미적분 함수의 파생 모델을 계산하기 위한 규칙이 있는 위키미디어 목록 문서
이것 은 미적분학 에서 함수 의 파생상품 을 계산하기 위한 규칙, 즉 분화규칙 의 요약이다.
기본 차별화 규칙 달리 명시되지 않는 한, 모든 함수는 실제 값을 반환하는 실수(R ) 의 함수다. 더 일반적으로는 아래의 공식은 복잡한 숫자(C )의 경우를 포함하여 잘 정의 된[1] [2] 모든 곳에 적용된다. [3]
분화는 선형이다. 함수 f {\displaystyle f} 및 g {\displaystyle g} 및 실제 번호 a {\displaystyle a} 및 b {\displaystyle b} 의 경우, x {\displaystyle x} 에 대한 함수 h( x ) = f ( x ) + bg(x) 의 파생값은 다음과 같다.
h ′ ( x ) = a f ′ ( x ) + b g ′ ( x ) . [\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x)] } 라이프니츠의 표기법 에는 다음과 같이 쓰여 있다.
d ( a f + b g ) d x = a d f d x + b d g d x . {\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}=a{\frac {df}{dx}+b{\frac {dg}{dx}}. } 특별한 경우는 다음과 같다.
( a f ) ′ = a f ′ [\displaystyle (af)]=af'} ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ [\displaystyle (f+g)]=f'+g'} ( f − g ) ′ = f ′ − g ′ . 디스플레이 스타일(f-g)'=f'-g' } 제품 규칙 f 및 g 함수의 경우 x 에 대한 함수 h (x ) = f (x ) g (x )의 파생어는 다음과 같다.
h ′ ( x ) = ( f g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . {\displaystyle h'(x)=fg'(x)=f'(x)g+f(x)g'(x). } 라이프니츠의 표기법에는 이렇게 쓰여 있다.
d ( f g ) d x = d f d x g + f d g d x . {\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}={\frac {df}{dx}{dx}}{dx}}. } 체인 룰 함수 h( x ) = f ( g ( x ) ) {\displaystyle h(x)=f(g(x)} 의 파생상품은 다음과 같다.
h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) . [\displaystyle h'(x)=f'(g(x)\cdot g'(x)] } 라이프니츠의 표기법에는 다음과 같이 쓰여 있다.
d d x h ( x ) = d d z f ( z ) z = g ( x ) ⋅ d d x g ( x ) , {\dplaystyle {\frac}{dx}h(x)={\frac {d}{dz}f(z) _{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}g(x),} 을 요약해서 말하곤 한다.
d h ( x ) d x = d f ( g ( x ) ) d g ( x ) ⋅ d g ( x ) d x . {\displaystyle {\frac(x)}{dx}}={\frac {df(g(x)}}{dx}}{dg(x)}}}{dx}. } 맵 의 개념에 초점을 맞추고 맵 D {\ displaystyle {\ text {D }}, 이것은 다음과 같이 보다 간결하게 쓰여 있다.
[ D ( f ∘ g ) ] x = [ D f ] g ( x ) ⋅ [ D g ] x . {\displaystyle [{\text{D}(f\circle g)]_{x}=[{\text{{\text} D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{ D}}g]_{x}\, } 역함수 규칙 함수 f 에 역 함수 g 가 있는 경우, g ( f ( x ) = x {\displaystyle g(f(x))) =x} 및 f( g ( y ) = y , {\displaystyle f(g(y)=y,}, 그 다음
g ′ = 1 f ′ ∘ g . {\displaystyle g'={\frac {1}{f'\property g}}. } 라이프니츠 표기법에는 다음과 같이 쓰여 있다.
d x d y = 1 d y d x . {\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac}{dx}}}. } 전력 법칙, 다항식, 인용문 및 왕복선 다항식 또는 기본 전원 규칙 f ( x ) = x r {\ displaystyle f(x)=x^{r }}, 임의의 실제 숫자 r 0 0, {\displaystyle r\neq 0,} 에 대해, 그러면
f ′ ( x ) = r x r − 1 . {\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}. } r = 1 , {\displaystyle r=1,} 인 경우 f( x ) = x , {\displaystyle f(x)=x,} 인 경우 f if (x ) = 1. {\displaystyle f'(x)=1 .}
전력 규칙과 총계 및 상수 복수 규칙을 결합하면 모든 다항식의 파생값을 계산할 수 있다.
호수 법칙 (비바니싱) 함수 f 에 대한 h ( x ) = 1 f ( x ) {\ displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}} 의 파생상품은 다음과 같다.
h ′ ( x ) = - f ′ ( x ) ( f ( x ) ) 2 {\ displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x)}} ^{2}}: f 가 0이 아닌 곳이면 어디든 라이프니츠의 표기법에는 이렇게 쓰여 있다.
d ( 1 / f ) d x = − 1 f 2 d f d x . {\displaystyle {\frac{d(1/f)}{dx}}{dx}=-{\frac {1}{f^{2}}:{\frac {df}{dx}}}. } 역수 법칙은 인용 규칙 또는 권력 규칙과 체인 규칙의 조합에서 파생될 수 있다.
지수의 법칙 f 및 g 가 함수인 경우:
( f g ) ′ = f ′ g - g ′ f g 2 {\ displaystyle \left({\frac {f}{g}\right')={\frac {f' g-g'f}{g^{2}}}\i1}. 이것은 제품 규칙과 역수 규칙에서 파생될 수 있다.
일반화된 권력 규칙 기본 권력 규칙은 상당히 일반화된다. 가장 일반적인 전력 규칙은 기능 전력 규칙 이다: 모든 기능 f와 g 에 대해,
( f g ) ′ = ( e g ln f ) ′ = f g ( f ′ g f + g ′ ln f ) , {\displaystyle (f^{g})=\좌측(e^{g\ln f}\우측)=f^{g}\좌측(f'g \over f}+g'\ln f\우측)\ns } 양쪽이 잘 규정되어 있는 곳이라면 어디든.
특례
f( x ) = x a {\ textstyle f(x)=x^{a}\}, a 가 0이 아닌 실수이고 x 가 양수일 때 f ′(x ) = x a - 1 {\ textstyle f'(x)=ax^{a-1}. 역수 규칙은 g ( x ) = - 1 {\ textstyle g(x)=-1\!} 의 특수한 경우에 파생될 수 있다.
지수함수와 로그함수의 파생상품 d d x ( c a x ) = a c a x ln c , c > 0 {\displaystyle {\frac}{dx}}\왼쪽(c^{ax}\오른쪽)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0} 위의 방정식은 모든 c 에 대해 참이지만 c < 0 {\textstyle c<0} 에 대한 파생상품은 복잡한 숫자를 산출한다 .
d d x ( e a x ) = a e a x {\displaystyle {\frac{d}}{dx}}\왼쪽(e^{ax}\오른쪽)=애^{ax}} d d x ( 통나무를 하다 c x ) = 1 x ln c , c > 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}\왼쪽(\log _{c}x\right)={1\over x\ln c},\qquad c>1} 위의 방정식도 모든 c에 대해 참이지만, c < 0 {\ textstyle c<0\!} 일 경우 복잡한 숫자를 산출한다.
d d x ( ln x ) = 1 x , x > 0. {\displaystyle {\frac {d}{dx}\왼쪽(\ln x\오른쪽)={1\over x}\qquad x>0. } d d x ( ln x ) = 1 x , x ≠ 0. {\displaystyle {\frac {d}{dx}\왼쪽(\ln x \right)={1\over x}\qquad x\neq 0. d x ( x ) = 1 x + e W ( x ) , x > - 1 e . {\ displaystyle {\frac {d}}\{dx}\왼쪽(W(x)\right)={ 1 \over {x+ e^{W(x)}},\qquad x >-{1 \over e} \qquad } 여기서 W( x ) {\displaystyle W(x)} 은 (는) Lambert W 함수임 d d x ( x x ) = x x ( 1 + ln x ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\왼쪽(x^{x}\오른쪽)=x^{x}(1+\ln x). } d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = g ( x ) f ( x ) g ( x ) − 1 d f d x + f ( x ) g ( x ) ln ( f ( x ) ) d g d x , 만일 f ( x ) > 0 , 그리고 만약 d f d x 그리고 d g d x 존재하다 {\dplaystyle {\frac}{dx}}\왼쪽(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)^{g(x)-1}{\frac {df}+f(x)^{dx(x)}}\l(x){dfl(x)} }}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\cext{{}f(x)0,{\text{}, 그리고 }{{\frac {df}{dx}{{}}}{\frac {dg}{dx}}}}{\text}}}}}이 있는 경우. }}} d d x ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ( . . . ) f n ( x ) ) = [ ∑ k = 1 n ∂ ∂ x k ( f 1 ( x 1 ) f 2 ( x 2 ) ( . . . ) f n ( x n ) ) ] x 1 = x 2 = . . . = x n = x , 만일 f i < n ( x ) > 0 그리고 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\좌측(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\좌측(... \right)^{f_{n}(x)}}}^{n}{\sum \frac _{k=1}{n}{\frac }{\frac }{\n}{\f_{1}(x_{1}})^{f_{2}(x_{2})^{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\좌...좌... \right)^{f_{n}(x_{n}}}}\right]{\biggr \vert }{x_{1}=x_{2}=... =x_{n}=x},{\text{{{f_{i<n}(x))0{\text{}}} d f i d x 존재한다 {\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}{\text{{n1}이(가) 존재한다. }}} 로그파생상품 로그 파생상품 은 함수의 로그 구분(체인 규칙 사용) 규칙을 설명하는 또 다른 방법이다.
( ln f ) ′ = f ′ f {\ displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}\message }}f 가 양성인 곳이면 어디든. 로그 분화 는 로그와 그 분화 규칙을 사용하여 파생상품을 실제로 적용하기 전에 특정 표현식을 단순화하는 기법이다.[citation needed ]
로그는 지수를 제거하고, 제품을 합계로 변환하며, 분업을 뺄셈으로 변환하는데 사용될 수 있다. 각 계수는 파생상품을 얻기 위한 단순화된 표현으로 이어질 수 있다.
삼각함수의 파생상품 ( 죄를 짓다 x ) ′ = cas x = e i x + e − i x 2 {\displaystyle (\sin x')=\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}:} ( 아크신 x ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle(\arcsin x')={1\over {\sqrt{1-x^{2}}} ( cas x ) ′ = − 죄를 짓다 x = e − i x − e i x 2 i {\displaystyle (\cos x')=-\sin x={\frac {e^{-ix}-e^{ix}}}{2i}}}} ( 아르코스 x ) ′ = − 1 1 − x 2 {\displaystyle (\arccos x)'=-{1\1\over {1-x^{2}}:} ( 햇볕에 그을리다 x ) ′ = 초 2 x = 1 cas 2 x = 1 + 햇볕에 그을리다 2 x {\displaystyle (\tan x')=\sec ^{2}x={1 \over \coses ^{2}x}=1+\tan ^{2}x} ( 아크탄의 x ) ′ = 1 1 + x 2 {\displaystyle (\arctan x')={1 \over 1+x^{2 }}} ( 요람을 달다 x ) ′ = − csc 2 x = − 1 죄를 짓다 2 x = − 1 − 요람을 달다 2 x {\displaystyle (\displaystyle x')=-\csc ^{2}x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-1-\propers ^{2}x} ( 아크콧 x ) ′ = 1 − 1 − x 2 {\displaystyle(\displayname {arccot} x)={1 \over -1-x^{2}}:} ( 초 x ) ′ = 초 x 햇볕에 그을리다 x {\displaystyle (\sec x')=\sec {x}\tan {x}} ( 아크섹 x ) ′ = 1 x x 2 − 1 {\displaystyle(\displayname {arcsec} x)'={1\over x {\sqrt {x^{2}-1}}}}} ( csc x ) ′ = − csc x 요람을 달다 x {\displaystyle (\csc x')=-\csc {x}\csc {x}\csc {x}} ( 아크스크 x ) ′ = − 1 x x 2 − 1 {\displaystyle(\displayname {arccsc} x)'=-{1 \over x {\sqrt{x^{2}-1}}}}
위 표의 파생상품은 역제곱의 범위가 [ 0, π ] {\ displaystyle [0,\pi ]\} 일 때, 역제곱의 범위 가 [ - π 2, ] 2 ] {\displaystyle \{\frac \}{2}}, \frac {\pi }{2}}\ ripi \rig \right]\!] 일 때!}!}!}에 대한 것이다.
It is common to additionally define an inverse tangent function with two arguments , arctan ( y , x ) {\displaystyle \arctan(y,x)\!} . Its value lies in the range [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!} and reflects the quadrant of the point ( x , y ) {\displaystyle (x,y)\!} . For the first and fourth quadrant (i.e. x > 0 (\ displaystyle x>0\} ) 은 arctan ( y , x > 0 ) = arctan (y / x ) {\displaysty \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)\!} 을( 으)로 되어 있다. 부분파생물은 다음과 같다.
∂ 아크탄 (y , x ) ∂ y = x x 2 + y 2 {\frac 스타일 {\ fractyle {\fractan(y,x)}{\practan (y,x)}}{\fract y}{x^{x^}+y^{2 } }}}}, 및 ∂ 아크탄 ( y , x ) ∂ x = - y x 2 + y 2 . {\displaystyle {\fractan {\frac {\fractan( y,x)}}{\frac{-y}{x^{2}+y ^{2}}. }
쌍곡선 함수의 파생상품 ( 징징거리다 x ) ′ = 코쉬 x = e x + e − x 2 {\displaystyle (\sinh x')=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}:} ( 아르진 x ) ′ = 1 1 + x 2 {\displaystyle(\displayname {arsinh} x)={1 \over {\sqrt {1+x^{2. }}}}} ( 코쉬 x ) ′ = 징징거리다 x = e x − e − x 2 {\displaystyle (\cosh x')=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}:} ( 아르코쉬의 x ) ′ = 1 x 2 − 1 {\displaystyle(\displayname {arcosh} x)={\frac {1}{\sqrt{x^{2}-1}}}} ( 태닝을 하다 x ) ′ = 바느질하다 2 x = 1 코쉬 2 x = 1 − 태닝을 하다 2 x {\displaystyle (\tanh x')={\displayname {sech}^{2}x}={1 \over \cosh ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x} ( 아르탄 x ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle(\displayname {artanh} x)={1 \over 1-x^{2}}:} ( 나무늘보 x ) ′ = − csch 2 x = − 1 징징거리다 2 x = 1 − 나무늘보 2 x {\displaystyle (\coth x')=-\cschname {csch}^{2}x=-{1 \over \sinh ^{2}x}=1-\coth ^{2}x} ( 아코스의 x ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle(\displayname {arcot} x)]={1 \over 1-x^{2}}} ( 바느질하다 x ) ′ = − 바느질하다 x 태닝을 하다 x {\displaystyle(\displayname {sech} x)'=-\displayname {sech} {x}\tanh {x}} ( 아치형 x ) ′ = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle(\displayname {arsech} x)'=-{1 \over x{1\sqrt{1-x^{2}}} ( csch x ) ′ = − csch x 나무늘보 x {\displaystyle(\displayname {csch} x)'=-\displayname {csch} {x}\cot{x}}} ( 아크슈 x ) ′ = − 1 x 1 + x 2 {\displaystyle(\displayname {arcsch} x)'=-{1 \over x {\sqrt {1+x^{2 }}}}}
이러한 파생상품에 대한 제한은 쌍곡선 함수 를 참조하십시오.
특수 기능의 파생상품 리만 제타 함수 ζ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n x {\displaystyle \jeta (x)=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{n^{x}}}}}}}}}}} ζ ′ ( x ) = − ∑ n = 1 ∞ ln n n x = − ln 2 2 x − ln 3 3 x − ln 4 4 x − ⋯ {\displaystyle \zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots } = − ∑ p 전성기의 p − x ln p ( 1 − p − x ) 2 ∏ q 전성기의 , q ≠ p 1 1 − q − x {\displaystyle \,=\sum _{p{\text{p}}{\frac {p^{-x}\ln p}{{{{-p^}}}}{{q-{prem}}}\prod _{prem},q\neqp}{1-x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{1-frac {prac{{-frac {prac {nec
통합의 파생상품 x 함수에 대해 구별해야 한다고 가정해 보십시오.
F ( x ) = ∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t ) d t , {\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,} where the functions f ( x , t ) {\displaystyle f(x,t)} and ∂ ∂ x f ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)} are both continuous in both t {\displaystyle t} and x {\displaystyle x} in some region of the ( t , x ) {\displaystyle (t,x)} plane, including a ( x ) ≤ t ≤ b ( x ) , {\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),} x 0 ≤ x ≤ x 1 {\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}} , and the functions a ( x ) {\displaystyle a(x)} and b ( x ) {\displaystyle b(x)} are both continuous and both have continuous derivatives for x 0 ≤ x ≤ x 1 {\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}} . 그런 다음 x 0 ≤ x ≤ x 1 {\ displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1 }의 경우 :
F ′ ( x ) = f ( x , b ( x ) ) b ′ ( x ) − f ( x , a ( x ) ) a ′ ( x ) + ∫ a ( x ) b ( x ) ∂ ∂ x f ( x , t ) d t . {\displaystyle F'(x)=f(x)=f(x)-f(x)-f(x)\,a(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial x}\}\{\partial x(x,t)\;dt\, } 이 공식은 라이프니즈 적분규칙 의 일반적인 형태로서 미적분의 근본적 인 정리를 이용 하여 도출할 수 있다.
파생상품 n번째 순서 함수의 n번째 파생상품을 계산하기 위해 존재하는 규칙도 있는데, 여기서 n 은 양의 정수다. 여기에는 다음이 포함된다.
파아디 브루노 공식 만약 f와 g 가 n-time 차이를 보일 수 있다면,
d n d x n [ f ( g ( x ) ) ] = n ! ∑ { k m } f ( r ) ( g ( x ) ) ∏ m = 1 n 1 k m ! ( g ( m ) ( x ) ) k m {\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}}[f(g)(x)]]=n!=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}{{f^{r(r)}}{m=1}^{n}{m}! }}}\왼쪽(g^{(m)}(x)\오른쪽) ^{k_{m}}} where r = ∑ m = 1 n − 1 k m {\displaystyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}} and the set { k m } {\displaystyle \{k_{m}\}} consists of all non-negative integer solutions of the Diophantine equation ∑ m = 1 n m k m = n {\displaystyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n} .
라이프니즈 장군 규칙 만약 f와 g 가 n-time 차이를 보일 수 있다면,
d n d x n [ f ( x ) g ( x ) ] = ∑ k = 0 n ( n k ) d n − k d x n − k f ( x ) d k d x k g ( x ) {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}
참고 항목 참조 ^ 미적분(5판), F. 아이레스, E. 멘델슨, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2 . ^ 어드밴스트 미적분(3판), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum의 Outline Series, 2010, ISBN 978-0-0-07-162366-7 . ^ 복합 변수 , M.R. 스피겔, S. 립슈츠, J.J. 쉴러, D. 스펠맨, Schaum의 Outlines Series, McGraw Hill (미국), 2009, ISBN 978-0-0-07-161569
출처 및 추가 판독 이 규칙들은 초등 미적분학과 고급 미적분학 둘 다에 있는 많은 책에서 순수 수학과 응용 수학으로 주어진다. 이 글의 내용은 다음에서 확인할 수 있다.
수학적 수식 및 표(3판 ), S. 립슈츠 , M.R. 슈피겔, J. 류, 샤움의 아웃라인 시리즈, 2009, ISBN 978-0-0-07-154855-7 . 케임브리지 물리학 공식 핸드북 , G. Woan, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 물리 및 공학 수학적 방법 K.F. 라일리, M.P. 홉슨, S.J. 빈스, 캠브리지 대학 출판부, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 NIST Handbook of Mathemical Functions , F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 . 외부 링크