극값정리
Extreme value theorem![]() |
미적분학에서 극단값 정리에서는 실제 값 f 이(가) 닫힌 간격 에서 연속적인 경우 각각 한 번 이상 최대값과 최소값을 얻어야 한다고 명시하고 있다. 즉 [ , 에는 다음과 같은 c 과 이(가) 있다.
극단값 정리는 관련 한계성 정리보다 더 구체적이며, 단지 닫힌 간격 의 f이(가) 그 간격에 경계를 두고 있다고 명시한다. 즉, 이러한 간격에는 실제 숫자 과 이 있다.다음 날짜:
- ( x) [ a ,
그렇다고 해서 과 m {\ m이가) 구간에서 반드시 의 최대값과 최소값이라고 말하는 것은 아니며 극단값 정리가 규정하는 값도 그러해야 한다.
극값 정리는 롤의 정리를 증명하는 데 사용된다. Karl Weierstrass에 의한 공식에서, 이 정리는 비어 있지 않은 콤팩트 공간으로부터 실수의 부분집합에 이르는 연속적인 함수가 최대와 최소에 도달한다고 기술한다.
역사
극단적 가치 정리는 원래 1830년대에 베르나르 볼자노에 의해 작품 기능 이론에서 증명되었지만, 그 작품은 1930년까지 미발표 상태로 남아 있었다. 볼자노의 증거는 닫힌 간격의 연속 함수가 경계로 되어 있음을 보여준 다음 함수가 최대값과 최소값을 얻었음을 보여주는 것으로 구성되었다. 두 증거 모두 오늘날 볼자노-이라 알려진 것을 포함했다.위어스트라스 정리.[1] 그 결과는 1860년에 위어스트라스에 의해서도 발견되었다.[citation needed]
정리가 적용되지 않는 함수
다음 예는 왜 기능영역을 폐쇄하고 경계해야 정리가 적용되는지를 보여준다. 각각 주어진 간격으로 최대치를 달성하지 못한다.
- ( )= [, ) 에 대해 된 x 은(는) 위와 제한되지 않는다.
- ( )= + x 에 정의된[ ) 은 (는) 경계되지만 최소 1{\에 도달하지 않는다
- ( )= x 위에 정의된( 은(는) 위와 제한되지 않는다.
- ( x)= - 위에 정의된 ( 은 경계되지만 최소 상한 1에는 도달하지 않는다
마지막 두 예에서 ( )= 0 을(를) 정의하면 두 이론 모두[ , 에서 연속성을 필요로 한다는 것을 알 수 있다
메트릭 및 위상학적 공간에 대한 일반화
실제 라인 에서 메트릭 공간 및 일반 토폴로지 공간으로 이동하는 경우 닫힌 경계 구간의 적절한 일반화는 소형 집합이다. A set is said to be compact if it has the following property: from every collection of open sets such that , a finite subcollection 는} i = }과(와) 같이 선택할 수 있다. 이것은 보통 " 의 모든 개방형 커버는 유한 서브커버를 가지고 있다"라고 간단히 말한다. 하이네-보렐 정리는 실제 라인의 부분집합은 닫힘과 경계 둘 다인 경우에만 압축적이라고 주장한다. 이에 따라, 모든 닫히고 경계된 집합이 압축된 경우 미터법 공간에는 하이네-보렐 속성이 있다.
연속함수의 개념도 마찬가지로 일반화될 수 있다. 위상학적 공간 , V W 함수 : → 은(는) 모든 오픈 세트 W W - ) V f이(가) 열려 있으면 연속적이라고 한다. 이러한 정의에 따라, 연속적인 기능은 소형성을 보존하는 것으로 보여질 수 있다.[2]
정리. , 이 (가) 위상학적 공간인 : → W 은 (는) 연속함수로, V K\은 (는) 소형이고, f( K ) 도 소형이다.
In particular, if , then this theorem implies that is closed and bounded for any compact set , which in turn implies that attains its supremum and infimum on any (nonempty) compact set . 따라서 극단값 정리의 일반화는 다음과 같다.[2]
정리. 만약 콤팩트한 세트와 그러면 연속함수다. 경계되고 존재한다. 그런 그리고 .
좀 더 일반적으로, 이것은 상위 반비례함수에도 적용된다. (콤팩트 스페이스# 참조)함수 및 콤팩트 공간).
이론들을 증명하는 것
상한과 인 f 에 대한 증거를 살펴본다 이러한 결과를 함수에 적용함으로써 의 존재와f {\ 최소값의 결과가 뒤따른다 또한 증명에 포함된 모든 것은 실제 숫자의 맥락 안에서 수행된다는 점에 유의하십시오.
우리는 먼저 한계성 정리를 증명하는데, 이것은 극한 가치 정리의 증명에서 한 걸음이다. 극단값 정리의 입증에 수반되는 기본적인 단계는 다음과 같다.
- 경계성 정리를 증명한다.
- 이미지가 의 우월성으로 수렴되도록 시퀀스를 찾으십시오
- 도메인의 한 지점으로 수렴되는 하위 항목이 존재함을 표시하십시오.
- 연속성을 사용하여 연속성의 이미지가 우월성으로 수렴되는지 확인하십시오.
경계 정리 증명
문 ( x) 이가) [, 에 연속되어 있으면[ , 에 경계로 지정된다.
함수 f{\displaystyle f}위의 간격[a, b]{\displaystyle[a,b]}과 접해지 않다. 그리고, 모든 자연수 n{n\displaystyle} 위한 x의 n∈[a, b]{\displaystyle x_{n}\in[a,b]}가 f()n)을이 존재한다;n{\displaystyle f(x_{n})>, n}가정해 보자.이것은 sequenc을 정의합니다e( ) N [ {\이 (가) 경계가 되어 있기 때문에 볼자노–Weierstrass theorem implies that there exists a convergent subsequence of . Denote its limit by . As is closed, it contains . 은는) 에서 연속이므로 는 실제 숫자 ) 이 (가 에서 순차적으로 연속되므로로 수렴한다는 것을 알고 있다. 그러나 ( ) > n k{\ f k은는 {\ k에 대해 + 모순을 의미한다. 은는) [ b ] . 에서 위에서 경계된다.
대체증거
문 ( x) 이가) [, 에 연속되어 있으면[ , 에 경계로 지정된다.
Proof Consider the set of points in such that is bounded on . We note that is one such point, for is boundef(를){\displaystyle f(를)}값이 D[는]에{\displaystyle[a,a]}. e가입니다.;그 다음은{\displaystyle}과 e{\displaystyle e}사이의 모든점을 B{B\displaystyle}에 속하는 다른 말로 B{B\displaystyle}은 간격을 닫는{\displaystyle e>.}은 다른 관점,..d에서 나는 왼쪽 끝에 a
이제{\displaystyle f}는{\displaystyle}오른쪽에 연속적입니다에 δ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}가 f())− f(를)<>[는+δ]{\displaystyle[a,a+\delta]}의 모든){\displaystyle)}1{\displaystyle f())-f(를)<1}. 따라서 f{\dis다면.playstyle f} 모든 지점이 }에 속하도록 [a,+ {\의 간격에 f()- 1 및 + 로 경계된다
지금까지 는 B 이(가) 0이 아닌 길이의 간격이며, 왼쪽 끝에서 에 의해 닫힌다는 것을 알고 있다
Next, is bounded above by . Hence the set has a supremum in ; let us call it . From the non-zero length of we can deduce that .
Suppose의<>b{\displaystyle s<, b}. 이제{\displaystyle f}s{s\displaystyle}에서,에 δ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}가 f())f(s)<>−,[s− δ으면+δ]의 모든){\displaystyle)}1{\displaystyle f())-f(s)<1}{\displays의 끊임 없는 경우tyle는 경우에는 s-\delta ,s+ 이(가) 이 간격에 제한되도록 e {\에 속하는 점이 한다는 것은 s 보다 큰 것으로서f{\이 [와 겹치는 , e에 경계로 , s + [ f {\이(가) [, s + [a,에 한정되어 있다 그러나 은 s{\의 우월성과 모순된다
그러므로 우리는). 이제{\displaystyle f}s{s\displaystyle}을 왼쪽 방향에서 연속은 조의에 δ 을이 존재한다;sb{\displaystyle s=b}이 있어야 한다 0{\displaystyle \delta>0}가 f())− f(s)<1{\displaystyle f())-f(s)<1}에 대한 모든){\displaystyle)}에-LSB- s− δ.s]{\dis 이(가) 이 간격에 제한되도록 스타일 [ e {\에 속하는 점이 한다는 것은 s 보다 큰 것으로서f{\이 [와 겹치는 , e에 경계로 -, 을(를) 하여f {\ [a,s에 대한 경계선을[ , s]}.∎
극값 정리 증명
경계성 정리에 의해 f는 위에서 경계되므로, 실제 숫자의 데데킨드-완전성에 의해 f의 최소 상한(상위) M이 존재한다. [a,b]에서 M = f(d)와 같은 점 d를 찾을 필요가 있다. n을 자연수가 되게 하라. M은 최소 상한이기 때문에 M – 1/n은 f의 상한이 아니다. 따라서 [a,b]에는 d가n 존재하기 때문에 M – 1/n < f(dn)>가 있다. 이것은 시퀀스 {dn}을(를) 정의한다. M은 f의 상한이기 때문에, 우리는 모든 n에 대해 M – 1/n < f(dn) ≤ M을 가지고 있다. 따라서 {f(dn)} 시퀀스가 M으로 수렴된다.
더 볼자노-위어스트라스 정리는 일부 d로 수렴되는 { k 이(가) 존재하며, [a,b]가 닫히면서 d가 [a,b]에 있음을 알려준다. f는 d에서 연속이므로 {f( k 시퀀스가 f(d)로 수렴된다. 그러나 {f(dnk)}은(는) M으로 수렴되는 {fn(d)}의 하위 집합이므로 M = f(d)이다. 따라서 d. ∎에서 우월적 M을 획득한다.
극단값 정리에 대한 대안적 증거
일부 x ∈ [a,b]}에 대한 {y ∈ R : y = f(x) 집합은 경계 집합이다. 따라서 최소 상한은 실제 숫자의 최소 상한 속성에 의해 존재한다. [a, b]에서 M = sup(f(x))를 둡시다. [a, b]에 점 x가 없어서 f(x) = M, [a, b]에 점 x가 없으면 f(x) < M을 사용한다. 따라서 1/(M - f(x))는 [a, b]에 연속된다.
그러나 모든 양수 ε에는 M이 가장 상한이 적기 때문에 M - f(x) < ε과 같은 x가 항상 존재한다. 따라서 1/(M - f(x)) > 1/10, 즉 1/(M - f(x))은 경계가 없다는 뜻이다. [a, b]의 모든 연속 함수는 경계되므로, 이는 1/(M - f(x)가 [a, b]에 연속되었다는 결론과 모순된다. 따라서 [a, b]에 f(x) = M. ∎과 같은 점 x가 있어야 한다.
하이퍼리얼을 사용한 증거
비표준 미적분학의 설정에서 N을 무한초임계자가 되게 한다. [0, 1] 간격은 자연적으로 초현실적으로 확장된다. 파티션 점 x = i /N을 0에서 N까지의 "실행"으로i 하여 동일한 최소 길이 1/N의 N 하위절차로 파티션을 고려한다. 함수 ƒ은 또한 자연적으로 0과 1 사이의 하이퍼레알에 정의된 함수 to*로 확장된다. 표준 설정(N이 유한한 경우)에서 최대값이 ƒ인 점은 유도에 의해 N+1 지점 x 중에서i 항상 선택할 수 있다. 따라서 전송원리에 의해 모든 i = 00, ..., N에 대해 0 ≤ i ≤ N 및 f ( ) ( ii}}}}}}}을(으)로 하는 하이퍼인테거점수를0 고려한다.
여기서 st는 표준 부품 기능이다. An arbitrary real point x lies in a suitable sub-interval of the partition, namely , so that st(xi) = x. Applying st to the inequality , we obtain ) s ( ( i)) continuity의 연속성에 의해 우리는 다음과 같은 정보를 얻을 수 있다.
- ( ( x )= ( s ( x )= f( )
따라서 모든 실제 x에 대해 ≥(c) x(x)는 c가 최대 ƒ임을 증명한다.[3]
첫 번째 원칙으로부터의 증거
문 ( x) 이가) [, 에 연속되어 있으면 에서 우월감을 획득한다.
Proof By the Boundedness Theorem, is bounded above on and by the completeness property of the real numbers has a supremum in . Let us call it , or . It is clear that the restriction of to the subinterval where has a supremum which is less than or equal to , and that increases from () 에서 까지 x 이 (가) 에서 b 로 에 따라
= 인 경우 그러면 우리는 끝이다. Suppose therefore that and let . Consider the set of points in such that
Clearly ; moreover if is another point in then all points between and also belong to because is monotonic increasing. 따라서 은(는) 비어 있지 않은 간격이며, 왼쪽 끝에서{\에 의해 닫힌다
이제{\displaystyle f}는{\displaystyle}오른쪽에 연속적입니다에 δ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}가 f())− f(를)<>d/[는+δ]{\displaystyle[a,a+\delta]}의 모든){\displaystyle)}2{\displaystyle f())-f(를)<>d/2}. 따라서 f.다면{\display은는) 모든 점이 에 속하도록 [ 의 M- / 2 보다 작다
다음, L{L\displaystyle}위에 b{\displaystyle b}에 의해:우리에게 그것은 모니{s\displaystyle}전화 주십시오. 우리는 그것 을 위에서 참조하십시오;{\displaystyle s>.}자[a, b]{\displaystyle[a,b]}에 그러므로 상한 가지고 있다. 우리는 세배 였어. 찾고 있다는 s{s\displaystyle} 있는 지점을 보여 줄 것을 다스릴 수 있는p 이() 그 우월성을 획득하는 연고 또는 다시 말하면 ( s)=
반대의 경우를 가정해 보자. ( )< = - ( ) M-f를) 두 가지 경우를 고려한다.
s(1)<>b{\displaystyle s<, b}. f{\displaystyle f}s에서{s\displaystyle}연속적입니다, δ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}가 f())− f(s)<>d/모든){\displaystyle)}에[s− δ으면+δ]에서 2{\displaystyle f())-f(s)<>d/2}{\displa.ystyle-LSB- s-\delta,. This means that is less than on the interval . But it follows from the supremacy of that there exists a point, say, belonging to - 보다 큰 L [ M[\M[a,e의 정의에 의해.. Let then for all in , . Taking to be the minimum of and [ , + 에 있는 모든 에 대해 ()≤ - 2}}가 있다
따라서 [ ,s + < +Δ L {\s+\ L 이는s {\s}의 우월성과 모순되며 증거를 완성한다.
(2)s)b{\displaystyle s=b}. f{\displaystyle f}s에서 왼쪽{s\displaystyle}에 연속적입니다, δ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}가 f())− f(s)<>d/모든){\displaystyle)}에[s− δ, s]에서 2{\displaystyle f())-f(s)<>d/2}{\disp.laystyle[s-. This means that is less than on the interval . But it follows from the supremacy of that there exists a point, say, belonging to - 보다 큰 의 정의에 따르면.. Let then for all in , . Taking to be the minimum of and 우리는 [, {\에 모든x {\ x에 대해f ( - }}을 가지고 . 이것은 M M의 우월성과 모순된다 ∎
반연속 함수로 확장
함수 f의 연속성이 반연속성으로 약화되는 경우, 확장된 실수 라인에서 각각 경계 정리와 극값 정리의 해당 반과 값 -영역 또는 +영역 값을 가능한 값으로 허용할 수 있다. 더 정확히 말하자면:
정리: 함수 f : [a,b] → [–floss,ii)가 상위 반연속인 경우, 이는 다음을 의미한다.
[a,b]의 모든 x에 대해 f는 위에서 경계되고 그 우월성을 획득한다.
증명: [a,b]의 모든 x에 대해 f(x) = –messional이면, 우월감 또한 –mession이며, 정리도 참이다. 다른 모든 경우에 있어서 그 증명은 위에서 주어진 증명에 대한 약간의 수정이다. 경계정리의 증명에서 f at x에서 f의 상위 반연속성은 부분 {f(xnk)}의 상한이 f(x) < ∞에 의해 상위에 경계되어 있다는 것을 의미할 뿐, 그 모순을 얻기에 충분하다. 극한값 정리의 증명에서 d에서 f의 상위 반연속성은 {f(dnk)}의 상위 한계치가 f(d)에 의해 상단으로 제한된다는 것을 의미하지만, 이는 f(d) = M. ∎으로 결론짓기에 충분하다.
이 결과를 -f에 적용하는 것은 다음을 증명한다.
정리: 함수 f : [a,b] → (–changes,properties]가 하위 반연속인 경우, 이는 다음을 의미한다.
[a,b]의 모든 x에 대해 f는 아래 경계로 되어 있고 그 최소치를 달성한다.
실제 값 함수는 상위의 반연속성일 뿐 아니라 하위의 반연속성이며, 통상적인 의미에서는 연속성이 있는 경우에만 해당된다. 따라서 이 두 가지 이론은 경계성 정리와 극단값 정리를 암시한다.
참조
- ^ Rusnock, Paul; Kerr-Lawson, Angus (2005). "Bolzano and Uniform Continuity". Historia Mathematica. 32 (3): 303–311. doi:10.1016/j.hm.2004.11.003.
- ^ a b Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw Hill. pp. 89–90. ISBN 0-07-054235-X.
- ^ Keisler, H. Jerome (1986). Elementary Calculus : An Infinitesimal Approach (PDF). Boston: Prindle, Weber & Schmidt. p. 164. ISBN 0-87150-911-3.
추가 읽기
- Adams, Robert A. (1995). Calculus : A Complete Course. Reading: Addison-Wesley. pp. 706–707. ISBN 0-201-82823-5.
- Protter, M. H.; Morrey, C. B. (1977). "The Boundedness and Extreme–Value Theorems". A First Course in Real Analysis. New York: Springer. pp. 71–73. ISBN 0-387-90215-5.
외부 링크
- 극한값 정리에 대한 증거
- Jacqueline Wandzura가 Wolfram 데모 프로젝트인 Stephen Wandzura의 추가 기여를 한 Extreme Value Organization.
- Weisstein, Eric W. "Extreme Value Theorem". MathWorld.
- Mizar 시스템 증명: http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15