아벨 검정

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미분 정의들 도함수(일반화) 미분 극소의 어떤 기능을 하는 총 컨셉트 미분 표기법 이차 도함수 암묵적 미분 로그 미분 관련요금 테일러 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 L'Hôpital's rule 인버스 라이프니츠 장군 파디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 적분 목록 적분 변환 라이프니츠 적분법칙 정의들 원시함수 적분(부적합) 리만 적분 레베그 적분 등고선 적분 역함수의 적분 에 의한 통합 부품. 디스크 원통형 포탄 치환(삼각형, 탄젠트 반각형, 오일러) 오일러 공식 부분분수 순서변경 환원식 적분 기호에 따른 미분 리쉬 알고리즘
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전문화된 분수 말리아빈 확률적 변주곡
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수학에서 아벨의 판정법(Abel's criteria)은 무한급수의 수렴성을 판정하는 방법입니다. 이 테스트는 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 따서 지어졌습니다. 아벨 검정에는 두 가지 약간 다른 버전이 있습니다. 하나는 실수 시리즈와 함께 사용되고 다른 하나는 복소 분석에서 멱급수와 함께 사용됩니다. 아벨의 균일 수렴 검정은 모수에 의존하는 일련의 함수의 균일 수렴에 대한 기준입니다.

실제 분석에서의 아벨 검정

다음 문장이 참이라고 가정합니다.

1. ${\$는 수렴 급수입니다.
2. ${\displaystyle b_{}}$ ${\$는 모노톤 시퀀스이고,
3. ${\displaystyle b_{}}$ ${\$이(가) 경계입니다.

${\displaystyle {그런}_{}}$ 다음 ∑$b {\displaystyle \suma_{$n}b_{n}}도 수렴합니다.

이 테스트는 절대 수렴이 아닌 $급수$∑ ${\displaystyle \suma_$n}}의 맥락에서 주로 적절하고 유용하다는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 절대 수렴 급수의 경우 이 정리는 참이기는 하지만 거의 분명합니다.

이 정리는 부품별 합산을 이용하여 직접 증명할 수 있습니다.

복소해석학에서의 아벨 검정

밀접하게 관련된 수렴 테스트(Abel's test) 또는 아벨의 테스트(Abel's test)는 종종 수렴 원의 경계에 멱급수의 수렴을 설정하는 데 사용될 수 있습니다. 구체적으로, 아벨의 검정은 양의 실수$)$ {\$displaystyle(a_{n})}$의 연속이 단조적으로 감소하는 경우(적어도 어떤 자연수 m보다 큰 모든 n에 대하여, ${\displaystyle {\mathrm{우리}}_{}}$는 ≥ $n$+ 1${\display a_{n}\$geq$$a_{n+1})을 $갖는다는$ 것을 말합니다.

${\displaystyle \lim_{n\right 화살표 \infty}a_{n}=0}$

그리고 멱급수.

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

z = 1인 경우를 제외하고는 닫힌 단위 원의 모든 곳에서 수렴합니다. z = 1인 경우에는 아벨의 검정을 적용할 수 없으므로 해당 단일 지점에서의 수렴은 별도로 조사해야 합니다. 아벨의 검정은 특히 수렴 반지름이 적어도 1임을 암시합니다. 간단한 변수 ζ = z/R 변경으로 수렴반경 R ≠ 1의 멱급수에도 적용할 수 있습니다. 아벨의 검정은 z = -1을 취하여 라이프니츠 기준을 일반화한 것임을 주목하십시오.

아벨 검정 증명: z가 단위 원 위의 한 점, z ≠ 1이라고 $가정하자.$ $n개의$≥$$1 {\displaystyle n\geq 1}에 대하여, 다음을 정의한다.

${\displaystyle f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.}$

이 함수에 (1 - z)를 곱하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)f_{n}(z)&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(1-z)z^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k+1}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}z^{k}\\&=a_{0}-a_{n}z^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})z^{k}.\end{align}}}$

첫 번째 합은 일정하고 두 번째 합은 0으로 균일하게 수렴합니다(가정에 따라 수열$)$ {\$displaystyle(a_{n})}$이 0으로 수렴하므로$$). 오직 시리즈가 수렴한다는 것을 보여주기만 하면 됩니다. We will show this by showing that it even converges absolutely: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left (a_{k}-a_{k-1})z^{k}\right =\sum _{k=1}^{\infty } a_{k}-a_{k-1}$$\cdot$z$^{k}\leq \sum _{k=$1}^{\$infty}(a_{k-1}-a_{k})},$ 여기서 마지막 합은 수렴하는 텔레스코프 합입니다. 시퀀스$({\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle(a_{n})}$이(가) 가정에 의해 감소하고$$ 있으므로 절대값이 사라졌습니다.

따라서 시퀀스${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$- z${\displaystyle }$) ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle ($1 - z$)f_{n}(z)}$는 닫힌 단위 디스크에서 (균일하게도) 수렴합니다$$. $z$≠ 1인 경우 ${\displaystyle$ z\n$ot$ $=$ 1}, (1 - z)로 나누어 결과를 얻을 수 있습니다.

결과를 얻는 또 다른 방법은 Dirichlet's test를 적용하는 것입니다. ${\displaystyle 실제로}$ $z$ ≠ ${\displaystyle 1}$의 $경우$ z = 1 ${\displaystyle$ z\n$eq 1,\$z $=$1$}$은(는) $∑$ $k$ $=$ 0 n z k $=$ z n + 1 - 1 z - 1 ≤ 2 z - 1 {\displaystyle \left \sum _{k$=$0}^{n}z^{k}\right $=$\left {\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\right \leq {\frac {2}{z-1}}, 따라서 디리클레 테스트의 가정이 충족됩니다.

아벨의 균일 수렴 검정

아벨의 균일 수렴 검정은 일련의 함수들의 균일한 수렴 또는 매개 변수에 의존하는 함수들의 부적절한 통합에 대한 기준입니다. 이는 아벨의 실수 급수 수렴에 대한 검정과 관련이 있으며, 증명은 부품별 합산이라는 동일한 기술에 의존합니다.

테스트는 다음과 같습니다. {g}를 모든 x ∈ E 및 양의 정수 n에 대해 g(x) ≤ g(x)가 되도록 집합 E에 대한 실수 연속 함수의 균일한 유계 수열이라고 하고, {f}를 급수 σf(x)가 E에 균일하게 수렴하도록 실수 함수의 수열이라고 합니다. 그러면 σf(x)g(x)는 E에 균일하게 수렴합니다.

메모들

참고문헌

• Gino Moretti, 복소변수의 함수, 프렌티스 홀, 1964
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1
• Weisstein, Eric W. "Abel's uniform convergence test". MathWorld.

외부 링크

• PlanetMath.org 에서 증명(실제 시리즈용)