규제 적분

수학에서 규제 적분(controlled integrity)은 규제 기능에 대한 통합의 정의로, 스텝 함수의 균일한 한계로 정의된다. 리만 적분 대신 규제된 적분을 사용하는 것은 니콜라스 부르바키와 장 디우도네에 의해 주장되어 왔다.

정의

스텝 함수에 대한 정의

[a, b]를 실제 라인 R에서 고정된 폐쇄된 경계 구간으로 한다. 실제값 함수 φ : [a, b] → R은 유한 분할이 존재하면 스텝 함수라고 한다.

${\displaystyle \Pi =\{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=b\}}}}}$

[a, b] 중에서 φ은 π의 각 개방간격(t_i, t_i+1)에 일정하며, 이 상수값이 c_i ∈ R이라고 가정한다. 그런 다음 스텝 함수 φ의 적분을 정의한다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi (t)\\\mathrm {d} t:=\sum _{i=0}^{k-1c_{i} t_{i+1}-t_{i} .}$

φ이₁ π의₁ 개방간격에서 일정하게 유지되는 것과 같이 a이 [a, b]의 또 다른 분할인 경우, integral의 적분 수치값이 π의 경우와 동일하다는₁ 점에서 이 정의는 칸막이의 선택과 무관함을 나타낼 수 있다.

규제된 기능으로 확장

함수 f : [a, b] → R이 [a, b]의 단계함수 순서의 균일한 한계인 경우 조절함수라고 한다.

• 단계함수(φ_n sequence)_n∈N의 순서가 있어서 or_n - f → 0은 n → ∞; 또는 동등하게,
• 모든 ε > 0에 대해, 스텝 함수 φ이_ε 존재하며_ε, - - f < ;; 또는 동등하게,
• f는 모든 경계 함수[a, b] → R의 공간에서 닫힘이 취해지고 우월적 규범 _∞⋅; 또는 동등하게, 또는 모든 경계 함수의 공간에서 닫힘이 취해지는 단계 함수의 공간 폐쇄에 있다.
• t ∈[a, b]마다, 우측 한계치

  ${\displaystyle f(t+)=\lim _{s\downarrow t}f}$

  t ∈(a, b)마다 왼쪽 한계가 존재하며,

  ${\displaystyle f(t-)=\lim _{s\uparrow t}f}$

  존재하기도 한다.

규제 대상 기능 f의 핵심 요소 정의

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t:=\lim_{n\to\inft }\int _{a}^{b}\varphi _{n}(t)\,\mathrmartrm {d} t,},}$

여기서 (iii_n)_n∈N는 f에 균일하게 수렴되는 단계 함수의 모든 시퀀스다.

하나는 이 한도와 이번에 선정된 시퀀스의 독립적이다 존재하지만 초등 함수 해석학의 지속적인 선형 확장 정리:t0은normed 선형 공간 E의 조밀한 선형 부분 공간 E0고 가치에 대해서는 바나흐 공간 F에 규정된 한정적 선형 작용 표 독특하게 a로 확장하여 이것은 즉각적인 결과 검토해야 한다 보신탕동일한 (마인드) 연산자 규격을 가진 비복형 선형 연산자 T : E → F.

조절된 적분의 특성

• 적분은 선형 연산자: 모든 조절 함수 f와 g와 상수 α와 β에 대해,

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm \int_{a}^{b}f(t)\\\mathrm {d}t=\not_{a}^{b}g(t)\\\mathrm {d}t.}$

• 또한 적분은 경계 연산자: 모든 조절된 함수 f는 경계되며, 모든 t [ [a, b]에 대해 m f f(t) if M이면 다음이다.

  ${\dapplaystylem m b-a \leq \int _{a}^{b}f(t)\\mathrm {d}t\leq M b-a .}$

  특히:

  ${\displaystyle \left \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t\\right \leq \int _{a}^{b} f(t) \,\mathrm {d} t.}$

• 단계 기능은 통합이 가능하고 리만 적분(Riemann 적분)의 통합성과 가치가 균일한 한계와 호환되기 때문에 규제 대상 적분은 리만 적분(Riemann 적분)의 특별한 경우다.

전체 실제 라인에 정의된 기능으로 확장

단계 기능과 규제된 기능 및 관련 통합의 정의를 전체 실제 라인에 정의된 기능으로 확장할 수 있다. 그러나 다음과 같은 특정 기술적 사항에 주의해야 한다.

• 스텝 함수가 일정해야 하는 개방 간격의 파티션은 카운트 가능한 집합으로 허용되지만 이산 집합이어야 한다. 즉, 한계점이 없어야 한다.
• 균일한 수렴 요건은 콤팩트 세트의 균일한 수렴 요건으로 완화되어야 한다(즉, 폐쇄 및 경계 간격).
• 모든 경계 함수가 통합 가능한 것은 아니다(예: 상수 값 1의 함수). 이것은 지역 통합성의 개념으로 이어진다.

벡터 값 함수에 대한 확장

표준 벡터 공간 X에서 값을 취하는 함수의 경우 위의 정의를 준용한다.

참고 항목

• 르베그 적분
• 리만 적분

참조

• Berberian, S.K. (1979). "Regulated Functions: Bourbaki's Alternative to the Riemann Integral". The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 86 (3): 208. doi:10.2307/2321526. JSTOR 2321526.
• Gordon, Russell A. (1994). The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. Graduate Studies in Mathematics, 4. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3805-9.