비표준 분석 비판

Criticism of nonstandard analysis

비표준적 분석과 그 비표준적 미적분학은 특히 에렛 비숍, 폴 할모스, 알랭 콘스 등 몇몇 저자들로부터 비판을 받아왔다. 이러한 비판은 다음과 같이 분석한다.

소개

문헌에서 비표준 분석에 대한 평가는 크게 달라졌다. Paul Halmos는 그것을 수학적 논리학의 기술적 특수 발전이라고 묘사했다. 테렌스 타오는 초현실적인 틀의 장점을 요약했다.

「모든 소수의 집합」과 같은 것을 엄격하게 조작하거나, 「 "이10 수반되는 어떤 것보다도 작다」와 같은 것을 엄격하게 말할 수 있도록 하는 한편, 자신의 주장에서 많은 정량자를 자동적으로 은폐함으로써 엡실론 경영상의 문제를 크게 줄일 수 있다.

— Terence Tao, "Structure and randomness", American Mathematical Society (2008)[1]

비판의 본질은 비표준 분석을 사용하여 입증된 결과의 논리적 상태와 직접적인 관련이 없다. 고전 논리의 전통적인 수학적 기초에 비추어 볼 때, 그러한 결과는 상당히 받아들일 수 있다. 아브라함 로빈슨의 비표준적 분석은 제르멜로-프렌켈 세트 이론(ZFC)을 넘어서는 공리가 필요하지 않은 반면(Wilhelmus Luxemburg의 초고속 구조에서 분명히 보여지듯이), 내부 세트 이론으로 알려진 에드워드 넬슨에 의한 변종은 마찬가지로 ZFC의 보수적인 확장이다.[2] 그것은 비표준 분석의 새것이 결과의 범위가 아니라 전적으로 증거의 전략이라는 확신을 준다. 또한 모델 이론 비표준 분석(예를 들어, 현재 일반적으로 사용되는 접근방식인 상부구조에 기초한 모델 이론적 비표준적 분석은 ZFC의 공리를 넘어서는 새로운 이론적 공리가 필요하지 않다.[dubious – discuss]

수학 교육학 문제에 대해 논란이 있어 왔다. 또한 개발된 비표준 분석만이 인피니티멀 이론의 목적을 달성할 수 있는 유일한 후보가 아니다(Smooth infinitimal analysis 참조). 필립 J. 데이비스는 다이앤 래비치의 레프트 백: 실패한 학교 개혁의[3] 세기 서평에서 다음과 같이 썼다.[4]

기초 미적분학을 가르치는 비표준적인 분석 운동이 있었다. 그 주식은 내면의 복잡성과 거의 필요성 때문에 그 운동이 붕괴되기 전에 약간 올랐다.

K의 연구에서 교실의 비표준 미적분학을 분석하였다. 비표준 분석의 영향에서 중등 문헌에 반영되는 시카고 지역의 학교 설리반. 설리번 교수는 비표준 분석 과정을 따르는 학생들이 표준적인 강의요강을 따르는 대조군보다 미적분의 수학 형식주의를 더 잘 해석할 수 있다는 것을 보여주었다. 이것은 아티그(1994년), 172페이지, 치하라(2007년), 다우벤(1988년)에서도 언급되었다.[citation needed]

비숍의 비판

에렛 비숍의 관점에서, 로빈슨의 비표준적 분석에 대한 접근법을 포함하는 고전 수학은 비구축적이었고 따라서 수학적 의미가 부족했다(Feferman 2000). 비숍은 특히 에세이 '수학의 위기'(Bishop 1975년)에서 논했듯이 비표준적 분석의 교직 활용에 대해 우려했다. 구체적으로 힐버트의 형식주의 프로그램에 대해 논의한 후 그는 다음과 같이 썼다.

공식적인 세부사항들에 의한 수학에 대한 보다 최근의 시도는 비표준적인 분석이다. 나는 내가 모르는 의미 있는 증거를 훨씬 덜 주는 대가를 치르더라도 그것이 어느 정도 성공했다고 생각한다. 비표준분석에 대한 나의 관심은 미적분학 과정에 그것을 도입하려는 시도가 이루어지고 있다는 것이다. 의미 훼손이 지금까지도 이어질 수 있다는 것을 믿기 어렵다.

캣츠 & 캣츠(2010)는 1974년 미국 예술과학 아카데미 워크숍에서 비숍의 '위기' 강연에 이어 참가한 수학자와 역사학자들이 여러 가지 비판의 목소리를 냈다는 점에 주목한다. 그러나 참석자들은 비숍의 로빈슨 이론의 퇴폐에 대해 한마디도 하지 않았다. 캣츠앤카츠는 최근 비숍이 워크숍에서 로빈슨 이론에 대해 사실상 한마디도 하지 않았고, 갤리프로프 출판단계에서 그의 쇠약해진 발언만 덧붙인 것이 밝혀졌다고 지적한다. 이것은 워크숍에서 비판적인 반응이 없음을 설명하는 데 도움이 된다. 캣츠 & 캣츠는 이것이 비숍의 출판된 본문에서 "이해" 논평이 갤리 단계에서 추가되었고 따라서 워크숍 참가자들에게 들리지 않았다는 사실을 보고하지 않은 부분에 대해 진실성의 문제를 제기한다고 결론짓고, 그들이 논평에 동의하지 않았다는 거짓 인상을 준다.

비숍이 교실에서 비표준 분석의 도입을 "의의의 퇴보"로 본 것은 J. 다우벤이 주목한 사실이다.[5] 이 용어는 비숍(1985년, 페이지 1)이 현대 수학에서 '정신분열증'(1973년 처음 배포)이라는 텍스트에서 다음과 같이 명확히 하였다.

브루워의 고전 수학에 대한 비판은 내가 말하는 "의식의 저하"와 관련이 있었다.

따라서 비숍은 처음에는 고전 수학 전체에 의미의 퇴보라는 용어를 적용했고, 나중에는 교실에서 로빈슨의 인피니티멘탈에 적용했다. 그의 건설적 분석의 기초(1967, 페이지 ix)에서 비숍은 다음과 같이 썼다.

우리의 프로그램은 간단하다: 고전적 추상적 분석의 가능한 한 많은 수학적 의미를 부여한다. 우리의 동기는 브루워(및 다른 사람들)에 의해 아주 상세하게 드러난 잘 알려진 스캔들인데, 고전 수학은 수학적 의미가 결여되어 있다는 것이다.

비숍의 발언은 그의 강연 후 토론으로 뒷받침된다.[6]

  • 조지 맥키(하버드) : "나는 이런 질문들에 대해 생각하고 싶지 않다. 나는 내가 하고 있는 일이 어떤 의미를 가질 것이라고 믿는다."
  • 개럿 비르코프(하버드): "..."비숍이 이렇게 재촉하는 것 같다. 가정을 추적하고 열린 마음을 유지해야 한다고 말했다.
  • 슈레람 아비얀카르: (퍼듀): "내 논문은 비숍의 입장에 전적으로 동감하고 있소."
  • J.P. 카헤인(U. de Paris): "..."나는 비숍의 작품을 존중해야 하지만 지루하다고 생각한다."
  • 비숍(USSD) : "대부분의 수학자들은 수학이 의미가 있다고 느끼지만, 수학이 무엇인지 알아내려고 하는 것은 그들에게 혐오감을 준다..."
  • 카헤인 : "나는 비숍의 감사가 나의 감상의 부족보다 더 큰 의미를 갖는다고 느낀다."

비숍 평론

비숍은 '초등 미적분학'이라는 책을 검토했다. 비표준 분석 방법을 사용하여 기초 미적분을 제시한 하워드 제롬 키슬러의 무한 접근법. 비숍은 그의 조언자 폴 할모스에 의해 그 책을 검토하도록 선택되었다. 이 리뷰는 1977년 미국수학협회 회보에 실렸다. 이 글은 David O에 의해 언급되었다. 교육에서 비표준 분석의 사용에 대해 논의하는 동안 키 크기(2001년 키). Tall은 다음과 같이 썼다.

그러나 비표준적 접근법에서 선택의 공리를 사용하는 것은 직관주의 전통에서 개념의 명시적 구축을 주장했던 비숍(1977)과 같은 사람들로부터 극도의 비판을 받는다.

비숍의 리뷰는 키슬러의 저서에서 다음과 같은 몇 가지 인용구를 제공했다.

1960년, 로빈슨은 300년 전의 문제를 인피니티멘탈에 대한 정밀한 치료로 해결했다. 로빈슨의 업적은 아마도 20세기의 주요한 수학 진보의 하나로 기록될 것이다.

그리고

실제 선을 논의하면서 우리는 물리적 공간의 선이 어떤 것인지 알 길이 없다고 말했다. 초현실적인 선, 진짜 선, 아니면 둘 다일 수도 있다. 그러나 미적분학의 응용에서는 물리적 공간의 선을 초현실적인 선으로 상상하는 것이 도움이 된다.

리뷰는 키슬러의 텍스트가 이러한 진술을 뒷받침할 증거를 제공하지 않고, 학생들에게 공리를 만족시키는 어떤 시스템이 있는지 명확하지 않을 때 자명적인 접근법을 채택하고 있다고 비판했다(Tall 1980). 검토는 다음과 같이 끝났다.

키슬러의 접근방식에 의해 도입된 기술적 복잡성은 중요하지 않다. 진정한 피해는 [키슬러]의 난독화와 [표준 미적분학]의 그 훌륭한 아이디어들의 이탈에 있다. 뉴턴과 라이프니츠의 어떠한 발명은 한계에 대한 일반적인 정의가 너무 복잡하다는 이유로 공리 V*와 VI*를 사용하여 미적분학을 개발하는 것을 정당화하지 않을 것이다!

그리고

비록 그것이 헛된 일인 것 같지만, 나는 항상 미적분학 학생들에게 수학은 난해하지 않다고 말한다. 그것은 상식이다. (악명 높은 ( (, Δ)-한계의 정의는 상식이며, 더욱이 근사치 및 추정의 중요한 실제적인 문제들의 중심이다.) 그들은 나를 믿지 않는다. 사실 그 생각은 그들의 이전 경험과 모순되기 때문에 그들을 불편하게 한다. 이제 우리는 기술에서 난해하고 무의미한 운동으로서 수학에 대한 그들의 경험을 확인하는 데 사용될 수 있는 미적분학 텍스트가 있다.

응답

《통지서》에 실린 그의 답변에서 키슬러(1977, 페이지 269)는 다음과 같이 물었다.

왜 Bulletin Book 리뷰 편집자인 Paul Halmos가 리뷰어로 구성주의자를 선택했는가?

키슬러는 (건설주의자들이 거부했던) 배제된 중간 법칙의 사용을 와인에 비유하면서 할모스의 선택을 "술을 시식하기 위해 티토탈러를 고르는 것"에 비유했다.

비숍의 서평은 이후 같은 저널에서 데이비스의 1008쪽(1977년)에 쓴 마틴 데이비스에 의해 비판받았다.

키슬러의 저서는 비교적 최근까지 미적분학의 가르침을 지배하고, 응용 수학의 일부에서 버려진 적이 없는 직관적으로 시사하는 라이프니지안의 방법들을 되살리기 위한 시도다. 에렛 비숍의 키슬러 책에 대한 리뷰의 독자는 키슬러의 목적도, 그의 책이 그것들을 깨닫는 정도도 논의하지 않기 때문에 이것이 키슬러의 책이라는 것을 상상하기 힘들 것이다.

데이비스는 비숍이 자신의 반대 의견을 밝혔다고 덧붙였다.

이 반대가 이해되어야 할 것으로 추정되는 구성주의적 맥락을 그의 독자들에게 알리지 않고.

물리학자인 바딤 콤코프(1977, 페이지 270)는 이렇게 썼다.

비숍은 수학적 분석에 대한 건설적인 접근을 선호하는 가장 중요한 연구자들 중 한 명이다. 구성주의자가 실제 수치를 초현실적으로 대체하는 이론에 동조하는 것은 어렵다.

비표준 분석이 건설적으로 이루어질 수 있는지 아닌지는, 콤코프는 비숍의 입장에서 근본적인 우려를 인식했다.

수학의 철학자 제프리 헬먼(1993년, 페이지 222년)은 이렇게 썼다.

비숍의 일부 발언(1967)은 그의 지위가 [급진적 건설주의자] 범주에 속한다는 것을 시사한다.

수학사학자 조셉 다우벤은 (1988, 페이지 192)에서 비숍의 비판을 분석했다. 비표준 분석의 "성공"을 실행한 후

그것이 도입될 수 있는 가장 기초적인 수준—최초 미적분학을 처음으로 가르치는 수준,

다우벤은 이렇게 말했다.

또한 비표준 분석이 작용하는 의미 수준이 더 깊다.

다우벤은 에 "감동적인" 어플리케이션에 대해 언급했다.

물리학, 특히 양자 이론과 열역학, 그리고 경제학의 경우, 교환 경제에 대한 연구가 특히 비표준적 해석에 순응할 수 있었다.

다우벤은 이 "더 나쁜" 수준의 의미에 대해 이렇게 결론지었다.

비숍의 견해는 교육학적으로 비표준적인 분석에 대한 그의 반대만큼 근거가 없는 것으로 보여질 수 있다.

많은 작가들이 비숍의 서평의 어조에 대해 논평했다. Artigue(1992)는 그것을 맹독성, Dauben(1996), Davis와 Hauser(1978), 적대적, Tall(2001)이라고 묘사했다.

이언 스튜어트(1986)는 할모스가 비숍에게 키슬러의 책을 검토하라고 요구한 것을 마거릿 대처가 다스 카피탈을 검토하도록 초청한 것에 비유했다.

캣츠&카츠(2010년)는 이렇게 지적한다.

비숍은 사과가 오렌지가 아니라고 비판하고 있다: 비평가(비숍)와 비판받는 사람(로빈슨 비표준 분석)은 공통된 근본 틀을 공유하지 않는다.

그들은 또한 다음과 같은 점에 주목한다.

비숍이 배제된 중간 법칙의 외연에 집착한 것은 그가 비표준 분석에 대한 비판만큼이나 독설적인 태도로 고전 수학 전체를 비판하게 만들었다.

G. Stolzenberg는 《고시》에도 게재된 편지에서 주교의 검토에 대한 Keisler's Notice에 대한 비판에 응했다.[7] 스톨젠베르크는 키슬러의 미적분학 책에 대한 비숍의 비평은 그들이 구성주의적 사고방식으로 만들어졌다는 잘못된 가정에 근거하고 있다고 주장하는 반면, 스톨젠베르크는 비숍이 그것을 읽으려고 의도한 대로 읽었다고 믿고 있다: 고전적인 사고방식으로.

콘네스의 비판

Journal of Geometrie and Physics 23(1997), 206–234, "Brisure de symée et géometrie du point de vue 스펙트럼"에서 알랭 콘은 다음과 같이 썼다.

"비표준 분석, 즉 비표준 리얼리티에 의해 주어진 대답은 똑같이 실망스럽다. 모든 비표준 리얼리티가 (Lebesgue) 간격의 (0, 1)의 측정 불가능한 부분집합을 (Lebesgue) 결정하므로 (Stern, 1985) 단일 [비표준 실수 번호]를 표시할 수 없다. 우리가 제안하는 형식주의는 이 질문에 실질적이고 계산 가능한 답을 줄 것이다."

1995년 논문 "비확정 기하학과 현실"에서 콘스는 힐버트 공간의 연산자를 기반으로 한 무한대의 미적분학을 개발한다. 그는 자신의 목적에 대해 "비표준 분석의 형식주의가 왜 부적절한지 설명"을 계속한다. 코네스는 로빈슨의 초능력 중 다음과 같은 세 가지 측면을 지적한다.

(1) 비표준 초현실 "표시" (측정할 수 없는 집합과 관련성이 있는 것으로 간주되는 이유)

(2) "그런 개념의 실질적인 사용은 최종 결과가 위의 최소값의 정확한 값과 무관한 계산으로 제한된다. 비표준 분석 및 초고속 분석[...]"을 사용하는 방식이다.

(3) 초회전은 상쇄된다.

캣츠앤카츠는 비표준분석에 대한 콘네스의 비판을 분석해 구체적인 주장(1)과 (2)에 도전한다.[8] (1)에 관해서, Connes 자신의 infinitesimals는 유사하게 Dixmier 추적의 존재와 같은 비건설적 기초 물질에 의존한다. (2)에 관해서, Connes는 자신의 이론의 특징으로서 극소수 선택의 독립성을 제시한다.

카노베이 외 연구진(2012년)은 비표준 숫자가 "치메릭적"이라는 콘네스의 주장을 분석한다. 이들은 그가 비판한 내용은 초여광필터가 '치메릭적'이라는 점에 주목하고, 콘네스가 초창기 기능분석 작업에서 필수적으로 초여광필터를 착취했다고 지적한다. 그들은 초현실 이론이 단지 "가상"에 불과하다는 콘네스의 주장을 분석한다. 콘이 로버트 솔로베이의 작품에 대해 언급한 것은 콘스가 하이퍼레알이 정의 불가능하다고 주장하는 것에 대해 비판하려는 것을 의미한다고 시사한다. 만약 그렇다면, 블라디미르 카노베이와 사하라 셀라(2004)가 구축한 초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초초과 카노베이 외 연구진(2012)은 또한 1995년부터 2007년 사이에 비표준 분석을 폄하하기 위해 콘이 고용한 점점 독성이 강한 상피들의 연대표를 제시하는데, 이는 "부적절하다"와 "실망스럽다"로 시작하여 "궁극적이다"로 절정을 이룬다.

캣츠&라이크트남(2013년)은 "로빈슨의 극소수 접근법에 대한 코네스의 비판 중 2/3가 자신의 극소수 접근법에 대해 (승인적으로) 일관되지 않는다는 구체적인 의미에서는 일관성이 없다고 말할 수 있다"고 지적했다.

할모스의 말

Paul Halmos는 "Invariant subspaces", American Mathematical Monthly 85 (1978) 182–183에 다음과 같이 쓰고 있다.

"다항식 콤팩트한 연산자로의 연장은 번스타인과 로빈슨(1966년)이 얻었다. 그들은 비표준적 분석이라는 변태적 언어로 결과를 제시했지만, 그것이 매우 빨리 실현되면서 그것은 필수가 아닌 개인적 선호의 문제였다."

Halmos는 다음과 같이 (Halmos 1985)로 쓴다(p. 204).

[할모스의 불변 아공간 추측에 대한 번스타인-로빈슨 증거]는 비표준적 모델들의 상위 술어들을 사용하며, [로빈슨]이 재인쇄를 보내왔을 때 나는 그 수학적 통찰력을 정확히 지적하고 번역하기 위해 진땀을 흘려야 했다.

Halmos는 "수학에서 비표준 분석의 역할"에 대해 논평하면서 다음과 같이 쓰고 있다(p. 204).

그것에 반대하는 몇몇 다른[... 수학자들]들에게는 똑같이 감정적인 문제인데...

Halmos는 다음과 같이 비표준 분석에 대한 논의를 마무리한다(p. 204).

이건 특별한 도구야. 너무 특별하고, 다른 도구들은 그것이 하는 모든 것을 할 수 있어. 모두 취향의 문제다.

Katz & Katz(2010)는 다음과 같은 점에 주목한다.

로빈슨의 이론을 평가하려는 할모스의 불안감은 이해충돌을 수반했을지도 모른다 [...] 할모스는 번스타인-로빈슨 결과를 번역하는 데 상당한 감정적 에너지(그리고 그것을 자서전에 암기하듯 땀)를 투자했다 [...] 무뚝뚝한 논평을 하는 것은 그의 번역가를 소급해서 정당화시키는 것으로 보인다.로빈슨 이론의 첫 번째 화려한 적용의 영향을 피하도록 유혹한다.

보스와 메드베데프의 논평

라이프니즈 역사학자 헨크 보스(1974)는 로빈슨의 초자연적인 행동이

[a] 미적분이 무한히 작고 무한히 많은 양의 수용이라는 불안정한 기초 위에서 발달할 수 있었던 이유에 대한 예비 설명.

F. 메드베데프(1998)는 그 점을 더 지적한다.

[n]표준 분석은 고전적 분석의 역사에 대한 이전의 접근방법과 얽힌 미묘한 질문에 대한 답변을 가능하게 한다. 무한히 작고 무한히 큰 규모가 일관되지 않는 개념으로 간주된다면, 어떻게 그들이 가장 중요한 수학 학문들 중 하나인 그렇게 [확대]의 체계를 구축하기 위한 기초로서 [d]가 될 수 있었을까?

참고 항목

메모들

  1. ^ 타오, T.: 구조와 무작위성. 수학 블로그의 첫 해의 페이지. 미국 수학 협회, 프로비던스, 2008. 55.
  2. ^ 이것은 윌리엄 파월이 쓴 부록에 있는 에드워드 넬슨의 1977년 AMS 논문에서 볼 수 있다.
  3. ^ Diane., Ravitch (2000). Left back : a century of failed school reforms. New York: Simon & Schuster. ISBN 0684844176. OCLC 43790988.
  4. ^ Philip, J. Davis (April 9, 2001). "SIAM: Educational Enthusiasms and Their Critics". archive.siam.org. Retrieved 2018-12-02.
  5. ^ Donald Gillies, Returns in Mathical (1992), 페이지 76.
  6. ^ 1975년 주교.
  7. ^ 스톨젠베르크 1978. 1978 (
  8. ^ Katz & Katz(2011) 참조

참조

외부 링크