극값정리

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2012년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

미적분학에서 극단값 정리에서는 실제 값 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이(가) 닫힌 간격${\displaystyle [,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b],$$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에서 연속적인 경우 각각 한 번 이상 최대값과 최소값을 얻어야 한다고$$ 명시하고 있다. 즉$,{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에는 다음과 같은$$ $숫자{\displaystyle }$ c ${\displaystyle d}$과 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$이(가) 있다.

$\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)\properties \forall x\in [a,b]}}$

극단값 정리는 관련 한계성 정리보다 더 구체적이며, 단지 닫힌 간격${\displaystyle [,}$ ${\displaystyle b}$의 $연속함수$ f$[\$$displaystyle [a,b]}$이(가) 그 간격에 경계를 두고 있다고$$ 명시한다. 즉, 이러한 간격에는$$ 실제 숫자 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$과 $M{\displaystyle }$ ${\displaystystystyle M}$이 있다.다음 날짜:

${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \forall \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$[ a ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b$

그렇다고 해서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$$}$과${\displaystyle (}$$)$ m {\$displaystyle$ m$}$이$({\displaystyle }$가) 구간에서 반드시$$ $f{\displaystyle }$ $displaystyle$$f}$의 최대값과 최소값이라고$$ 말하는 것은 아니며$$$,$ 극단값 정리가 규정하는 값도 그러해야 한다.

극값 정리는 롤의 정리를 증명하는 데 사용된다. Karl Weierstrass에 의한 공식에서, 이 정리는 비어 있지 않은 콤팩트 공간으로부터 실수의 부분집합에 이르는 연속적인 함수가 최대와 최소에 도달한다고 기술한다.

역사

극단적 가치 정리는 원래 1830년대에 베르나르 볼자노에 의해 작품 기능 이론에서 증명되었지만, 그 작품은 1930년까지 미발표 상태로 남아 있었다. 볼자노의 증거는 닫힌 간격의 연속 함수가 경계로 되어 있음을 보여준 다음 함수가 최대값과 최소값을 얻었음을 보여주는 것으로 구성되었다. 두 증거 모두 오늘날 볼자노-이라 알려진 것을 포함했다.위어스트라스 정리.^[1] 그 결과는 1860년에 위어스트라스에 의해서도 발견되었다.^{[citation needed]}

정리가 적용되지 않는 함수

다음 예는 왜 기능영역을 폐쇄하고 경계해야 정리가 적용되는지를 보여준다. 각각 주어진 간격으로 최대치를 달성하지 못한다.

1. ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= [${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle [0,\infit )}$에 대해$$ ${\displaystyle \mathrm{정의}}$된 x ${\displaystyle f(x)=x}$은(는) 위와 제한되지$$ 않는다.
2. ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{x\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$+ x ${\$에 정의된${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle [0,\inflaty )}$은(는) 경계되지만 최소 $상한{\displaystyle \mathrm{}}$ 1$${\$displaystystyle 1}$에 도달하지 않는다$.$
3. ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ x ${\$ 위에 정의된${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle (0,1])}$은(는) 위와 제한되지 않는다$$.
4. ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle f(x)=1-x}$ 위에 정의된$$ (${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle (0,1]})$은 경계되지만$$ 최소 상한 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 1$}$에는 도달하지 않는다$.$

마지막 두 예에서$$ ${\displaystyle \mathrm{f}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle f(0)=0}$을(를) 정의하면 두 이론 모두${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에서 연속성을 필요로 한다는 것을 알 수 있다$.$

메트릭 및 위상학적 공간에 대한 일반화

실제 라인 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 메트릭 공간 및 일반 토폴로지 공간으로 이동하는$$ 경우 닫힌 경계 구간의 적절한 일반화는 소형 집합이다. A set ${\displaystyle K}$ is said to be compact if it has the following property: from every collection of open sets ${\displaystyle U_{\alpha }}$ such that ${\textstyle \bigcup U_{\alpha }\supset K}$, a finite subcollection ${\displaystyle U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_$${\alpha _{n}}$는$\underset{}{\overset{}{}}$} i =$\underset{}{\overset{}{}}$ $\underset{}{\overset{}{}}{}_{}$ ${{\alpha }_{}}_{}$ ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n$}과(와) 같이 선택할 수 있다$$.$}U_{\alpha _{i}}\supset K$ 이것은 보통 "$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 모든 개방형 커버는 유한 서브커버를 가지고$$ 있다"라고 간단히 말한다. 하이네-보렐 정리는 실제 라인의 부분집합은 닫힘과 경계 둘 다인 경우에만 압축적이라고 주장한다. 이에 따라, 모든 닫히고 경계된 집합이 압축된 경우 미터법 공간에는 하이네-보렐 속성이 있다.

연속함수의 개념도 마찬가지로 일반화될 수 있다. 위상학적 공간 $V{\displaystyle }$, ${\displaystyle \text{W}}$ ${\displaystyle$ V$,\$ W$\},$ 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f:$${\displaystyle V}$$\to W}$은(는) 모든 오픈 세트 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \subset }$ W ${\displaystyle U\subset$ W$\},$ $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}U}$) ${\displaystyle \subset }$ V ${\displaystyle$ f$^{-1}(U)\subset V}$이(가) 열려 있으면$$ 연속적이라고 한다$$. 이러한 정의에 따라, 연속적인 기능은 소형성을 보존하는 것으로 보여질 수 있다.^[2]

정리. $V{\displaystyle }$, ${\displaystyle \text{W}}$ ${\displaystyle V,\ W}$이(가) 위상학적 공간인 $경우{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle V}$→ W ${\displaystyle f:$$V\to W}$은(는) 연속함수로, $K{\displaystyle v}$ V ${\displaystyle$K\$subset V}$은(는) 소형이고, $그러면{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( K )${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f(K)\subset W}$도 소형이다$$.

In particular, if ${\displaystyle W=\mathbb {R} }$, then this theorem implies that ${\displaystyle f(K)}$ is closed and bounded for any compact set ${\displaystyle K}$, which in turn implies that ${\displaystyle f}$ attains its supremum and infimum on any (nonempty) compact set ${\displaystyle K}$. 따라서 극단값 정리의 일반화는 다음과 같다.^[2]

정리. 만약 $(\displaystyle K}$ 콤팩트한 세트와 ${\displaystyle f:K\to \mathb {R} }$ 그러면 연속함수다. $(\displaystyle f}$ 경계되고 존재한다. $K}에 있는 p,q.$ 그런 ${\textstyle f(p)=\sup _{x\in K}f(x)}$ 그리고 ${\textstyle f(q)=\inf _{x\in K}f(x)}$.

좀 더 일반적으로, 이것은 상위 반비례함수에도 적용된다. (콤팩트 스페이스# 참조)함수 및 콤팩트 공간).

이론들을 증명하는 것

상한과 $최대값$인 f ${\displaystyle f}$에 대한 증거를 살펴본다$.$ 이러한 결과를 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -f}$ 함수에 적용함으로써 $하한값$의 존재와$$f {\$displaystyle f}$ 최소값의 결과가 뒤따른다$$$.$ 또한 증명에 포함된 모든 것은 실제 숫자의 맥락 안에서 수행된다는 점에 유의하십시오.

우리는 먼저 한계성 정리를 증명하는데, 이것은 극한 가치 정리의 증명에서 한 걸음이다. 극단값 정리의 입증에 수반되는 기본적인 단계는 다음과 같다.

1. 경계성 정리를 증명한다.
2. 이미지가 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 우월성으로 수렴되도록 시퀀스를 찾으십시오$.$
3. 도메인의 한 지점으로 수렴되는 하위 항목이 존재함을 표시하십시오.
4. 연속성을 사용하여 연속성의 이미지가 우월성으로 수렴되는지 확인하십시오.

경계 정리 증명

문 ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)}$이$({\displaystyle }$가) [${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에 연속되어 있으면$$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에 경계로 지정된다$$.

함수 f{\displaystyle f}위의 간격[a, b]{\displaystyle[a,b]}과 접해지 않다. 그리고, 모든 자연수 n{n\displaystyle} 위한 x의 n∈[a, b]{\displaystyle x_{n}\in[a,b]}가 f()n)을이 존재한다;n{\displaystyle f(x_{n})>, n}가정해 보자.이것은 sequenc을 정의합니다e${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$ [${\displaystyle a,}$ $]$ {\$displaystyle [a,b]}}$이(가) 경계가 되어 있기 때문에 볼자노–Weierstrass theorem implies that there exists a convergent subsequence ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ of ${\displaystyle ({x_{n}})}$. Denote its limit by ${\displaystyle x}$. As ${\displaystyle [a,b]}$ is closed, it contains ${\displaystyle x}$$$. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은$($는) $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle x}$에서 연속이므로$$ $($는 실제 숫자 $f{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle f(x)}($$f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle f$$}$이(가$)$ $x$에서 순차적으로 연속되므로$)$로 수렴한다는 것을$$ 알고 있다.$$$$ 그러나 ( ) > n k{\$displaystyle$ f$($$x_{n}_{k$$}})>n_$${$$k}\geq$ k$}$은$($는${\displaystyle )}$$$${\displaystyle {모든{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ {\$displaystyle$ k$}$에 대해$$ +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyty +\ft},$모순을 의미한다. ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은$({\displaystyle }$는) [${\displaystyle a,}$ b ] ${\displaystyle [a,b]}$ .$$$◻{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Box }$에서 위에서 경계된다$$.

대체증거

문 ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)}$이$({\displaystyle }$가) [${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에 연속되어 있으면$$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에 경계로 지정된다$$.

Proof Consider the set ${\displaystyle B}$ of points ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle [a,b]}$ such that ${\displaystyle f(x)}$ is bounded on ${\displaystyle [a,p]}$. We note that ${\displaystyle a}$ is one such point, for ${\displaystyle f(x)}$ is boundef(를){\displaystyle f(를)}값이 D[는]에{\displaystyle[a,a]}. e가입니다.;그 다음은{\displaystyle}과 e{\displaystyle e}사이의 모든점을 B{B\displaystyle}에 속하는 다른 말로 B{B\displaystyle}은 간격을 닫는{\displaystyle e>.}은 다른 관점,..d에서 나는$ts{\displaystyle }$ 왼쪽 끝에 ${\displaystyle$ a$\}.$

이제{\displaystyle f}는{\displaystyle}오른쪽에 연속적입니다에 δ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}가 f())− f(를)<>[는+δ]{\displaystyle[a,a+\delta]}의 모든){\displaystyle)}1{\displaystyle f())-f(를)<1}. 따라서 f{\dis다면.playstyle f}$$ ${\displaystyle 이}$ 모든 지점이 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B$}에 속하도록$$ [${\displaystyle }$a${\displaystyle }$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle ]}${\$displaystyle [a,a+\delta ]$의 간격에$$ ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle f(a)-1$및$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ()}$ +${\displaystyle 1}$ ${\displaystystystyle f(a)+1}$로 경계된다$.$

지금까지 $우리$는 B ${\displaystyle B}$이(가) 0이 아닌 길이의 간격이며$$, 왼쪽 끝에서 ${\displaystyle a}$에 의해 닫힌다는 것을 알고 있다$.$

Next, ${\displaystyle B}$ is bounded above by ${\displaystyle b}$. Hence the set ${\displaystyle B}$ has a supremum in ${\displaystyle [a,b]}$ ; let us call it ${\displaystyle s}$. From the non-zero length of ${\displaystyle B}$ we can deduce that ${\displaystyle s>a}$.

Suppose의<>b{\displaystyle s<, b}. 이제{\displaystyle f}s{s\displaystyle}에서,에 δ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}가 f())f(s)<>−,[s− δ으면+δ]의 모든){\displaystyle)}1{\displaystyle f())-f(s)<1}{\displays의 끊임 없는 경우tyle는 경우에는 s-\delta ,s+$f$ ${\displaystyle f}$이(가) 이 간격에 제한되도록$$ $\cHB ]}$ ${\displaystyle \mathrm{그러나}}$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s},$ e {\$displaystyle e}$에 속하는 점이 $존재$한다는 것은 s$$ ${\displaystyle b$${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle e\mathrm{}}$ ${\displaystyle s-\delta /2}$보다 큰 것으로서$,{\displaystyle }$${\displaystyle }$f$${\$displaystyf$$}$이 [${\displaystyle a}$$,e]$와 겹치는 $[{\displaystyle a}$, e$]$에 경계로 $나타난다$$.$$-$${\displaystyle \Delta }$, s +${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$[${\displaystyle \mathrm{s-}}$$\delta ,s+\delta ]}$ $그래서$ f {\$displaystyle f}$이(가) [, s +$Δ$ [a,$s+\delta ]}$에 한정되어$$ 있다$.$ 그러나 $이것$은 s$${\$displaystystystystystystysty}$의 우월성과 모순된다$.$

그러므로 우리는). 이제{\displaystyle f}s{s\displaystyle}을 왼쪽 방향에서 연속은 조의에 δ 을이 존재한다;sb{\displaystyle s=b}이 있어야 한다 0{\displaystyle \delta>0}가 f())− f(s)<1{\displaystyle f())-f(s)<1}에 대한 모든){\displaystyle)}에-LSB- s− δ.s]{\dis$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 이 간격에 제한되도록$$ $플레이$$$스타일 [$s-\displaystyle f}.$ ${\displaystyle \mathrm{그러나}}$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s},$ e {\$displaystyle e}$에 속하는 점이 $존재$한다는 것은 s$$ ${\displaystyle b$${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle e\mathrm{}}$ ${\displaystyle s-\delta /2}$보다 큰 것으로서$,{\displaystyle }$${\displaystyle }$f$${\$displaystyf$$}$이 [${\displaystyle a}$$,e]$와 겹치는 $[{\displaystyle a}$, e$]$에 경계로 $나타난다$$.$-${\displaystyle \Delta }$, ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [s-\displaystyle ,s$$]}$을(를$$) ${\displaystyle \mathrm{사용}}$하여$$f {\$displaystyle$ [a,s$]}$에 대한 경계선을${\displaystyle }$[ ,${\displaystyle s}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystystyle [a,$s]}.$$∎

극값 정리 증명

경계성 정리에 의해 f는 위에서 경계되므로, 실제 숫자의 데데킨드-완전성에 의해 f의 최소 상한(상위) M이 존재한다. [a,b]에서 M = f(d)와 같은 점 d를 찾을 필요가 있다. n을 자연수가 되게 하라. M은 최소 상한이기 때문에 M – 1/n은 f의 상한이 아니다. 따라서 [a,b]에는 d가_n 존재하기 때문에 M – 1/n < f(d_n)>가 있다. 이것은 시퀀스 {d_n}을(를) 정의한다. M은 f의 상한이기 때문에, 우리는 모든 n에 대해 M – 1/n < f(d_n) ≤ M을 가지고 있다. 따라서 {f(d_n)} 시퀀스가 M으로 수렴된다.

더 볼자노-위어스트라스 정리는 일부 d로 수렴되는 {${\displaystyle {{dn}_{}}_{}}$ k ${\$이(가) 존재하며, [a,b]가 닫히면서 d가 [a,b]에 있음을 알려준다. f는 d에서 연속이므로 {f(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {n_{}}_{}}$ k ${\$ 시퀀스가 f(d)로 수렴된다. 그러나 {f(d_nk)}은(는) M으로 수렴되는 {f_n(d)}의 하위 집합이므로 M = f(d)이다. 따라서 d. ∎에서 우월적 M을 획득한다.

극단값 정리에 대한 대안적 증거

일부 x ∈ [a,b]}에 대한 {y ∈ R : y = f(x) 집합은 경계 집합이다. 따라서 최소 상한은 실제 숫자의 최소 상한 속성에 의해 존재한다. [a, b]에서 M = sup(f(x))를 둡시다. [a, b]에 점 x가 없어서 f(x) = M, [a, b]에 점 x가 없으면 f(x) < M을 사용한다. 따라서 1/(M - f(x))는 [a, b]에 연속된다.

그러나 모든 양수 ε에는 M이 가장 상한이 적기 때문에 M - f(x) < ε과 같은 x가 항상 존재한다. 따라서 1/(M - f(x)) > 1/10, 즉 1/(M - f(x))은 경계가 없다는 뜻이다. [a, b]의 모든 연속 함수는 경계되므로, 이는 1/(M - f(x)가 [a, b]에 연속되었다는 결론과 모순된다. 따라서 [a, b]에 f(x) = M. ∎과 같은 점 x가 있어야 한다.

하이퍼리얼을 사용한 증거

비표준 미적분학의 설정에서 N을 무한초임계자가 되게 한다. [0, 1] 간격은 자연적으로 초현실적으로 확장된다. 파티션 점 x = i /N을 0에서 N까지의 "실행"으로_i 하여 동일한 최소 길이 1/N의 N 하위절차로 파티션을 고려한다. 함수 ƒ은 또한 자연적으로 0과 1 사이의 하이퍼레알에 정의된 함수 to*로 확장된다. 표준 설정(N이 유한한 경우)에서 최대값이 ƒ인 점은 유도에 의해 N+1 지점 x 중에서_i 항상 선택할 수 있다. 따라서 전송원리에 의해 모든 i = 0₀, ..., N에 대해$$ 0 ≤ i ≤ N 및 f${\displaystyle {}^{}{\ast }^{}}$ ( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{i\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}{{}_{}}_{}}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle {}_{}}$ i$){\displaystyle f^{*}(x_{0})\geq f^{*}(x_{i}}){{$i}}}}}}}을(으)로 하는 하이퍼인테거점수를₀ 고려한다.

${\displaystyle c=\mathbf {st}(x_{i_{0})}$

여기서 st는 표준 부품 기능이다. An arbitrary real point x lies in a suitable sub-interval of the partition, namely ${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$, so that st(x_i) = x. Applying st to the inequality ${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$, we obtain ${\displaystyle \mathbf{s}\mathbf{t}(f^{\ast }(}$${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {i{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$)${\displaystyle \ge }$ s ${\displaystyle \mathbf{t}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {st}(f^{*})(x_{0})\geq \mathbf {st}(f^{*})(x_{i$ continuity의 연속성에 의해 우리는 다음과 같은 정보를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \mathbf{s}}$ ${\displaystyle \mathbf{t}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( x ${\displaystyle {i{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( s ${\displaystyle \mathbf{t}}$( x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle c}$) ${\displaystyle \mathbf {st}(f^{*}(x_{i_{0})=f(c$

따라서 모든 실제 x에 대해 ≥(c) x(x)는 c가 최대 ƒ임을 증명한다.^[3]

첫 번째 원칙으로부터의 증거

문 ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)}$이$({\displaystyle }$가) [${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에 연속되어 있으면$$ ${\displaystyle [,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에서 우월감을 획득한다$$.

Proof By the Boundedness Theorem, ${\displaystyle f(x)}$ is bounded above on ${\displaystyle [a,b]}$ and by the completeness property of the real numbers has a supremum in ${\displaystyle [a,b]}$. Let us call it ${\displaystyle M}$, or ${\displaystyle M[a,b]}$. It is clear that the restriction of ${\displaystyle f}$ to the subinterval ${\displaystyle [a,x]}$ where ${\displaystyle x\leq b}$ has a supremum ${\displaystyle M[a,x]}$ which is less than or equal to ${\displaystyle M}$, and that ${\displaystyle M[a,x]}$ increases from ${\displaystyle }$$f{\displaystyle }$${\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(a)}$에서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$까지 x ${\displaystyle x}$이(가) ${\displaystyle a}$에서 b ${\displaystyle b}$로 ${\displaystyle \mathrm{증가함}}$에 따라$.$

$f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle a)}$= ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f(a)=$인 경우$M}$ 그러면$$ 우리는 끝이다. Suppose therefore that ${\displaystyle f(a)<M}$ and let ${\displaystyle d=M-f(a)}$. Consider the set ${\displaystyle L}$ of points ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle [a,b]}$ such that ${\displaystyle M[a,x]<$$M}$

Clearly ${\displaystyle a\in L}$ ; moreover if ${\displaystyle e>a}$ is another point in ${\displaystyle L}$ then all points between ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle e}$ also belong to ${\displaystyle L}$ because ${\displaystyle M[a,x]}$ is monotonic increasing. 따라서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 비어 있지 않은 간격이며$$, 왼쪽 끝에서$${\$displaystyle a}$에 의해 닫힌다$.$

이제{\displaystyle f}는{\displaystyle}오른쪽에 연속적입니다에 δ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}가 f())− f(를)<>d/[는+δ]{\displaystyle[a,a+\delta]}의 모든){\displaystyle)}2{\displaystyle f())-f(를)<>d/2}. 따라서 f.다면{\display$스타일 f}$은$($는) $이{\displaystyle }$ 모든 점이 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에 속하도록 [${\displaystyle \mathrm{a<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; M-d/2\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/af4954f6be70830e1c0dad3f6003eb38d9f3fa6e"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.823ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="477">}}$$,a+\delta ]$ ${\displaystyle \mathrm{간격}}$의 M${\displaystyle }$- ${\displaystyle d\mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle M-d/2}$보다 작다$$$.$

다음, L{L\displaystyle}위에 b{\displaystyle b}에 의해:우리에게 그것은 모니{s\displaystyle}전화 주십시오. 우리는 그것 을 위에서 참조하십시오;{\displaystyle s>.}자[a, b]{\displaystyle[a,b]}에 그러므로 상한 가지고 있다. 우리는 세배 였어. 찾고 있다는 s{s\displaystyle} 있는 지점을 보여 줄 것을 다스릴 수 있는p$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(${\displaystyle 가}$) 그 우월성을 획득하는$$ 연고 또는 다시 말하면 $f{\displaystyle }$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f(s)=M$

반대의 경우를 가정해 보자. ( )< ${\displaystyle f<M$ $d{\displaystyle }$= ${\displaystyle M}$- ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle s}$ ) ${\displaystyle d=$M-f$}을($를) 두 가지 경우를$$ 고려한다.

s(1)<>b{\displaystyle s<, b}. f{\displaystyle f}s에서{s\displaystyle}연속적입니다, δ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}가 f())− f(s)<>d/모든){\displaystyle)}에[s− δ으면+δ]에서 2{\displaystyle f())-f(s)<>d/2}{\displa.ystyle-LSB- s-\delta,$s+\delta ]}$. This means that ${\displaystyle f}$ is less than ${\displaystyle M-d/2}$ on the interval ${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$. But it follows from the supremacy of ${\displaystyle s}$ that there exists a point, ${\displaystyle e}$ say, belonging to ${\di$$s{\displaystyle }$ -${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle s-\delta }$보다 큰$$ $splaystyle L$$\}.$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L$},$ [ $],$ M[\$displaystyle$M[a,e$]$의 정의에 의해.$M}$. Let ${\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]}$ then for all ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle [a,e]}$, ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$. Taking ${\displaystyle d_{2}}$ to be the minimum of ${\displaystyle d/2}$ and ${\d$$isplaystyle d_{1$ [${\displaystyle a}$ ,$s$ +${\displaystyle \Delta }$ $] {\displaystyle$ $x}$에 있는 모든 $x$에 대해$$ $f{\displaystyle }$($$${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$≤${\displaystyle M}$ - ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $M-d_{$2}}$개$가 있다$.$

따라서 [ ,s + < ${\displaystyle M[a,s+\delta ]<M}$ $s{\displaystyle }$+${\displaystyle }$Δ ${\displaystyle \Delta }$L {\$displaystyle$s+\$delta \in$ L$\}.$ $그러나{\displaystyle }$ 이는$$s {\$displaysty$s}의 우월성과 모순되며$$ 증거를 완성한다.

(2)s)b{\displaystyle s=b}. f{\displaystyle f}s에서 왼쪽{s\displaystyle}에 연속적입니다, δ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}가 f())− f(s)<>d/모든){\displaystyle)}에[s− δ, s]에서 2{\displaystyle f())-f(s)<>d/2}{\disp.laystyle[s-$\delta ,s]}$. This means that ${\displaystyle f}$ is less than ${\displaystyle M-d/2}$ on the interval ${\displaystyle [s-\delta ,s]}$. But it follows from the supremacy of ${\displaystyle s}$ that there exists a point, ${\displaystyle e}$ say, belonging to ${\displaystyle L$$s$ -${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle s-\$$delta$ $}$보다 큰 $}.$ $L{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle L$$\},$ $[,$의 정의에 따르면.$M}$. Let ${\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]}$ then for all ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle [a,e]}$, ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$. Taking ${\displaystyle d_{2}}$ to be the minimum of ${\displaystyle d/2}$ and ${\d$$isplaystyle d_{1$ 우리는 [${\displaystyle a}$, $]$ {\$displaystyle [a,b]}$에 $있는{\displaystyle }$ 모든$$x {\$displaystyle$ x$}$에 대해${\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$- ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}을 가지고 $있다{\displaystyle }$. 이것은 M ${\displaystystyleanyleym$ M$}$의 우월성과 모순된다$.$ ∎

반연속 함수로 확장

함수 f의 연속성이 반연속성으로 약화되는 경우, 확장된 실수 라인에서 각각 경계 정리와 극값 정리의 해당 반과 값 -영역 또는 +영역 값을 가능한 값으로 허용할 수 있다. 더 정확히 말하자면:

정리: 함수 f : [a,b] → [–floss,ii)가 상위 반연속인 경우, 이는 다음을 의미한다.

${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)}$

[a,b]의 모든 x에 대해 f는 위에서 경계되고 그 우월성을 획득한다.

증명: [a,b]의 모든 x에 대해 f(x) = –messional이면, 우월감 또한 –mession이며, 정리도 참이다. 다른 모든 경우에 있어서 그 증명은 위에서 주어진 증명에 대한 약간의 수정이다. 경계정리의 증명에서 f at x에서 f의 상위 반연속성은 부분 {f(x_nk)}의 상한이 f(x) < ∞에 의해 상위에 경계되어 있다는 것을 의미할 뿐, 그 모순을 얻기에 충분하다. 극한값 정리의 증명에서 d에서 f의 상위 반연속성은 {f(d_nk)}의 상위 한계치가 f(d)에 의해 상단으로 제한된다는 것을 의미하지만, 이는 f(d) = M. ∎으로 결론짓기에 충분하다.

이 결과를 -f에 적용하는 것은 다음을 증명한다.

정리: 함수 f : [a,b] → (–changes,properties]가 하위 반연속인 경우, 이는 다음을 의미한다.

${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)}$

[a,b]의 모든 x에 대해 f는 아래 경계로 되어 있고 그 최소치를 달성한다.

실제 값 함수는 상위의 반연속성일 뿐 아니라 하위의 반연속성이며, 통상적인 의미에서는 연속성이 있는 경우에만 해당된다. 따라서 이 두 가지 이론은 경계성 정리와 극단값 정리를 암시한다.

참조

추가 읽기

• Adams, Robert A. (1995). Calculus : A Complete Course. Reading: Addison-Wesley. pp. 706–707. ISBN 0-201-82823-5.
• Protter, M. H.; Morrey, C. B. (1977). "The Boundedness and Extreme–Value Theorems". A First Course in Real Analysis. New York: Springer. pp. 71–73. ISBN 0-387-90215-5.

외부 링크

• 극한값 정리에 대한 증거
• Jacqueline Wandzura가 Wolfram 데모 프로젝트인 Stephen Wandzura의 추가 기여를 한 Extreme Value Organization.
• Weisstein, Eric W. "Extreme Value Theorem". MathWorld.
• Mizar 시스템 증명: http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15