분화 표기법

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

미분학에서는 분화를 위한 단일 통일 표기법이 없다. 대신에, 함수나 변수의 파생상품에 대한 다양한 명제는 다양한 수학자들에 의해 제안되었다. 각 표기법의 유용성은 문맥에 따라 다르며, 주어진 문맥에서 둘 이상의 표기법을 사용하는 것이 유리할 때도 있다. 분화에 대한 가장 일반적인 공지는 다음과 같다(그리고 그 반대작동인 분화방지 또는 무기한 통합).

라이프니츠의 표기법

고트프리드 라이프니즈가 사용한 원래 표기법은 수학 전반에 걸쳐 사용된다. 특히 y = f(x) 방정식을 종속변수와 독립변수 y와 x의 함수관계로 간주할 때 흔히 볼 수 있다.라이브니츠의 표기법은 파생상품을 다음과 같이 적음으로써 이 관계를 명시적으로 만든다.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.}$

따라서 x에서의 값이 x에서의 f의 파생값인 함수가 기록된다.

${\dplaystyle {\frac {df}{dx}{dx}{dx}{dx}{df(x){dx}{dx}}{dx}f(x){{\frac}}}}x}}}}}{\frac {d}}f(x){{dx){d}f.}$

상위 파생상품은 다음과 같이 기록된다.

${\d^{d^{2}y}{dx^{2}}:{dx^{3}y}{dx^{3}}{dx^{3}}}},{\frac {d^{dx^{4}}}}}},\dots,{\frac {d^{d^{n}y}}{dx^{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

이건 상징의 형식적인 조작에서 나온 암시적인 논증 장치야

${\dplaystyle {d\frac {d\left\frac {d}{dx}\오른쪽){dx}}{dx}=\frac}{dx}\오른쪽)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}.}$

점 x = a에서 y의 파생상품 값은 라이프니츠의 표기법을 사용하여 다음과 같은 두 가지 방법으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle \왼쪽.$${\frac {dy}{dx}}\right _{x=$a}{\$text{또는 }{\frac {dy}{dx}(a$

라이프니츠의 표기법은 (분모에) 분화 변수를 명시할 수 있게 한다. 이는 특히 부분파생상품을 고려할 때 유용하다. 그것은 또한 체인 규칙을 쉽게 기억하고 인식하게 한다.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}.}$

라이프니츠의 분화 표기법은 dx나 dy와 같은 기호에 의미를 부여할 필요가 없으며, 일부 저자는 이러한 기호의 의미를 부여하려고 시도하지 않는다. 라이프니츠는 이 기호들을 극악무도한 존재로 취급했다. 이후 저자들은 비표준 분석이나 외부 파생상품의 infinitesimal과 같은 다른 의미를 부여했다.

일부 저자와 저널은 차등 기호 d를 이탤릭체(dx) 대신 로마자로 설정했다. ISO/IEC 80000 과학 스타일 가이드는 이 스타일을 권장한다.

라이프니츠의 항분화 표기법

라이프니츠는 Analyzeos tetragonistae pars secunda와 Maybi tangentium inversae 예시(둘 다 1675년부터)에서 적분 기호 ∫을 소개했다. 이제는 통합의 표준 상징이 되었다.

${\displaystyle {\regated}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\int y\,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)++C_{1}\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right)dx=\int_{X\time X(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\underbrace {\int \dots \int \int _{\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _{n}&=\int_{\n\time \cdots \time X} _{n}f(x)\,dx=\ints(x)+C_{n}\end{aigned}}}$

라그랑주 표기법

가장 흔한 현대적인 차별화의 명소 중 하나는 오일러에 의해 실제로 발명되었고 단지 전자에 의해 대중화되었음에도 불구하고 조셉 루이스 라그랑이의 이름을 따서 명명되었다. 라그랑주의 표기법에서 프라임 마크는 파생상품을 나타낸다. f가 함수일 경우 x에서 평가한 파생상품이 기록된다.

${\displaystyle {}^{}f}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ f$'(x)}$.

그것은 1749년에 처음으로 인쇄되었다.^[1]

상위 파생상품은 두 번째 파생상품의 경우$$ $f{\displaystyle {}^{}}$″${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ f$''(x)},$ 세 번째 파생상품의 $경우$ f ${\displaystyle {‴}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ f$'''(x)}$과 같이 추가 프라임마크를 사용하여 표시한다. 반복적인 프라임 마크의 사용은 결국 다루기 어렵게 된다. 어떤 저자들은 로마 숫자를 계속 사용하며, 대개 다음과 같이 낮은 경우에 사용한다.^[2][3]

${\displaystyle f^{\mathrm {iv}}}(x), f^{\mathrm {v}(x), f^{\mathrm {vi}(x),\ldots ,}$

4차, 5차, 6차 및 상위 파생상품을 나타낸다. 다른 저자들은 다음과 같이 괄호 안에 아라비아 숫자를 사용한다.

${\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)(x),\ldots .}$

이 표기법은 n번째 파생상품에 대해서도 기술할 수 있게 하는데 여기서 n은 변수다. 이것은 쓰여 있다.

${\displaystyle f^{(n)}(x).}$

Lagrange의 표기법과 관련된 유니코드 문자에는 다음이 포함된다.

• U+2032 ◌′ PRIME(파생)
• U+2033 ◌″ Double PRIME(이중파생상품)
• U+2034 ◌‴‴ 트리플 프라임(세 번째 파생 모델)
• U+2057 ◌⁗ 쿼드러플 프라임 (4차 파생상품)

함수 f(x, y)에 대해 두 개의 독립 변수가 있는 경우 다음 규약을 따를 수 있다.^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {df}{dx}}=f_{x}\\f_{\prime }&={\frac {df}{dy}}=f_{y}\\f^{\prime \prime }&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=f_{xx}\\f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\ =f_{xy}\\f_{\prime \prime }&={\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}$

라그랑주의 항분화 표기법

해독제를 복용할 때 라그랑쥬는 라이프니츠의 표기법을 따랐다.^[5]

${\displaystyle f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y\,dx.}$

그러나 통합은 분화의 역작용이므로 고차파생상품에 대한 라그랑주의 표기법은 통합에도 확장된다. f의 반복적인 통합은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ f$^{(1)}(x)}($이는 역 함수 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ f$^{-1}(x)})$과 쉽게 혼동됨),$$

${\displaystyle f^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f^{(-2)}(x)}$ 두$$ 번째 적분,

${\displaystyle f^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 3^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f^{(-3)}(x)}$의 세 번째 적분 및

${\displaystyle f^{}}$${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle n{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ f$^{(-n)}(x)}.$

오일러 표기법

레온하르트 오일러의 표기법은 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트(D 연산자)^[6] 또는 D̃(뉴턴-라이브니즈 연산자)가 제안한 미분 연산자를 사용한다.^[7] f(x) 함수에 적용하면 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.}$

상위 파생상품은 다음과^[4] 같이 D의 "힘"으로 표기된다(위첨자가 D의 반복 구성을 나타내는 경우).

${\displaystyle D^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle D^{2}f}$ 두 번째 파생상품의 경우$$,

${\displaystyle D^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $[\displaystyle D^{3}f}$ 세 번째 파생상품의 경우$$

${\displaystyle {}^{}}$N번째 파생상품에 대한$$ ${\displaystyle {Dn}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ D$^{n}f}$

오일러의 표기법은 어떤 분화가 이루어지고 있는지에 대한 변수를 내포하고 있다. 그러나 이 변수는 명시적으로 공지가 될 수도 있다. f가 변수 x의 함수일 때, 이것은 쓰기로^[4] 이루어진다.

${\displaystyle {}_{}}$ 번째 파생상품의 경우$$ D$$x f {\displaystyle $D_{x}f},$

${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 번째 ${\displaystyle {}_{}^{}}$에$$대한 D x 2 f {\$displaystyle D_{x$}^{2}f$$$},$

${\displaystyle {세}_{}^{}}$ 번째 ${\displaystyle {}_{}^{}}$에$$대한 D x 3 f {\$displaystyle D_{$x}^{3$}f}$

${\displaystyle {}_{}^{}}$N번째 파생상품에 ${\displaystyle {\mathrm{대한}}_{}^{}}$ D ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle D_{x}^{n}f}$

f가 여러 변수의 함수일 때는 D가 아닌 "∂"를 사용하는 것이 일반적이다. 위와 같이 첨자는 취하고 있는 파생상품을 나타낸다. 예를 들어, 함수 f(x, y)의 두 번째 부분파생상품은 다음과 같다.^[4]

${\displaystyle \property_{xx}f={\frac {\property ^{2}f}{\propert x^{2}}},}$

${\displaystyle \property_{xy}f={\frac {\properties ^{2}f}{\put y\property x},}$

${\displaystyle \f={yx}f={\frac {\fract ^{2}f}{\put x\property y},}$

${\displaystyle \cHB={{yy}f={\frac {\f}{2}f}{\put y^{2}}.}$

§ 부분파생상품을 참조하십시오.

오일러의 표기법은 미분방정식의 표시를 단순화하여 문제의 본질적인 요소를 보다 쉽게 볼 수 있기 때문에 선형 미분방정식을 서술하고 해결하는 데 유용하다.

오일러의 항분화 표기법

오일러의 표기법은 라그랑주의 표기법이 다음과^[8][7] 같은 것과 같은 방법으로 항분화에 사용할 수 있다.

${\displaystyle D^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ D$^{-1}f(x)}$ 첫 번째 항변제에 대해$$,

${\displaystyle D^{}}$${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle \mathrm{2f}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ D$^{-22}f(x)}$ 두 번째 항변제 및

${\displaystyle {\mathrm{N번째}}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$에${\displaystyle \mathrm{대한}}$D -$$n f ( x ) {\$displaystyle$ D^{-n$$$}f(x)}.$

뉴턴의 표기법

뉴턴의 분화 표기법(점 표기법 또는 때로는 불경스럽게 분화를 위한 플라이스펙 표기법이라고도^[9] 함)은 종속 변수 위에 점을 놓는다. 즉, y가 t의 함수라면 t에 관한 y의 파생상품은

${\displaystyle {\dot{y}}$

상위 파생상품은 다음과 같이 여러 점을 사용하여 표현된다.

${\디스플레이 스타일 {\dot{y},{\overset {...}}{y}}}$

뉴턴은 이 생각을 상당히 확장시켰다.^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\{\overset {...}}{{y}&}={\dot{y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}}=D_{t}^{3}y=f''(t)='y''_\\\\overset{\4}{\dot}}}={\overset {....}}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...{} {\overset {...}{{y}}}\equiv {\d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}}={6}=f^{\rm{VI}}}}}}={t}^{{t}}}}}\overset {\7}}={\dot{{}}}}\overset {...{} {\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}}$

뉴턴의 표기법과 관련된 유니코드 문자는 다음과 같다.

• U+0307 ◌ 위 DOT 결합(파생)
• U+0308 ◌ combining DIAERESIS 결합(이중 파생상품)
• U+20DB ◌ 위 세 개의 도트 결합(3차 파생 모델) ←을 "결합 디아레시스" + "위 결합 도트"로 대체했다.
• U+20DC ◌ above 위 4개의 도트 결합 (4차 파생상품) ←은 "결합 이아레시스"로 두 번 대체되었다.
• U+030D ◌ above 위 수직선 결합 (적분)
• U+030E ◌̎ 위쪽의 이중 수직선 결합 (두 번째 일체형)
• U+25AD ▭ 흰색 직사각형(적분)
• U+20DE ◌ CLOCKING Square (통합)
• U+1DE0 ◌ latin 라틴 스몰 레터 N(n번째 파생 모델) 결합

뉴턴의 표기법은 일반적으로 독립 변수가 시간을 나타낼 때 사용된다. 위치 y가 t의 함수인 경우 $y{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\$은(는) 속도를^[11] 나타내고$$ y ${\displaystyle \stackrel{}{¨}}$ ${\$은(는) 가속도를 나타낸다$$.^[12] 이 표기법은 물리학과 수학 물리학에서 인기가 있다. 미분방정식 등 물리학과 연결된 수학 영역에서도 나타난다. 1차 파생상품과 2차 파생상품에만 인기가 있지만, 응용 프로그램에서는 대개 이들 파생상품만이 필요한 파생상품이다.

종속 변수 y = f(x)의 파생상품을 취할 때 다음과 같은 대체 표기법이 존재한다.^[13]

${\daptyle {\frac {\dot {y}{\dot {x}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.}$

뉴턴은 곡선 X ( ⵋ )에 있는 측점을 이용하여 다음과 같은 부분 미분 연산자를 개발했다. 화이트사이드가 제공하는 정의는 다음과 같다.^[14][15]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}$

뉴턴의 통합 표기법

뉴턴은 자신의 쿼드라투라 곡선(1704)과 이후의 작품에서 통합에 대한 여러 가지 다른 개념들을 개발했다: 그는 종속 변수(y̍ ) 위에 작은 수직 막대나 프라임(frime), 접두사 직사각형( rectangle) 또는 직사각형(y)에 용어를 포함시켜 유창하거나 시간 적분(abs)을 나타낸다.

${\displaystyle {\begin}y&=\Box {\dot{y}}\iquiv \int {\dot{y}\,dt=\\intf'(t)\,dt=D_{t}^{1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\\{\overset {\,\premium }{y}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)++C_{1}\end{aigned}}$

복수의 통합을 나타내기 위해 뉴턴은 두 번째 적분(abbity)을 나타내기 위해 두 개의 작은 수직 막대나 프리타임(y̎) 또는 이전 기호들의 조합인 ▭y̍ y̍을 사용했다.

${\displaystyle {\,\premy \premy \premy }{y}}\box {\overset {\,\premy }}\\\\\overset {\,\premy}\,dt=\int F(t)\,dt={-2}y=g(t)+++C_{2}}:$

고주문 시간 통합은 다음과 같다.^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset{\,\prime \prime \prime \prime}{y}}&=\Box{\overset{\,\prime \prime \prime}{y}}G(t)\,dt=D_ᆱ^ᆲy=h(t)+C_{4}\\{\overset{\;n}{\overset{\,\prime}{y}}}및\int{\overset{\,\prime \prime \prime}{y}}\,dt=\int \equiv, =\Box{\overset{\;n-1}{\overset{\,\prime}{y}}}\equiv \int{\overset{\;n-1}{\overset{\,\prime}{y}}}\,d.st=\int(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)++C_{n}\end{aigned}}}$

이 수학적 표기법은 인쇄상의 어려움과 라이프니즈 때문에 널리 보급되지 않았다.뉴턴 미적분학 논란.

부분파생상품

다변량 미적분 또는 텐서 분석과 같이 보다 구체적인 유형의 분화가 필요한 경우 다른 표기법이 일반적이다.

독립 변수 x의 함수 f의 경우, 독립 변수의 첨자를 사용하여 파생상품을 표시할 수 있다.

${\displaystyle {\databled}f_{x}&={\frac {df}{dx}\f_{xx}&={\frac {d^{dx^{2}}.\end{정렬}}}$

이러한 유형의 표기법은 특히 여러 변수의 함수의 부분파생상품을 취하는데 유용하다.

부분파생상품은 일반적으로 차등영업자 d를 "차등파생상품" 기호로 대체함으로써 일반파생상품과 구별된다. 예를 들어, x에 대해서는 f(x, y, z)의 부분파생성을 나타낼 수 있지만, y 또는 z는 다음과 같은 여러 가지 방법으로 표시할 수 없다.

${\displaystyle {\frac {\property f}{\put x}}=f_{x}=\put _{x}f.}$

이러한 구별을 중요하게 하는 것은 ${\displaystyle \frac{\mathrm{df}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\$과 같은 비부분적 파생상품이 맥락에 $따라{\displaystyle }$ 모든 변수가 동시에 변동하도록 허용할$$ 때 x ${\displaystyle x}$에 $상대적$인 f ${\displaystyf}$의 변화율로 해석될 수 있다는$$ 점이다.$\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{f}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\$frac {\$flac$ {\$f}{\property$ x$}}$와 같은 부분 파생상품은 한 변수만 달라야 한다는 것을$$ 분명히 나타낸다.

다른 표기법들은 수학, 물리학, 공학 등의 다양한 하위 분야에서 발견될 수 있다. 예를 들어 열역학 맥스웰 관계를 참조하라. 기호${\displaystyle {(\partial \frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{T}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{V}{}}_{}}$) ${\displaystyle S_{}}$ ${\$$S}}$은 엔트로피(${\displaystyle {\frac{\mathrm{구독자}}{}}_{}}$ S를 일정하게 유지하면서 V 부피와 관련하여 T온도 T의 파생어로서$,{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\$$P}}$은 압력 P를 일정하게 유지하면서 부피와 관련하여 온도의 파생물이다. 이것은 변수의 수가 자유도를 초과하는 상황에서 필요하게 되어, 어떤 다른 변수를 고정시킬지 선택해야 한다.

하나의 변수에 관한 고차 부분파생상품은 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle {\frac {\properties ^{2}f}{\put x^{2}}}=f_{xx}}}$

${\displaystyle {\frac {\preason ^{3}{\put x^{3}}=f_{xxx}}}$

등등. 혼합 부분파생상품은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\property ^{2}f}{\put y\put x}=f_{xy}.}$

이 마지막 경우 변수는 다음과 같이 설명되며, 두 표기 사이에 역순으로 기록된다.

${\displaystyle(f_{x})_{y}=f_{xy}}$

${\displaystyle {\frac {\frac}{\pair y}\!\lefts\frac {\reft f}{\present x}\right)={\frac {\present ^{2}f}{\present y\propert x}}.}$

소위 다중지수 표기법은 위의 표기법이 번거롭거나 표현이 불충분한 상황에서 사용된다. When considering functions on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, we define a multi-index to be an ordered list of ${\displaystyle n}$ non-negative integers: ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},..,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$. 그런 다음 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ X ${\displaystyle f:\mathb {R}$$^{n}\to$ X$}$에 대해 표기법을 정의한다.

${\displaystyle \properties ^{\f={\frac ^{\flac ^{\flac _{1}{1}{1}:{1}}}\cdots{\frac }{\fract ^{n}{n}}^{n}}^{n}}f}}}f}}$

이와 같이 다른 방법으로 쓰기에는 지루한 일부 결과(라이브니즈 규칙 등)는 간결하게 표현될 수 있다. 일부 예는 다중 지표에 관한 글에서 찾을 수 있다.^[17]

벡터 미적분학 표기법

벡터 미적분은 벡터 또는 스칼라 장의 분화와 통합에 관한 것이다. 3차원 유클리드 공간의 경우에 특정한 몇 가지 언급이 흔하다.

Assume that (x, y, z) is a given Cartesian coordinate system, that A is a vector field with components ${\displaystyle \mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})}$, and that ${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$ is a scalar field.

윌리엄 로완 해밀턴이 소개한 미분 연산자는 ∇라고 쓰고 델 또는 나블라라고 하며, 상징적으로 벡터의 형태로 정의된다.

${\displaystyle \prefla =\left\frac {\precovery x},{\frac {}{\fract y},{\fract {}{\frack z}\right)\!,}$

여기서 용어는 운영자 ∇도 일반 벡터로 취급된다는 것을 상징적으로 반영한다.

• 그라데이션: 스칼라 필드$\phi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\mathrm {grad\,} \$$varphi }$의 \$varphi{\displaystyle \mathrm{}}$ $}$ 그라데이션 ${\displaystyle \mathrm{g}}$는 벡터로서, vector과$$ 스칼라 필드 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 곱셈으로 상징적으로 표현된다$.$

${\displaystyle {\fraged}\requiredname {grad} \varphi &=\left\frace\fract\frac}{\fract x},{\fract \barphi }{\fract z}\right)\\&=\leftfla\frac{\fla \frac }{\frac }{\frac }{\frac }{\fla z}\right)\varphi \&=\virla \varphi \end{liged}}}}}}}$

• 발산: 벡터 필드 A의 d $i{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle v\mathbf{}}$ v$${\$displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf${A}$$}의 발산 d v v {\displaystyle \mathbf {$A}$은 스칼라로, is의 도트 곱과 벡터 A에 의해 상징적으로 표현된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{div}, ={\partial A_{)}\over\partial x}+{\partial A_{y}\over는 y\partial}+{\partial A_{z}\over\partial z}\\&, =\left({\frac{}\partial{\partial x}},{\frac{\partial}{\partial는 y}},{\frac{\partial}{\partial z}}\right)\cdot\mathbf{A}\\&, =\nabla \cdot \mathbf{A}\end{정렬}{A}및 \mathbf.}}$

• 라플라시안: 라플라시안 ${\displaystyle \mathrm{div}}$grad ${\displaystyle \mathrm{grad}}$ $⁡{\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \$$varphi }$ 스칼라 필드$\phi$의 스칼라 곱셈에 의해 상징적으로 표현되는 스칼라$$, ∇$$²과 스칼라 필드 φ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}}$

• 회전: 벡터장 A의 회전 $c{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ u ${\displaystyle u\mathbf{}}$ l$u$ l u u u u ${\displaystyle \mathrm{u}}$ u u l$\mathbf {A}$$\$$mathbf$ {$A}$} 또는 r ${\displaystyle \mathrm{o}}$ t$$ t \display $style \mathbf \$mathbf }$$}는 $벡터$ A의 교차 곱으로 상징적으로 표현되는 벡터다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&, =\left({\partial A_{z}\over{y}\partial}-{\partial A_{y}\over{z}\partial}\right)\mathbf{나는}+\left({\partial A_{x}\over{\partial z}}-{\partial A_{z}\over{x}\partial}\right)\mathbf{j}+\left({\partial A_{y}\over{\partial x}}-{\partial A_{x}\over{y}\partial}\right)\mathbf{k}\\&, ={\begin{vmatrix}\mathbf{나는}&\mathbf{j}.&\mathbf{k}} \\{\cHB {\cHB}{\put x}}{\put }{\put y}}{\put }{\put \put z}\\\\\\\\A_{x}&A_{y}}&A_{z}\end{vmatrix}\\&=\nabla \times \mathbf{A}\end{a}\ed}}}}}$

파생상품의 많은 상징적 연산은 카르테시안 좌표에서 그라데이션 연산자에 의해 간단한 방법으로 일반화할 수 있다. 예를 들어 단변량 제품 규칙은 다음과 같이 그라데이션 연산자를 적용하여 스칼라 필드의 곱셈에 직접 아날로그를 가진다.

$\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~\longrightarrow ~~\nabla (\psi )=(\nabla \psi )\\psi(\nabla \psi).}$

단일 변수 미적분학의 다른 많은 규칙들은 구배, 발산, 컬, 라플라시안의 벡터 미적분학 유사점을 가지고 있다.

좀 더 이국적인 형태의 공간에 대해 더 많은 공지가 개발되었다. 민코스키 공간에서의 계산을 위해 달렌베르트 연산자, 파도 연산자 또는 박스 연산자로도 불리는 달렌베르트 연산자는 라플라크의 기호와 충돌하지 않을 때$$ $◻{\displaystyle }$ ${\디스플레이$ 스타일 $\Box }$ 또는$$$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\디스플레이$ 스타일 $\Delta }$로 표현된다.

참고 항목

• 분석학회
• 파생상품 – 미적분학에서의 운영
• 헤시안 행렬 - 두 번째 파생상품의 (수학적) 행렬
• 자코비 행렬
• 과목별 수학 기호 목록 - 과목별로 구성된 수학 기호 위키백과 목록

참조

외부 링크

• 초기 미적분 기호 사용(Jeff Miller, 2020-07-26^{(Date mismatch)} Wayback Machine)이 유지 관리한다.