수학에서 2차 적분은 형태의 적분이다.
분모에서 정사각형을 완성하면 평가할 수 있다.
양성 차별 사례
판별 q = b - 4ac이2 양수라고 가정한다. 이 경우 다음을 기준으로 u와 A를 정의하십시오.
2차 적분은 이제 다음과 같이 쓸 수 있다.
부분분수분해
q > 0이라는 가정 하에 원래의 적분에 대한 최종 결과는 다음과 같다.
음성 차별 사례
판별 q = b2 - 4ac이 음수인 경우 분모에서 두 번째 항은
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{u^{2}+A^{2}}}&={\frac {1}{cA}}\int {\frac {du/A}{(u/A)^{2}+1}}\\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\int {\frac {dw}{w^{2}+1}}\\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\arctan(w)+\mathrm {constant} \\[9pt]&={\frac {1}{cA}}\arctan \left({\frac {u}{A}}\right)+{\text{constant}}\\[9pt]&={\frac {1}{c{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}}\arctan \left({\frac {x+{\frac {b}{2c}}}{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}\right)+{\text{constant}}\\[9pt]&={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}\,}}}\arctan \left({\frac {2cx+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\right)+{\text{constant}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0715d439a69d30944bda613d3112a8b890555207)
참조
- 와이스슈타인, 에릭 W. "Quadratic Integration" MathWorld--Wolfram Web Resource에서 다음 내용을 참조한다.
- Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Table of Integrals, Series, and Products. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.
