역함수와 분화

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에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
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수학에서 함수 $y{\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ y$=f(x)}$의 역은 어떤 식으로든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 효과를 "undish"하는 함수다$$($$형식적이고 자세한 정의는 역함수 참조). $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $f}$의 $역행$은 f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ f$^{-1$로 표시되며$$, 여기서 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ $f$$^{-1}(y)=$$x}$인 경우에만 f${\displaystyle }$- 1$($로 표시된다$.$

그들의 두 파생상품은 존재한다고 가정할 때 라이프니즈 표기법이 시사하는 바와 같이 상호적이다. 즉, 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\cdot \,{\frac {dy}{dx}=1.}$

이 관계는 x의 ${\displaystyle \mathrm{관점}}$에서 $f$${\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$를 구별하고 체인 규칙을 적용하여 다음과 같은 결과를 도출한다.

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}={\frac {dx}{dx}}}}}}$

x에 대한 x의 파생상품이 1인 것을 고려하면.

x에 대한 y의 의존도를 명시적으로 기재하고, 분화가 일어나는 지점은 역의 파생에 대한 공식(라그랑주 표기법에서)이 된다.

${\displaystyle {[}^{}}$ ${\displaystyle f{{}^{}}^{}}$- ${\displaystyle {1^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{1{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{f}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\prime }^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{(}{}}$f${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$1}{$f'{-1(a)\right$

This formula holds in general whenever ${\displaystyle f}$ is continuous and injective on an interval I, with ${\displaystyle f}$ being differentiable at ${\displaystyle f^{-1}(a)}$(${\displaystyle \in I}$) and where${\displaystyle f'(f^{-1}(a))\neq 0}$. 같은 공식도 식과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {D}\왼쪽[f^{-1}\오른쪽]={\frac {1}{{\mathcal{D}f)\circle \left(f^{-1}\오른쪽)},},}$

여기서 $D{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 함수의 공간에 대한 단일 파생 연산자를 나타내며$$, $\circ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circle }$은 함수 구성을 나타낸다$$.

기하학적으로 함수와 역함수는 ${\displaystyle y}$= x ${\displaystyle y=x}$ 선에 반사 그래프를 가지고 있다$.$ 이 반사 연산은 어떤 선의 구배를 역행으로 바꾼다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) x ${\displaystyle x}$의 인접 지역에서 역수를 가지며$$$$ 해당 시점의 파생상품이 0이 아니라고 가정하면, 그 역은 x ${\displaystyle$ x$}$에서 구별할 수 있을 것으로 보장되며$$ 위의 공식에 의해 주어진 파생상품을 갖는다.

예

• ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$양수 x의 경우)의 역 $x{\displaystyle }$= y ${\$ x$={\sqrt{y$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot{1}{1}{2x}=1.}$

$그러나{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0$에서는 제곱근함수의 그래프가 제곱함수의 수평 탄젠트에 해당하는 수직이 되는 문제가 있다.

• ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$실제 x의 경우)의 역 $x{\displaystyle }$=${\displaystyle ln}$ y ${\$ x$=\ln {y}}($양수 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 경우$)$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}}$

${\displaystyle {\frac}{dx}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}}=e^{x}}\cdot {\frac {1}={\frac{e^{x}}}=1}{e^}}}=1}$

추가 속성

• 이 관계를 통합하면

${\displaystyle {f^{-1}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1})(x))}}}\,{dx}+C.}$

이것은 적분이 존재하는 경우에만 유용하다. 특히 $우리$는 통합 범위에 걸쳐 0이 아닌$$ f ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ f$'(x)}$이(가) 되어야 한다.

연속적인 파생상품을 갖는 함수는 파생상품이 0이 아닌 모든 지점의 인접성에 역행성을 가진다. 파생상품이 연속적이지 않다면 이것은 사실일 필요가 없다.

• 또 다른 매우 흥미롭고 유용한 재산은 다음과 같다.

${\displaystyle \int f^{-1}(x)\,{dx}=xf^{-1}(x)-F(f^{-1})(x)+C}$

여기서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 해독제를 나타낸다$$$.$

• f(x)의 파생상품의 역행도 관심사인데, 이는 레전드르 변환의 볼록함을 보여주는 데 쓰이기 때문이다.

Let z${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle z=f'($${\displaystyle x}$$)}$ 그러면$$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ f$"(x)\neq$ 0$\}$ :

이는 이전 $표기법{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle y=f(x)}$을(를) 사용하여 표시할 수 있다$.$ 그러면 다음이 제공된다.

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}}={\frac {dx}{dz}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dx}{dy}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}{\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{f''(x)}}}$

유도까지, 우리는 어떠한 정수 n1{\displaystyle n\geq 1}≥에, z)f(n)()){\displaystyle z=f^{(n)}())}, f())의 n번째 파생 상품, y=f(n− 1)()){\displaystyle y=f^{(n-1)}())}과, 0<>에 f(나는)())≠ 0을 가정해;나는 ≤ n+1{\displaystyle f^{(나는)}(x. 이 결과 일반화할 수 있)\n$eq$ 0${\text{{}}}{{}0<i\leq n+1$

${\d(f^{(n)}^{-1}(z)}{dz}={\frac {1}{f^{{f^{(n+1)}(x)}}}}}}$

상위파생상품

$위$에 주어진 체인 규칙은 f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(x)))$를 구분하여 얻는다.x에 대한 $=x}.$ 더 높은 파생상품에 대해서도 동일한 과정을 계속할 수 있다. x에 대해 신원을 두 번 구분하면

${\dxyle {\frac{d^{2}y}{dx^{2}}:\,\cdot \,{dx}{d}}+{d}}{dx}}\frac {dx}}}\\cdot \,\좌측\frac {dy}{dy}}}}}}}}}}=0,},},},},},}$

다음과 같이 연쇄 규칙에 의해 더욱 단순화된다.

${\dplaystyle {\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\,\cdot \,\cdot \{dx}{dy^{dy^}{dy^}}}}}{dy^ \cdot \,\frac \{dx}}}}}}}^{2}0={{d}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

첫 번째 파생상품을 교체하고, 앞에서 얻은 정체성을 이용하여, 우리는

${\dplaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}\,\cdot \,\좌측\frac {dy}{dx}\오른쪽)^{3}}}}$

세 번째 파생상품도 이와 유사하다.

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}$

아니면 두 번째 파생상품에 대한 공식을 사용하는 것,

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}$

이러한 공식들은 파아디 브루노의 공식에 의해 일반화된다.

이 공식들은 또한 라그랑주의 표기법을 사용하여 쓸 수도 있다. 만약 f와 g가 invers라면,

${\displaystyle g"(x)={\frac {-f"(g(x))}{{[f'(g(x))]^{3}}}}}$

예

• ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$ y$=e^{x}$는 역 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \ln }$ y${\displaystyle x=\ln y}$을(를) 가지고$$ 있다$.$ 역함수의 두 번째 파생상품에 대한 공식을 사용하여

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};}$

하도록

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}}$,

직접 계산에 동의하는 겁니다

참고 항목

• 미적분학.
• 역함수
• 체인 룰
• 역함수 정리
• 암묵적 함수 정리
• 역함수의 통합

참조