뉴턴 다항식

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수치 분석의 수학적 분야에서, 발명가 아이작 뉴턴의 이름을 딴 뉴턴 다항식은 주어진 데이터 점 집합에 대한 보간 다항식이다.^[1] 뉴턴 다항식은 다항식의 계수가 뉴턴의 분할 차이법을 사용하여 계산되기 때문에 뉴턴의 분할 차이 보간 다항식이라고도 한다.

정의

k + 1 데이터 점 집합 지정

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\dots ,(x_{k},y_}}}}}}$

두 x가_j 같지 않은 경우, 뉴턴 보간 다항식은 뉴턴 기반 다항식의 선형 결합이다.

${\displaystyle N(x):=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)}$

뉴턴 기반 다항식 정의:

${\displaystyle n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})}$

j > 0과 ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}x}$) ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n_{0}(x)\equiv$ 1$}$의 경우$.$

계수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle a_{j}:=[y_{0},\ldots ,y_{j}]}$

어디에

${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{j}]}$

분단 차이에 대한 표기법이다.

따라서 뉴턴 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}(x-x_{1})+\cdots +[y_{0},\ldots,y_{k}](x-_{1})\cdots(x-x_{k-1})\cdots(x_{k-1}).}$

뉴턴 포워드 분할 차이 공식

뉴턴 다항식은 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$가 동일한 간격으로 연속적으로 배열되면$$ 단순화된 형태로 표현할 수 있다. Introducing the notation ${\displaystyle h=x_{i+1}-x_{i}}$ for each ${\displaystyle i=0,1,\dots ,k-1}$ and ${\displaystyle x=x_{0}+sh}$, the difference ${\displaystyle x-x_{i}}$ can be written as ${\displaystyle (s-i)h}$. So 뉴턴 다항식이 되다

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}]sh+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}]s(s-1)\cdots (s-k+1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}s(s-1)\cdots (s-i+1){h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}]\\&=\sum _{i=0}^{k}{s \secure i}i!{h}^{i}[y_{0},\ldots,y_{i}].\end{정렬}}}$

이것을 뉴턴 포워드 분할 차이 공식이라고^{[citation needed]} 한다.

뉴턴 역분할 차이 공식

만약 $노드$가 ${\displaystyle {}_{}}$k , ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle {x}_{k},{x}_{k-1},\dots$,{$x}_{0}$로 다시 정렬되면 뉴턴 다항식이 된다$.$

${\displaystyle N(x)=[y_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}](x-{x}_{k})+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}](x-{x}_{k})(x-{x}_{k-1})\cdots (x-{x}_{1}).}$

If ${\displaystyle {x}_{k},\;{x}_{k-1},\;\dots ,\;{x}_{0}}$ are equally spaced with ${\displaystyle x={x}_{k}+sh}$ and ${\displaystyle {x}_{i}={x}_{k}-(k-i)h}$ for i = 0, 1, ..., k, then,

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[{y}_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}]sh+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}]s(s+1)\cdots (s+k-1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}i!{h}^{i}[{y}_{k}},\ldots ,{y}_{k-i}].\end{정렬}}}$

뉴턴 역분할차 공식이라고^{[citation needed]} 불린다.

의의

뉴턴의 공식은 테일러의 다항식의 직설적이고 자연스러운 차이-버전이기 때문에 흥미롭다. 테일러의 다항식은 함수의 y 값과 파생상품(변동률, 변동률 등)을 기준으로 함수의 이동 지점을 특정 x 값으로 알려준다. 뉴턴의 공식은 순간적인 변화율 대신 유한한 차이에 기초한 테일러의 다항식이다.

신규 포인트 추가

다른 차이 공식과 마찬가지로, 뉴턴 보간 다항식도 기존 항을 폐기하지 않고 더 많은 항과 점을 추가함으로써 증가시킬 수 있다. 뉴턴의 형태는 새로운 점들이 항상 한 쪽 끝에 추가된다는 단순성을 가지고 있다. 뉴턴의 포워드 공식은 오른쪽에 새로운 점을 추가할 수 있고, 뉴턴의 후진 공식은 왼쪽에 새로운 점을 추가할 수 있다.

다항 보간 정확도는 보간된 점이 사용된 점 집합의 x 값 중간에 얼마나 가까운지에 따라 달라진다. 분명히, 한 쪽 끝에 새로운 점이 추가됨에 따라, 그 중간은 첫 번째 데이터 지점으로부터 점점 더 멀어진다. 따라서 원하는 정확도에 필요한 포인트가 몇 점인지 알 수 없다면 x 값 중간은 보간이 이루어지는 곳에서 멀리 떨어져 있을 수 있다.

가우스, 스털링, 그리고 베셀은 모두 그 문제를 해결하기 위해 공식을 개발했다.^[2]

가우스의 공식은 좌우 끝에 번갈아 새로운 점을 추가함으로써 점 집합이 같은 장소(평가된 지점 근처)에 집중되도록 한다. 그렇게 할 때, 그것은 어떤 데이터 포인트가 x₀ 데이터 포인트로 지정되는가에 대한 선택에 따라 데이터 포인트와 x 값의 이름을 바꾼 뉴턴의 공식에서 나온 용어를 사용한다.

스털링의 공식은 평가된 점이 두 데이터 포인트의 중간보다 데이터 포인트에 더 가까울 때 사용하기 위해 특정 데이터 포인트에 대한 중심을 유지한다.

베셀의 공식은 두 데이터 지점 사이의 특정 중간을 중심으로 유지되며, 평가된 지점이 데이터 지점보다 중간 지점에 가까울 때 사용된다.

베셀과 스털링은 때때로 두 가지 차이점의 평균을 사용하고, 때로는 뉴턴이나 가우스의 평균이 단 하나의 차이점이나 제품만을 사용하는 x의 이항생물의 평균을 사용함으로써 그것을 달성한다. 스털링의 평균 차이(차이가 짝수 데이터 포인트를 사용하는 경우) Besel은 평균 수준의 차이를 사용한다. (어떤 차이는 홀수의 데이터 포인트를 사용한다.)

다양한 공식의 장단점

주어진 유한한 데이터 점 집합의 경우, 가능한 최소 수준의 다항식 중 모든 점을 통과하는 단 한 개의 다항식만 있다. 따라서 보간 다항식의 "뉴턴 양식", 즉 라그랑주 양식 등을 말하는 것이 적절하다. 그러나 다항식 획득 방식이 중요하다. 가우스, 베셀, 스털링과 같은 몇 가지 유사한 방법이 있다. 그것들은 데이터 포인트의 x-값의 이름을 바꿈으로써 뉴턴에서 파생될 수 있지만, 실제로는 그것들은 중요하다.

베셀 vs. 스털링

베셀과 스털링 사이의 선택은 보간된 점이 데이터 포인트에 더 가까운지 또는 두 데이터 포인트 사이의 중간 지점에 더 가까운지에 따라 달라진다.

다항 보간점이 데이터 점에 접근함에 따라 다항 보간 오차가 0에 근접한다. 따라서 스털링의 공식은 가장 필요한 곳에 정확도 향상을, 베셀은 가장 필요한 곳에 정확도 향상을 가져온다.

그래서 베셀의 공식은 가장 일관적으로 정확한 차이 공식이며, 일반적으로는 익숙한 다항식 보간 공식 중에서 가장 일관성 있게 정확하다고 말할 수 있다.

분할-차이 방법 vs. 라그랑주

라그랑쥬는 때로는 일이 덜 필요하다고 말하기도 하며, 충분한 정확성을 위해 얼마나 많은 용어가 필요한지 사전에 알고 있는 문제에 대해 추천하기도 한다.

세분화된 차이 방법은 정확도를 높이기 위해 데이터 포인트를 더 추가할 수 있다는 장점이 있다. 이전 데이터 포인트에 근거한 용어들은 계속 사용될 수 있다. 일반적인 라그랑주 공식으로, 더 많은 데이터 포인트로 문제를 해결하려면 전체 문제를 다시 수행해야 한다.

새로운 데이터 포인트를 추가할 때 전체 계산을 다시 할 필요가 없는 라그랑주의 '이변적' 버전이 있다. 그러나 그것은 각 용어의 값을 기록하도록 요구한다.

그러나 가우스, 베셀, 스털링의 데이터 포인트를 보간된 포인트에 가깝게 유지할 수 있는 능력은 사전에 얼마나 많은 데이터 포인트가 필요한지 모르는 라그랑주보다 유리하다.

또한 특정 유형의 문제에 대해 선형 보간이 충분히 정확한지 여부를 확인하려고 한다고 가정하자. 그것은 분할된 차이 공식의 2차 항을 평가하여 결정할 수 있다. 2차 항이 무시할 수 있는 경우(선형 항이 2차 항을 추가하지 않고 충분히 정확하다는 의미) 선형 보간법이 충분히 정확하다. 문제가 충분히 중요한 경우 또는 2차 항이 중요할 정도로 큰 경우, 2차 항과 3차 항의 합계가 문제에서 중요할 정도로 큰지 여부를 판단하고자 할 수 있다.

물론 그러한 결정에는 분단차이법만 사용할 수 있다.

그러한 목적을 위해, 분할 차이 공식 및/또는 그 x₀ 점을 선택하여, 이 공식의 선형 항에 대해, 관심의 선형 보간이 이루어지는 두 데이터 지점을 사용해야 한다.

분열된 차이 공식은 더 다용도적이며, 더 많은 종류의 문제에서 유용하다.

라그랑주 공식은 데이터 포인트의 y 값만 문제마다 다르고 충분한 정확도를 위해 얼마나 많은 용어가 필요한지 x 값으로 모든 보간이 이루어질 때 최상으로 된다.

보간 다항식의 뉴턴 형태와 함께 다항 계수를 찾기 위해 항을 결합하기 위한 콤팩트하고 효과적인 알고리즘이 존재한다.^[3]

정확도

스털링 또는 베셀의 경우 마지막 용어가 두 가지 차이의 평균을 포함하면 뉴턴 또는 다른 다항 보간법이 동일한 다항식 도에 사용할 수 있는 것보다 한 점이 더 많이 사용되고 있다. 따라서 그 경우 스털링 또는 베셀은 N점을 통해 N-1도 다항식을 넣는 것이 아니라 뉴턴과 동등성을 교환하여 집중력과 정확성을 향상시키고, 그러한 방법들이 때로는 다른 다항식 보간법보다 주어진 다항식 정도에서 잠재적으로 더 큰 정확도를 제공하는 것이다.

일반사례

x_i = i의 특별한 경우, 뉴턴 다항식이라고도 하는 밀접하게 연관된 다항식 집합이 있는데, 이는 단순히 일반 논증에 대한 이항 계수일 뿐이다. 즉, 뉴턴 다항식 p $n{\displaystyle {}_{}}$ ( ${\displaystyle z{}_{}}$)${\displaystyle$ p_{$n}(z)}$이(가) 제공됨

${\displaystyle p_{n}(z)={z \선택 n}={\frac {z-1)\cdots (z-n+1){n!}}}$

이 형태에서 뉴턴 다항식은 뉴턴 시리즈를 생성한다. 이는 일반화된 차이 방정식을 통해 분석 기능을 표현할 수 있는 일반 차이 다항식의 특별한 경우다.

주요 아이디어

보간문제의 해결은 선형대수학에서는 선형 방정식의 체계를 풀어야 하는 문제로 이어진다. 보간 다항식의 표준 단항 기준을 사용하여 우리는 매우 복잡한 반데르몽드 행렬을 얻는다. 뉴턴의 기초인 또 다른 기초를 선택함으로써, 우리는 훨씬 더 간단한 삼각 행렬을 가진 선형 방정식의 시스템을 얻게 되는데, 이것은 더 빨리 해결될 수 있다.

k + 1 데이터 포인트의 경우, 우리는 뉴턴의 기초를 다음과 같이 구성한다.

${\displaystyle n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})\qquad j=1,\ldots,k.}$

이러한 다항식들을 ${\$의 기초로 사용하여 해결해야$$ 한다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}1&,&\ldots &,&0\\1&, x_{1}-x_{0}&,&&\\1&, x_{2}-x_{0}&,(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&,&\vdots \\\vdots &, \vdots &,&\ddots &, \\1&, x_{k}-x_{0}&, \ldots &, \ldots &, \prod _ᆲ^ᆳ(x_{k}-x_{j})\end{bmatrix}}\\\\a_{k}\end{bmatrix{\begin{bmatrix}a_{0}\\\\\vdots.}}}\\\\y_{k}\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}y_{0}\\\\\vdots}$

다항식 보간 문제를 해결하기 위해.

이 방정식 체계는 풀어서 반복적으로 풀 수 있다.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j}a_{i}n_{i}(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,\reason,k.}$

파생

보간식은 방정식의 선형 시스템을 풀면 찾을 수 있지만, 이 공식은 무엇을 보여주고 있는지, 뉴턴의 보간 공식은 왜 작용하는지는 쉽게 알 수 없다. 시작하려면 다음과 같은 결과가 필요할 것이다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle y_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n}]=[y_{n},\ldots ,y_{1}]}.$ 이 평등은 분단된 차이의 조건을 뒤집는 것이 최종 결과에 아무런 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 우리는 유도하여 이 결과를 증명할 것이다.

Basis: ${\textstyle [y_{1},y_{2}]={\frac {[y_{2}]-[y_{1}]}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {[y_{1}]-[y_{2}]}{x_{1}-x_{2}}}=[y_{2},y_{1}]}$

유도: $결과$가 n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n+1}$개$$ 미만의 항을 포함하는 분할된 차이를 유지한다고 가정합시다. Using the induction hypothesis, we see that ${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n+1}]={\frac {[y_{2},\ld$$ots ,y_{n+1}]-[y_{1},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{1}}}={\frac {[y_{n},\ldots ,y_{1}]-[y_{n+1},\ldots ,y_{2}]}{x_{1}-x_{n+1}}}=[y_{n+1},\ldots ,y_{1}]}$ where the induction hypothesis was used at the 2nd equality.

보간 공식을 도출하기 위해 다음 결과를 사용할 것이며, 이 결과는 유도에서도 입증될 것이다.

${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n}](x_{n}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n}-x_{n-1})=y_{n}-P(x_{n})}$where ${\displaystyle P(x)}$ is the unique polynomial of degree (at most) ${\displaystyle n-2}$ passing through the points ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$. With this result, we can now exactly quantify the error between the interpolation polynomial ${\displaystyle P(x)}$ at ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ and the true value $$${\displaystyle y_{}}$ n ${\$

Basis: ${\displaystyle [y_{1},y_{2}](x_{2}-x_{1})={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x_{2}-x_{1})=y_{2}-y_{1}=y_{2}-P(x_{2})}$ where ${\displaystyle P(x)=y_{1}}$ $({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)$${\$displaystyle (x_{1},y_{1}}}}$을(를) 통과하는 도 0의 고유한 다항식이다$.$

유도: $결과$가 n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n+1}$점$$ 미만인 경우 유지된다고 가정해 보십시오. $P{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle P(x)}$을(를) n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n-1}$을(를) 통과하는$$ 다항식(최대)이 되도록$$ 한다$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}{}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) .${\displaystyle (x_{1},$y_${1$}),\$ldots ,(x_{n},y_${n}, y_{$n}).$$}$

${\displaystyle {\n+1}&[y_{1},\ldots ,y_{n+1}(x_{n+1}-x_{1})\cdotts \cdots \cdots(x_{n+1}-x_{n})\\&={\frac {[y_{2}},\ldots, y_{n+1}-[y_{n1},\ldots,y_{n}}}{x_{1}}{x_{1}}}(x_{n+1}-x_})\cdot \cdots \cdot \cdot (x_{n+1}-{n}\\&=\left([y_{2},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{1},\ldots ,y_{n}]\right)(x_{n+1}-x_{2})\cdots \cdots \cdots \cdots(x_{n+1}-{n}-1}-{n}).\\&=[y_{2},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})-[y_{1},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=(y_{n+1}-Q(x_{n+1}))-[y_{1},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=y_{n+1}-(Q(x_{n+1}-)+[y_{1},\ldots,y_{n}](x_{n+1}-x_{2})\cdots \cdots \cdots \cdot (x_{n+1}-x_n})\end{nigned}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle Q(x)}$은(최대) ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 2 ${\displaystyle n-2}$ 포인트$$$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{y\mathrm{}}_{}}$2 )${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle (x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (x_{2},y_{2}),\ldots$ ,($x_${n$},$y_${n$}}},{n$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$ The second to last equality comes from the induction hypothesis as ${\displaystyle [y_{2},\ldots ,y_{n+1}]}$ involves ${\displaystyle n}$ points and thus ${\displaystyle [y_{2},\$$ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})=y_{n+1}-Q(x_{n+1})}$. Getting close to the desired result, we now claim that ${\displaystyle Q(x)+[y_{1},\ldots ,y_{n}](x-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})=P(x)}$as both polynomials pass through${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, …${\displaystyle }$( ${\displaystyle x_{}}$n , ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ )$${\$displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}}},$ 그리고$$ 정도(최대) ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1 ${\displaysty n-1$ 이 두 기준 모두 다항목을 고유하게 정의한다. 왼쪽이${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle (x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$, y ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (x_{2},y_{2}),\ldots$,(${\displaystyle \mathrm{x\_}}$${n},y_{n}}}}}$을 통과하는 사실은 $Q{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaysty Q(x)$가 어떻게 정의되는가에$$ 의해 쉽게 알 수 있다$$. 좌측이${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (x_{1},y_{1}})$을 통과하는 것을 입증하기 위해$,$ 우리는 다음과 같은 유도 가설과 함께 위에서 증명된 첫 번째 결과를 사용할 것이다.

${\displaystyle {\begin}&Q(x_{1})+[y_{1},\ldots,y_{n}](x_{1}-x_{2})\cdot \ldots \cdots \cdot (x_{1}-x_{n}})\\&=Q(x_{1}}+[y_{n}},\ldots ,y_{1}(x_{1}-x_{n})\cdots \cdots \cdot (x_{1}-x_{2})\&=Q(x_{1}+})-Q(x_{1}}}}}}}}\\&=y_{1}\&=P(x_{1})\\\end{aigned}}}$

where the 2nd equality follows from the fact that ${\displaystyle Q(x)}$ is the polynomial of degree (at most) ${\displaystyle n-2}$ passing through ${\displaystyle (x_{n},y_{n}),\ldots ,(x_{2},y_{2})}$ satisfying the induction hypothesis. Continuing the induction step above, we now see that ${\displaystyle [y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})=y_{n+1}-P(x_{n+1})}$where ${\displaystyle P(x)}$ is the polynomial 도 $n{\displaystyle }$ -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n-1}$을 통과하는${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle \dots ,}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n$})의 l$.$$}$ 따라서$$ 증명이 완료되었다.

이 모든 작업은 이제 뉴턴의 보간 공식의 근원으로 이어진다. Rearranging the result above, we note that ${\displaystyle P(x)+[y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})}$is the polynomial of degree (at most) ${\displaystyle n}$ passing through ${\displaystyle (x_1,y_1),\dots ,(x_{n+1},y_{n+1}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n+1},y_{n+1})}$, and thus we see that "extending" a polynomial ${\displaystyle P(x)}$ to the next point ${\displaystyle (x_{n+1},y_{n+1})}$ requires adding the term ${\displaysty$$르 [y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x-x_{1})\cdots \ldots \cdots (x-x_{n}})$는 뉴턴의 보간 공식을 제공한다$$.

테일러 다항식

모든 노드가 일치할 경우 뉴턴 다항식의 한계는 테일러 다항식이 되는데, 이는 분단된 차이가 파생상품이 되기 때문이다.

${\displaystyle \lim _{(x_{0},\dots ,x_{n})\to (z,\dots ,z)}f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot (\xi -x_{0})+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot (\xi -x_{0})\cdot \dots \cdot (\xi -x_{n-1})=}$

${\displaystyle =f(z)+f'(z)\cdot(\xi -z)++++++++{\frac {f^{(n)}(z){n!}}}\cdot (\xi -z)^{n}}$

적용

분단된 차이의 정의에서 알 수 있듯이 새로운 데이터 포인트를 데이터 세트에 추가하여 이전 계수를 재계산하지 않고도 새로운 보간 다항식을 만들 수 있다. 그리고 데이터 지점이 변경되면 일반적으로 모든 계수를 다시 계산할 필요가 없다. 더욱이, x가_i 동등하게 분포된 경우, 분단된 차이의 계산은 상당히 쉬워진다. 따라서, 분할 차이 공식은 실용적인 목적을 위해 보통 라그랑주 형식보다 선호된다.

예

분단된 차이는 표 형식으로 쓸 수 있다. 예를 들어 함수 f는 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 보간되어야 한다$.$ 쓰기

${\displaystyle{\begin{행렬}x_{0}&, f(x_{0})&, &, \\&,&{f(x_{1})-f(x_{0})\over x_{1}-x_{0}}&\\x_{1}&, f(x_{1})&,&{{f(x_{2})-f(x_{1})\over{2x_}-x_{1}}-{f(x_{1})-f(x_{0})\over x_{1}-x_{0}}\over x_{2}-x_{0}}\\&,&{f(x_{2})-f(x_{1})\over x_{2}-x_{1}}&\\x_{2}&, f(x_{2})&,&\vdots \\&,&\vdots &am.\\\vdots,&&\vdots \\&,&\vdots &, \\x_{n}&, f(x_{n})& p/&&&\\\end{{d}}}$

그런 다음 각 열의 맨 위 항목을 계수로 사용하여 위와 같이 보간 다항식을 형성한다.

예를 들어, 점들에 분할된 차이를 사용하여 보간 다항식 - f(x) = tan(x)을 구성한다고 가정합시다.

${\displaystyle x_{0}=-{\tfrac {3}{2}}$	${\displaystyle x_{1}=-{\tfrac {3}{4}}}$	${\displaystyle x_{2}=0}$	${\displaystyle x_{3}={\tfrac {3}{4}}}$	${\displaystyle x_{4}={\tfrac {3}{2}}$
${\displaystyle f(x_{0}=-14.1014}$	${\displaystyle f(x_{1}=-0.931596}$	${\displaystyle f(x_{2}=0}$	${\displaystyle f(x_{3}=0.931596}$	${\displaystyle f(x_{4}=14.1014}$

6자리의 정확도를 이용하여 테이블을 구성한다.

${\displaystyle{\begin{행렬}-{\tfrac{3}{2}}&-14.1014&,&&&\\&, &, 17.5597&,&&\\-{\tfrac{3}{4}}&-0.931596&, &, -10.8784&, &, \\&, &, 1.24213&,&4.83484&, \\0&, 0&,&0&,&0\\&, &, 1.24213&,&4.83484&, \\{\tfrac{3}{4}}&0.931596&,&10.8784&,&\\&amp을 말한다.&17.5597&,&&\\{\tfrac{3}{2}}&14.1014&,&&&\\\end{매트릭스}}}$

따라서 보간 다항식은

${\displaystyle -14.1014+17.5597(x+{\tfrac {3}{2}})-10.8784(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})+4.83484(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)+0(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)(x-{\tfrac {3}{4}})=}$

${\displaystyle =-0.00005-1.4775x-0.00001x^{2}+4.83484x^{3}}$

표에서 더 많은 자릿수의 정확도를 감안할 때 첫 번째와 세 번째 계수는 0으로 확인된다.

다른 예:

The sequence ${\displaystyle f_{0}}$ such that ${\displaystyle f_{0}(1)=6,f_{0}(2)=9,f_{0}(3)=2}$ and ${\displaystyle f_{0}(4)=5}$, i.e., they are ${\displaystyle 6,9,2,5}$ from ${\displaystyle x_{0}=1}$ to $$${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle x_{3}=4}$.

다음$$ $방법$으로 순서 1의 기울기${\displaystyle 1}$를 얻으십시오.

• ${\displaystyle f_{1}(x_{0},x_{1}={\frac {f_{0}(x_{1}-f_{0})-{x_{0}}{x_{0}}}={\frac {9-6}{2-1}=3}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{1},x_{2})={\frac {f_{0}(x_{2})-f_{0}(x_{1}){x_-x_{1}}}={\frac {2-9}{3-2}}=-7}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{2},x_{3})={\frac {f_{0}(x_{3}-{0}(x_{2})}{x_-x_{2}}={\frac {5-2}{4-3}}=3}}$

$주문 1$의 기울기가 있기 때문에 다음 주문을 받을 수 있다$.$

• ${\displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})={\frac {f_{1}(x_{1},x_{2})-f_{1}(x_{0},x_{1}}}}}}}={\frac {-7-3}{7-1=}-5}}}}}}}$
• ${\displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3}={\frac {f_{1}(x_{2},x_{3})-f_{1}(x_{1},x_{1}}}}}}{x_{1}}}={\frac {3-(7){4-2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$마지막$으로 순서 $3$의 기울기를 정의한다$.$

• ${\displaystyle f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})-f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{0}}}={\frac {5-(-5)}{4-1}}={\frac {10}{3}}}$

일단 경사가 생기면, 우리는 결과적인 다항식을 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle p_{0}(x)=6}$.
• ${\displaystyle p_{1}(x)=6+3(x-1)}$
• ${\displaystyle {}_{}\mathrm{p}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 6${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 3}$( ${\displaystyle x}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- 5${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle p_{2}(x)=6+3(x-1$)-$5(x-1)(x-2$
• ${\displaystyle p_{3}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)+{\frac {10}{3}(x-1)(x-2)(x-3)}$

참고 항목

• De mumis trianglebus et exd de currencybus 산술: 토마스 해리엇이 비슷한 보간 방법을 묘사한 마기스테리아 마그나(Magisteria magna)는 뉴턴의 작품보다 50년 일찍 집필했으나 2009년까지 출간되지 않았다.
• 뉴턴 시리즈
• 네빌 스키마
• 다항 보간법
• 보간 다항식의 라그랑주 형식
• 보간 다항식의 번스타인 형식
• 헤르미트 보간법
• 칼슨의 정리
• 뉴턴 시리즈 표

참조

외부 링크

• 존 H. 매튜스의 뉴턴 다항식 모듈