내부 집합론

내부 집합론(IST)은 에드워드 넬슨이 개발한 집합의 수학 이론으로, 에이브러햄 로빈슨이 도입한 비표준 분석의 일부에 대한 자명한 근거를 제공한다.넬슨의 접근법은 실수에 새로운 요소를 추가하는 대신 통사적 풍요로움을 통해 자명한 기초를 수정한다.따라서 이들 공리는 집합의 기존 ZFC 공리에 따라 식별이 불가능하도록 하기 위해 사용할 수 있는 새로운 용어 "표준"을 도입한다.따라서 IST는 ZFC의 농축이다. ZFC의 모든 공리는 모든 고전 술어에 대해 충족되지만, 새로운 단항 술어 "standard"는 세 가지 추가 공리 I, S 및 T를 충족한다.특히, 실수의 집합 내에서 적절한 비표준 요소는 무한소 및 무제한 요소의 속성에 대응하는 속성을 갖는다는 것을 보여줄 수 있다.

넬슨의 공식은 처음에는 무한소 원소를 포함하는 수 체계들의 일관성을 엄격하게 정당화하기 위해 필요했던 메타 수학 논리의 많은 복잡성을 배제함으로써 일반 수학자들이 더 쉽게 접근할 수 있도록 한다.

직관적인 정당성

IST는 아래에서 설명하는 완벽한 형식적 공리 체계를 가지고 있지만, 표준이라는 용어의 의미를 직관적으로 정당화하는 것이 바람직하다.이것은 형식 이론의 일부가 아니라 학생들이 형식주의를 해석하는 데 도움을 줄 수 있는 교육학적 장치이다.정의 가능한 숫자의 개념과 유사한 본질적인 구분은 우리가 지정하고 논의할 수 있는 개념 영역의 미세성과 숫자의 집합의 무한함을 대비시킨다; 유한성을 비교하라.

한 사람이 쓰는 기호의 수는 한정되어 있다.
주어진 페이지의 수학 기호 수는 한정되어 있습니다.
수학자 한 명이 평생 만들 수 있는 수학 페이지 수는 한정되어 있다.
실행 가능한 수학적 정의는 반드시 유한하다.
수학자가 평생 정의할 수 있는 뚜렷한 개체 수는 한정되어 있습니다.
우리 문명의 과정에는 한정된 수의 수학자들만 있을 것이다.
따라서 우리 문명이 주어진 수명 동안 논의할 수 있는 정수는 한정되어 있다.
실제로 그 한계가 무엇인지 알 수 없습니다. 많은 우연한 문화적 요인에 의해 좌우됩니다.
이 한계 자체는 수학적 정밀조사의 영향을 받기 쉽지는 않지만, 정수의 집합은 무한히 계속되는 반면, 그러한 한계가 있다는 것은 수학적 진리이다.

따라서 표준이라는 용어는 직관적으로 "접근 가능한" 정수 중 반드시 유한한 부분에 해당하는 것으로 간주된다.그 주장은 어떤 무한한 물체에도 적용될 수 있다 – 유한한 기호 집합을 사용하여 한정된 시간 내에 특정할 수 있는 요소는 한정되어 있고, 우리가 어떻게 인내하든 간에 우리의 인내와 인내의 한계를 넘어서는 요소는 항상 존재한다.무한 집합 내에서 비표준 요소가 너무 크거나 너무 익명으로 넘쳐난다는 것을 인정해야 합니다.

표준 술어의 원칙

다음의 원칙은 위의 직관적인 동기로부터 따르기 때문에 공식적 공리에서 추론할 수 있어야 한다.현재 우리는 논의의 영역을 정수의 익숙한 집합으로 받아들인다.

새로운 술어 표준을 명시적으로 또는 암묵적으로 사용하지 않는 모든 수학식은 내부 공식입니다.
그렇게 하는 정의는 모두 외부 공식입니다.
내부 공식에 의해 일의로 지정된 숫자는 모두 표준(정의에 따라)입니다.
비표준 번호는 (시공간의 제약으로 인해) 내부 공식으로 고유하게 지정할 수 없는 번호입니다.
비표준적인 숫자는 이해하기 어렵습니다.각 숫자는 너무 커서 10진수 표기법이나 명시적 또는 암묵적 표현으로는 아무리 기발한 표기법이라도 관리할 수 없습니다.생산에서 성공하는 것은 정의상 또 다른 표준 수치일 뿐입니다.
그러나 N의 무한 서브셋에는 (많은) 비표준 정수가 있습니다.
비표준 숫자는 십진수 표현, 소인수 분해 등을 가진 완전히 평범한 숫자입니다.자연수에 적용되는 모든 고전적 정리는 비표준 자연수에 적용된다.우리는 새로운 숫자가 아니라 기존의 숫자를 구별하는 새로운 방법을 만들었다.
게다가, 모든 표준수에 대해 참인 모든 고전적 정리는 모든 자연수에 대해 반드시 참이다.그렇지 않으면 "정리를 만족시키지 못하는 가장 작은 수"라는 공식은 비표준 수를 유일하게 정의하는 내부 공식일 것이다.
"nonstandard"라는 용어는 큰 숫자를 구별하기 위한 논리적으로 일관된 방법입니다.통상적인 용어는 생략됩니다.이러한 잘못된 숫자의 상호 작용은 필연적으로 극히 작은 실수(infinitiate)일 것입니다.IST의 새로운 기사에서는 이러한 단어에 대한 다른 해석과의 혼동을 피하기 위해 해당 단어를 "i-large" 및 "i-small"로 대체한다.
반드시 많은 표준 숫자만 존재하지만, 주의할 필요가 있습니다.이것들을 모아서 결과가 명확하게 정의된 수학 집합이라고는 할 수 없습니다.이것은 형식주의에 의해 지지되지 않을 것이다(직관적인 정당성은 이 세트의 정확한 경계가 시간과 역사에 따라 다르다는 것이다).특히, 가장 큰 표준 수치나 가장 작은 비표준 수치는 말할 수 없습니다.모든 표준 번호를 포함하는 일부 유한 집합에 대해 설명하는 것은 유효하지만, 이 비고전적 공식은 비표준 집합에만 적용될 수 있습니다.

IST의 공식 공리

IST는 이진 술어 기호 θ와 단항 술어 기호 st(x)를 포함하는 언어의 등식을 갖는 1차 논리학의 자명 이론이다.st를 포함하지 않는 공식(즉, 집합론의 통상적인 언어의 공식)을 내부라고 하고, 다른 공식은 외부라고 한다.우리는 약어를 사용한다.

\displaystyle {\mathrm {st}x,\phi(x)&=\forall ^{\mathrm {st}(x)\forall ^{\mathrm {st}x},\phi(x)&\forall x,\operatorname {st}(x)\fi)\end { aligned}}

IST는 선택 공리(ZFC)와 함께 Zermelo-Fraenkel 집합론의 모든 공리를 포함한다.분리 및 치환의 ZFC 스키마는 새로운 언어로 확장되지 않으며 내부 공식에서만 사용할 수 있습니다.게다가 IST에는 3개의 새로운 Axiom 스키마가 포함되어 있습니다.편리하게도 이름의 이니셜마다 1개씩입니다.이상화, 표준화 및 전송.

I: 이상화

z의 자유 발생이 없는 내부 공식 $\phi$ (\ $displaystyle \phi)$ 에 $\phi$ 대해 다음 공식의 범용 닫힘은 공리입니다.
$\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }z,(ztexttext{는 유한}})\to\forall y,\phi(x,y,u_{1}\forall x,\fi)\lightarrow y,\frightarrow y,\f {st}x}x,\phi(x,{x,{x})\py,{u})\py,\py,\py,\py})}$
단어:모든 내부 관계 R 및 다른 모든 자유 변수에 대한 임의의 값에 대하여, 각 표준 유한 집합 F에 대하여, R(g, f)가 F의 모든 f에 대하여 유지되는 g가 존재한다면, 어떤 표준 f에 대하여 우리는 R(G, f)을 가지며, 반대로, 만약 어떤 표준 F에 대하여 그러한 G가 존재한다면, 우리는 R(G, f)를 가진다.각 유한 집합 F에 대해 R(g, f)이 F의 모든 f에 대해 유지되도록 g가 존재한다.

이 공리의 진술은 두 가지 함축으로 구성되어 있다.오른쪽에서 왼쪽으로의 의미는 표준 유한 집합의 요소가 표준이라는 단순한 문장으로 재구성할 수 있다.더 중요한 왼쪽에서 오른쪽으로의 의미는 모든 표준 집합의 집합이 유한 집합(비표준)에 포함된다는 것을 나타내며, 또한 이 유한 집합은 모든 표준 유한 집합이 공유하는 주어진 내부 속성을 만족시키기 위해 취해질 수 있다.

이 매우 일반적인 공리 체계는 적절한 상황에서 "이상적인" 요소의 존재를 지지한다.세 가지 특정 응용 프로그램이 중요한 결과를 보여줍니다.

관계에 적용 »

만약 S가 표준이고 유한하다면, 우리는 R(g, f)의 관계를 받아들인다: g와 f는 같지 않고 g는 S에 있다."모든 표준 유한 집합 F에 대해 F의 모든 f에 대해 g f f가 거짓인 요소 g가 있다"(F = S일 때 그러한 g가 존재하지 않는다)가 있으므로, 이상화를 사용하여 "모든 표준 f에 대해 G ≠ f가 거짓인 경우, 즉 S의 모든 요소가 거짓인 것을 알려줄 수 있다.

만약 S가 무한이라면, 우리는 R(g, f)의 관계를 받아들인다: g와 f는 같지 않고 g는 S에 있다."모든 표준 유한 집합 F에 대하여" (무한 집합 S는 유한 집합 F의 부분 집합이 아니다) S에 g in f가 있는 요소 g가 있기 때문에, 우리는 "즉, 모든 표준 f에 대하여 G f f가 있는 모든 무한 집합은 (다수, 많은) 비표준 요소를 포함한다"는 것을 도출하기 위해 이상화를 사용할 수 있다.

표준 유한 집합의 멱집합은 표준(전송에 의한) 및 유한이므로 표준 유한 집합의 모든 부분 집합은 표준입니다.

S가 비표준일 경우 R(g, f)의 관계로 간주합니다.g와 f는 같지 않고 g는 S에 있습니다."모든 표준 유한 집합 F에 대하여" (비표준 집합 S는 표준 및 유한 집합 F의 부분 집합이 아님) "모든 표준 f에 대하여 G ≠ f가 되도록 S에 G가 있음"을 도출하기 위해 이상화를 사용할 수 있다. 즉, 모든 비표준 집합은 비표준 요소를 포함한다.

이 모든 결과의 결과로 집합 S의 모든 요소는 S가 표준이고 유한한 경우에만 표준이 된다.

< 관계에 적용됨

이후"자연 모든 숫자의 표준, 유한 F는 자연스런 번호 g가 g>F의 모든 ff을 위한 것이다" 말하–, g)maximum(F)+1–할 수 있을 것을 사용하 Idealisation에 파생되"거기에는 자연적인 번호 G가 G>모든 표준 자연 번호를 ff.은"에서 다른 단어, 존재하는 자연수보다 더 큰 각 표준 자연스러웠어요.number.

관계에 적용 »

보다 정확하게는 R(g, f)에 대해 구합니다.g는 요소 f를 포함하는 유한 집합입니다."모든 표준, 유한 집합 F에 대하여, F의 모든 f에 대하여 f µ g가 되도록 유한 집합 g가 존재하며, 예를 들어 g = F 자체를 선택함으로써 우리는 이상화를 사용하여 "모든 표준 f에 대하여 f µ G가 존재함"을 도출할 수 있다. 모든 집합 S에 대하여, 모든 집합 S와 집합 G의 교차는 유한 집합 S를 포함한다.반드시 비표준입니다.

S: 표준화

${\$ { $displaystyle \phi }$ 이 $\phi$ y가 자유롭지 않은 공식(외부일 수 있음)인 경우, 다음 범용 닫힘은
$\displaystyle \mathrm {st}x,\forall ^{\mathrm {st}}y,\forall ^{\mathrm {st}}t,(t\in y\rightarrow(t,u_{1},\land,u_{n})))$

공리입니다.

단어:A가 표준 집합이고 P가 내부 또는 기타 특성인 경우, 표준 요소가 정확히 P를 만족하는 A의 표준 요소인 A의 고유한 표준 부분 집합 B가 있다(그러나 B의 비표준 요소의 거동은 규정되어 있지 않다).

T: 전송

$\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})$ $\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})$ , $\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})$ 1 , $\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})$ , $\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})$ n ) $\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})$ { $displaystyle$ \ $phi ($ x , u $_$ {1} , \ $dots$ , u $_$ { n $\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})$ } )가 $\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})$ 표시된 변수 이외의 자유 변수가 없는 내부 공식일 경우,
$\displaystyle ^{\mathrm {st}u_{1}\forall ^{\mathrm {st}u_{n},\phi(x,u_1},\forall ^{\mathrm {st}}u_n},\phi(x,u_{1},\phi),\fram {u},\f}, {u},\f}, {n},\f},\f},\f}, {n},\f},\f},\f},\f},$

공리입니다.

즉, 내부식 F의 모든 파라미터 A, B, C, ..., W가 표준값을 갖는 경우, F(x, A, B, ..., W)는 모든 표준x를 유지하는 즉시 모든 x를 유지하며, 따라서 고전 수학 내에서 고유하게 정의된 모든 개념이나 객체가 표준이 됩니다.

공리에 대한 형식적 정당성

위에서 제시한 직관적인 동기와는 별도로, 추가적인 IST 공리가 추론의 오류나 불일치로 이어지지 않는다는 것을 정당화할 필요가 있다.실수는 고트프리트 라이프니츠, 요한 베르누이, 레온하르트 오일러, 오귀스탱 루이 코시고 타인의 일에 아주 작은 숫자에 대해 추론에 있어서 철학적인 약점 이유를 보면 이들이 더 cumbersome[표창 필요한]실제number-based 인수 게오르크 칸토어, 리하르트 데데킨트,를 기업에 폐기되었다.d카를 Weierstrass는 Weierstrass의 추종자들에 의해 더 엄격하다고 인식되었다.

내부 집합론에 대한 접근법은 모든 새로운 공리 시스템의 접근법과 동일하며, 보다 단순하고 신뢰할 수 있는 공리 체계 요소를 사용하여 새로운 공리에 대한 모델을 구축합니다.이것은 타원형 비유클리드 기하학의 공리들이 일반적인 3공간에서 구상의 대원들에 대한 적절한 해석에 의해 모델링될 수 있다는 점에 주목함으로써 일관성을 정당화하는 것과 매우 유사하다.

실제로 적합한 모델을 통해 ZFC와 비교하여 IST의 상대적 일관성에 대한 증거를 제공할 수 있습니다. ZFC가 일관성이면 IST가 일관성이 있는 것입니다.사실, IST는 ZFC의 보수적인 확장이다: 내부 집합 이론 내에서 증명될 수 있는 내부 공식은 선택 공리만으로 ^[1]Zermelo-Fraenkel 공리에서 증명될 수 있다.

메모들

^ 넬슨, 에드워드(1977년).내부 집합론: 비표준 분석에 대한 새로운 접근법.미국 수학회 회보 83(6): 1165–1198.

레퍼런스

로버트, 알랭(1985년).비표준 분석.John Wiley & Sons. ISBN 0-471-91703-6.
내부 집합론, 넬슨의 미완성 책의 한 장.

[1] 넬슨, 에드워드(1977년).내부 집합론: 비표준 분석에 대한 새로운 접근법.미국 수학회 회보 83(6): 1165–1198.

[1]

v t 무한소수
역사	적절성 라이프니츠 표기법 적분 기호 비표준 분석에 대한 비판 분석가 역학적 이론의 방법 카발리에리의 원리
관련 지점	비표준 분석 비표준 미적분 내부 집합론 합성 미분 기하학 부드러운 극소량 분석 건설적인 비표준 분석 무한소변형 이론(물리학)
형식화	차분 초실수 이중 번호 초현실적 수
개개의 개념	표준 부품 기능 이전원칙 하이퍼인테거 증분 정리 모나드 내부 세트 리바이 시비타 필드 초확정 집합 연속성의 법칙 오버스필 마이크로콘티뉴이티 초월적 균질성의 법칙
수학자	고트프리트 빌헬름 라이프니츠 에이브러햄 로빈슨 피에르 드 페르마 오귀스틴 루이 코시 레온하르트 오일러
교재	des Infinition Petit 분석 초등 미적분 Cours d'Analyse

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목차

직관적인 정당성

표준 술어의 원칙

IST의 공식 공리

I: 이상화

관계에 적용 »

< 관계에 적용됨

관계에 적용 »

S: 표준화

T: 전송

공리에 대한 형식적 정당성

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