디스크 통합

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디스크 통합(Disk integration)은 디스크 방법으로도 알려진 디스크 통합(Disk integration)은 회전 축에 대한 축을 따라 "병렬"을 따라 통합할 때 고체 상태의 물질의 회전 고체의 부피를 계산하는 방법이다. 이 방법은 결과적인 3차원 형상을 다양한 반지름과 극미량의 두께의 디스크 스택으로 모델링한다. 또한 디스크("워셔 방식") 대신 링으로 같은 원리를 사용하여 회전이라는 중공 고형물을 얻을 수도 있다. 이는 혁명의 축에 수직인 축을 따라 통합되는 쉘 통합과는 대조적이다.

정의

x의 함수

회전할 함수가 x의 함수인 경우, 다음 적분은 회전 고체의 부피를 나타낸다.

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}R(x)^{2}\,dx}$

여기서 R(x)는 함수와 회전 축 사이의 거리다. 이는 회전 축이 수평일 때만 작동한다(예: y = 3 또는 기타 상수).

y의 함수

회전할 함수가 y의 함수인 경우, 다음과 같은 적분은 회전 고체의 부피를 얻는다.

${\displaystyle \pi \int _{c}^{d}R(y)^{2}\,dy}$

여기서 R(y)는 함수와 회전 축 사이의 거리다. 이는 회전 축이 수직인 경우에만 작동한다(예: x = 4 또는 기타 상수).

와셔법

혁명의 텅 빈 고형물("워셔 방식")을 얻기 위해서는 혁명의 내적 고형물의 부피를 취하여 혁명의 외적 고형물 부피에서 빼는 것이 절차일 것이다. 이는 다음과 유사한 단일 적분으로 계산할 수 있다.

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\왼쪽(R_{\mathrm {O}}^{2}-R_{\mathrm {I}{}(x)^{2}\right)\,dx}$

여기서 R_O(x)는 회전축에서 가장 멀리 떨어져 있는 함수, R_I(x)는 회전축에 가장 가까운 함수다. 예를 들어, 다음 그림은 제곱근 곡선과 2차 곡선 사이에 둘러싸인 빨간색 "잎"의 x축을 따라 회전하는 모습을 보여준다.

이 고체의 부피는 다음과 같다.

${\displaystyle \pi \int _{0}^{1}\왼쪽(\좌측\sqrt {x}\우측)^{2}-\좌측(x^{2}\우측)^{2}\,dx\,}$

두 함수의 차이의 제곱을 평가하는 것이 아니라 두 함수의 제곱을 평가하는 데 주의를 기울여야 한다.

${\displaystyle R_{\mathrm {O}^{2}-R_{\mathrm {I}^{2}\neq \left(R_{\mathrm {O}}-R_{\mathrm {}}{{{}-R}\mathrmatrm {}{}}}}\오른쪽)^{2}}$

(이 공식은 x축에 대한 회전에만 적용된다.)

수평 축을 중심으로 회전하려면 해당 축에서 각 공식을 빼십시오. h가 수평 축의 값인 경우, 볼륨은 동일하다.

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\왼쪽(h-R_{\mathrm {O}}}(x)\right)^{2}-\{h-R_{\mathrm {I}}(x)\right)\,dx\,}$

예를 들어 y = -2x + x와² y = x 사이의 영역을 y = 4 축을 따라 회전하려면 다음과 같이 통합한다.

${\displaystyle \pi \int _{0}^{3}\좌측(\좌측(4-\좌측2x+x^{2)}\오른쪽)^{2}-(4-x)^{2}\오른쪽)\,dx\,}$

통합의 한계는 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 뺀 0이다. x 이외의 축을 따라 통합할 때 회전 축에서 가장 멀리 있는 함수의 그래프가 그리 뚜렷하지 않을 수 있다는 점에 유의하십시오. 앞의 예에서 y = x의 그래프가 x축에 대해 y = -2x + x의² 그래프보다 더 위가 높더라도, 회전축에 관해서는 y = x 함수가 내함수인데, 그 그래프는 예에서 y = 4에 가깝거나 회전축의 방정식에 가깝다.

동일한 아이디어를 y축과 다른 수직축 모두에 적용할 수 있다. x에 대한 각 방정식을 통합 공식에 삽입하기 전에 풀기만 하면 된다.

참고 항목

• 솔리드 오브 레볼루션
• 셸 통합

참조

• "Volumes of Solids of Revolution". CliffsNotes.com. Retrieved July 8, 2014.
• Weisstein, Eric W. "Method of Disks". MathWorld.
• 프랭크 에이어스, 엘리엇 멘델슨. Schaum의 개요: 미적분학. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-0-07-150861-2. 페이지 244–248(온라인 카피, 페이지 244, Google Books) 2013년 7월 12일 회수)