $경계선$ Re $(s)$ = $a$ 의 일부 점을 포함한다.

$수렴$ Re $(s)$ > $Re(s 0)$ 영역에서 $f$ 의 라플라스 변환은 적분으로서 부품별로 적분함으로써 표현될 수 있다.

{\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty}e^{-(s-s_{0})t}, dt,\displays \disples (u)=\int _{0}{u}e^{-s_{0}f(t)f(t)t)

즉, F $(s)$ 는 수렴 영역에서 다른 함수의 절대 수렴 라플라스 변환으로 효과적으로 표현될 수 있습니다.특히 분석적입니다.

f의 $붕괴$ 특성과 수렴 영역 내의 라플라스 변환 특성 사이의 관계에 관한 몇 가지 팔레-위너 이론이 있다.

엔지니어링 어플리케이션에서 모든 바운드 입력이 바운드 출력을 생성하면 LTI 시스템에 대응하는 함수는 안정적이다.이는 영역 $Re(s) 0$ 0에서 임펄스 응답 함수의 라플라스 변환의 절대 수렴과 동일합니다. 그 결과, 임펄스 응답 함수의 라플라스 변환의 극이 음의 실제 부분을 갖는 경우 LTI 시스템은 안정적입니다.

이 ROC는 시스템의 인과관계와 안정성을 아는 데 사용됩니다.

속성 및 정리

Laplace 변환에는 선형 동적 시스템을 분석하는 데 유용한 여러 특성이 있습니다.가장 중요한 장점은 미분화가 곱셈이 되고 적분이 s(로그가 곱셈을 더해 곱셈을 변화시키는 방식의 반영)에 의해 나눗셈이 된다는 것이다.

이 특성 때문에 Laplace $변수$ s는 L $도메인$ 에서 연산자 변수(파생 연산자 또는(s의 $경우 -1$ ) 적분 연산자)로도 알려져 있습니다.변환은 적분방정식과 미분방정식을 다항식으로 변환하는데, 이 방정식은 풀기 훨씬 쉽습니다.문제가 해결되면 역 Laplace 변환을 사용하면 원래 도메인으로 돌아갑니다.

$함수$ f $(t)$ 와 g $(t)$ 와 각각의 Laplace가 $F(s$ )와 $G(s$ )를 $변환$ 하는 경우,

{\displaymathcal {L}^{-1}\{F\}(s),\g(t)&=displaymathcal {L}^{-1}\{G\}(s),\end{aligned}}

다음 표는 일방적인 Laplace ^[22]변환 속성 목록입니다.

일방 Laplace 변환 속성

소유물	시간 영역	$도메인$	댓글
선형성	$af(t)+syslog(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	기본적인 통합 규칙을 사용하여 증명할 수 있습니다.
주파수 영역 도함수	$tf(t)\$	$-F's\$	$Fθ$ 는s에 $대한$ $F$ 의 첫 번째 도함수이다.
주파수 영역 일반 도함수	$t^{n}f(t)\$	${{displaystyle(-1)^{n}F^{(n)}(s)\}$	보다 일반적인 형태, $F$ 의 n번째 도함수 $.$
파생상품	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0^{+})\$	$f$ 는 미분 가능한 함수로 가정하고, 그 도함수는 지수형이라고 가정한다.그런 다음 부품별 통합을 통해 얻을 수 있습니다.
이차 도함수	$f`(t)\$	${\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{+})-f'(0^{+})\ }$	$f$ 는 2배의 미분 가능성과 2차 도함수가 지수형이라고 가정한다.이어서 차별화 속성을 f $'(t)$ 에 $적용$ 합니다.
일반도함수	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{+})\$	$f$ 는 지수 유형의 n번째 도함수로 n배 미분 가능하다고 가정한다.수학적 귀납이 뒤따른다.
주파수 영역 통합	${1}{t}}f(t)\$	$\displaystyle \int _{s}^{infty}F(\sigma),d\sigma \}$	이는 주파수 미분 및 조건부 수렴 특성을 사용하여 추론됩니다.
시간 영역 통합	$\displaystyle \int _{0}^{t}f(\displays ), d\displays =(u*f)(t)}$	${1 \over s} F(s)$	$u (t)$ 는 헤비사이드 스텝 함수이고, ( $u f$ f $)(t)$ 는 u( $t)$ 와 f $(t)$ 의 합성곱이다.
주파수 시프트	$e^{at}f(t)\$	$F(s-a)\$
시간 이동	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F\$	$a>0\$ $a$ $a>0\$ > $a>0\$ 0 { $displaystyle$ a $> 0$ \ $a>0\$ u( $t)$ 는 Heaviside 스텝 함수입니다.
시간 스케일링	$f(at)$	$(\displaystyle\frac{1}{a})F\left({s\over a}\right)}$	$a>0\$
곱셈	$f(t)g(t)$	${1}{2\pi i}}\lim _{T\to\infty}\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma)G(s-\sigma),d\sigma \$	통합은 전적으로 ^[23]F의 $수렴$ 영역 내에 있는 수직선 Re(표준) = c를 따라 수행됩니다.
컨볼루션	$(f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\display)g(t-\displays ),d\displays$	$F(s)\cdot G(s)\$
원형 회전	$(f*g)(t)=\int _{0}^{T}f(\tau)g(t-\displays ),d\displays$	$F(s)\cdot G(s)\$	주기 T의 주기적 함수의 경우.
복소 활용	$f^{*}(t)$	$F^{}(s^{})$
상호 상관	$(f\star g)(t)=\int _{0}^{\infty}f(\display)^{*},g(t+\displays),d\displays$	$F^{}(-s^{})\cdot G(s)$
주기 함수	$f(t)$	${1\over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t),dt$	$f (t)$ 는 $주기$ T의 주기 함수이며, 따라서 f $($ $t)$ = $f (t$ + $T)$ 가 $된다$ .이것은 시간 이동 특성과 기하 급수의 결과입니다.
주기적 합계	$\sum _{n=0}^{\infty}f(t-Tn)u(t-Tn)$ $\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}f(Tn)u(t-Tn)}$	${1}{1-e^{-Ts}}F(s)$ ${1}{1+e^{-Ts}}F(s)$

초기값 정리: $f(0^{+})=\lim _{s\to\infty}{sF(s)}.$
최종값 정리: $f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$ ( $f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$ ) $f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$ $f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$ s $f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$ $f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$ $f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$ ( $f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$ ) { $displaystyle$ f ( \ $infty$ ) = \ $lim _$ { $s$ \ $to$ 0 $}{$ $sF$ ( $s$ )} ( $s$ F $sF(s)$ )의 $sF(s)$ $sF(s)$ 극이 왼쪽 하프플레인에 있는 경우).; 최종 값 정리는 부분 분수 분해(또는 다른 어려운 대수)를 수행할 필요 없이 장기적인 동작을 제공하기 때문에 유용합니다.F $(s)$ 가 오른쪽 평면에 극이 있거나 가상 축에 극이 있는 $경우$ ( $f(t)=e^{t}$ : $f(t)=e^{t}$ f ( $f(t)=e^{t}$ ) $=$ $f(t)=e^{t}$ $f(t)=e^{t}$ { $displaystyle$ f $(t$ )= $e^{t}$ $f(t)=\sin(t)$ f ( $f(t)=\sin(t)$ $=$ $f(t)=\sin(t)$ δ ( $f(t)=\sin(t)$ ) $f(t)=\sin(t)$ { $displaystyle$ f $(t$ )=\ $sin(t)}),$ 이 공식의 거동은 정의되지 않는다.

멱급수와의 관계

라플라스 변환은 ^[24]멱급수의 연속 아날로그로 볼 수 있습니다.a $(n)$ 가 양의 $정수$ n의 이산 함수일 경우 a $(n)$ 와 관련된 멱급수는 다음과 같다.

\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}a(n)x^{n}

어디 x는 정말 변수(Z변환을).n에 통합을 t, 그 멱급수 겨우 지속적인 버전에 교체 요약

\displaystyle \int _{0}^{\infty}f(t)x^{t},dt}

어디가 불연속 함수 a(n)는 지속적인 하나 f(t)에 의해 대체된다.

검정력 베이스를 $x$ 에서 e로 $변경하면$

\displaystyle \int _{0}^{\infty}f(t)\left(e^{\ln {x}}\오른쪽)^{t},dt}

예를 들어, 모든 유계 $함수$ f에 수렴하려면 $ln$ x < $0이 필요$ 합니다. 치환 $-s$ = $ln$ x를 만들면 라플라스 변환만 얻을 수 있습니다.

\displaystyle \int _{0}^{\infty}f(t)e^{-st},dt}

즉, 라플라스 변환은 이산 $파라미터$ n을 연속 $파라미터$ t로 $치환$ 하고 x를 $e$ 로^−s 치환하는 멱급수의 연속유사체이다.

모멘트와의 관계

수량

\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t),dt}

$함수$ f의 모멘트입니다.만약 $f$ 의 $처음$ n개의 모멘트가 절대적으로 수렴된다면, 적분 아래에서의 반복적인 미분에 의해,

{\displaystyle(-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.}

이 특별한 의미의 확률 변수 X의 순간의 기대 가치에 의해 nxE[Xn]{\displaystyle \mu_{n}=\operatorname{E}[X^{n}]⁡ μ이 주어진다 확률 이론}에, 관계에 있다.

\mu _{n}={n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}\operatorname {E}\left[e^{-sX}\right](0)

함수의 도함수에 대한 라플라스 변환 계산

라플라스 변환의 미분 특성을 사용하여 함수의 도함수의 변환을 찾는 것이 종종 편리합니다.이는 다음과 같이 Laplace 트랜스폼의 기본 표현에서 얻을 수 있습니다.

{\mathcal {L}\left\{f(t)\right\}{0^{-}}{-infty}e^{-st}f(t),dt\[6pt]&=\left[\frac {f(t)^{-st}{-st}{-st}}{-right}}{-}}{-}}}{-right}}}}}}}}\\[6pt]&=left[-{\frac {f(0^{-}}{-s}}+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}

굴곡성

{L}\{f'(t)\}=s\cdot {L}\{f(t)\}-f(0^{-}),

그리고 양쪽의 경우엔

{L}\{f'(t)\}=s\int_{-\infty}^{-st}f(t),dt=s\cdot {L}\{f(t)\}.

일반적인 결과

{\displaystyle {mathcal {L}\left\{f^{(n)(t)\right\}=s^{n}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})},

$f^{(n)}$ 서 $f^{(n)}$ f ( $f^{(n)}$ ) $f^{(n)}$ {\ $displaystyle$ f^{( $n)}}$ 는 $f^{(n)}$ f의 $n th$ 도함수를 나타내며, 유도 인수를 사용하여 설정할 수 있습니다.

양의 실제 축에 대한 적분 평가

Laplace 변환의 유용한 속성은 다음과 같습니다.

\int _{0}^{\infty }f(x), ph=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot {\mathcal {L}^{-1}g)(s),ds

0 $(\displaystyle$ 0 $\infty$ 의 $0$ 오른쪽 근방에서 f $,$ $(\displaystyle$ f $,$ $g)$ 의 $f,g$ 거동에 대한 적절한 가정 하에, $\infty$ θ(\ $displaystyle$ \infty)의 왼쪽 $근방$ 에서f, g(\ $displaystyle$ f $f,g$ , $g$ )의 붕괴율에 대한 상기의 공식은 ${\frac {d}{dx}}$ 통합의 변형이다. ${\frac {d}{dx}}$ ${\$ $displaystyle\frac{dx}$ 및 $}dx$ 는 ${\frac {d}{dx}}$ L $(\$ $displaystyle$ ${\mathcal {L}}^{-1}$ 및 ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}^{-1}$ - $(\$ 로 대체되었습니다.이러한 공식은 다음과 같습니다.

\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}f)(x)g(x),dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}g)(s),ds.}

$({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds$ $({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds$ ) ( $({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds$ ) $({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds$ 0 $({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds$ 0 $({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds$ f ( $({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds$ ) $({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds$ - $({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds$ x $({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds$ s { $display$ style ( { \ $mathcal$ { L} $f$ ) ( x ) = \ $int$ _ { $0 }^{$ \ $infty }f ( s$ ) $e^$ { - $sx$ } , $ds$ } 를 삽입하면 왼쪽은 다음과 같이 바뀝니다.

\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx},ds,infty,}

하지만 푸비니의 정리가 성립한다고 가정하면, 통합의 순서를 뒤집음으로써 우리는 원하는 오른편을 얻게 된다.

이 방법은 실제 미적분의 기본 방법을 사용하여 계산하기 어려웠던 적분을 계산하는 데 사용될 수 있습니다.예를들면,

\int _{0}^{\infty}{\frac {sin x}{\infty}{\int}{\mathcal {L}(x)}{\infty}1\cdot {\mathcal {L}{\int}{\infty}{\in}{\in}{\int}{\in}{\in}{\in}{\in}{\in}{\mathcdiscdcdiscdiscdiscdiscd}{{\in}{\

다른 변환과의 관계

라플라스-스틸트제스 변환

$함수$ g: θ → $θ$ 의 (일방적인) 라플라스-스틸테스 변환은 르베그-스틸테스 적분에 의해 정의된다.

\displaystyle \{\mathcal {L}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st},d,g(t)~.}

$함수$ g는 유계 변동인 것으로 가정한다.g가 $f$ 의 역도함수인 $경우$ :

g(x)=\int _{0}^{x}f(t),d,t

그러면 g의 라플라스-스티엘테스 변환과 $f$ 의 라플라스 변환이 일치한다.일반적으로, 라플라스-스틸트제스 $변환$ 은 g와 관련된 스티엘트제스 측정의 라플라스 변환이다.따라서 실제로 두 변환의 유일한 차이점은 Laplace 변환이 측정의 밀도 함수에 의해 동작하는 것으로 간주되는 반면 Laplace-Stieltjes 변환은 누적 분포 ^[25]함수에 의해 동작하는 것으로 간주된다는 것입니다.

푸리에 변환

푸리에 변환은 (특정 조건 하에서) 양쪽 라플라스 변환의 특수한 경우입니다.함수의 푸리에 변환은 실제 변수(주파수)의 복소 함수인 반면, 함수의 라플라스 변환은 복소 변수의 복소 함수입니다.라플라스 변환은 보통 t $0$ $0인$ $t$ 의 함수 변환으로 제한된다. 이 제한의 결과로 함수의 라플라스 변환은 $변수$ s의 완전함수이다.푸리에 변환과 달리 분포의 라플라스 변환은 일반적으로 잘 동작하는 함수입니다.복잡한 변수 기술은 Laplace 변환을 직접 연구하는 데 사용될 수도 있습니다.Laplace 변환은 정칙함수로서 멱급수 표현을 가진다.이 멱급수는 함수를 함수의 모멘트의 선형 중첩으로 나타냅니다.이 관점은 확률론에서 적용된다.

푸리에 변환은 아래에 설명된 조건이 충족될 때 가상의 $인수$ s = $iθ$ $또는$ s = 2 $iiθ$ 를^[26] 사용하여 쌍방향 라플라스 변환을 평가하는 것과 같다.

{\hat {f}\hat {f(t)\}&={f(t)\}&={f(t)\}_{s=i\obe }= F(s)_{s=i\ope }\[4pt]\int^{\fty}_displaystystyle {f}\end { aligned}

푸리에 변환의 푸리에의 이 관례는 변환(f^ 3(ω){\displaystyle{\hat{f}}_ᆫ(\omega)}§ 다른 규칙).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{의 요인이 필요하다.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/2π 푸리에 변환에.라플라스 변환과 푸리에 변환의 관계는 신호 또는 동적 시스템의 주파수 스펙트럼을 결정하는 데 자주 사용됩니다.

위의 관계는 F( $s)$ 의 수렴 영역(ROC)이 가상 축인 $θ$ = $0$ 을 포함하는 경우에만 유효하다.

예를 들어, $함수$ f $(t)$ = cos $(θt 0)$ 는 ROC가 $Re(s)$ > $0인$ 라플라스 $변환$ F $($ $s)$ = $s/(s 2 + θ 02$ )를 가진다. s = $iθ$ 는₀ F $(s)$ 의 극이며, $F$ $(s)$ 에서 s = $iθ$ 를 대입하면 $f$ ( $tu)$ 의 $푸리에$ 변환을 산출하지 않는다.

단, 폼의 관계는

(\displaystyle \lim _{\display\to 0^{+}F(\sigma +i\Omega)={f}(\sigma {f})})

훨씬 약한 조건에서도 버틸 수 있습니다.예를 들어, 이 한계는 측정의 약한 한계로 이해될 경우 위의 예에 적용된다(모호한 토폴로지 참조).푸리에 변환 경계에 있는 함수의 라플라스 변환 한계와 관련된 일반적인 조건은 팔레-위너 이론의 형태를 취한다.

멜린 변환

멜린 변환과 그 역변환은 단순한 변수 변경으로 양면 라플라스 변환과 관련이 있습니다.

Mellin 변환의 경우

G(s)=mathcal {M}\{g(\theta)\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta ), {\frac {d\theta }{\theta }}}

θ - t

= e로 설정하면 양면 라플라스 변환을 얻을 수 있습니다.

Z 변환

단측 또는 단측 Z 변환은 단순히 이상적으로 샘플링된 신호의 라플라스 변환일 뿐입니다.

zgl stackrel {mathrm {def} {}={displaystyle zbrm {def}}T,

여기

서 T

= 1

/

f

는_s 샘플링 간격(예: 초 단위)이고

s

f는 샘플링 속도(초당 샘플 수 또는 헤르츠 단위)입니다.

허락하다

\displaystyle \Delta _{T}(t)\stackrel {mathrm {def} {=}\sum _{n=0}^{\infty }\displays (t-nT)}

샘플링 임펄스 트레인(Dirac comb이라고도 함) 및

{\displaystyle {signed}x_{q}(t)&{\stackrel {mathrm {def}{}={}x(t)\델타 _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty}\sum (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{infty }{\infty }[nT]

연속

시간

x

(t)

의 표본 표현이다.

x[n] {\stackrel {mathrm {def} {{}={}}x(nT)~.

샘플링된 $신호 q$ x $(t)$ 의 라플라스 변환은 다음과 같습니다.

{begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}^{-st},dt\\&=int _{0^{-}{\infty}\sum _{n=0}^{\infty}x[n]E(T)\end { aligned}

이것은 이산 $함수$ x $[n]$ 의 일방적 Z 변환의 정확한 정의이다.

X(z)=\sum _{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n

z →

e

로^sT 치환한다.

마지막 두 방정식을 비교하여 샘플링된 신호의 일방 Z 변환과 라플라스 변환 사이의 관계를 찾습니다.

{\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big}_{z=e^{s}T}}}.

Z $변환$ 과 라플라스 변환 사이의 유사성은 시간 척도 미적분 이론에서 확장된다.

보렐 변환

보렐 변환의 적분 형식

F(s)=\int _{0}^{\infty}f(z)e^{-display},dz

f에 $대한$ Laplace 변환의 특수한 경우로, 즉 지수 유형의 함수 전체는 다음과 같습니다.

f(z)\leq Ae^{B z }

일부 $상수$ $A$ 와 B의 경우.일반화 보렐 변환을 사용하면 지수 함수 대신 다른 가중 함수를 사용하여 지수 유형이 아닌 함수를 변환할 수 있습니다.나흐빈의 정리는 보렐 변환이 잘 정의되기 위해 필요하고 충분한 조건을 제공한다.

기본적인 관계

일반적인 라플라스 변환은 양면 변환의 특수한 경우로 쓸 수 있고, 양면 변환은 두 단면 변환의 합으로 쓸 수 있기 때문에, 라플라스-, 푸리에-, 멜린- 및 Z 변환의 이론은 같은 주제에 있다.그러나 이러한 4대 적분 변환 각각에는 다른 관점과 다른 특성 문제가 관련되어 있습니다.

선택한 Laplace 변환 테이블

다음 표에서는 ^[27]^[28]단일 변수의 많은 공통 함수에 대한 Laplace 변환을 보여 줍니다.정의 및 설명은 표 끝에 있는 설명 메모를 참조하십시오.

라플라스 변환은 선형 연산자이기 때문에

합계의 라플라스 변환은 각 항의 라플라스 변환의 합입니다. ${L}\{f(t)+g(t)\}={f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}$

함수의 배수의 라플라스 변환은 해당 함수의 라플라스 변환의 여러 배입니다. $displaystyle {L}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}\{f(t)\}}}$

이 선형성 및 다양한 삼각, 쌍곡선 및 복소수(또는 ) 특성 및/또는 동일성을 사용하여 일부 라플라스 변환을 직접 사용하는 것보다 다른 변환으로부터 더 빠르게 얻을 수 있습니다.

일방적 라플라스 변환은 시간 영역이 음이 아닌 실수인 함수를 입력으로 받아들이기 때문에 아래 표의 모든 시간 영역 함수는 헤비사이드 스텝 함수 $u$ ( $t)$ 의 배수입니다.

시간 $지연$ 을 수반하는 테이블의 엔트리는 원인 $('>$ $0$ )이어야 합니다.원인 시스템은 t = $0$ $이전$ 의 모든 $시간$ t에서 임펄스 $응답$ h $(t)$ 가 0인 시스템이다.일반적으로 원인 시스템에 대한 수렴 영역은 피임 방지 시스템의 수렴 영역과 동일하지 않다.

선택한 Laplace 변환

기능.

시간 영역

{{displaystyle f(t)=mathcal {L}^{-1}\{F(s)\}}

라플라스 s 도메인

F(s)=mathcal {L}\{f(t)\}

수렴 영역

언급

단위 임펄스

\displaystyle \syslog(t)\ }

1

모두

감사

지연 임펄스

\displaystyle \displaystyle ( t-\displays )\ }

e^{-\display s}\

시간 이동
단위 임펄스

단위 스텝

u(t)\

{1\over s}

{R_{e}}(s)> 0

단위 임펄스를 통합하다

지연 단위 단계

\displaystyle u(t-\display)\ }

{1}{s}}e^{-\display s}

{R_{e}}(s)> 0

시간 이동
단위 스텝

직사각형 임펄스

u(t)-u(t-\display)

(\displaystyle {1}{s}}(1-e^{-\display s})

{R_{e}}(s)> 0

램프

t\cdot u(t)\

(\displaystyle\frac{1}{s^{2}}})

{R_{e}}(s)> 0

적분 단위
두 번 자극하다

n제곱

(

정수

n의 경우)

t^{n}\cdot u(t)

{n!\over s^{n+1}

{R_{e}}(s)> 0

(

n > -1

)

적분 단위

스텝

n회

q제곱

(

복잡한

Q의 경우)

t^{q}\cdot u(t)

({displaystyle\operatorname\Gamma}(q+1)\over s^{q+1}})

{R_{e}}(s)> 0

{R_{e}}(q)>-1

^[29]^[30]

n번째

루트

{\displaystyle{n}{t}\cdot u(t)}

{1\over s^{\frac {1}{n}+1}}\operatorname {Gamma}\left({\frac {1}{n}}+1\right)

{R_{e}}(s)> 0

위의 q

=

1/

n

을

설정

합니다.

주파수

시프트가 있는 n번째 전력

t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)

{{displaystyle {n!}{(s+\alpha)^{n+1}}}}

\displaystyle {R_{e}}(s)> -\alpha }

유닛 스텝을 통합합니다.
주파수 시프트를 적용하다

지연

n제곱
주파수 변화에 따라

{{displaystyle (t-\display)^{n}e^{-\alpha (t-\display)}\cdot u (t-\display)}

{n!\cdot e^{-\cdot s}}{(s+\alpha)^{n+1}}

\displaystyle {R_{e}}(s)> -\alpha }

유닛 스텝의 통합,
주파수 이동 적용,
시프트를 적용하다

지수 붕괴

\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)}

{1\over s+\alpha}

\displaystyle {R_{e}}(s)> -\alpha }

주파수 시프트
단위 스텝

양면 지수 붕괴
(양방향 변환 전용)

e^{-\alpha t}\

\displaystyle {2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}

-\alpha <{\mathcal {R_{e}}}(s) <\alpha

주파수 시프트
단위 스텝

지수적 접근법

\displaystyle ( 1-e^{-\alpha t}\cdot u(t)\}

(\displaystyle\frac\alpha}{s+\alpha})

{R_{e}}(s)> 0

단위 스텝 마이너스
지수 붕괴

사인

\displaystyle \sin(\mega t)\cdot u(t)\ }

(\displaystyle\oper s^{2}+\oper ^{2}})

{R_{e}}(s)> 0

^[31]

코사인

\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\}

{s\over s^{2}+\Omega ^{2}

{R_{e}}(s)> 0

^[31]

쌍곡선 사인

\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\}

(\displaystyle\alpha\over s^{2}-\alpha^{2})

\displaystyle {R_{e}}(s)> \left \alpha \right }

^[32]

쌍곡 코사인

\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\}

{s\over s^{2}-\alpha ^{2}

\displaystyle {R_{e}}(s)> \left \alpha \right }

^[32]

기하급수적으로 쇠락하다
사인파

\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\}

{\displaystyle(s+\alpha)^{2}+{2}}

\displaystyle {R_{e}}(s)> -\alpha }

^[31]

기하급수적으로 쇠락하다
코사인파

\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\}

{s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\Omega ^{2}

\displaystyle {R_{e}}(s)> -\alpha }

^[31]

자연 로그

\displaystyle \ln(t)\cdot u(t)}

\displaystyle - {1 \over s} \left[\ln(s)+\display\right]

{R_{e}}(s)> 0

^[32]

베셀 함수
1종류의
주문 n의

J_{n}(\omega지)\cdot u(t)

{\displaystyle{\frac{\left({\sqrt{s^{2}+\omega{2}}}^-s\right)^{년!n}}{\omega ^{n}{\sqrt{s^{2}+\omega ^{2}}}}}}.

{R_{e}}(s)> 0

(n>−1)

^[33]

오차 함수

{\displaystyle \operatorname{erf}(t)\cdot u(t)}.

{\displaystyle{\frac{1}{s}}e^{(1/4)s^{2}}년!\left(1-\operatorname{erf}{{s}{2}}\frac \right)}

{R_{e}}(s)> 0

^[33]

Explanatory 팁:

U(t)은 헤비 사이드 계단 함수를 나타냅니다.
δ은 디랙 델타 함수.
Γ(z) 감마 함수.
γ은 Euler–Mascheroni 상수입니다.

비록 어떤 독립적인 차원을 대표하는 T, 같은, 전형적으로, 시간을 나타내는입니다.
$s$ 는 복잡한 주파수 영역 파라미터이며 $Re(s)$ 는 실제 부분입니다.
$α,$ β, $θ$ , $θ$ 는 실수이다.
$n$ 은 정수입니다.

s 도메인 등가 회로 및 임피던스

라플라스 변환은 회로 해석에 자주 사용되며 회로 소자의 s-도메인으로 간단하게 변환할 수 있습니다.회로 소자는 위상 임피던스와 매우 유사한 임피던스로 변환할 수 있습니다.

다음은 동등한 요소의 요약입니다.

저항기는 시간 영역과 s 도메인에서 정확히 동일합니다.회로 소자에 초기 조건이 있는 경우 소스가 투입됩니다.예를 들어 캐패시터에 초기전압이 있거나 인덕터에 초기전류가 있는 경우 s도메인에 삽입된 소스가 그 원인을 설명합니다.

전류 및 전압 소스에 대한 등가물은 위 표의 변환에서 단순하게 도출됩니다.

예와 응용 프로그램

Laplace 변환은 엔지니어링 및 물리학에서 자주 사용됩니다. 선형 시간 불변 시스템의 출력은 단위 임펄스 응답을 입력 신호로 변환하여 계산할 수 있습니다.라플라스 공간에서 이 계산을 수행하면 곱셈이 되고, 곱셈은 대수적 형태 때문에 풀기 쉬워집니다.자세한 내용은 제어 이론을 참조하십시오.Laplace 변환은 많은 함수 클래스에서 반전할 수 있습니다.시스템에 대한 입력 또는 출력에 대한 간단한 수학적 또는 함수적 기술이 주어진 경우, 라플라스 변환은 종종 시스템의 동작을 분석하거나 ^[34]사양 세트를 기반으로 새로운 시스템을 합성하는 프로세스를 단순화하는 대체 기능적 기술을 제공합니다.

라플라스 변환은 미분 방정식을 푸는 데도 사용할 수 있으며 기계 공학 및 전기 공학에서 광범위하게 사용됩니다.라플라스 변환은 선형 미분 방정식을 대수 방정식으로 환원하고, 그 방정식은 대수 공식 규칙으로 풀 수 있습니다.그런 다음 역 라플라스 변환을 적용하여 원래의 미분 방정식을 풀 수 있습니다.영국의 전기 기술자 올리버 헤비사이드는 라플라스 변환을 사용하지 않았지만, 비슷한 계획을 처음 제안했고, 그 결과 나온 연산 미적분은 헤비사이드 미적분으로 인정받았다.

부적절한 통합 평가

${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)$ { ${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)$ ( ${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)$ ) ${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)$ } ${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)$ ( ${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)$ $){$ $displaystyle \ displaystyle$ \ { $f$ ( $t$ ) \ $right$ \ } $= F$ ( $s$ ) ${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)$ 。다음으로 (위 표 참조)

{\displaystyle {\mathcal {L}\left\{\frac {f(t)}{\infty}{\int}{\frac {f(t)}{t}}e^{-st},dt=\int _{s}^{\infty }F(p),dp}.

In the limit $s\rightarrow 0$ , one gets

\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,

provided that the interchange of limits can be justified. This is often possible as a consequence of the final value theorem. Even when the interchange cannot be justified the calculation can be suggestive. For example, with a ≠ 0 ≠ b, proceeding formally one has

{\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left {\frac {b}{a}}\right .\end{aligned}}

The validity of this identity can be proved by other means. It is an example of a Frullani integral.

Another example is Dirichlet integral.

Complex impedance of a capacitor

In the theory of electrical circuits, the current flow in a capacitor is proportional to the capacitance and rate of change in the electrical potential (in SI units). Symbolically, this is expressed by the differential equation

i=C{dv \over dt},

where $C$ is the capacitance (in farads) of the capacitor, $i = i (t)$ is the electric current (in amperes) through the capacitor as a function of time, and $v = v (t)$ is the voltage (in volts) across the terminals of the capacitor, also as a function of time.

Taking the Laplace transform of this equation, we obtain

I(s)=C(sV(s)-V_{0}),

where

{\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}

and

V_{0}=v(0).

Solving for $V (s)$ we have

V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.

The definition of the complex impedance $Z$ (in ohms) is the ratio of the complex voltage $V$ divided by the complex current $I$ while holding the initial state $V 0$ at zero:

Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right _{V_{0}=0}.

Using this definition and the previous equation, we find:

Z(s)={\frac {1}{sC}},

which is the correct expression for the complex impedance of a capacitor. In addition, the Laplace transform has large applications in control theory.

Partial fraction expansion

Consider a linear time-invariant system with transfer function

H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.

The impulse response is simply the inverse Laplace transform of this transfer function:

h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.

To evaluate this inverse transform, we begin by expanding $H (s)$ using the method of partial fraction expansion,

{\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.

The unknown constants $P$ and $R$ are the residues located at the corresponding poles of the transfer function. Each residue represents the relative contribution of that singularity to the transfer function's overall shape.

By the residue theorem, the inverse Laplace transform depends only upon the poles and their residues. To find the residue $P$ , we multiply both sides of the equation by $s + α$ to get

{\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.

Then by letting $s = - α$ , the contribution from $R$ vanishes and all that is left is

P=\left.{1 \over s+\beta }\right _{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.

Similarly, the residue $R$ is given by

R=\left.{1 \over s+\alpha }\right _{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.

Note that

R={-1 \over \beta -\alpha }=-P

and so the substitution of

R

and

P

into the expanded expression for

H (s)

gives

H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).

Finally, using the linearity property and the known transform for exponential decay (see Item #3 in the Table of Laplace Transforms, above), we can take the inverse Laplace transform of $H (s)$ to obtain

h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),

which is the impulse response of the system.

Convolution

The same result can be achieved using the convolution property as if the system is a series of filters with transfer functions of $1/(s + a)$ and $1/(s + b)$ . That is, the inverse of

H(s)={\frac {1}{(s+a)(s+b)}}={\frac {1}{s+a}}\cdot {\frac {1}{s+b}}

is

{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+a}}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+b}}\right\}=e^{-at}*e^{-bt}=\int _{0}^{t}e^{-ax}e^{-b(t-x)}\,dx={\frac {e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}}.

Phase delay

Time function	Laplace transform
$\sin {(\omega t+\varphi )}$	${\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}$
$\cos {(\omega t+\varphi )}$	${\frac {s\cos(\varphi )-\omega \sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}.$

Starting with the Laplace transform,

X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}

we find the inverse by first rearranging terms in the fraction:

{\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}

We are now able to take the inverse Laplace transform of our terms:

{\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\cos(\varphi )\sin(\omega t).\end{aligned}}

This is just the sine of the sum of the arguments, yielding:

x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).

We can apply similar logic to find that

{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \varphi -\omega \sin \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.

Statistical mechanics

In statistical mechanics, the Laplace transform of the density of states $g(E)$ defines the partition function.^[35] That is, the canonical partition function $Z(\beta )$ is given by

Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}g(E)\,dE

and the inverse is given by

g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\beta _{0}-i\infty }^{\beta _{0}+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )\,d\beta

Spatial (not time) structure from astronomical spectrum

The wide and general applicability of the Laplace transform and its inverse is illustrated by an application in astronomy which provides some information on the spatial distribution of matter of an astronomical source of radiofrequency thermal radiation too distant to resolve as more than a point, given its flux density spectrum, rather than relating the time domain with the spectrum (frequency domain).

Assuming certain properties of the object, e.g. spherical shape and constant temperature, calculations based on carrying out an inverse Laplace transformation on the spectrum of the object can produce the only possible model of the distribution of matter in it (density as a function of distance from the center) consistent with the spectrum.^[36] When independent information on the structure of an object is available, the inverse Laplace transform method has been found to be in good agreement.

Gallery

An example curve of e^t cos(10t) that is added together with similar curves to form a Laplace Transform.
Animation showing how adding together curves can approximate a function.

Notes

^ Lynn, Paul A. (1986). "The Laplace Transform and the z-transform". Electronic Signals and Systems. London: Macmillan Education UK. pp. 225–272. doi:10.1007/978-1-349-18461-3_6. ISBN 978-0-333-39164-8. Laplace Transform and the z-transform are closely related to the Fourier Transform. Laplace Transform is somewhat more general in scope than the Fourier Transform, and is widely used by engineers for describing continuous circuits and systems, including automatic control systems.
^ "Differential Equations - Laplace Transforms". tutorial.math.lamar.edu. Retrieved 2020-08-08.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Laplace Transform". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-08.
^ "Des Fonctions génératrices" [On generating functions], Théorie analytique des Probabilités [Analytical Probability Theory] (in French) (2nd ed.), Paris, 1814, chap.I sect.2-20
^ Jaynes, E. T. (Edwin T.) (2003). Probability theory : the logic of science. Bretthorst, G. Larry. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0511065892. OCLC 57254076.
^ Abel, Niels H. (1820), "Sur les fonctions génératrices et leurs déterminantes", Œuvres Complètes (in French), vol. II (published 1839), pp. 77–88 1881 edition
^ Lerch, Mathias (1903), "Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel" [Proof of the inversion formula], Acta Mathematica (in French), 27: 339–351, doi:10.1007/BF02421315
^ Heaviside, Oliver (January 2008), "The solution of definite integrals by differential transformation", Electromagnetic Theory, vol. III, London, section 526, ISBN 9781605206189
^ Bromwich, Thomas J. (1916), "Normal coordinates in dynamical systems", Proceedings of the London Mathematical Society, 15: 401–448, doi:10.1112/plms/s2-15.1.401
^ An influential book was: Gardner, Murray F.; Barnes, John L. (1942), Transients in Linear Systems studied by the Laplace Transform, New York: Wiley
^ Doetsch, Gustav (1937), Theorie und Anwendung der Laplacesche Transformation [Theory and Application of the Laplace Transform] (in German), Berlin: Springer translation 1943
^ Euler 1744, Euler 1753, Euler 1769
^ Lagrange 1773
^ Grattan-Guinness 1997, p. 260
^ Grattan-Guinness 1997, p. 261
^ Grattan-Guinness 1997, pp. 261–262
^ Grattan-Guinness 1997, pp. 262–266
^ Feller 1971, §XIII.1
^ The cumulative distribution function is the integral of the probability density function.
^ Widder 1941, Chapter II, §1
^ Widder 1941, Chapter VI, §2
^ Korn & Korn 1967, pp. 226–227
^ Bracewell 2000, Table 14.1, p. 385
^ Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Mattuck, Arthur. "Where the Laplace Transform comes from". YouTube.
^ Feller 1971, p. 432
^ Takacs 1953, p. 93
^ Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010), Mathematical methods for physics and engineering (3rd ed.), Cambridge University Press, p. 455, ISBN 978-0-521-86153-3
^ Distefano, J. J.; Stubberud, A. R.; Williams, I. J. (1995), Feedback systems and control, Schaum's outlines (2nd ed.), McGraw-Hill, p. 78, ISBN 978-0-07-017052-0
^ Lipschutz, S.; Spiegel, M. R.; Liu, J. (2009). Mathematical Handbook of Formulas and Tables. Schaum's Outline Series (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 183. ISBN 978-0-07-154855-7. – provides the case for real $q$ .
^ http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html – Wolfram Mathword provides case for complex $q$
^ ^a ^b ^c ^d Bracewell 1978, p. 227.
^ ^a ^b ^c Williams 1973, p. 88.
^ ^a ^b Williams 1973, p. 89.
^ Korn & Korn 1967, §8.1
^ RK Pathria; Paul Beal (1996). Statistical mechanics (2nd ed.). Butterworth-Heinemann. p. 56.
^ Salem, M.; Seaton, M. J. (1974), "I. Continuum spectra and brightness contours", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 167: 493–510, Bibcode:1974MNRAS.167..493S, doi:10.1093/mnras/167.3.493, and
Salem, M. (1974), "II. Three-dimensional models", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 167: 511–516, Bibcode:1974MNRAS.167..511S, doi:10.1093/mnras/167.3.511

References

Modern

Bracewell, Ronald N. (1978), The Fourier Transform and its Applications (2nd ed.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 978-0-07-007013-4
Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8
Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., Second edition, New York: John Wiley & Sons, MR 0270403
Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd ed.), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1
Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923
Williams, J. (1973), Laplace Transforms, Problem Solvers, George Allen & Unwin, ISBN 978-0-04-512021-5
Takacs, J. (1953), "Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal", Magyar Hiradastechnika (in Hungarian), IV (7–8): 93–96

Historical

Euler, L. (1744), "De constructione aequationum" [The Construction of Equations], Opera Omnia, 1st series (in Latin), 22: 150–161
Euler, L. (1753), "Methodus aequationes differentiales" [A Method for Solving Differential Equations], Opera Omnia, 1st series (in Latin), 22: 181–213
Euler, L. (1992) [1769], "Institutiones calculi integralis, Volume 2" [Institutions of Integral Calculus], Opera Omnia, 1st series (in Latin), Basel: Birkhäuser, 12, ISBN 978-3764314743, Chapters 3–5
Euler, Leonhard (1769), Institutiones calculi integralis [Institutions of Integral Calculus] (in Latin), vol. II, Paris: Petropoli, ch. 3–5, pp. 57–153
Grattan-Guinness, I (1997), "Laplace's integral solutions to partial differential equations", in Gillispie, C. C. (ed.), Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01185-1
Lagrange, J. L. (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode, Œuvres de Lagrange, vol. 2, pp. 171–234

External links

"Laplace transform", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Weisstein, Eric W. "Laplace Transform". MathWorld.
Good explanations of the initial and final value theorems
Laplace Transforms at MathPages
Computational Knowledge Engine allows to easily calculate Laplace Transforms and its inverse Transform.
Laplace Calculator to calculate Laplace Transforms online easily.
Code to visualize Laplace Transforms and many example videos.

[Lynn_1986_pp._225–272-1] Lynn, Paul A. (1986). "The Laplace Transform and the z-transform". Electronic Signals and Systems. London: Macmillan Education UK. pp. 225–272. doi:10.1007/978-1-349-18461-3_6. ISBN 978-0-333-39164-8. Laplace Transform and the z-transform are closely related to the Fourier Transform. Laplace Transform is somewhat more general in scope than the Fourier Transform, and is widely used by engineers for describing continuous circuits and systems, including automatic control systems.

[2] "Differential Equations - Laplace Transforms". tutorial.math.lamar.edu. Retrieved 2020-08-08.

[:1-3] Weisstein, Eric W. "Laplace Transform". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-08.

[4] "Des Fonctions génératrices" [On generating functions], Théorie analytique des Probabilités [Analytical Probability Theory] (in French) (2nd ed.), Paris, 1814, chap.I sect.2-20

[5] Jaynes, E. T. (Edwin T.) (2003). Probability theory : the logic of science. Bretthorst, G. Larry. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0511065892. OCLC 57254076.

[6] Abel, Niels H. (1820), "Sur les fonctions génératrices et leurs déterminantes", Œuvres Complètes (in French), vol. II (published 1839), pp. 77–88 1881 edition

[7] Lerch, Mathias (1903), "Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel" [Proof of the inversion formula], Acta Mathematica (in French), 27: 339–351, doi:10.1007/BF02421315

[8] Heaviside, Oliver (January 2008), "The solution of definite integrals by differential transformation", Electromagnetic Theory, vol. III, London, section 526, ISBN 9781605206189

[9] Bromwich, Thomas J. (1916), "Normal coordinates in dynamical systems", Proceedings of the London Mathematical Society, 15: 401–448, doi:10.1112/plms/s2-15.1.401

[10] An influential book was: Gardner, Murray F.; Barnes, John L. (1942), Transients in Linear Systems studied by the Laplace Transform, New York: Wiley

[11] Doetsch, Gustav (1937), Theorie und Anwendung der Laplacesche Transformation [Theory and Application of the Laplace Transform] (in German), Berlin: Springer translation 1943

[12] Euler 1744, Euler 1753, Euler 1769

[13] Lagrange 1773

[14] Grattan-Guinness 1997, p. 260

[15] Grattan-Guinness 1997, p. 261

[16] Grattan-Guinness 1997, pp. 261–262

[17] Grattan-Guinness 1997, pp. 262–266

[18] Feller 1971, §XIII.1

[19] The cumulative distribution function is the integral of the probability density function.

[20] Widder 1941, Chapter II, §1

[21] Widder 1941, Chapter VI, §2

[22] Korn & Korn 1967, pp. 226–227

[23] Bracewell 2000, Table 14.1, p. 385

[24] Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Mattuck, Arthur. "Where the Laplace Transform comes from". YouTube.

[25] Feller 1971, p. 432

[26] Takacs 1953, p. 93

[27] Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010), Mathematical methods for physics and engineering (3rd ed.), Cambridge University Press, p. 455, ISBN 978-0-521-86153-3

[28] Distefano, J. J.; Stubberud, A. R.; Williams, I. J. (1995), Feedback systems and control, Schaum's outlines (2nd ed.), McGraw-Hill, p. 78, ISBN 978-0-07-017052-0

[29] Lipschutz, S.; Spiegel, M. R.; Liu, J. (2009). Mathematical Handbook of Formulas and Tables. Schaum's Outline Series (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 183. ISBN 978-0-07-154855-7. – provides the case for real $q$ .

[30] ttp://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html – Wolfram Mathword provides case for complex $q$

[FOOTNOTEBracewell1978227-31] Bracewell 1978, p. 227.

[FOOTNOTEWilliams197388-32] Williams 1973, p. 88.

[FOOTNOTEWilliams197389-33] Williams 1973, p. 89.

[34] Korn & Korn 1967, §8.1

[35] RK Pathria; Paul Beal (1996). Statistical mechanics (2nd ed.). Butterworth-Heinemann. p. 56.

[36] Salem, M.; Seaton, M. J. (1974), "I. Continuum spectra and brightness contours", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 167: 493–510, Bibcode:1974MNRAS.167..493S, doi:10.1093/mnras/167.3.493, and
Salem, M. (1974), "II. Three-dimensional models", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 167: 511–516, Bibcode:1974MNRAS.167..511S, doi:10.1093/mnras/167.3.511

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