적정성

적정성은 피에르 드 페르마트가 그의 논문 Methodus ad disquirendam maximam et minima^[1](프랑스 c. 1636에서 유통되는 라틴어 논문)에서 함수의 최대치 및 최소치, 곡선과 접선, 면적, 질량의 중심, 최소 작용 및 미적분학의 다른 문제를 계산하기 위해 개발한 기법이다. 안드레 웨일에 따르면 페르마트는 "아데퀄리타스, 아데콰레 등을 기술 용어로 소개하는데, 이 용어는 디오판투스에게서 빌린 것이라고 한다. 디오판투스 V.11이 보여주듯이 그것은 대략적인 평등을 의미하며, 페르마트가 후기 저술 중 하나에서 실제로 이렇게 그 단어를 설명하는 것이다.(Weil 1973).^[2] 디오판투스는 대략적인 평등을 가리키기 위해 παρσσόό ( ((parisotēs)이라는 단어를 만들었다.^[3] 클로드 가스파르 바첼트 드 메지리아크는 디오판토스의 그리스어를 아데퀼리타스로 번역했다.^{[citation needed]} Paul Tannery가 번역한 Fermat의 라틴어 논문들을 maxima와 minima에 대해 프랑스어로 번역한 것은 adéquation과 adégaler라는 단어를 사용했다.^{[citation needed]}

페르마의 방법

페르마트는 함수의 최대치를 찾기 위해 먼저 적합성을 사용한 다음 곡선에 대한 접선을 찾도록 조정했다.

$p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\$$displaystyle$ $p(x)}$ 용어의 최대값을 찾기 위해$$Fermat은 p (또는 더 정밀하게 조정) $p{\displaystyle }$($x)}$과 $p{\displaystyle }$ $e)$를 동일시하고$$ 대수학을 수행한 후 e${\displaystyle }$, ${\displaystyle e}$의 인자를 취소한$$ 다음 e${\displaystyle }$.$${$displaystystylease$와 관련된 $나머지{\displaystyle }$ 용어를 삭제할 수 있다.$style e.}$ To illustrate the method by Fermat's own example, consider the problem of finding the maximum of ${\displaystyle p(x)=bx-x^{2}}$ (In Fermat's words, it is to divide a line of length ${\displaystyle b}$ at a point ${\displaystyle x}$, such that the product of the two resulting parts be a maximum.^[1]) Fermat adequated ${\displaystyle bx-x^{2}}$ with ${\displaystyle b(x+e)-(x+e)^{2}=bx-x^{2}+be-2ex-e^{2}}$. That is (using the notation ${\displaystyle \backsim }$ to denote adequality, introduced by Paul Tannery):

${\displaystyle bx-x^{2}\백심 bx-x^{2}+be-2ex-e^{2}.}$

조건을 취소하고 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$로 나누는 Fermat이$$ 도착함

$b\b\backsim 2x+e.}$

$e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$이(가) 포함된 용어를 제거하면 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle x=b/2$}이$($가) 최대값이 발생한 원하는 결과에 도달했다$.$

페르마트는 또한 자신의 원리를 이용하여 스넬의 굴절 법칙을 빛이 가장 빠른 길을 택한다는 원리에서 직접 수학적으로 도출해냈다.^[4]

데카르트의 비판

페르마의 방법은 그의 동시대인들, 특히 데카르트에 의해 높은 비판을 받았다. 빅터 카츠는 이것이 데카르트가 자신의 정상법이라고 알려진 동일한 새로운 수학을 독자적으로 발견했기 때문이라고 제안하고 데카르트는 그의 발견을 상당히 자랑스러워했다. Katz는 또한 페르마의 방법이 미래의 미적분학 발전에 더 가까웠지만 데카르트의 방법은 그 개발에 더 즉각적인 영향을 미쳤다고 지적한다.^[5]

학자적 논쟁

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뉴턴과 라이프니즈 모두 페르마의 작품을 미적분학의 전제라고 언급하였다. 그럼에도 불구하고, 현대 학자들 사이에서는 페르마의 적정한 의미에 대해 의견이 분분하다. Fermat의 적합성은 많은 학술적 연구에서 분석되었다. 1896년 폴 타네리는 페르마의 라틴어 논문들을 프랑스어로 번역하여 맥시마와 미니마(Fermat, Eresuvres, Vol)에 실었다. III, 페이지 121-156). 탄네리는 페르마의 용어를 "아데갈러"로 번역하고 페르마의 "아데갈루어"를 채택했다. Tannery는 또한 수학 공식의 적합성을 위해$$ 기호$∽{\displaystyle \backsim }$을 도입했다.

하인리히 위레이트너(1929년)^[6]는 이렇게 썼다.

페르마트는 A를 A+E로 대체한다. 그런 다음 그는 새 표현을 대략 옛 표현과 동등하게(조금 번득이는 것) 설정하고, 양쪽의 동등한 조건을 취소하고, E의 가능한 가장 높은 힘으로 나눈다. 그런 다음 E를 포함하는 모든 조건을 취소하고, 서로 동등하게 유지되는 조건을 설정한다. 그것으로부터 [필요] A 결과. E가 가능한 한 작아야 한다는 것은 어디에서도 말할 수 없으며 기껏해야 "아데퀄리타스"라는 단어로 표현된다.

(Wieleitner는 기호 사용 -${\$

맥스 밀러(1934)^[7]는 이렇게 썼다.

거기에 디오판토스가 말한 대로, 최대와 최소를 나타내는 두 가지 조건을 모두 넣어야 한다(네헤룽스웨이스 글리치(néhrungsweise gleich)는 말이다.

(Miller는 기호 $\approx {\displaystyle }$ ${\$\ 약 $}$을(를) 사용한다.)$$

장 이타르(1948)는 이렇게 썼다.^[8]

디오판토스 출신의 페르마트(Fermat)가 '아데갈러(Adégaler)'라는 표현을 쓰고, 시란다르(Xylander)가 번역하고, 바첼트가 번역한 것을 알고 있다. 그것은 대략적인 평등 (égalité 근사) "에 관한 것이다.

(Itard는 기호 $\backsim {\displaystyle }$ ${\$을(를) 사용한다.)$$

조셉 에렌프리드 호프만(1963)은 이렇게 썼다.^[9]

페르마트는 충분히 작다고 생각되는 수량 h를 선택하고, f(x + h)를 f(x)에 대략 같은(ungeféhr gleich)를 넣는다. 그의 전문 용어는 아데콰어다.

(Hofmann은 기호 $\approx {\displaystyle }$ ${\$\ \cript style \ \$$\$$$c$

Peer Strömholm(1968)은 다음과 같이 썼다.^[10]

페르마 접근법의 기초는 비록 같은 형태를 가지고 있지만 정확히 동일하지는 않은 두 표현식의 비교였다. 이 과정에서 그는 "비교파라아데퀄리티텀" 또는 "아데퀄리티텀당 비교자"라고 불렀고, 그것은 "평준화"의 양쪽 사이의 엄격한 정체성이 변수의 소량 수정으로 인해 파괴되었음을 암시했다.

${\displaystyle f}$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$~ ${\displaystyle f}$( A${\displaystyle }$+ ${\displaystyle E}$) ${\$ .

이것이 그가 디오판토스의 πἀρσσνν use use use를 사용한 진정한 의의라고 믿으며, 변주곡의 소소함을 강조했다. '아데퀄리타스'의 평범한 번역은 '근대적인 평등'인 것 같지만, 나는 이 시점에서 페르마의 사상을 제시하기보다는 '사이비도 평등한'을 훨씬 선호한다.

그는 또한 "M1 (방법 1)에는 E가 0으로 입력되는 것에 대한 질문이 전혀 없었다"고 언급한다. 페르마트가 E를 포함하는 용어들을 억압하는 과정을 표현하기 위해 사용한 단어는 '엘리도', '델레오', '신문고', 프랑스어로 '아이페체', '아이페테' 등이었다. 우리는 자신의 뜻을 표현하고 단어를 찾기를 원하는 제정신인 남자가 E가 0이 되어 용어가 사라졌다는 단순한 사실을 끊임없이 전달하는 그런 고달픈 방법들을 우연히 발견했다는 것을 믿기 힘들다.(p. 51) 클로스 옌센(1969)^[11]은 다음과 같이 썼다.

더욱이, 아데갈리테의 개념을 적용함에 있어, 페르마의 일반적인 탄젠트 구성 방법의 기초를 구성하고, 두 개의 크기가 동일한 것처럼 비교되는 것을 의미하지만, 실제로는 ("Tamquam 에센스 aequalia, licet reverse aequalia non sint") - 나는 오늘날 더 일반적인 기호 $\approx {\displaystyle }$을 채택할 것이다.$\displaystyle \scriptstyle \cHB$

라틴어의 인용구는 태너리의 1891년판 페르마(Fermat) 140페이지에서 인용한 것이다. 마이클 숀 마호니(1971)는 이렇게 썼다.^[12]

어떤 다항식 P(x)에도 분명히 적용할 수 있는 페르마의 maxima와 minima 방법은 원래 순수하게 미세한 대수학 기초 위에 놓여 있었다. 그것은, 반사실적으로, 베트리의 방정식 이론에 의해, 그 뿌리와 다항식의 계수들 중 하나의 관계를 결정하기 위해, 두 개의 동일한 뿌리의 불평등을 가정했는데, 그것은 완전히 일반적인 관계였다. 그 후 페르마의 반사실적 가정을 없애고 뿌리를 균등하게 설정할 때 이러한 관계는 극단적 가치의 해결로 이어졌다. 디오판토스(Diophantus)에서 용어를 빌려 페르마트(Fermat)는 이 반사실적 평등을 '적절함'이라고 불렀다.

(Mahoney는 기호 $\approx {\displaystyle }$ ${\$\ \ \criptstyle \ \ \ \criptstyle \$$\ \ \ \ \ \ \}를 사용한다.)$$ 각주 46의 끝 페이지 164에서 Mahoney는 적절성의 의미 중 하나가 제한 사례에서의 대략적인 평등이라고 언급한다. 찰스 헨리 에드워즈 주니어(1979)는 이렇게 썼다.^[13]

예를 들어 $길이{\displaystyle }$ b ${\$$displaystyle \scriptstyle b}$의 세그먼트를 제품 x${\displaystyle (b}$- ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= b${\displaystyle }$-${\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\$$displaystyle$ $\$$scriptstyle b-x}$로 세분화하는 방법을 결정하기 위해$$, $제품{\displaystyle }$ x = ${\displaystyle b}$ - x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ {\$displaystyle x(b-x)=b-x^{2}}$는 f에 최대값이다.사각형을 최대 면적이 있는$$ 둘레 2 $[\$로 들여쓰면 [Fermat]은 다음과 같이 진행한다. 먼저 $x{\displaystyle }$ +${\displaystyle e}$ ${\$을(를) 교체했다.

(그는 무명 x 대신 A, E를 사용했고, 그 결과 표현식을 원래의 표현과 비교하기 위해 다음과 같은 "시료도 동일성"을 적었다.

${\displaystyle \scriptstyle b(x+e)-(x+e)^{2}=bx+be-x^{2}-2xe-e^{2}\;\sim \;bx-x^{2}.}$

항을 취소한 후, 그는 e를 $통해{\displaystyle }$b - ${\displaystyle 2x}$ -${\displaystyle e}$ ~ ${\displaystyle 0\mathrm{.}}${\$displaystyle \scriptstyle b-2\,x-e\;\sim$ $\$$0}$을(를) 얻기 위해 e를 포함하는 나머지 항을 폐기하고, 의사 $동등성$을 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle b\frac{}{}}$ =$$ {\$displaystystyle x={\b}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$을(를 만드는 x의 값을 제공하는 진정한$$ 동등성으로 변환했다.s $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 최대값$$. 불행히도 페르마트는 이 방법의 논리적 근거를 충분한 명확성이나 완전성으로 설명하지 않아 그가 의미하거나 의도한 것에 대해 역사적 학자들 사이의 의견 불일치를 방지할 수 있었다."

커스티 안데르센(1980)^[14]은 이렇게 썼다.

최대 또는 최소의 두 가지 표현은 "적절하게" 만들어지는데, 이것은 가능한 한 거의 동등한 것을 의미한다.

(^[15]Andersen은 기호 $\approx {\displaystyle }${\$displaystyle \scriptstyle$\ \ \criptstyle \$$\ \ \ \$criptsty$ \ \ \ $$\}

내 가설을 내세우고 싶다. 페르마트는 "평등하게"라는 의미에서 "아데콰레"라는 단어를 사용했다. 수학적인 맥락에서 '평등'과 '아데콰이어'의 유일한 차이점은 평등이 이루어진다는 사실에 후자가 더 많은 스트레스를 준다는 점인 것 같다.

(197쪽) 존 스틸웰 (Stillwell 2006 페이지 91)은 다음과 같이 썼다.

페르마트는 1630년대에 적합성 개념을 도입했지만 시대를 앞서고 있었다. 그의 후계자들은 보통 방정식의 편리함을 포기하려 하지 않았고, 적절한 것을 정확하게 사용하는 것보다 느슨하게 평등을 사용하는 것을 선호했다. 적합성에 대한 생각은 소위 비표준적인 분석에서 20세기에 들어서야 되살아났다.

엔리코 기우스티(2009)^[16]는 페르마트가 마린 메르센느에게 보낸 편지를 인용하고 있다.

Cette compararaison par adégalité products deux deux termes ingaux engaux engau engau engu en'galité qui nous nous nous donne la solution de la de la lea que"""""""""적합당한 이 비교는 두 가지 불평등한 용어를 생산에 의해 마침내 평등이 생성되어 (내 방법에 따라 문제 해결책이 나온다.

기우스티는 각주에 이 편지가 브레거의 눈에 띄지 않은 것 같다고 기록하고 있다.

클라우스 Barner(2011년)[17]그 페르마는 방정식 두 상수, 보편적으로 유효한(증명)공식 또는 조건부 등식이 공식은 relati에 대해 설명합니다 adaequabitur 그러나 사이에 유효한 정체성에 관한 것 평소 등호 aequabitur이 서명하는 요즘을 대체하는 두개 다른 라틴 단어(aequabitur과 adaequabitur)을 사용했다고 주장하고 있다.b에독립적이지 않은(그리고 방정식이 유효하지 않은) 두 변수 사이에 있다. 36페이지에 바너는 다음과 같이 적고 있다: "왜 페르마트는 접선 방법에 대한 그의 모든 예에 대해 일관되지 않은 절차를 계속해서 반복했을까? 왜 그는 실제로 그가 수술한 세컨트를 언급하지 않았을까? 나는 모른다고 말했다.

카츠, Schaps, Shnider 주장하(2013년)[18]이 페르마의 응용 프로그램의 기법에 초월 곡선 같은 원형의 쇼는 페르마의 기술 adequality 갈 수 없을 만큼 순전히 수학적 알고리즘, 그리고 저, 반대되는 Breger의 해석, 기술 용어 parisotes로 사용된 디오판토스와 adaequalitas로 사용된 페르마 강청하다.나 h"우수한 평등" 그들은 유한한 초현실수를 그것의 가장 가까운 실제 숫자로 반올림하는 표준 부품 함수로서 현대 수학에서의 적합성의 Fermat 기법의 공식화를 개발한다.

참고 항목

• 페르마의 원리
• 동질성의 초월법칙

참조

참고 문헌 목록

• 브레거, H. (1994) "아데쿼레의 신비: 페르마의 정당화", 정확한 과학의 역사를 위한 기록 보관소 46(3):193–2199.
• Edwards, C. H. Jr. (1994), The Historical Development of the Calculus, Springer
• Giusti, E. (2009) "Les méthodes des maxima et minima de Fermat", Ann. Fac. Sci. 툴루즈 수학(6) 18, 페시쿨레 스페셜 59-85
• Grabiner, Judith V. (Sep 1983), "The Changing Concept of Change: The Derivative from Fermat to Weierstrass", Mathematics Magazine, 56 (4): 195–206, doi:10.2307/2689807, JSTOR 2689807
• Katz, V. (2008), A History of Mathematics: An Introduction, Addison Wesley
• 여전히, J.(2006) 불가능한 것을 갈망하고 있다. 수학의 놀라운 진실 91페이지, 캘리포니아 웰즐리 소재 A K 피터스 주식회사.
• Weil, A, Book Review: 피에르 드 페르마의 수학 경력. 황소. 아머. 수학. Soc. 79 (1973년), 6, 1138–1149.