레이놀즈 운송 정리

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미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

미분학에서 레이놀즈 수송 정리(라이브니즈-이라고도 함)레이놀즈 수송 정리) 또는 단순히 오스본 레이놀즈(1842–1912)의 이름을 딴 레이놀즈 정리는 라이프니즈 적분 룰의 3차원 일반화다. 통합 수량의 파생상품을 재시스트하는 데 사용되며 연속체 역학의 기본 방정식을 형성하는 데 유용하다.

경계가 Ω(t)인 시간 의존적 영역 Ω(t)에 대해 f = f(x,t)를 통합한 다음 시간에 대해 파생상품을 취하도록 고려해 보십시오.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}\int _{\Oomega(t)}\mathbf {f}\dV.}$

적분 내에서 파생상품을 이동시키려면 f의 시간 의존성과 동적 경계로 인한 Ω의 공간 도입 및 제거라는 두 가지 문제가 있다. 레이놀즈 수송 정리는 필요한 체계를 제공한다.

일반형식

레이놀즈 이송 정리는 다음과 같이 표현할 수 있다.^[1][2][3]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}\left(\mathbf {v} _{b}\cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {f} \,dA}$

여기서 n(x,t)은 외측점 단위 정상 벡터, x는 영역의 점이며 통합의 변수, dV와 dA는 x에서 부피와 표면 요소, v_b(x,t)는 영역 요소(흐름 속도가 아님)의 속도다. 함수 f는 텐서 값, 벡터 값 또는 스칼라 값일 수 있다.^[4] 왼쪽 측면의 적분은 시간만으로 이루어진 함수이므로 전체 파생 모델이 사용되었다는 점에 유의하십시오.

재료 요소의 양식

연속역학에서 이 정리는 종종 물질적 요소에 사용된다. 이것들은 물질들이 들어가거나 잎이 나지 않는 액체나 고체의 소포들이다. Ω(t)이 재료 요소인 경우 속도 함수 v = v(x,t)가 있고 경계 요소가 준수됨

${\displaystyle \mathbf {v} ^{b}\cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {n}}$

이 조건은 다음을 얻기 위해 대체할 수 있다.^[5]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.}$

재료 요소에 대한 증거

Ω을0 영역 Ω(t)의 기준 구성으로 한다. 다음과 같이 동작과 변형 구배를 부여한다. ${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}}(\mathbf {X},t),}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}(\mathbf {X},t)={\boldsymbol {\nabla }}}{\boldsymbol {\barphi }}}.}$ J(X,t) = 멈춤쇠 F(X,t). 정의 ${\displaystyle {\hatsbf {f}}}}}}}(\mathbf {X},t)=\mathbf {f}({\boldsymbol {\varphi }}})(\mathbf {X},t), t).}$ 그런 다음 현재 구성과 참조 구성의 통합은 ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV&=\int _{\Omega _{0}}\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}.\end{aligned}}}$ 이 유도체가 재료 요소에 대한 것이라는 것은 기준 구성의 시간 항상성에 내포되어 있다: 그것은 재료 좌표에서 일정하다. 볼륨에 대한 적분들의 시간 파생은 다음과 같이 정의된다. ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega (t+\Delta t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t+\Delta t)\,dV-\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right).}$ 참조 구성을 통해 통합으로 변환하여 ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,J(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,dV_{0}-\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\right).}$ Ω은0 시간과 독립적이기 때문에, 우리는 ${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{d}{dt}}\left(\int_{\Omega(t)}\mathbf{f}(\mathbf{x},t)\,dV\right)&=\int _{\Omega_{0}}\left(\lim_{\Delta t\rightarrow 0}{\frac{{\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t+\Delta지)\,J(\mathbf{X},t+\Delta지)-{\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t)\,J(\mathbf{X},t)}{\Delta지}}\right)\,dV_{0}\\&, =\int_{.\Omega_{0}}{\frac{\partial}{\partial지}}\left({\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t)\,J(\mathbf{X},t)\right)\,dV_{0}\\&, =\int _{\Omega_{0}}\left({\frac{}\partial{\partial t}}{\big(}{\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t){\big)}(\mathbf{X},t)+{\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t)\,{\frac{\partial}{\partial지}}{\big(}J(\mathbf{X},t){\big. )}\rigight)\,dV_{0}.\end{aigned}}}$ J의 시간 파생상품은 다음과 같다. ${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\partial J(\mathbf{X},t)}{\partial지}}={\frac{\partial}{\partial지}}(\det{\boldsymbol{F}})&, =(\det{\boldsymbol{F}})({\boldsymbol{\nabla}}\cdot \mathbf{v})\\&, =J(\mathbf{X},t)\,{\boldsymbol{\nabla}}\cdot\mathbf{v}{\big(}{\boldsymbol{\varphi}}(\mathbf{X},t),t{\big)}\\&, =J(\mathb.f{X},t)\,{\boldsymbol {\\la }\cdot \mathbf {v}(\mathbf {x},t)\end{정렬}}}$ 그러므로 ${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{d}{dt}}\left(\int_{\Omega(t)}\mathbf{f}(\mathbf{x},t)\,dV\right)&=\int _{\Omega_{0}}\left({\frac{}\partial{\partial t}}\left({\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t)\right)\,J(\mathbf{X},t)+{\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t)\,J(\mathbf{X},t)\,{\boldsymbol{\nabla}}\cdot\mathbf{v}(\mathbf{.x},T=\right)\,dV_{0}\\&, =\int _{\Omega_{0}}\left({\frac{}\partial{\partial t}}\left({\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t)\right)+{\hat{\mathbf{f}}}(\mathbf{X},t)\,{\boldsymbol{\nabla}}\cdot\mathbf{v}(\mathbf{x},t)\right)\,J(\mathbf{X},t)\,dV_{0}\\&,=\int _ᆴ\left({\dot{\mathbf{f}}}(\mathbf{x},t)+\mathbf{f}(\math.남자 친구{)},t)\,{\boldsymbol {\nabla }\cdot \mathbf {v}(\mathbf {x},t)\dV.\end{정렬}}}$ 여기서 $f{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$은(는) f의 재료 시간 파생 모델이다. 물질적 파생상품은 다음과 같다. ${\displaystyle {\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t).}$ 그러므로 ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x},t)\right)\,dV,}$ 또는 ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\mathbf {f} \,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)\,dV.}$ ID 사용 ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {v} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {w} )+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ,}$ 그때 우리는 가지고 있다. ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\right)\,dV.}$ 다이버전스 정리 및 아이덴티티(a ⊗ b) · n = (b · n)a를 이용하여 우리는 다음과 같이 한다. ${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{d}{dt}}\left(\int_{\Omega(t)}\mathbf{f}\,dV\right)&=\int _{\Omega(t)}{\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial지}}\,dV+\int _ᆵ(\mathbf{f}\mathbf{v}\otimes)\cdot\mathbf{n}\,dA\\&, =\int _{\Omega(t)}{\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial지}}\,dV+\int _{\partial \Omega(t)}(.\mathbf {v} \cdot \mathbf {n}\mathbf {f} \,dA.\qquad \square \end{aigned}}$

특례; 특별 사건

시간에 대해 Ω을 일정하게 취하면 v_b = 0이고 ID는 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}\int _{\Oomega}f\,dV=\int _{\partial f}{\partial t}\dV.}$

예상대로 (면적 요소의 속도 대신 유속을 잘못 사용하면 이러한 단순화는 불가능하다.)

해석 및 1차원으로 축소

정리는 적분 부호 아래 분화의 고차원적 확장이며 경우에 따라서는 그 표현으로 감소한다. f가 y와 z에 독립적이며, Ω(t)은 yz 평면의 단위 제곱이고 x 한계 a(t)와 b(t)를 가지고 있다고 가정하자. 그러면 레이놀즈 수송 정리는

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}f(x,t)\,dx=\int _{a(t)}^{b(t)}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dx+{\frac {\partial b(t)}{\partial t}}f{\big (}b(t),t{\big )}-{\frac {\partial a(t)}{\partial t}}f{\big (}a(t),t{\big )}\,,}$

x와 t까지 스와핑은 적분 기호 아래 분화를 위한 표준 표현이다.

참고 항목

• 라이프니즈 적분 규칙

메모들

참조

• Leal, L. G. (2007). Advanced transport phenomena: fluid mechanics and convective transport processes. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84910-4.
• Marsden, J. E.; Tromba, A. (2003). Vector Calculus (5th ed.). New York: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-4992-9.
• Reynolds, O. (1903). Papers on Mechanical and Physical Subjects. Vol. 3, The Sub-Mechanics of the Universe. Cambridge: Cambridge University Press.

외부 링크

• Osbon Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Pubjects, 3권으로 출판, 1903년 경에 출판되었으며, 현재 완전하고 자유롭게 디지털 형식으로 이용할 수 있다. 1권 2권 3권
• "Module 6 - Reynolds Transport Theorem". ME6601: Introduction to Fluid Mechanics. Georgia Tech. Archived from the original on March 27, 2008.
• http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem