Infinity

무한은 무한하거나, 무한하거나, 어떤 자연수보다 더 큰 것입니다. $이$ 기호는 종종 무한대 기호 $∞{{displaystyle$ \infty $\infty$ 로 표시됩니다.

고대 그리스 시대부터, 무한의 철학적 본질은 철학자들 사이에서 많은 토론의 주제였습니다.17세기에 무한대^[1] 기호와 무한소 미적분학이 도입되면서 수학자들은 무한 급수와 일부 수학자들(l'Hopital과 Bernoulli 포함)^[2]이 무한한 양으로 간주한 것을 연구하기 시작했지만 무한은 계속해서 끝없는 과정과 연관되었습니다.수학자들이 미적분학의 기초와 씨름하면서, 무한대가 숫자나 크기로 여겨질 수 있는지 그리고 만약 그렇다면,^[1] 이것이 어떻게 이루어질 수 있는지는 여전히 불분명했습니다.19세기 말, 게오르크 칸토어는 무한 집합과 무한 수를 연구함으로써 무한대의 수학적 연구를 확대했고, 그것들이 다양한 ^[1]^[3]크기를 가질 수 있다는 것을 보여주었습니다.예를 들어, 선이 모든 점의 집합으로 간주되는 경우, 그들의 무한한 수(즉, 선의 카디널리티)^[4]는 정수의 수보다 큽니다.이 사용법에서 무한대는 수학적 개념이고 무한대의 수학적 객체는 다른 수학적 객체와 마찬가지로 연구되고, 조작되고, 사용될 수 있습니다.

무한대의 수학적 개념은 특히 무한대의 다양한 크기의 무한 집합을 도입함으로써 오래된 철학적 개념을 다듬고 확장합니다.현대 수학의 대부분이 발전할 수 있는 저멜로-프랭켈 집합론의 공리 중에는 무한 ^[1]집합의 존재를 보장하는 무한의 공리가 있습니다.무한대의 수학적 개념과 무한 집합의 조작은 심지어 그것들과 아무 관련이 없어 보일 수 있는 조합론과 같은 분야에서도 수학에서 널리 사용됩니다.예를 들어, 와일스의 페르마의 마지막 정리에 대한 증명은 기본 산술의 관점에서 명시된 오랜 문제를 해결하기 위해 매우 큰 무한^[5] 집합의 존재에 암묵적으로 의존합니다.

물리학과 우주론에서 우주가 공간적으로 무한한지 여부는 미해결 문제입니다.

역사

고대 문화는 무한의 본질에 대해 다양한 생각을 가지고 있었습니다.고대 인도인들과 그리스인들은 현대 수학처럼 정확한 형식주의에서 무한대를 정의하지 않았고, 대신 철학적 개념으로 무한대에 접근했습니다.

고대 그리스어

그리스에서 무한대에 대한 최초의 기록된 생각은 소크라테스 이전의 그리스 철학자인 아낙시만드르 (기원전 610년경 – 기원전 546년)의 생각일 수 있습니다.그는 "무제한", "무한"을 의미하는 아페아이론이라는 단어를 사용했고 아마도 "무한"^[1]^[6]으로 번역될 수 있습니다.

아리스토텔레스(기원전 350년)는 잠재적 무한과 실제 무한을 구별했는데, 그는 그것이 만들어내는 ^[7]것처럼 보이는 다양한 역설 때문에 불가능하다고 여겼습니다.예를 들어, 유클리드 (기원전 300년경)가 소수의 무한대가 있다고 말하지 않고 오히려 "소수는 ^[10]할당된 소수의 수보다 더 많다"고 말한 이유를 설명하는 ^[8]^[9]"무한대의 공포"를 헬레니즘 그리스인들이 가지고 있었다는 주장이 제기되었습니다.또한 소수의 무한함을 증명하는 데 있어서 유클리드가 "^[11]무한의 공포를 극복한 최초의 사람"이라는 주장이 있습니다.유클리드의 평행 가설에 대해서도 비슷한 논란이 있으며, 때때로 다음과 같이 번역되기도 합니다.

만약 두 개의 직선을 가로지르는 직선이 두 개의 직각보다 작은 동일한 면에서 내부 각도를 만든다면, 무한대로 생성되는 두 개의 다른 직선은 [내부 각도의 합]이 두 ^[12]개의 직각보다 작은 원래 직선의 측면에서 만나게 됩니다.

그러나 다른 번역가들은 "무한히 생성된다면,^[13] 두 개의 직선"이라는 번역을 선호하기 때문에 유클리드가 무한대의 개념에 편안했다는 암시를 피합니다.마지막으로, "무한의 공포"를 이끌어내기는커녕 무한에 대한 반성이 초기 그리스 철학의 모든 기초가 되고 아리스토텔레스의 "잠재적 무한"은 이 ^[14]시기의 일반적인 추세에서 벗어난 것이라고 주장되어 왔습니다.

제노: 아킬레우스와 거북이

엘레아의 c.제논 (기원전 495년 – 430년)은 무한에 대한 어떠한 견해도 제시하지 않았습니다.그럼에도 불구하고, 그의 역설,^[15] 특히 "아킬레스와 거북이"는 대중적 개념의 부적절함을 분명히 했다는 점에서 중요한 기여를 했습니다.이 역설은 버트런드 러셀에 의해 " 헤아릴 수 없을 정도로 미묘하고 ^[16]심오하다"고 묘사되었습니다.

아킬레우스는 거북이에게 유리한 출발을 주면서 거북이와 경주를 합니다.

1단계: 거북이가 앞으로 걸어가는 동안 아킬레우스는 거북이의 출발점으로 달려갑니다.
2단계: 아킬레우스는 1단계 끝에 거북이가 있던 곳으로 이동하는 동안 거북이가 있던 곳으로 이동합니다.
3단계: 아킬레우스는 2단계 끝에 거북이가 있던 곳으로 전진하고 거북이는 더 멀리 갑니다.
4단계: 아킬레우스는 3단계 끝에 거북이가 있던 곳으로 전진하고 거북이는 더 멀리 갑니다.

기타.

분명히, 아킬레우스는 거북이를 절대 추월하지 않습니다. 왜냐하면 그가 아무리 많은 걸음을 마쳐도 거북이는 그의 앞에 있기 때문입니다.

Zeno는 무한함에 대해 요점을 만들려고 시도하지 않았습니다.운동을 환상으로 여겼던 엘레틱스 학파의 일원으로서, 그는 아킬레우스가 전혀 뛸 수 있다고 가정하는 것을 실수로 보았습니다.이후의 사상가들은 이 해결책이 용납될 수 없다는 것을 알게 되었고, 논쟁에서 다른 약점을 찾기 위해 2천년 넘게 고군분투했습니다.

마침내, 1821년, 오귀스틴-루이 코시는 한계의 만족스러운 정의와 0 $< x$ < ^[17] $1에 대한$ 증거를 제공했습니다.

{\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+\cdots = displayfrac {a}{1-x}}.

아킬레우스가 초속 10미터로 달리고, 거북이가 초속 0.1미터로 걷고, 거북이가 100미터 앞에서 출발한다고 가정해 보겠습니다.추적 지속 시간은 a $=$ $10초$ , x= $0$ . $01$ 로 코시 패턴에 적합합니다.아킬레우스는 거북이를 따라잡습니다; 그것은 거북이를 필요로 합니다.

{\displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots =tftfrac {10}{1-0.01}=tftfrac {10}{0.0.99}}=10.10101\ldots({text{seconds}).

초기 인디언

자인 수학 문헌 Surya Prajnapti (기원전 4세기경-3세기경)는 모든 숫자를 열거형, 무수형, 무한형의 세 집합으로 분류합니다.이들 각각은 세 ^[18]개의 주문으로 더 세분되었습니다.

열거 가능: 최저, 중간 및 최고
셀 수 없이 많음: 거의 셀 수 없이 많음
무한: 거의 무한, 진정으로 무한, 무한.

17세기

17세기에, 유럽의 수학자들은 무한한 숫자와 무한한 표현을 체계적인 방식으로 사용하기 시작했습니다.1655년 존 월리스는 그의 디섹션버스 원추형[19]에서 그러한 수에 대해 처음으로 표기법 γ({\displaystyle \infty})를 사용했고, 영역을 1 µ의 순서로 무한한 폭의 띠로 분할함으로써 면적 계산에 활용했다.} [20] 그러나 산술 부정사 (1656)에서, [21] 그는 무한 급수를 나타낸다"1, 6, 12, 18, 24, &c"^[22]와 같이 몇 개의 항 또는 요인을 적은 다음 "&c."를 추가하여 유한 곱과 무한 연속 분수.

1699년, 아이작 뉴턴은 그의 작품에서 무한한 수의 항을 가진 방정식에 대해 썼습니다.^[23]

수학

헤르만 바일은 1930년에 다음과 같이 ^[24]수학 철학 연설을 시작했습니다.

수학은 무한대의 과학입니다.

기호.

무한대 기호 $\infty$ σ({ $displaystyle \infty})$ 는 무한대의 개념을 나타내는 수학적 기호입니다.이 기호는 U+221E ∞INFINITY(∞)^[25]에서 유니코드로 인코딩되며 LaTeX에서는 다음과 같이 인코딩됩니다.\infty.^[26]

그것은 1655년 ^[27]^[28]존 월리스에 의해 소개되었고, 그것이 소개된 이후, 그것은 또한 현대 신비주의와^[29] 문학적 ^[30]상징에서 수학 밖에서 사용되었습니다.

미적분학.

무한소 미적분학의 공동 발명자 중 한 명인 고트프리트 라이프니츠는 무한소와 수학에서의 그것들의 사용에 대해 널리 추측했습니다.라이프니츠에게 무한소와 무한소는 모두 상당한 양과 동일한 성질을 가진 ^[31]^[2]것이 아니라 연속성의 법칙에 따라 동일한 성질을 누리는 이상적인 실체였습니다.

실분석

실제 분석에서 "infinity"라고 하는 기호 $∞{\displaystyle \infty$ 는 무한한 ^[32]한계를 나타내기 위해 사용됩니다. $x\rightarrow \infty$ $x\to -\infty$ $x\to -\infty$ {\ $displaystyle$ x $\rightarrow \infty}$ 표기는 $x\rightarrow \infty$ x ${\displaystyle$ x}가 $x$ 경계 없이 증가함을 $x\to -\infty$ 하며, x $→$ - {\ $displaystyle$ $x\to -\infty$ x $\$ $to$ - $\infty}$ 는 $x\to -\infty$ $x$ 경계 없이 감소함을 $x$ 합니다.예를 들어 $,$ $모든$ t에 $f(t)\geq 0$ f $t$ $f(t)\geq 0$ $≥ 0$ {\ $displaystyle$ $f(t)\geq 0$ f( $t)\geq$ 0}이면 $f(t)\geq 0$ ^[33],

$\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$ $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$ f ( $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$ ) $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$ t $= ∞$ {{ $displaystyle \int$ _ ${a}^{b} f(t)\,dt$ =\ $infty}$ 는 $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$ f $t)$ {\ $displaystyle$ f $(t)}$ 가 $f(t)$ 유한 영역을{{ $displaystyle$ a $}$ 에서 $a$ b $.}({displaystyle$ b $.)$ 로 제한하지 $f(t)$ 을 $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$ 합니다.
$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$ - $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$ $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$ ( $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$ ) $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$ $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$ $= ∞$ \ $displaystyle \int$ _ ${-\infty }^{\infty$ } $f(t)\,dt$ =\ $infty }$ 는 $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$ $f(t)$ f ( $)$ \ $displaystyle$ f $(t)$ $f(t)$ 의 $f(t)$ 영역이 무한하다는 것을 의미합니다 $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$
$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$ - $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$ $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$ ( $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$ ) $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$ t $=$ $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$ \ $displaystyle \int$ _ ${-\infty$ }^{\ $infty }$ f( $t)\,dt=a$ 는 $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$ $f(t)$ f ( $t)$ {\ $displaystyle f($ t $f(t)$ )}에 따른 총 면적이 유한하며 $,$ .{\ $displaystyle$ a $}$ 와 $같다는$ 것을 의미합니다 $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$

무한대는 다음과 같이 무한 급수를 설명하는 데도 사용할 수 있습니다.

$\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$ $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$ $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$ ∞ $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$ ( $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$ ) $=$ \ $displaystyle$ $\sum$ _ ${i=0}^{\infty}f(i$ )= $a는$ 무한 급수의 $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$ 합이 어떤 실제 값 $a$ 로 $수렴$ 한다는 것을 의미합니다 $.$
$\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty$ $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty$ $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty$ ( $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty$ ) = $∞$ {{ $displaystyle \sum$ _ ${i=0}^{\infty}f(i$ )=\ $infty}$ 는 $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty$ ^[34]부분 합이 경계 없이 증가한다는 의미에서 무한 급수의 합이 적절하게 발산됨을 의미합니다.

무한대는 한계를 정의하는 것 외에도 확장 실수 시스템에서 값으로 사용될 수 있습니다.+ $-\infty$ {\ $displaystyle +\infty}$ $-\infty$ 및 $+\infty$ - $∞$ {\ $displaystyle -\infty}$ 레이블이 $-\infty$ $+\infty$ 지정된 점을 실수의 위상 공간에 추가하여 실수의 2점 압축을 생성할 수 있습니다.여기에 대수적 특성을 더하면 확장된 ^[35]실수를 얻을 수 있습니다.또한 + $-\infty$ \ \ \ $displaystyle$ $-\infty$ + \ infty $+\infty$ $-\infty$ $}$ $및$ - ∞ \ \ $displaystyle$ - \ $infty$ $-\infty$ }를 동일하게 $-\infty$ $+\infty$ 처리하여 실수의 1점 압축,^[36] 즉 실제 투영 선으로 이어질 수 있습니다.투영 기하학은 또한 평면 기하학에서 무한대의 선, 3차원 공간에서 무한대의 평면, 일반 치수에 ^[37]대한 무한대의 초평면을 가리키며, 각각 무한대의 점으로 구성됩니다.

복소해석학

복소해석학에서 "infinity"라고 불리는 기호 $∞{\displaystyle \infty$ 는 부호 없는 무한한 한계를 나타냅니다. $x\rightarrow \infty$ $x\rightarrow \infty$ $∞$ {\ $displaystyle$ x\ $rightarrow \infty$ 식은x {\ $displaystyle$ x}의 $x$ $|x|$ x {\ $displaystyle$ x $}$ 가 $|x|$ 할당된 값을 초과하여 증가함을 의미합니다. $∞{{displaystyle \infty}$ 레이블이 $\infty$ 지정된 점은 복소 평면의 1점 압축을 제공하는 위상 공간으로 복소 평면에 추가될 수 $\infty$ 있습니다.이것이 이루어지면, 결과 공간은 확장 복소 평면 또는 ^[38]리만 구라고 불리는 1차원 복소 다양체 또는 리만 표면입니다.확장된 실수에 대해 위에 주어진 것과 유사한 산술 연산도 정의할 수 있지만 부호에는 구별이 없습니다(무한대가 추가될 수 없다는 하나의 예외로 이어집니다).반면에, 이러한 종류의 무한대는 0이 아닌 복소수 z에 대해 z/0 = ∞ {\displaystyle z/0=\infty}에 의한 0으로의 나눗셈을 가능하게 한다. 이러한 맥락에서, 극점에서 ∞ {\displaystyle \infty}의 값을 취하는 리만 구에 대한 맵으로서 메로모픽 함수를 고려하는 것이 종종 유용하다.복소수 값 함수의 영역은 무한대의 점을 포함하도록 확장될 수도 있습니다.이러한 함수의 중요한 예 중 하나는 뫼비우스 변환 그룹입니다(뫼비우스 변환 » 개요 참조).

비표준 분석

아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠에 의한 무한소 미적분의 원래 공식은 무한소의 양을 사용했습니다.20세기 후반에는 원활한 극소해석과 비표준해석을 포함한 다양한 논리체계를 통해 이 치료법이 엄격한 기반 위에 놓일 수 있음을 보여주었습니다.후자에서 무한소는 가역적이고, 그 역수는 무한소입니다.이러한 의미의 무한대는 초현실장의 일부입니다. 칸토리아 초무한대와 마찬가지로 그들 사이에는 동등성이 없습니다.예를 들어, 만약 H가 이런 의미에서 무한한 숫자라면, H + H = 2H와 H + 1은 별개의 무한한 숫자입니다.비표준 미적분에 대한 이 접근법은 카이슬러(1986)에서 완전히 개발되었습니다.

집합론

무한대의 다른 형태는 집합론의 순서적 무한대와 기본적 무한대로, 게오르크 칸토어에 의해 처음 개발된 유한수 체계입니다.이 시스템에서, 첫 번째 유한 기수는 자연수 집합의 기수인 ph-null(ℵ₀)입니다.이 양적 무한에 대한 현대 수학적 개념은 19세기 말에 칸토어, 고틀로프 프레게, 리처드 데데킨트 등의 연구에서 발전했습니다. - 집합 또는 ^[1]집합의 아이디어를 사용했습니다.

데데킨트의 접근법은 본질적으로 집합의 크기를 비교하는 기준으로 일대일 대응의 개념을 채택하고, 전체가 부분과 같은 크기일 수 없다는 갈릴레오의 견해를 거부하는 것이었습니다. (그러나,갈릴레오가 양의 정수가 양의 제곱 정수의 부분 집합과 비교할 수 없다고 결론짓는 갈릴레오의 역설을 보라.무한 집합은 단순히 적어도 하나의 고유한 부분과 같은 크기를 가진 집합으로 정의될 수 있습니다. 이 무한 집합을 데데킨트 무한이라고 합니다.오른쪽의 다이어그램은 예를 들어 선을 무한한 점 집합으로 보고, 파란색 하단의 왼쪽 절반을 파란색 상단의 왼쪽 절반에 일대일로 매핑할 수 있으며(녹색 대응), 파란색 하단의 전체(빨간색 대응), 파란색 하단의 왼쪽 절반에 동일한 카드를 사용할 수 있습니다.알티, 즉 "크기"^{[citation needed]}

칸토어는 두 종류의 무한한 수를 정의했습니다: 서수와 기수.순서 번호는 순서가 잘 지정된 집합을 특성화하거나 무한한 숫자가 이미 카운트된 후의 점을 포함하여 정지점까지 카운트를 수행합니다.양의 정수의 맵인 유한 및 (일반적인) 무한 시퀀스를 일반화하면 순서 번호에서 초무한 시퀀스로의 매핑이 발생합니다.기수는 집합의 크기를 정의합니다. 즉, 집합에 포함된 구성원 수를 의미하며, 해당 크기의 기수를 나타내기 위해 특정 크기의 첫 번째 순서 수를 선택하여 표준화할 수 있습니다.가장 작은 순서 무한대는 양의 정수의 무한대이며, 정수의 카디널리티를 갖는 집합은 셀 수 없이 무한합니다.집합이 너무 커서 양의 정수와 일대일로 대응할 수 없는 경우 이를 카운트할 수 없다고 합니다.칸토어의 견해가 우세했고 현대 수학은 일관되고 일관성 ^[39]^[40]^{[page needed]}있는 이론의 일부로 실제 무한대를 받아들입니다.초실수와 같은 특정 확장된 수 체계는 다양한 ^{[citation needed]}크기의 일반적인 (유한) 수와 무한한 수를 통합합니다.

연속체의 카디널리티

칸토어의 가장 중요한 결과 중 하나는 $c$ 의 $\mathbf {c}$ 카디널리티가 ${\aleph _{0}}$ 의 $\mathbf {c}$ $카디널리티$ 보다 $크다는$ 것입니다 ${\aleph _{0}}$ 즉, $자연수$ N보다 $R$ 이 더 $많다는$ 것입니다.칸토어는 c $=$ $\mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}$ $\mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}$ 0 > $\mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}$ 0 $\mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}$ c} = $2^{\aleph_{$ 0}}>{\ $aleph_{$ 0 $\mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}$ ^[41]을 보여주었습니다.

연속체 가설은 실수의 카디널리티와 자연수의 카디널리티 사이에, 즉 $\mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}$ $\mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}$ 1 $\mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}$ $\mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}$ 1 {{ $style \mathbf {c}$ = \aleph $_{1$ } = \ $beth _{$ 1 $\mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}$ 의 카디널리티가 없다고 말합니다.

이 가설은 ^[42]선택의 공리를 가정하더라도 널리 받아들여진 저멜로-프랭켈 집합 이론 내에서 증명되거나 반증될 수 없습니다.

기수 산술은 실수 라인의 점 수가 해당 라인의 세그먼트에 있는 점 수와 동일할 뿐만 아니라 평면의 점 수 및 실제로 유한 차원 ^{[citation needed]}공간에 있는 점 수와 동일하다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있습니다.

공간 채우기 곡선이 한계인 프랙탈 구성의 처음 세 단계로, 1차원 선에 2차원 사각형만큼 많은 점이 있음을 보여줍니다.

이러한 결과 중 첫 번째는 간격(-.mw-parser-output.sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac.tision {display:inline-block;font-size:85%;text-center}.mwmw-parac-den-den-outparac-outputputparac-display.mwt.mw.mw.mw.disp.

두 번째 결과는 1878년 칸토어에 의해 증명되었지만, 1890년 주세페 페아노가 공간을 채우는 곡선, 어떤 정사각형, 입방체, 하이퍼큐브, 또는 유한 차원 공간의 전체를 채울 만큼 충분히 뒤틀리고 회전하는 곡선을 도입했을 때 비로소 직관적으로 명백해졌습니다.이러한 곡선은 정사각형의 한 쪽에 있는 점과 정사각형에 ^[43]있는 점 사이의 일대일 대응 관계를 정의하는 데 사용할 수 있습니다.

기하학.

19세기 말까지 무한대는 제한 없이 계속될 수 있는 과정의 맥락을 제외하고 기하학에서 거의 논의되지 않았습니다.예를 들어, 선은 원하는 만큼 확장할 수 있다는 단서와 함께 현재 선 세그먼트라고 불리는 것이었지만, 무한 확장은 불가능했습니다.마찬가지로 선은 일반적으로 무한히 많은 점으로 구성되어 있지 않지만 점이 배치될 수 있는 위치로 간주되었습니다.가능한 위치가 무한히 많더라도 한 선에 배치할 수 있는 점은 유한합니다.현대 수학자들은 일반적으로 "어떤 속성을 만족시키는 점의 궤적"(단일점)이라는 표현을 사용합니다.

실제 무한대를 포함하는 수학적 개념의 드문 예외 중 하나는 투영 기하학이었는데, 무한대의 점들이 "무한대에서" 교차하는 평행선을 보여주는 원근 효과를 모델링하기 위해 유클리드 공간에 추가됩니다.수학적으로, 무한대의 점은 몇 가지 특별한 경우를 고려하지 않을 수 있는 이점이 있습니다.예를 들어, 투영 평면에서 두 개의 구별되는 선이 정확히 한 점에서 교차하는 반면 무한대의 점이 없으면 평행선에 대한 교차점이 없습니다.따라서, 평행선과 비평행선은 고전 기하학에서 별도로 연구되어야 하는 반면, 투영 기하학에서는 구별될 필요가 없습니다.

수학의 기초를 위해 집합론을 사용하기 전에, 점과 선은 별개의 실체로 보였고, 점은 선 위에 위치할 수 있었습니다.수학에서 집합론이 보편적으로 사용되면서, 관점은 극적으로 바뀌었습니다: 선은 이제 점들의 집합으로 간주되고, 어떤 점은 선 위에 위치하는 대신에 선에 속한다고 말합니다(하지만, 후자의 구문은 여전히 사용됩니다).

특히 현대 수학에서 선은 무한 집합입니다.

무한 차원

고전 기하학에서 발생하는 벡터 공간은 항상 유한한 차원을 가지며, 일반적으로 2개 또는 3개입니다.그러나 이것은 벡터 공간의 추상적인 정의에 의해 암시되지 않으며 무한한 차원의 벡터 공간을 고려할 수 있습니다.함수 공간이 일반적으로 무한 차원의 벡터 공간인 함수 분석의 경우가 일반적입니다.

위상에서 일부 구성은 무한 차원의 위상 공간을 생성할 수 있습니다.특히 반복되는 루프 공간의 경우가 그렇습니다.

프랙탈

프랙탈 물체의 구조는 그 확대에서 반복됩니다.프랙탈은 구조를 잃지 않고 "부드럽다"가 되지 않고 무한하게 확대될 수 있습니다. 그들은 무한한 경계를 가지고 있고 무한하거나 유한한 영역을 가질 수 있습니다.무한한 둘레와 유한한 면적을 가진 그러한 프랙탈 곡선 중 하나는 코흐 ^{[citation needed]}눈송이입니다.

무한이 없는 수학

레오폴드 크로네커는 무한대의 개념과 그의 동료 수학자들이 1870년대와 1880년대에 그것을 어떻게 사용했는지에 대해 회의적이었습니다.이러한 회의론은 구성주의와 직관주의의 ^[44]일반적인 철학과 수학 학파에서 수학 철학의 극단적인 형태인 유한주의라고 불리는 수학 철학에서 발전되었습니다.

물리학

물리학에서 실수의 근사치는 연속 측정에 사용되고 자연수는 이산 측정(예: 계수)에 사용됩니다.무한 평면파와 같은 무한한 것들의 개념은 존재하지만,^[45] 그것들을 생성할 실험적인 수단은 없습니다.

우주론

우주가 무한하다는 최초의 발표된 제안은 1576년 ^[46]토마스 디지스로부터 나왔습니다.8년 후인 1584년, 이탈리아의 철학자이자 천문학자인 조르다노 브루노는 "무한한 우주와 세계에 대하여"에서 무한한 우주를 제안했습니다: "무수한 태양이 존재합니다; 셀 수 없는 지구는 7개의 행성이 우리 태양 주위를 도는 것과 유사한 방식으로 이 태양 주위를 회전합니다.살아있는 생명체들이 ^[47]이 세상에 살고 있습니다.

우주론자들은 오랫동안 우리의 물리적 우주에 무한대가 존재하는지를 발견하려고 노력해 왔습니다.별의 수는 무한한가요?우주는 무한한 부피를 가지고 있습니까?우주는 "영원히 계속"됩니까?이것은 여전히 우주론의 미해결 문제입니다.무한하다는 문제는 경계를 갖는 문제와 논리적으로 분리됩니다.예를 들어, 지구의 2차원 표면은 유한하지만 가장자리가 없습니다.지구의 곡률을 기준으로 일직선으로 이동함으로써, 사람은 결국 시작한 정확한 지점으로 돌아갈 것입니다.적어도 원칙적으로 우주는 유사한 위상을 가질 수 있습니다.만약 그렇다면,^[48] 우주를 일직선으로 충분히 오랫동안 여행한 후에 사람은 결국 출발점으로 돌아올지도 모릅니다.

우주의 곡률은 우주 배경 복사 스펙트럼의 다중 극 모멘트를 통해 측정할 수 있습니다.현재까지, WMAP 우주선에 의해 기록된 방사선 패턴의 분석은 우주가 평평한 위상을 가지고 있다는 것을 암시합니다.이것은 무한한 물리적 ^[49]^[50]^[51]우주와 일치할 것입니다.

하지만, 우주의 곡률이 평평하더라도 우주는 유한할 수 있습니다.이를 이해하는 쉬운 방법은 화면의 한쪽 가장자리를 떠난 항목이 다른 쪽 가장자리에 다시 나타나는 비디오 게임과 같은 2차원 예를 고려하는 것입니다.이러한 게임의 위상은 환상적이고 기하학적 구조는 평평합니다.3차원 ^[52]공간에 대해서도 많은 가능한 경계가 있는 평평한 가능성이 존재합니다.

무한대의 개념은 또한 미치오 카쿠와 같은 천체 물리학자들에 의해 설명될 때 무한한 수와 다양한 ^[53]우주가 있다고 가정하는 다중 우주 가설로 확장됩니다.또한 순환 모델은 무한한 양의 빅뱅을 위치시켜 무한한 ^[54]주기로 각 빅뱅 사건 이후 무한한 다양한 우주를 만듭니다.

논리

논리학에서, 무한 회귀 주장은 "논제가 결함이 있다는 것을 보여주는 독특한 철학적인 종류의 주장으로, (형식 A) 그러한 시리즈가 존재하지 않거나 (형식 B) 존재한다면, 논문은 그것이 해야 할 역할(^[55]예: 정당화의)이 부족할 것입니다."

컴퓨팅

IEEE 부동 소수점 표준(IEEE 754)은 양 및 음의 무한대 값(및 무한대 값)을 지정합니다.이는 산술 오버플로, 0으로 나눗셈 및 기타 예외적인 ^[56]연산의 결과로 정의됩니다.

Java 및 ^[58]J와 같은^[57] 일부 프로그래밍 언어는 프로그래머가 양의 무한대 값과 음의 무한대 값을 언어 상수로 명시적으로 액세스할 수 있도록 합니다.이러한 요소는 다른 모든 값보다 크거나 작은 값을 비교하기 때문에 가장 큰 요소와 가장 작은 요소로 사용할 수 있습니다.정렬, 검색 또는 윈도우 ^{[citation needed]}설정을 포함하는 알고리즘에서 감시 값으로 사용됩니다.

최대 요소와 최소 요소가 없지만 관계 연산자의 오버로드를 허용하는 언어에서는 프로그래머가 최대 요소와 최소 요소를 만들 수 있습니다.프로그램의 초기 상태에서 이러한 값에 대한 명시적인 액세스를 제공하지 않지만 부동 소수점 데이터 유형을 구현하는 언어에서는 무한대 값이 특정 작업의 ^{[citation needed]}결과로 여전히 액세스 가능하고 사용 가능할 수 있습니다.

무한 루프(Infinite loop)는 프로그래밍에서 종료 조건이 충족되지 않는 루프를 말하며, 따라서 무한히 실행됩니다.

예술, 게임, 인지 과학

투시 예술 작품은 관찰자로부터 무한한 거리에 위치한 무한대의 수학적 점에 대략 해당하는 소멸점의 개념을 사용합니다.이것은 예술가들이 공간, 거리, ^[59]형태를 사실적으로 표현하는 그림을 만들 수 있게 해줍니다.예술가 M.C. 에셔는 특히 그의 작품에 무한의 개념을 이것과 다른 ^{[citation needed]}방식으로 사용하는 것으로 유명합니다.

무한판에서 하는 변형 체스를 무한 ^[60]^[61]체스라고 합니다.

인지과학자 조지 라코프는 수학과 과학에서 무한의 개념을 은유로 생각합니다.이 관점은 끊임없이 증가하는 시퀀스 <1,2,3,...>^[62]로 정의되는 무한의 기본 은유(BMI)에 기초합니다.

참고 항목

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