수렴시험

수학에서 수렴시험은 무한계열의 수렴, 조건부 수렴, 절대 수렴, 수렴의 간격, 무한계열의 수렴 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 수렴의 간격, n = 1 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ${\$ 을 시험하는 방법이다 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

시험 목록

합계 제한

합계 한도가 정의되지 않았거나 0이 아닌 경우, 즉 $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ n → $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ {\ $displaystyle \lim _{n\to \inft }a_{n}\neq$ 0 $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ 시리즈가 분리되어야 한다. 이런 의미에서 부분합은 이 한계가 존재하고 0과 같은 경우에만 코우치(Cauchy)이다. 총계 한도가 0이면 그 시험은 결론에 이르지 못한다. 이것은 n차 시험이라고도 한다.

비율 검정

이것은 달랑베르트의 기준이라고도 알려져 있다.

다음과 같은

r

r

r

이(가) 있다고 가정하십시오.

\lim_{n\to \flt}\왼쪽 {\frac {a_{n+1}{a_{n}}\오른쪽 =r.

r < 1이면 시리즈는 절대적으로 수렴된다. r > 1이면 시리즈가 분기한다. r = 1일 경우 비율검사는 결론에 이르지 못하며, 시리즈는 수렴하거나 이탈할 수 있다.

루트 테스트

이것을 n번째 뿌리 시험이나 카우치 기준이라고도 한다.

내버려두다

r=\limsup _{n\to \infit }{\sqrt[{n}]{a_{n}},

여기서

\limsup

{\

displaystyle \limsup

\infty

은(는

)

한계 상위를 나타낸다

\limsup

\infty

한계가 존재하는 경우 동일한 값).

r < 1일 경우, 영상 시리즈가 수렴한다. r > 1이면 시리즈가 분기한다. r = 1일 경우 루트 테스트는 결론을 내리지 못하며, 시리즈가 수렴하거나 이탈할 수 있다.

루트 테스트는 비율 테스트보다 강하다. 비율 테스트가 무한 연속의 수렴 또는 분산을 결정할 때마다 루트 테스트도 수행되지만 반대로 수행되지는 않는다.^[1] 예를 들어, 영상 시리즈의 경우

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ... = 4,

수렴은 뿌리 시험에서 따르며 비율 시험에서는 따르지 않는다.^{[citation needed]}

적분시험

이 시리즈는 수렴 또는 분열을 확립하기 위한 필수 요소와 비교할 수 있다. $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ f : $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ [ 1, $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ ) $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ → $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ + {\ $displaystyle f:[$ 1,\ $infit$ )\to $\mathb {R}$ _ ${+}$ 은(는 $f(n)=a_{n}$ ${\$ 와 같이 음이 없고 단조롭게 감소하는 함수다 $f:[1,\infty)\to\R_+$ $f(n)=a_{n}$

\int _{1}^{\inf(x)\,dx=\lim _{t\to \inft }\int _{1}^{t(x)\,dx<\inflt ,

그러면 시리즈가 수렴된다. 하지만 만약 본질적인 것이 분산된다면, 그 시리즈도 그렇게 한다.

{a_{n}}

,

{a_{n}}

{\

시리즈는 통합이 수렴되는 경우에만 수렴된다

{a_{n}}

.

p-시리즈 테스트

적분시험에서 일반적으로 사용되는 코랄라리는 p-시리즈 시험이다. $k>0$ > $k>0$ $k>0$ 을(를) 놓으십시오 $k>0$ 그러면 $\sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}$ ∑ $\sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}$ = $\sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}$ $\sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}$ ( $\sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}$ $\sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}$ $){\$ 1}{ $n^{p}}}}{\bigg )}}}}$ $p>1$ $p>1$ $p>1$ {\ $displaystystystyp}}$ 이 수렴된다 $\sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}$ $p>1$

$p=1,k=1$ = $p=1,k=1$ , $p=1,k=1$ = $p=1,k=1$ $p=1,k=1$ 의 경우는 고조파 계열을 산출하며 $p=1,k=1$ , 이는 분산된다. p의 경우 x2, k=1{\displaystyle p=2,k=1}은 바젤 문제와 시리즈}{6}}26{\displaystyle{\frac{\pi ^{2}π에}. 일반적으로, p을을, 1, k=1{\displaystyle p>, 1,k=1}, 이 시리즈는ζ(p){년은 리만 제타 함수 동업-{p\displaystyle}에 적용되는 것과 거의 동일하다 전진.displ $aystyle \zeta (p$

직접비교시험

If the series $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ is an absolutely convergent series and $a_{n} \leq b_{n}$ for sufficiently large n , then the series $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converges absolutely.

한계비교시험

만약{는 n},{bn}>0{\displaystyle\와 같이{a_{n}\},\{b_{n}\}>0}일 경우,(즉, 두 시퀀스의 각 요소 긍정적인입니다)이며 한계는 n→ ∞ nbn{\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}lim}}, 가 0이 아닌 유한한 것, 즉{n=1 nx1∞ 오빠{\displaystyle \sum ∑ 존재한다.}^{\in $fty }a_{n}}$ 은(는) $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ = $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ ${\$ 이 $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ (가) 분기되는 경우에만 분기된다 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ .

코치 응축 시험

$\left\{a_{n}\right\}$ $\left\{a_{n}\right\}$ ${\$ 을(를) 양의 증가하지 않는 시퀀스로 설정하십시오 $\left\{a_{n}\right\}$ . Then the sum $A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converges if and only if the sum $A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ converges. 더욱이 그들이 수렴하면 $A\leq A^{*}\leq 2A$ $A\leq A^{*}\leq 2A$ $A\leq A^{*}\leq 2A$ $A\leq A^{*}\leq 2A$ $A\leq A^{*}\leq 2A$ 2 A ${\displaystyle A\leq$ A $^{*}\leq$ 2A $}$ 가 $A \leq A^* \leq 2A$ 붙는다.

아벨의 시험

다음 문장이 참이라고 가정합시다.

$\sum a_{n}$ $\sum a_{n}$ ${\$ 은 $\sum a_n$ (는) 수렴 영상 시리즈,
$\left\{b_{n}\right\}$ b $\left\{b_{n}\right\}$ $\left\{b_{n}\right\}$ ${\$ 은 $\left\{b_{n}\right\}$ (는) 단조로운 시퀀스이며,
$\left\{b_{n}\right\}$ $\left\{b_{n}\right\}$ $\left\{b_{n}\right\}$ $\left\{b_{n}\right\}$ ${\$ 은(는) 경계선이다 $\left\{b_{n}\right\}$ .

그러면 $\sum a_{n}b_{n}$ $\sum a_{n}b_{n}$ $\sum a_{n}b_{n}$ $\sum a_{n}b_{n}$ $\sum a_{n}b_{n}$ {\ $displaystyle \sum a_{n}b_{$ n}}}}도 수렴한다 $.$

절대 수렴 시험

모든 절대적으로 수렴되는 시리즈는 수렴한다.

교대계열시험

다음 문장이 참이라고 가정합시다.

$a_{n}$ n ${\$ 은(는) 모두 양성이지만 $a_{n}$
$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ → $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ = 0 ${\displaystyle \lim _{n\to \infit }a_{n}=0$ 및
매 n에 $a_{n+1}\leq a_{n}$ $a_{n+1}\leq a_{n}$ + $a_{n+1}\leq a_{n}$ $a_{n+1}\leq a_{n}$ $a_{n+1}\leq a_{n}$ ${\$

Then $\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ and $\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$ are convergent series. 이 테스트는 라이프니즈 기준이라고도 한다.

디리클레 테스트

만일 $\{a_{n}\}$ { $\{a_{n}\}$ {\ $displaystyle$ \{ $a_{n}\}}$ 이 $\{a_{n}\}$ (가) 실수의 순서이고 $\{b_{n}\}$ { $}$ {\ $displaystyle$ \{ $b_{n}\}}}}$ 이(가) 충족되는 복잡한 수의 순서인 $\{b_{n}\}$ 경우

$a_{n}\geq a_{n+1}:{n+1$

$\lim _{n\오른쪽 화살표 \infit }a_{n}=0$

$\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ = $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ M ${\displaystyle \left \sum$ _ ${n=1}^{N}b_{n$ }\ $right \leq M}$

여기서 M은 일정하고, 그 다음 시리즈는 일정하다.

\sum _{n=1}^{\nft }a_{n}b_{n}}}}

수렴하다

라베-두아멜의 시험

$a_{n}>0$ > $a_{n}>0$ $a_{n}>0$ 을(를) 두십시오 $a_{n}>0$

정의

b_{n}=n\lefted\frac {a_{n}{n}}{a_{n+1}:{n:1}}-1\오른쪽).

만약

L=\lim _{n\to \ft }b_{n}}

세 가지 가능성이 존재한다.

L > 1이 되면 시리즈가 수렴된다.
만약 L < 1 시리즈가 갈라진다면
그리고 L = 1이면 시험은 결론에 이르지 않는다.

이 시험의 대체 공식은 다음과 같다. { a_n}을(를) 실수의 연속이 되게 하라. 그렇다면 b > 1과 K(자연수)가 그렇게 존재한다면.

\왼쪽 {\frac {a_{n+1}{a_{n}}\오른쪽 \leq 1-{\frac {b}{n}}}}

모든 n > K에 대해 그러면 시리즈 {a_n}이(가) 수렴된다.

베르트랑의 시험

{ a_n }을(를) 양의 숫자의 순서가 되게 하라.

정의

b_{n}=\ln(n\leftleft\frac){a_{n}{n}{a_{n+1}-1\오른쪽)-1\오른쪽).

만약

L=\lim _{n\to \ft }b_{n}}

세 가지 가능성이 존재한다.^[2]^[3]

L > 1이 되면 시리즈가 수렴된다.
만약 L < 1 시리즈가 갈라진다면
그리고 L = 1이면 시험은 결론에 이르지 않는다.

가우스의 시험

{ a_n }을(를) 양의 숫자의 순서가 되게 하라. If ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1-{\frac {\alpha }{n}}+O(1/n^{\beta })$ for some β > 1, then $\sum a_{n}$ converges if $α > 1$ and diverges if $α \leq 1$ .^[4]

쿠메르 시험

{ a_n }을(를) 양의 숫자의 순서가 되게 하라. 다음:^[5]^[6]^[7]

(1) $\sum a_{n}$ converges if and only if there is a sequence $b_{n}$ of positive numbers and a real number c > 0 such that $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\geq c$ .

(2) $\sum a_{n}$ ${\$ 은(는 $)$ $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$ $b_{n}$ $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$ ( $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$ / $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$ + $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$ ) $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$ - b $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$ + $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$ $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$ + 1 $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$ $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$ $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq$ 의 순서가 $b_{n}$ 있는 경우에만 분산된다 $\sum a_{n}$ .

및 $\sum 1/b_{n}$ $\sum 1/b_{n}$ / $\sum 1/b_{n}$ $\sum 1/b_{n}$ ${\$ 1 $/b_{n}}$ 이 $\sum 1/b_{n}$ (가) 분기한다.

메모들

일부 특정 유형의 시리즈에는 보다 전문적인 수렴 테스트가 있다. 예를 들어 푸리에 시리즈의 경우 Dini 테스트가 있다.

예

시리즈를 고려

\sum _{n=1}^{\inflat }{\frac {1}{n^{\message }}.

(i)

Cauchy 응축 테스트는 (i)가 다음과 같은 경우 정밀하게 수렴된다는 것을 의미한다.

\sum \{n=1}^{n}\{n}\좌측값\frac {1}{2^{n}}\우측)^{\message }}}}}}}}}}}}}

(ii)

아주 잘 융합되어 있다. 이후

\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}

(ii)는 비율 2 $2^{(1-\alpha )}$ ( $2^{(1-\alpha )}$ - $2^{(1-\alpha )}$ ) ${\$ 2 $^{(1-\³$ $2^{(1-\alpha )}$ (ii) 비율이 1( $\alpha >1$ $\alpha >1$ $\alpha >1$ {\ $displaystyle \alpha \1})$ 미만이면 정밀하게 수렴되는 기하계열이다. $\alpha >1$ 따라서 (i)는 $\alpha >1$ > $\alpha >1$ $\alpha >1$ 인 경우에만 정밀하게 수렴된다 $\alpha >1$

제품 융합

대부분의 테스트는 무한 계열의 융합을 다루지만, 무한 계열의 융합이나 분산을 보여주는 데에도 활용될 수 있다. 이는 다음과 같은 정리를 사용하여 달성할 수 있다. $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ = $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ ${\$ 을(를) 양의 숫자의 순서가 되게 하라 $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ . 무한 제품 $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ = $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ ( $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ + $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ ) ${\displaystyle \prod _{n=1}^{n}{n}{$ n $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ = 1 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 인 $\prod_{n=1}^\infty (1 + a_n)$ 경우에만 수렴: ${\$ \ $sum \{n=1}^{\inftra_{$ n $}}}}}}}}}}.$ Also similarly, if $0<a_{n}<1$ holds, then $\prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})$ approaches a non-zero limit if and only if the series $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converges .

이것은 제품의 로그와 한계 비교 테스트를 통해 증명할 수 있다.^[8]

참고 항목

참조

^ Wachsmuth, Bert G. "MathCS.org - Real Analysis: Ratio Test". www.mathcs.org.
^ 프란티셰크 주리시, 인피니트 시리즈: 수렴 시험, 페이지 24–9. 학사 논문.
^ Weisstein, Eric W. "Bertrand's Test". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-04-16.
^ * "Gauss criterion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
^ "Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). 1835 (13): 171–184. 1835-01-01. doi:10.1515/crll.1835.13.171. ISSN 0075-4102. S2CID 121050774.
^ Tong, Jingcheng (1994). "Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series". The American Mathematical Monthly. 101 (5): 450–452. doi:10.2307/2974907. JSTOR 2974907.
^ Samelson, Hans (1995). "More on Kummer's Test". The American Mathematical Monthly. 102 (9): 817–818. doi:10.1080/00029890.1995.12004667. ISSN 0002-9890.
^ Belk, Jim (26 January 2008). "Convergence of Infinite Products".

추가 읽기

Leithold, Louis (1972). The Calculus, with Analytic Geometry (2nd ed.). New York: Harper & Row. pp. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.

외부 링크

수렴 테스트 선택을 위한 흐름도

[1] Wachsmuth, Bert G. "MathCS.org - Real Analysis: Ratio Test". www.mathcs.org.

[2] 프란티셰크 주리시, 인피니트 시리즈: 수렴 시험, 페이지 24–9. 학사 논문.

[3] Weisstein, Eric W. "Bertrand's Test". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-04-16.

[4] * "Gauss criterion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[5] "Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). 1835 (13): 171–184. 1835-01-01. doi:10.1515/crll.1835.13.171. ISSN 0075-4102. S2CID 121050774.

[6] Tong, Jingcheng (1994). "Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series". The American Mathematical Monthly. 101 (5): 450–452. doi:10.2307/2974907. JSTOR 2974907.

[7] Samelson, Hans (1995). "More on Kummer's Test". The American Mathematical Monthly. 102 (9): 817–818. doi:10.1080/00029890.1995.12004667. ISSN 0002-9890.

[8] Belk, Jim (26 January 2008). "Convergence of Infinite Products".

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