미적분학의 기본정리

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미적분학.
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미적분학의 기본 정리는 함수를 미분하는 개념(각 시점의 기울기 또는 변화율 계산)과 함수를 적분하는 개념(그래프 아래의 넓이 또는 작은 기여의 누적 효과 계산)을 연결하는 정리입니다.두 연산은 한 영역이 계산을 시작하는 위치에 따라 달라지는 상수 값을 제외하고는 서로 반전됩니다.

미적분학의 첫 번째 기본 정리인 이 정리의 첫 번째 부분은 함수 f에 대하여 변칙 상한을 갖는 구간에서 f 의 적분으로 반미분 또는 부정적분 F를 구할 수 있다는 것입니다.이것은 연속적인 기능에 대한 유도체의 존재를 의미합니다.^[1]

반대로, 미적분학의 두 번째 기본 정리인 정리의 두 번째 부분은 일정한 구간에 대한 함수 f의 적분이 구간의 끝 사이의 임의의 원시 F의 변화와 같다는 것입니다.이것은 기호 적분으로 유도체를 찾을 수 있다면 확실한 적분의 계산을 크게 단순화하여 수치 적분을 피할 수 있습니다.

역사

미적분학의 기본 정리는 미분과 적분을 연관시키며, 이 두 연산이 본질적으로 서로의 역이라는 것을 보여줍니다.이 정리가 발견되기 전에는 이 두 연산이 관련이 있다는 것이 인정되지 않았습니다.고대 그리스 수학자들은 무한소를 통해 넓이를 계산하는 방법을 알고 있었습니다. 지금은 적분이라고 부르는 연산입니다.미분의 기원도 마찬가지로 미적분학의 기본 정리보다 수백 년 앞섰습니다. 예를 들어, 14세기에 함수와 운동의 연속성의 개념은 옥스포드 계산기와 다른 학자들에 의해 연구되었습니다.미적분학의 기본 정리의 역사적 관련성은 이 연산들을 계산하는 능력이 아니라, 겉보기에는 서로 다른 두 연산(기하학적 영역 계산과 그래디언트 계산)이 실제로 밀접한 관련이 있다는 것을 깨닫는 것입니다.

미적분학의 기본 정리에 대한 추측과 증명으로부터 통합과 미분의 통일된 이론으로서의 미적분학이 시작됩니다.제임스 그레고리 (1638–1675)는 기본 정리의 기본적인 형태에 대한 기본적인 증명과 성격적으로 매우 기하학적이라는 최초의 발표된 진술을 했습니다.^[2][3][4]아이작 배로우 (1630–1677)는 더 일반화된 형태의 정리를 증명했고,^[5] 그의 제자 아이작 뉴턴 (1642–1727)은 주변 수학 이론의 발전을 완성했습니다.고트프리트 라이프니츠 (1646–1716)는 지식을 극소량에 대한 미적분학으로 체계화하고 오늘날 사용되는 표기법을 도입했습니다.

기하학적 의미

첫 번째 기본 정리는 다음과 같이 해석될 수 있습니다.그래프가 곡선으로 표시되는 연속 함수 y = f(x)가 주어지면 A(x)가 곡선 아래의 영역이 되도록 해당 "면적 함수" $x$ ↦ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle x\maps$ to $A(x)}$를 정의합니다.영역 A(x)는 쉽게 계산할 수 없지만 잘 정의된 것으로 가정합니다.

x와 x + h 사이의 곡선 아래의 면적은 0과 x + h 사이의 면적을 구한 다음 0과 x 사이의 면적을 빼서 계산할 수 있습니다.즉, 이 "스트립"의 면적은 A(x + h) - A(x)가 될 것입니다.

이 같은 띠의 면적을 추정하는 다른 방법이 있습니다.그림과 같이, h에 f(x)를 곱하면 이 띠와 거의 같은 크기의 직사각형의 넓이를 구할 수:

사실, 이 추정치는 그림에 빨간색 "과잉" 영역을 추가하면 완벽한 동일성이 됩니다. 따라서:

용어 재정렬:

한계에서 h가 0에 가까워지면 마지막 분수는 0이 되어야 합니다.^[6]이를 확인하려면 초과 영역이 작은 검은색 테두리 직사각형 내부에 있으며 초과 영역에 대한 상한을 지정합니다.

${\displaystyle {\text{초과}} \leq h\,(f(x{+}h_{1})-f(x{+}h_{2})),}$

여기서 $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$+ $h_{1}$ 및$$ x${\displaystyle }$+ h ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$+ $h_{2}}$는 구간 [x, x + h]에서 f가 각각 최대 및 최소에 도달하는 점입니다.

따라서:

연속성 off에 의해 오른쪽 식은 0이 되는 경향이 있습니다.따라서 좌변도 0이 되는 경향이 있으며 다음과 같습니다.

즉, 면적 함수 A(x)의 도함수가 존재하고 원래 함수 f(x)와 같으므로 면적 함수는 원래 함수의 도함수입니다.

따라서 함수의 적분의 도함수(면적)는 원래 함수이므로, 도함수와 적분은 서로 반대로 작용하는 역함수입니다.이것이 기본 정리의 핵심입니다.

육체적 직관

직관적으로, 기본 정리는 적분과 미분이 본질적으로 서로 반대되는 역연산이라는 것을 말합니다.

두 번째 기본 정리는 시간에 따른 수량의 무한소 변화의 합(수량의 도함수의 적분)이 수량의 순 변화에 합산된다는 것입니다.이를 시각화하기 위해 자동차를 타고 이동하는 것과 이동한 거리(고속도로를 따라 순 위치 변화)를 알고 싶어하는 것을 상상해 보십시오.속도계에서는 속도를 볼 수 있지만 자신의 위치를 내다볼 수는 없습니다.1초마다 현재 속도(시속 킬로미터 또는 마일)에 시간 간격(${\displaystyle \frac{\mathrm{1초}}{}}$ =$13600$ {\$tfrac {1}{$3600}}시간)을 곱하여 거리 = 속도 × 시간을 사용하여 얼마나 멀리 주행했는지 알 수 있습니다.이 모든 작은 단계를 종합하면, 차 밖을 전혀 보지 않고 총 주행 거리를 계산할 수 있습니다.

δ${\displaystyle T}${\$displaystyle$ \$Delta}이($가) 무한히 작아지면 합은 통합에 해당합니다.따라서 속도 함수의 적분(위치 도함수)은 자동차가 얼마나 멀리 이동했는지(위치의 순 변화)를 계산합니다.

첫 번째 기본 정리는 어떤 양이든 일정한 시간에서 가변적인 시간까지의 양의 적분의 변화율(도함수)이라는 것을 말합니다.위의 예를 계속해 보면, 만약 속도 함수를 상상한다면, 시작 시간부터 주어진 시간까지 적분하여 주어진 속도를 도함수로 하는 거리 함수를 얻을 수 있습니다.(고속도로 마커 위치를 얻으려면 이 적분에 시작 위치를 추가해야 합니다.)

정식명세서

그 정리에는 두 부분이 있습니다.첫 번째 부분은 원시함수의 도함수를 다루고, 두 번째 부분은 원시함수와 확정적분의 관계를 다룹니다.

1부

이 부분을 미적분학의 첫 번째 기본 정리라고 부르기도 합니다.^[7]

f를 닫힌 구간 [a, b]에서 정의된 연속적인 실수 값 함수라고 가정합니다.F를 [a, b]의 모든 x에 대하여 다음과 같이 정의된 함수라고 합니다.

그러면 F는 [a, b]에서 균일하게 연속적이고 열린 구간 (a, b)에서 미분 가능하며,

(a, b)에 있는 모든 x에 대하여, 따라서 F는 미분 오프입니다.

콜라리

기본 정리는 $종종{\displaystyle }$ 미분 F ${\displaystyle f}$가 알려진$$$$ 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.$특히{\displaystyle }$$$, f ${\displaystyle f}$가 $a${\$displaystyle f}$의 실제 값 연속 함수이고$$,$F{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ F$\}{\displaystyle }$가${\displaystyle }$[$a,$b$$$]$ {\$displaystyle$ f$]$의$${\$displaystyle$ f$}$의 유도체라면$$,

산형은 전체 구간에서 연속성을 가정합니다.이 결과는 그 정리의 다음 부분에서 약간 강화됩니다.

2부

이 부분은 미적분학의^[8] 두 번째 기본 정리 또는 뉴턴-라이프니츠 정리로 불리기도 합니다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$을$({\displaystyle }$를) 닫힌 구간 [${\displaystyle a,}$ b${\displaystyle ]}$ {\$displaystyle$f}의$실수$$함수$라고 하고, f ${\displaystyle F}$을$({\displaystyle }$를$)$ [${\displaystyle a,}$$$${\displaystyle b]}$ ${\displaystyle$$$$f}$의 $연속$ 함수라고 하자$.$

${\displaystyle f}$이$({\displaystyle }$가) [${\displaystyle a,b]}${\$displaystyle [a,b]}$에서 리만 적분 가능한 경우$$

$두{\displaystyle }$ 번째 부분은 f {\$displaystyle f}$이(가$)$ 연속적이라고 가정하지 않기 때문에 공선보다 다소 강합니다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 원시 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 존재하면$$F {\$displaystyle$$$F$}$에 임의 상수를 추가한$f$ {\displaystyle $f}$에 대한 원시 $F$가 무한히 많습니다$.$ 또한 정리의 첫 번째 부분에 의해 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$이(가) 연속일$$ 때 f ${\displaystyle$ f$}$의 원시 F는 항상$$ 존재합니다.

제1부 증명

주어진 함수 f에 대하여, 함수 F(x)를 다음과 같이 정의합니다.

[a, b]의 임의의 두 숫자 x와 x + δx에 대하여, 우리는

적분의 기본적인 특성과 영역의 추가성으로 인해 발생하는 후자의 동등성.

적분에 대한 평균값 정리에 따르면 다음과 같은 실수 $c$ ∈ [x${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$δ ${\displaystyle x}$] ${\displaystyle c\in [x_{1}, x_{1}+\Deltax]}$가 존재합니다.

다음과 같습니다.

그리하여

$한계$를 δ x${\displaystyle }$→ $,$ {\$displaystyle$ \$Delta x\to$ 0$,}$으로 잡고 $c$ ∈${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ x ${\displaystyle 1_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$δ x ${\displaystyle ],}$ ${\displaystyle c\in [x_{1}, x_{1}+\Delta$ x$],}$을(를) 얻음

그것은,도함수의 정의에 따라, f의 연속성, 그리고 스퀴즈 정리.^[9]

결과의 증명

F가 [a, b]에서 f가 연속인 반도함수 f라고 가정하자.

정리의 첫 번째 부분에 의해, 우리는 G가 또한 도함수 off임을 알고 있습니다.F' - G' = 0이므로 평균값 정리는 F - G가 상수 함수임을 의미하며, 즉 [a, b]의 모든 x에 대해 G(x) = F(x) + c가 되는 수 c가 있습니다.x = a라고 하면, 우리는

즉 c = -F(a)입니다.즉, G(x) = F(x) - F(a)이므로,

2부 증명

이것은 리만 합에 의한 극한 증명입니다.

우선 평균값 정리를 떠올립니다.간단히 말하면, F가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분 가능하다면 다음과 같은 cin (a, b)이 존재합니다.

f가 구간 [a, b]에서 적분 가능하고 f가 [a, b]에서 연속이 되도록 (a, b)에서 미분 F를 허용합니다.F(b) - F(a)의 양으로 시작합니다.다음과 같은 숫자 x₀, ..., x가_n 있다고 합시다.

다음과 같습니다.

이제 각각의 F(x_i)를 덧셈 역수와 함께 더해서 결과적인 양이 같아집니다.

위 수량은 다음과 같은 합계로 작성할 수 있습니다.

$${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})]-F(x_{i-1})].$$

(1')

함수 F는 구간 (a, b)에서 미분 가능하고 닫힌 구간 [a, b]에서 연속적입니다. 따라서 각 구간 (x_i−1, x_i)에서 미분 가능하고 각 구간 [x_i−1, x_i]에서 연속적입니다.평균값 정리(위)에 따르면, 각 i에 대하여 (x_i−1, x_i)에 다음과 같은 ${\displaystyle {ci}_{}}$ ${\$가 존재합니다.

위의 내용을 (1')에 대입하면,

이 가정은 $F{\displaystyle \text{'}({ci}_{}}$) = $ci$ ${\displaystyle {}_{}}$를${\displaystyle }$의미합니다$.$ {\$displaystyle F'($c_{i}) = $f(c_{i}).$$}$또한 ${\displaystyle {xi}_{}}$- ${\displaystyle {xi}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}$은(는) 파티션 $i$ ${\displaystyle i}$의 $δ$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Deltax}$로 표현할 수 있습니다$.$

$${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$$

(2')

우리는 직사각형의 넓이를 가로와 세로로 설명하고 있고, 우리는 넓이를 함께 추가하고 있습니다.평균값 정리를 통해 각 직사각형은 곡선 단면의 근사값을 설명합니다.또한 δ x ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \Delta x_{i}}$는 i의 모든 값에 대해 동일할 필요는 없으며, 즉 직사각형의 너비가 다를 수도 있습니다.우리가 해야 할 일은 곡선을 n개의 직사각형으로 근사하는 것입니다.이제 파티션의 크기가 작아지고 n이 증가하여 공간을 덮을 파티션이 많아지면 곡선의 실제 영역에 점점 더 가까워집니다.

파티션의 노름이 0에 가까워짐에 따라 표현의 한계를 가짐으로써 리만 적분에 도달합니다.f 가 적분 가능하다고 가정했기 때문에 이 한계가 존재한다는 것을 알고 있습니다.즉, 가장 큰 파티션이 크기가 0에 가까워짐에 따라 다른 모든 파티션이 작아지고 파티션의 수가 무한대에 가까워짐에 따라 제한을 적용합니다.

따라서, (2')의 양변에 대한 제한을 취합니다.이것은 우리에게 줍니다.

F(b) 또는 F(a) 모두 ‖ δ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ‖ ${\displaystyle \Delta x_{i}\}$에 종속되지 않으므로$$왼쪽의 한계는 F(b) - F(a)로 유지됩니다.

식의 오른쪽에 있는 식은 a에서 b까지의 적분을 정의합니다.따라서 우리는 다음을 얻습니다.

증거가 완성된 겁니다

부품간의 관계

위에서 논의한 바와 같이, 첫 번째 부분부터 두 번째 부분의 약간 약한 버전이 뒤따릅니다.

마찬가지로, 정리의 첫 번째 부분이 두 번째 부분에서 바로 이어지는 것처럼 보입니다.즉, G가 유도체 오프라고 가정합니다.그런 다음 두 번째 정리에 의해 $G$( $x$)$$- $G$( $a$ )$$= ∫ $x_{}^{}$ ${}_{}^{}$( t )$d$ t ${\textstyle G (x)$ - G ($a)$ =\$int _{a}^{$$x$$}f($$t$$)\,dt$ 이제 $F$( x$$) = ∫ a $x$ f$$( t$$) d $t$ = $G$( $x$)$$- G$$( a$$) ${\textstyle F(x$) =\$int _a}^{x}f(t)\,dt$=G($x)-G(a)}$라고 가정합니다$.$그러면 F는 G와 같은 도함수를 가지며, 따라서 F' = f.그러나 이 주장은 f가 항미분을 가지고 있다는 것을 이미 알고 있고, 모든 연속 함수가 항미분을 가지고 있다는 것을 아는 유일한 방법은 기본 정리의 첫 번째 부분에 의해서만 가능합니다.^[1]예를 들어, 만약 f(x) = e라면, f는 항미분사를 갖습니다.

그리고 이 함수에 대한 더 간단한 표현은 없습니다.따라서 정리의 두 번째 부분을 적분의 정의로 해석하지 않는 것이 중요합니다.실제로 통합은 가능하지만 기본적인 원시함수가 부족한 기능이 많이 있으며, 불연속적인 기능은 통합은 가능하지만 원시함수가 전혀 부족할 수 있습니다.반대로, 원시함수를 갖는 많은 함수들은 리만 적분이 가능하지 않습니다(볼테라 함수 참조).

예

특정 적분 계산

다음을 계산한다고 가정합니다.

여기서 $f{\displaystyle (x)}$ = x ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle f(x$) = $x^{2}}$이며, $F(x$) = $13$ $x^{}$ 3$${\$textstyle$ F$(x$) = {\$frac {1}{3} x^{3}}$를 유도체로 사용할 수 있습니다.따라서:

첫번째 파트 사용하기

가정하다

계산할 것입니다.$f$ ( ${\displaystyle t)}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 3^{}}$ ${\displaystyle f(t$) = $t^{3}}$인 정리의 첫 부분을 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

이는 정리의 두 번째 부분을 사용하여 확인할 수도 있습니다.구체적으로, $F(t)$ = $14$ $\frac{\mathrm{t}}{}$ $4^{}$ ${\textstyle F(t$) = {\$frac {1}{4}}t^{4}}$는 (${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle f(t)}$의 유도체이므로$,$

collarary가 불충분한 부분

가정하다

그러면 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle f(x)}$이(가) 0에서 연속되지 않습니다.또한 $f{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle f(x)}$의 $x$ → 0 ${\displaystyle x\to$ 0$}$으로 제한하는 것이 없으므로 f {\$displaystyle$ f$}$가 $0$에서 정의되는 방식의 문제가 아닙니다.따라서, 계산에 코럴리를 사용할 수 없습니다.하지만 그 기능을 생각해보세요.$F{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle F(x)}$는$$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1]}$ ${\displaystyle [0,1]}($스퀴즈 정리에 의해 0에 포함됨)에서 연속적이고, $F{\displaystyle (x}$$)$ ${\displaystyle F(x)}$는$$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle(0,1)}$에서 $F{\displaystyle \text{'}(x)}$ = ${\displaystyle f(x)}$로 미분 가능합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ F$'(x$)=$f(x$).$}$따라서$$ 정리의 2부가 적용되며,

이론적 예시

그 정리는 다음을 증명하는 데 사용될 수 있습니다.

부터,

결과는 다음과 같습니다.

일반화

함수 f가 전체 구간에서 연속적일 필요는 없습니다.그 다음 정리의 부분 I은 다음과 같이 말합니다: 만약 f가 [a, b]에서 어떤 르베그 적분 가능 함수이고 x가₀ [a, b]에서 f가₀ x에서 연속인 수라면,

는 F'(x) = f(x)일 때 x = x 에 대해 미분 가능합니다.우리는 f의 조건을 더 완화할 수 있고 단지 국소적으로 통합될 수 있다고 가정할 수 있습니다.이 경우 함수 F는 거의 모든 곳에서, F'(x) = f(x)는 거의 모든 곳에서 미분 가능하다는 결론을 내릴 수 있습니다.실제 선에서 이 문장은 르베그의 미분 정리와 같습니다.이러한 결과는 Henstock-Kurzweil 적분의 경우에도 그대로 유지되며, 이는 더 많은 종류의 적분 가능한 함수를 허용합니다.^[10]

더 높은 차원에서 르베그의 미분 정리는 거의 모든 x에 대하여 x에 중심을 둔 반지름의 공 위에 있는 함수 f의 평균값이 r이 0인 경향에 따라 f(x)인 경향이 있음을 기술함으로써 미적분학의 기본 정리를 일반화합니다.

이 정리의 부분 II는 모든 르베그 적분 가능 함수 f에 대해 참이며, 이 함수는 항미분 F를 갖습니다 (그러나 모든 적분 가능 함수가 그렇지는 않습니다).즉, [a, b] 위의 실수 함수 F가 [a, b]의 모든 점 x에서 도함수 f(x)를 허용하고 이 도함수 f가 [a, b] 위에 적분 가능한^[11] 르베그라면,

이 결과는 칸토어 함수의 예에서 알 수 있듯이 거의 모든 점 x에서 도함수 f(x)를 허용하는 연속 함수 F에 대해 실패할 수 있습니다.그러나 F가 절대적으로 연속이면 거의 모든 점 x에서 도함수 F'(x)를 인정하며, 또한 F'는 [a, b]에서 F'의 적분과 동일한 F(b) - F(a)와 적분 가능합니다.반대로 f가 어떤 적분 가능한 함수라면, 첫 번째 공식에서 주어진 것과 같은 F는 거의 모든 곳에서 F' = f와 절대적으로 연속입니다.

Henstock-Kurzweil 적분으로 포함된 적분을 고려하면 이 정리의 조건이 다시 완화될 수 있습니다.구체적으로 연속 함수 F(x)가 도함수 f(x)를 수 많은 점을 제외하고 모두 허용하면 f(x)는 Henstock-Kurzweil 적분 가능하고 F(b)-F(a)는 [a, b]에서 f의 적분과 같습니다.여기서 다른 점은 f 의 적분 가능성을 가정할 필요가 없다는 것입니다.^[12]

오차항을 적분으로 표현한 테일러 정리의 버전은 기본 정리를 일반화한 것으로 볼 수 있습니다.

복소함수에 대한 정리의 버전이 있습니다: U가 C에서 열린 집합이고 f라고 가정하자: U → C는 U에 동형의 원시함수 F를 갖는 함수입니다. 그러면 모든 곡선 γ에 대하여 곡선 적분은 다음과 같이 계산될 수 있습니다.

기본 정리는 더 높은 차원과 다양체에서 곡선과 표면 적분으로 일반화될 수 있습니다.움직이는 표면의 미적분학이 제공하는 그러한 일반화 중 하나는 적분의 시간 진화입니다.미적분학의 기본 정리에서 더 높은 차원에서 가장 친숙한 확장은 발산 정리와 구배 정리입니다.

이러한 방향에서 가장 강력한 일반화 중 하나는 스톡스 정리(때로는 다변수 미적분학의 기본 정리로 알려지기도 함)입니다.^[13]M을 차원 n의 방향을 가진 매끄러운 다양체라고 하고, M에서 ω ${\displaystyle \omega}$가 매끄러운 (n - 1) 형태라고 합니다.만약 ∂M이 유도된 방향이 주어진 M의 경계를 나타낸다면,

여기서 d는 매니폴드 구조만을 사용하여 정의되는 외부 도함수입니다.

이 정리는 형태 ω ${\displaystyle \omega}$이(가) 정의된 더 큰 다양체(예: R)의 내장된 지향 하위 매니폴드인 상황에서 자주 사용됩니다.

미적분학의 기본 정리는 1차 상미분 방정식으로 정적분을 제기할 수 있게 해줍니다.

로 행세할 수 있습니다(b$)$ $displaystyle y(b)}$를 적분값으로$$ 합니다.

참고 항목

• 적분기호 아래의 미분
• 망원경 시리즈
• 선분에 대한 미적분학의 기본 정리
• 미분 표기법

메모들

참고문헌

서지학

추가열람

외부 링크

• "Fundamental theorem of calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 제임스 그레고리의 수렴에서의 미적분학의 기본 정리에 대한 유클리드적 증명
• 아이작 배로우의 미적분학의 기본 정리 증명
• imomath.com 에서 미적분학의 기본 정리
• 미적분학의 기본 정리에 대한 대안적 증명
• 미적분학 MIT의 기본 정리.
• 미적분학 수학 세계의 기본 정리.