교대계열시험

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수학적 분석에서 교대계열 검정이란 항이 (1) 절대값이 감소하고 (2) 한계값이 0에 근접할 때 교대계열성이 수렴된다는 것을 보여주는 방법이다. 이 테스트는 고트프리트 라이프니츠에 의해 사용되었으며 때때로 라이프니츠의 테스트, 라이프니츠의 룰, 또는 라이프니츠 기준 등으로 알려져 있다. 시험은 충분할 뿐이지 필요하지 않기 때문에 일부 수렴 교대계열은 시험의 첫 번째 부분에서 실패할 수 있다.

공식 성명

교대계열시험

일련의 양식

${\displaystyle \sum \{n=0}^{n1}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots \!}$

여기서 모든 a가_n 양수이거나 모든 a가_n 음수인 경우를 교대계열이라 한다.

교대계열 시험은 다음과 같은 두 조건이 충족될 경우 교대계열의 수렴을 보장한다.

1. ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle a_{n}}$은(는) 단조롭게^[1] 감소하며$$, 즉 ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \le {}_{}}$ ${\displaystyle a{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle a_{n+1} \leq a_{n}$ $\}$ 및
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \ft }a_{n}=0}$

교대계열추정정리

더욱이 L은 시리즈의 합을 나타내고, 그 다음 부분 합을 나타내도록 한다.

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(1)^{n}a_{n}\!}$

L에 근사치하며 다음 생략된 항으로 한정되는 오차:

${\displaystyle \left S_{k}-L\right\vert \leq \left S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k+1}.\!}$

증명

Suppose we are given a series of the form ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}\!}$, where ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$ and ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$ for all natural numbers n. (The case ${\displaystyle }$${\displaystyle \sum _n^{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle n^{}}$ n ${\displaystyle n_{}{}_{}}${\$displaystyle \sum$ _${n=1}^{\nft$}-(1$)^{n}a_{n}\!}$은(는) 음수를 취하면 그 뒤를$$ 따른다.)^[1]

교대 직렬 테스트의 증거

We will prove that both the partial sums ${\displaystyle S_{2m+1}=\sum _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}}$ with odd number of terms, and ${\displaystyle S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}}$ with even number of terms, c같은 번호 L에 붙이다 따라서 통상적인 부분 합계 ${\displaystyle S_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$ (${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$) n${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ n ${\$ 등도$$ L에 수렴한다.

홀수 부분 합계는 단조롭게 감소한다.

${\displaystyle S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1}:{2m+1}:{2m+1}:{2m+1}:{2m+1}:{2m+1}:{2m+1}:{2m+1}}$

일부분이라도 단조롭게 증가하면:

${\displaystyle S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}}}$

둘_n 다 n으로 단조롭게 감소하기 때문이다.

더욱이 a는_n 양수이므로 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2m}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$- S ${\displaystyle {\mathrm{2m}}_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{2m}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $(\displaystyle S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}\geq$ 0$\}$ . 따라서 우리는 다음과 같은 암시적인 불평등을 형성하기 위해 이러한 사실들을 수집할 수 있다.

${\displaystyle a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.}$

자, a₁ - a는₂ 단조롭게 감소하는 s_2m+1 수열의 하한선이라는 점에 주목해, 단조로운 수렴 정리는 m이 무한대에 접근할 때 이 수열이 수렴된다는 것을 암시한다. 마찬가지로, 짝수 금액의 순서도 수렴한다.

마지막으로, 그들은 같은 숫자로 수렴해야 한다.

${\displaystyle \lim _{m\to \flt }(S_{2m+1}-S_{2m}=\lim_{m\to \ft }a_{2m+1}=0.}$

한계 L을 호출하고, 그러면 단조로운 수렴 정리도 우리에게 다음과 같은 추가적인 정보를 알려준다.

${\displaystyle S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}:{2m+1}$

어느 모로 보나 이것은 교대 시리즈의 부분적인 합 또한 최종 한계 위와 아래에 "대체"한다는 것을 의미한다. 더 정확히 말하면, 홀수(짝수)의 항 수가 있을 때, 즉 마지막 항이 플러스(마이너스) 항일 때, 부분 합이 최종 한도를 초과(아래)한다.

이러한 이해는 바로 아래와 같이 부분 합계의 오차범위로 이어진다.

교대계열 추정정리 증명

${\displaystyle S_{}}$ k - ${\displaystyle L{}_{}\le }$에 k +${\displaystyle 1_{}}$ $displaystyle \left S_{k}-L\right \leq a_{k+1}\!$$}$ 두 케이스로 나눠서$$.

k = 2m+1, 즉 홀수일 때

${\displaystyle \left S_{2m+1}-L\right =S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{{(2m+1)+2}}:$

k = 2m, 즉 짝수일 때

${\displaystyle \left S_{2m}-L\right =L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-{2m}=a_{2m+1}:{2m+1}}}$

소원대로

두 경우 모두 본질적으로 이전의 증거에서 도출된 마지막 불평등에 의존한다.

Cauchy의 수렴 테스트를 사용하는 다른 증거는 교대 영상 시리즈를 참조하십시오.

일반화는 Dirichlet's test를 참조하십시오.

예

대표적인 예

교류 고조파 시리즈

교대 직렬 테스트와 수렴에 대한 두 조건을 모두 만족한다.

단조롭다는 것을 보여주는 예가 필요하다.

결론의 참이 되기 위해서는 시험의 모든 조건, 즉 0과 단조로의 수렴이 충족되어야 한다. 예를 들어, 시리즈를 선택하십시오.

${\displaystyle {\sqrt {1}{\sqrt{2}}-1}-{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}+{\sqrt{3}-{\sqrt{1}{\sqrt{3}+1}+\cdots}}}}}}}}$

기호는 교대로 되어 있고 용어는 영(0)이 되는 경향이 있다. 그러나 단조로운 것은 존재하지 않으며 우리는 시험을 적용할 수 없다. 사실 시리즈는 다양하다. Indeed, for the partial sum ${\displaystyle S_{2n}}$ we have ${\displaystyle S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}}$ which is twice the partial sum of the harmonic series, which is divergent. 그래서 원작의 시리즈는 다양하다.

테스트는 충분할 뿐, 필요하지 않다.

라이프니즈 테스트의 단조도는 필요한 조건이 아니므로 테스트 자체는 충분할 뿐 필요 없다.(테스트의 두 번째 부분은 모든 시리즈에 대한 수렴의 필요조건으로 잘 알려져 있다.) Examples of nonmonotonic series that converge are ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}}$ and ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {\cos ^{2}n}{n^{2}}}.$$}$

참고 항목

• 교대계열
• 디리클레 테스트

메모들

^실제로는 처음 몇 개의 용어가 증가할 수 있다. 중요한 것은 첫 번째 유한한 항이 시리즈의 수렴/전달을 변경하지 않기 때문에 어느 시점 이후 모든$$ n ${\displaystyle n}$에 대해 b $n{\displaystyle {}_{}{nn}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$1}{n$+$1}가 어느 시점 이후 모든 $n$에 대해 중요하다는$$ 것이다.^[2]

참조

• 콘래드 Knoph(1956) 무한 시퀀스 및 시리즈, § 3.4, 도버 출판물 ISBN 0-486-60153-6
• Konrad Knopp (1990) 무한 시리즈 이론 및 적용, § 15, 도버 출판물 ISBN 0-486-66165-2
• 제임스 스튜어트, 다니엘 클레그, 살렘 왓슨 (2016) 단일변수 미적분: 초기 초월체 (Instructor's Edition) 9E, Cengage ISBN 978-0-357-02228-9
• E. T. 휘태커 & G. N. 왓슨 (1963) A Course in Modern Analysis, 제4판, 제2.3조, Cambridge University Press ISBN 0-521-58807-3

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Leibniz Criterion". MathWorld.
• 제프 크루잔. "대체 시리즈"