수렴용 적분 검정

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미적분학.
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미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
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전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
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수학에서 융합에 대한 적분검사는 단조로운 용어의 무한 계열을 정합에 대한 시험으로 사용하는 방법이다. 콜린 마클라우린과 아우구스틴루이 카우치(Augustin-Louis Cauchy)에 의해 개발되었으며, 때로는 마클라우린-카우치(Maclauin-Cauchy) 시험으로 알려져 있다.

시험명세서

단조로움이 감소하는 무한 간격[N, ∞]에 정의된 정수 N과 함수 f를 고려한다. 그러면 무한 시리즈

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\inf(n)}$

부적합한 적분인 경우에만 실제 숫자로 수렴

${\displaystyle \int _{N}^{\\inf(x)\,dx}$

유한하다. 특히 일체형이 이탈하면 시리즈도 이탈한다.

비고

부적절한 적분이 유한한 경우, 그 증거는 또한 하한과 상한을 제공한다.

${\displaystyle \int _{N}^{\inf(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{n}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{N}^{\inf(x)\,dx}$

(1)

무한 시리즈를 위해서.

함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 증가하면$$ 함수${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -f}$이(가) 감소하고$$ 위의 정리가 적용된다는 점에 유의하십시오.

증명

증명에서는 기본적으로 [n - 1, n]과 [n, n + 1)의 간격에 걸쳐 f(n)의 적분과 f(n)의 용어를 비교하는 비교 시험을 사용한다.

단조로운 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는 거의 모든 곳에서 계속된다. To show this, let ${\displaystyle D=\{x\in [N,\infty )\mid f{\text{ is discontinuous at }}x\}}$. For every ${\displaystyle x\in D}$, exists by the density of ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ a ${\displaystyle c(x)\in \mathbb {Q} }$ so that ${\displaystyle c(x)}$${\displaystyle c(x)\in \left[\lim _{y\downarrow x}f(y),\lim _{y\uparrow x}f(y)\right]}$. Note that this set contains an open non-empty interval precisely if ${\displaystyle f}$ is discontinuous at ${\displaystyle x}$. We can uniquely identify ${\displaystyle c($$x)}$을(를) 열거 $N{\displaystyle \mathbb{}}$→ ${\displaystyle Q\mathbb{}}$ ${\$에서 가장 적은 인덱스를 가지고 위의$$ 속성을 만족하는 합리적인 숫자로. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 단조롭기 때문에, ${\displaystyle \mathrm{이것}}$은 주입 매핑 $c{\displaystyle }$: ${\displaystyle D\mathbb{}}$→ Q${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle c}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle c:$$D\to \mathb {Q},x\mapsto c(x)},$ 따라서$$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$을(를) 계산할 수 있다$$. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는 거의 모든 곳에서 연속적으로 나타난다$$. 이것은 Riemann 통합성에 충분하다.^[1]

이후 f는 단조 감소 함수, 우리는 그것을 알고 있다.

${\displaystyle f())\leq f(n)\quad{모든{에 \text}}x\in-LSB- n,\infty)}.$

그리고

${\displaystyle f(n)\leq f())\quad{모든{에 \text}}x\in[N,n].}$

따라서, 모든 정수를 n≥ N,.

${\displaystyle \int_{n}())\,dx\leq \int _ᆭ^ᆮf(n)\,dx=f(n)}.$

(2)

그리고, 모든 정수 n에 ≥ N+1,.

${\displaystyle f(n)=\int_{n-1}(n)\,dx\leq \int _ᆭ^ᆮf())\,dx.}.$

(3)

N어떤 큰 정수 M까지 모든 n에 대한 총체적으로, 우리는(2)에 병에 걸린다.

${\displaystyle \int_{N}())\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace{\int_{n}())\,dx}}\sum _ᆳ^ᆴf(n)_{\leq \,f(n)}\leq.$

에서(3)

${\displaystyle \sum_{n=N}(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{.M}\underbrace{\int_{n-1}())\,dx}_ᆮ=f(N)+\int _ᆯ^ᆰf())\,dx.}.$

이 두 견적 수익률을 결합하는 일

${\displaystyle \int_{N}())\,dx\leq\sum _ᆮ^ᆯf(n)\leq f(N)+\int _ᆰ^ᆱf())\,dx.}.$

하면 M(1)에서 무한대, 범위와 결과 쉽습니다.

적용들

그 조화 시리즈

${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}}.$

Diverges. 왜냐하면, 그 자연 로그의, 그것의antiderivative, 미분 적분학 등의 기본 정리를 사용한다.

${\displaystyle \int_{1}^{M}{\frac{1}{n}}.}n{\Bigr}_{1}^{M}=\ln M\to\infty \quad{\text{에}}M\to \infty \,dn=\ln.$

반면에, 시리즈.

${\displaystyle \zeta(1+\varepsilon)=\sum_{x=1}^{\infty}{\frac{1}{x^{1+\varepsilon}}}}.$

(비교하라. 리만 제타 함수)모든 ε 을, 0, 권력 규칙에 의한 전진.

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\,dx=\left.-{\frac {1}{\varepsilon x^{\varepsilon }}}\right _{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}\left(1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}\right)\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.}$

(1)로부터 우리는 높은 견적을 받는다.

${\displaystyle \jeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\inflit }{x^{1+\varepsilon }}}}\leq {\frac {1+\barepsilon }}{\varepsilon},},}$

Riemann zeta 함수의 일부 특정 값과 비교할 수 있다.

수렴과 수렴 사이의 경계선

위의 고조파 시리즈와 관련된 예는 f(n)가 1/n보다 빠르게 0으로 감소하지만^1+ε 1/n보다 느리게 감소하는 단조파 시퀀스가 있는지 여부를 질문한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \flac {f(n)}{1/n}=0\n}\text{and}\lim _{n\n\fract {f(n)}{1/n^{1+\barepsilon}}}=\pot }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\flaptyprotyprotyp$

매 > > 0에 대해, 그리고 해당 f(n)의 시리즈가 여전히 분산되는지 여부. 일단 그러한 시퀀스가 발견되면, f(n)가 1/n 역할을 맡는 등 유사한 질문을 할 수 있다. 이런 식으로 무한 계열의 다양성과 수렴성의 경계선을 조사할 수 있다.

수렴에 대한 적분 시험을 사용하면 모든 자연수 k에 대해 (아래 참조) 시리즈를 표시할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}^{\inflt }{1}{n\ln(n)\ln_{2}(n)\cdots \ln_{k-1}(n)\{k}}}}}}}$

(4)

여전히 분산(프리미엄의 왕복 합계가 k = 1)에 대해 분산된다는 cf. 증거) 그러나

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}^{\inflt}{1}{n\ln(n)\{2}(n)\cdots \ln \{k-1}(n)^{1+\barepsilon }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

(5)

ε > 0마다 수렴한다. 여기서 ln은_k 재귀적으로 정의된 자연 로그의 k-폴드 구성을 나타낸다.

${\displaystyle \ln _{k}(x)={\case}\ln(x)&{\text{}}{}}}}{}k=1,\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{{}k\geq 2의 경우.\end{case}}}$

나아가 N은_k k-폴드 구성이 잘 정의되어 있고 ln_k(N_k) ≥ 1 즉, 자연수가 가장 작은 것을 가리킨다.

${\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}} _{k\e'{\text}}}=e\uparrow \upparrow \uparrow k}$

테트레이션 또는 크누스의 위쪽 화살표 표기법을 사용한다.

통합 테스트를 사용하여 시리즈(4)의 차이를 확인하려면 체인 규칙을 반복 적용하여

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}$

이 때문에

${\displaystyle \int_{N_{k}^{\inflt}{dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}}}}}=\bigr }{{N_{k}}}}}{k}}^{\inflflt.}$

시리즈(5)의 수렴을 보려면 전원 규칙에 의해 체인 규칙 및 위의 결과를 확인하십시오.

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}$

이 때문에

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr }_{N_{k}}^{\infty }<\infty }$

(1)은 (5)의 무한 시리즈에 대한 한계를 제공한다.

참고 항목

• 수렴시험
• 수렴(수학)
• 직접비교시험
• 지배적 수렴 정리
• 오일러-매클라우린 공식
• 한계비교시험
• 모노톤 수렴 정리

참조

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequence and Series" , Dover Publishments, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN0-486-60153-6
• 휘태커, E. T, 왓슨, G. N, A Course in Modern Analysis, 4판, Cambridge University Press, 1963. (4.43) ISBN 0-521-58807-3
• 페레이라, 제이미 캄포스, 에드 칼로우스테 굴벤키안, 1987, ISBN 972-31-0179-3