스코로크호드 적분

수학에서 스코로크호드 적분, 흔히 Δ로 표기되는 것은 확률적 과정 이론에서 매우 중요한 연산자다. 우크라이나의 수학자 아나톨리 스코로크호드의 이름을 딴 것이다. 그 중요성의 일부는 다음과 같은 몇 가지 개념을 통합한다는 것이다.

• Δ는 비적응 프로세스에 통합된 Itô의 확장이다.
• Δ는 Malliavin 파생 모델의 부연으로, 변동의 확률적 미적분(Malliavin 미적분)에 기초한다.
• Δ는 고전 벡터 미적분학에서 발산 연산자를 무한 차원 일반화한 것이다.

정의

예선: Malliavin 파생 모델

고정 확률 공간(Ω, Ω, P) 및 Hilbert 공간 H를 고려하십시오. E는 P에 대한 기대치를 나타낸다.

${\displaystyle \mathbf {E} [X]:=\int _{\Oomega }X(\omega )\,\mathrm {d} \mathbf {P}(\omega ).}$

직관적으로 말하면, L^p(Ω)의 임의 변수 F의 말리아빈 파생상품은 H의 요소에 의해 파라메타되는 가우스 랜덤 변수의 관점에서 그것을 확장하고 확장을 공식적으로 차별화함으로써 정의된다. 스코로크호드 적분은 말리아빈 파생상품에 대한 부호 연산이다.

Hilbert 공간 H의 요소 h에 의해 색인화된 R 값 랜덤 변수 W(h)의 패밀리를 고려한다. 또한 각 W(h)는 가우스(정상) 랜덤 변수이며, h에서 W(h)까지를 취하는 지도가 선형 지도이며, 평균 및 공분산 구조가 다음과 같이 주어진다고 가정한다.

${\displaystyle \mathbf {E} [W(h)]=0,}$

${\displaystyle \mathbf {E} [W(g)W(h)]=\langle g,h\rangele _{H}}$

H에 있는 모든 g와 h에 대하여. H를 주어진 경우 항상 확률공간(Ω, σ, P)과 위의 속성을 가진 랜덤 변수군이 존재한다는 것을 알 수 있다. Malliavin 파생상품은 기본적으로 무작위 변수 W(h)의 파생상품을 h로 공식적으로 설정한 다음, 이 정의를 "완벽한" 무작위 변수로 확장함으로써 정의된다. 폼의 임의 변수 F에 대해

${\displaystyle F=f(W(h_{1}),\ldots ,W(h_{n}),}$

여기서 f : R → R이ⁿ 매끄러우며, Malliavin 파생상품은 이전의 "공식적 정의"와 체인 규칙을 사용하여 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {D}F:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {}{\partial f}{{i}}}(W_{1}),\ldots ,W(h_{n})h_{i}h_{i}.}$

즉, F가 실제 값 랜덤 변수였던 반면, 그 파생상품 DF는 H 값 랜덤 변수로서 공간 L^p(Ω;H)의 한 요소다. 물론, 이 절차는 "매끄러운" 랜덤 변수에 대해서만 DF를 정의하지만, L^p(Ω)의 큰 하위 공간에서 F에 대한 DF를 정의하기 위해 근사 절차를 사용할 수 있다. D의 영역은 세미놈의 부드러운 랜덤 변수의 폐쇄다.

${\displaystyle \ F\ _{1,p:={\big (}\mathbf {E} [F^{p}]+\mathbf {E}[\\\mathrm {D}F\ _{H}^{p}]{\big )^{1/p}}$

이 공간은 D가^1,p 가리키는 것으로 와타나베-소볼레프 공간이라고 불린다.

스코로크호드 일체형

단순성을 위해 사례 p = 2만 고려하십시오. 스코로크호드 적분 Δ는 말리아빈 파생상품 D의 L-adjoint로² 정의된다. D가 L²(Ω)의 전체에서 정의되지 않은 것처럼, Δ는² L(Ω; H)의 전체에서 정의되지 않는다: Δ의 영역은² L(Ω; H)의 모든 F에 대해 상수 C(u)가 존재하는^1,2 프로세스 u로 구성된다.

${\displaystyle {\big }\mathbf {E}[\langle \mathrm {D}F,u\angle _{H}]{\big }\leq C(u)\F\ _{L^{2}(\Oomega )}.}$

L²(Ω; H)에서 프로세스 u의 스코로크호드 적분은 L²(Ω)의 실제 값 무작위 변수 Δu이다. Δ의 영역에 있는 경우 Δu는 모든 F d^1,2 D에 대해 Δu와 관련된 관계에 의해 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {E} [F\,\delta u]=\mathbf {E}[\langle \mathrmat {D}F,u\rangele _{H}]}$

Malliavin 파생상품 D가 처음에는 단순하고 부드러운 랜덤 변수에 대해 정의되었듯이, 스코로크호드 적분자는 "단순 프로세스"에 대한 간단한 표현을 가지고 있다: 만약 u가 다음에 의해 주어진다면.

${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}F_{j}h_{j}}}}}}$

F와_j H를 H로_j 하여

${\displaystyle \delta u=\sum \{j=1}^{n}\왼쪽(F_{j}W(h_{j}-)\langle \mathrm {D}F_{j},h_{j}\rangele _{H}\right)}$

특성.

• 등위계 속성: Δ의 영역에 있는 L²(Ω; H)의 모든 프로세스 u에 대해,

${\displaystyle \mathbf {E} {\big [}(\delta u)}^{2}{t}^{2}dt+\mathbf {E}\int D_{s}u_{t}\,D_{t}u},ds\dt.}$

u가 적응된 프로세스인 경우, s > t에 대해$$ $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle D_{s}u_{t}=0}$이므로 오른쪽의 두 번째 용어는 사라진다. 그 경우 스코로크호드와 잇츠 통합은 일치하며, 위의 방정식은 잇츠 이소메트리가 된다.

• 스코로크호드 적분(Scorokhod integrated)의 파생상품은 다음 공식에 의해 제시된다.

${\displaystyle \mathrm {D} _{h}(\delta u)=\langle u,h\rangele _{H}+\delta(\mathrm {D} _{h}u),}$

여기서 DX는_h (DX)(h)를 나타내며, H의 "time" h에서 공정 DX의 값인 랜덤 변수를 의미한다.

• D의^1,2 랜덤 변수 F와 돔(Δ)의 공정 u의 곱에 포함된 스코로크호드 적분은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle \delta (Fu)=F\,\delta u-\langle \mathrm {D}F,u\angle _{H}.}$

참조

• "Skorokhod integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Ocone, Daniel L. (1988). "A guide to the stochastic calculus of variations". Stochastic analysis and related topics (Silivri, 1986). Lecture Notes in Math. 1316. Berlin: Springer. pp. 1–79. 미스터953793
• Sanz-Solé, Marta (2008). "Applications of Malliavin Calculus to Stochastic Partial Differential Equations (Lectures given at Imperial College London, 7–11 July 2008)" (PDF). Retrieved 2008-07-09.