회전구

아이작 뉴턴의 회전하는 구들의 주장은 두 개의 동일한 구를 연결하는 끈의 장력을 관찰함으로써 진정한 회전 운동이 정의될 수 있다는 것을 증명하려고 시도한다. 주장의 근거는 모든 관찰자가 두 가지 관찰을 한다는 것이다. 즉, 신체를 연결하는 끈의 긴장(모든 관찰자에게 동일함)과 구의 회전 속도(회전 속도가 다른 관찰자에게 다르다)이다. 진정으로 회전하지 않는 관찰자에게만 문자열의 장력은 관측된 회전 속도만을 사용하여 설명된다. 다른 모든 관측자에 대해서는 관측된 회전 속도를 사용하여 계산된 장력이 예상된 장력과 다르다는 것을 설명하는 "교정력"이 필요하다(원심력).^[1] 일반적으로 참된 움직임과 휴식은 다른 신체와 관련된 움직임이나 휴식의 특별한 예로서 정의될 수 없고, 그 대신 절대 공간을 참조해야만 정의될 수 있다는 그의 주장을 뒷받침하는 것은 진정한 움직임과 휴식의 "속성, 원인 및 효과"의 다섯 가지 주장 중 하나이다. 대안적으로, 이러한 실험은 "절대 회전"이 의미하는 것에 대한 운영적 정의를 제공하며, "무엇에 대한 회전"^[2]의 문제를 다루는 척 하지 않는다. 일반 상대성 이론은 절대 공간과 그 원인이 시스템 외부에 있는 물리학, 즉 스페이스타임의 지질학적 개념으로 분산한다.^[3]

배경

뉴턴은 절대공간이 지각할 수 있는 것이 아니라는 사실에 비추어 우리가 실험적으로 신체의 진정한 움직임을 결정할 수 있는 것이 어떤 것인지에 대한 문제를 다루고자 했다. 그러한 결정은 단순히 서로에 대한 육체의 외관적인 움직임(양동이의 주장에서처럼)이 아니라 운동의 원인(즉 힘)을 관찰함으로써 이루어질 수 있다고 그는 말한다. 원인을 관찰할 수 있는 예로서, 우주에 떠 있는 두 개의 글로브가 코드로 연결되어 상황을 평가할 다른 단서 없이 코드의 장력 양을 측정하는 경우, 두 물체가 질량의 공통 중심 주위를 얼마나 빨리 회전하고 있는지를 나타내는 것으로 충분하다. (이 실험은 힘, 장력의 관찰을 포함한다.) 또한 회전 감각(시계 방향이든 시계 반대 방향이든)은 글로브의 반대 면에 힘을 가하고 이것이 코드의 장력을 증가시키는지 감소시키는지(힘이 수반됨)를 확인함으로써 발견할 수 있다. 또는, 이전 방법에 따라 이미 회전 상태가 아닌 것으로 확립된 신체의 배경 시스템에 관해서, 뉴턴의 시대, 즉 고정된 별들에 관한 글로브의 겉보기 운동을 측정함으로써 회전 감각을 결정할 수 있다.

1846년 앤드류 모테가 뉴턴의 말을 번역한 것은 다음과 같다.^[4][5]

우리는 우리를 인도해야 할 몇 가지 주장이 있는데, 일부는 외견상의 움직임으로부터, 일부는 참된 움직임의 차이점이고, 일부는 참된 움직임의 원인과 효과인 힘으로부터 온다. 예를 들어, 만약 두 개의 지구본이 서로 연결되는 코드에 의해 다른 지구본으로부터 주어진 거리에 있다면, 그 지구본이 공통의 무게중심을 중심으로 회전한다면, 우리는 그 지구본들이 움직임의 축에서 후퇴하려는 노력을 발견할 수 있을 것이다. 따라서 우리는 거대한 진공 상태에서도 이 원형 운동의 양과 결정 모두를 찾을 수 있을 것이다. 이 공간에는 지구본을 비교할 수 있는 외부나 감각적인 것이 전혀 없었다.

— Isaac Newton, Principia, Book 1, Scholium

이 제안을 요약하면, Born의 인용구가 있다.^[6]

만약 지구가 정지해 있고, 대신에 전체 항성계가 24시간 안에 지구를 한 바퀴 도는 것과 반대되는 의미로 회전한다면, 뉴턴에 따르면 [지구의 자전에 기인하는 것으로 되어 있다]는 원심력은 일어나지 않을 것이다.

— Max Born: Einstein's Theory of Relativity, pp. 81-82

마하는 그 주장을 어느 정도 문제 삼으며, 아마도 뉴턴의 법칙이 적용되지 않는 빈 우주에서는 결코 회전하는 구체 실험이 이루어질 수 없다고 지적하였다, 그래서 그 실험은 실제로 우리 우주에서 구들이 회전할 때 일어나는 일만을 보여주고, 따라서 예를 들어, 전체 질량에 비례하여 회전하는 것을 나타낼 수도 있다. 우주.^[2][7]

나에게는 상대적인 움직임만이 존재한다.몸이 고정된 별에 상대적으로 회전할 때 원심력이 생성되고, 고정된 별에 비례하지 않고 일부 다른 몸으로 회전할 때 원심력이 생성되지 않는다.

— Ernst Mach; as quoted by Ciufolini and Wheeler: Gravitation and Inertia, p. 387

이러한 충돌을 피하는 해석은 회전하는 구체 실험이 특별히 어떤 것(예를 들어 절대공간이나 고정된 별)에 비해서 회전을 실제로 정의하지 않고, 오히려 그 실험은 절대 회전이라고 하는 운동에 의해 무엇을 의미하는가에 대한 작동적 정의라고 하는 것이다.^[2]

인수의 공식화

이 구체의 예는 뉴턴 자신이 절대 공간에 대한 회전 탐지를 논하기 위해 사용하였다.^[8] 그 관성력 문자열의 장력을 설명하기 위해 필요한 확인하는 것은 한가지 방법에 대한 관찰자가 관성력이 0가 아닌지, 그들은 회전하지 않는다 –면서를 결정해야 한다.[9](물론 gravitron 놀이 기구 같이 극심한 경우에, 여러분은 기분이 있지만, Ea에 서면서 설득해야 하지 않는다.rth의 표면, 문제는 더 미묘하다.) 아래에는 이 관찰 뒤에 숨겨진 수학적인 세부사항들이 제시되어 있다.

그림 1은 두 개의 동일한 구가 서로 결합하는 문자열의 중심 주위를 회전하는 모습을 보여주고 있다. 회전축은 우측 규칙에 의해 주어진 방향과 회전율과 동일한 크기인 벡터 Ω으로 표시된다. Ω = Ω 각 회전율 Ω은 시간과 무관하게 가정한다(단일 원형 운동). 회전 때문에 끈이 팽팽하다. (반응성 원심력 참조) 다음에 이 시스템에 대한 설명은 관성 프레임의 관점 및 회전하는 기준 프레임에서 제시된다.

관성 프레임

문자열의 중간점을 중심으로 관성 프레임을 채택한다. 공은 우리 좌표계의 기원을 중심으로 원을 그리며 움직인다. 두 개의 공 중 하나를 먼저 보십시오. 일정한 속도로 균일하게 움직이는 것이 아니라 일정한 속도로 원을 그리며 움직이는 원형 경로를 이동하려면 공에 작용하는 힘이 있어야 속도의 방향을 지속적으로 바꿀 수 있다. 이 힘은 끈의 방향을 따라 안쪽으로 향하며 구심력이라고 한다. 다른 공은 요구 조건은 같지만, 스트링의 반대쪽 끝에 있으면 같은 크기지만 방향은 반대인 구심력이 필요하다. 그림 2를 참조하십시오. 이 두 가지 힘은 스트링에 의해 제공되어 스트링을 장력(tension)에 놓이게 된다(그림 2 참조).

회전 프레임

문자열의 중간 지점에 회전 프레임을 채택하십시오. 프레임이 볼과 동일한 각도로 회전하므로 볼이 이 회전 프레임에서 정지해 보인다고 가정합시다. 공이 움직이지 않기 때문에 휴식 상태라는 관측이 나온다. 지금 그들이 뉴턴의 관성 법칙을 적용한다면 어떤 힘도 공에 작용하지 않는다고 말할 것이기 때문에 끈을 느슨하게 해야 한다. 그러나 그들은 끈이 팽팽하게 긴장되어 있음을 분명히 안다. (예를 들어 줄을 쪼개 그 중앙에 스프링이 꽂혀 늘어나게 할 수도 있다.)^[10] 이러한 긴장을 감안하여, 그들은 그들의 틀 안에서 원심력이 두 개의 공들을 잡아당겨 갈라지게 하면서 두 개의 공에 작용하도록 제안한다. 이 힘은 어디에서도 발원하지 않는다 – 이 회전하는 세계의 "생명의 사실"일 뿐이며, 이 구들뿐만 아니라 그들이 관찰하는 모든 것에 작용한다. 어디에서나 볼 수 있는 이 원심력에 저항하면서 끈은 긴장 상태에 놓이게 되는데, 구들이 쉬고 있는 사실에도 불구하고 그들의 관찰을 설명하기 때문이다.^[11]

코리올리스 힘

관성 프레임에서 구가 회전하지 않으면(끈 장력은 0이다)? 그러면 회전 프레임의 스트링 텐션도 0이 된다. 하지만 어떻게 그럴 수가 있지? 회전 프레임의 구들은 이제 회전하는 것으로 보이며, 그러기 위해서는 내부 힘이 필요하다. 균일한 원형 운동 분석에 따르면:^[12]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {centripetal} }=-m\mathbf {\Oomega \times \{B}\{B}\} \}\}$

${\displaystyle =-m\omega ^{2}R\ \mathbf {u} _{R}\,}$

공 어디 uR 단위 벡터 회전축에서 구들을 가리키Ω 크기 ω과 방향을 가진 벡터는 각도 회전을 나타내는, 회전의 비행기는 오른손 법칙에 의해 주어지는 것이 보통이다, m은 질량, 회전축 천상은 레이더의(크기까지 R거리이다.m엔트 벡터, x_B = R, 구들 중 하나 또는 다른 하나를 찾는다). 회전하는 관찰자에 따르면 끈의 장력은 이전보다 2배 이상 커져야 하지 않을까(원심력으로부터의 장력에 회전의 구심력을 제공하는 데 필요한 추가 장력까지 더해야 하지 않을까? 회전하는 관찰자가 장력을 0으로 보는 이유는 회전하는 세계에서 또 다른 가공의 힘인 코리올리 힘 때문에 움직이는 물체의 속도에 의존한다. 이 제로 텐션의 경우 회전하는 관찰자에 따르면 이제 구들이 움직이고 있고, 코리올리 힘(속도에 따라 달라짐)이 활성화된다. 기사에 따르면 코리올리 힘은 다음과 같다.^[12]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Oomega}}}}}\time \mathbf {v} _{B}\}}}$

${\displaystyle =-2m\omega \left(\omega R\right)\\\mathbf {u} _{R}}$

여기서 R은 회전 중심에서 물체까지의 거리이며, v는_B 코리올리 힘의 영향을 받는 물체의 속도 v_B = ΩR이다.

이 사례의 기하학에서 이 코리올리 힘은 유비쿼터스 원심력의 2배 크기를 가지며 방향은 정확히 반대다. 따라서 첫 번째 예에서 발견한 유비쿼터스 원심력을 상쇄하고 한 걸음 더 나아가 균일한 원형운동에 의해 요구되는 구심력을 정확히 제공하므로 회전하는 관찰자는 끈에 장력이 필요 없다고 계산한다 - 코리올리 힘이 모든 것을 돌본다.

일반사례

구들이 하나의 각도_I 속도, 즉 Ω(I = 관성)으로 회전하고 프레임이 다른 속도 Ω_R(R = 회전)로 회전하면 어떻게 되는가? 관성 관측자는 원형의 움직임을 보고 끈의 장력은 다음과 같은 영역에 구심적인 내부 힘을 발휘한다.

${\displaystyle \mathbf {T} =-m\omega _{I}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .}$

이 힘은 회전하는 관찰자들이 보는 긴장 때문에 생기는 힘이기도 하다. 회전 관측자는 Ω_S = Ω_I - Ω_R(S = 구)으로 구들을 원형 운동으로 본다. 즉, 프레임이 구보다 더 느리게 회전하면 Ω_S > 0이고 구들이 원을 중심으로 시계 반대방향으로 전진하는 반면, 더 빠르게 움직이는 프레임의 경우 Ω_S < 0이고 구들은 원을 중심으로 시계방향으로 후퇴하는 것처럼 보인다. 어느 경우든 회전하는 관찰자는 원형 운동을 보고 순 내부 구심력을 요구한다.

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Centripetal} }=-m\omega _{S}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .}$

그러나 이 힘은 끈의 장력이 아니다. 따라서 회전 관측자는 다음과 같이 힘이 존재한다고 결론짓는다(관성 관측자는 이를 가공의 힘이라고 한다).

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Centripetal}} }=\mathbf {T} +\mathbf {Fict} _{\mathrmatbf {f}\},}$

또는

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=-m\left(\mathrme _{S}^{2}R\right)\mathbf {u}$

가공의 힘은 Ω과_I Ω_S 중 어느 것이 더 큰가에 따라 부호를 바꾼다. 기호가 바뀌는 이유는 Ω_I > Ω일_S 때 실제로 구들이 회전하는 관측자가 측정하는 속도보다 더 빠르게 움직이고 있기 때문에 실제로 예상보다 큰 끈의 장력을 측정하기 때문에 가공의 힘이 장력을 증가시켜야 하기 때문이다(외부를 가리킴). Ω_I < Ω이면_S 사물이 역전되어 가공의 힘이 장력을 감소시켜야 하므로 반대 기호(안쪽 점)를 갖는다.

가공의 힘이 임시변통인가?

F의_Fict 도입으로 회전 관측자와 관성 관측자는 문자열의 장력에 대해 합의할 수 있다. 그러나 우리는 "이 해결책이 다른 상황에서의 일반적인 경험에 부합하는가, 아니면 단순히 "조리한" 임시방편적인 해결책인가?"라고 물을 수도 있다. 이 질문은 F 제곱에_Fict 대한 이 값이 일반 결과와 함께 어떻게 (Frudic force에서 도출)되는지를 보고 답을 얻는다.^[14]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})}$ ${\displaystyle \ -m{\frac {d{\boldsymbol {\Oomega }}{dt}\time \mathbf {x} _{B}\}$

첨자 B는 비침입 좌표계에 언급된 수량을 가리킨다. 완전한 명목상의 세부사항들은 가공의 힘에 있다. 일정한 회전 각도의 경우 마지막 항은 0이다. 다른 용어를 평가하려면 다음 중 하나의 영역의 위치가 필요하다.

${\displaystyle \mathbf {x} _{B}=R\mathbf {u} _{R}\ ,}$

회전 프레임에서 볼 수 있는 구면 속도:

${\displaystyle \mathbf {v} _{B}=\omega _{S}R\mathbf {u} _{\theta }\,}$

여기서 u는_θ 움직임의 방향을 가리키는 u에_R 수직인 단위 벡터다.

프레임은 Ω으로_R 회전하므로 회전 벡터는 Ω = Ω_R u_z(z-방향의 u_z 단위 벡터)이고, Ω × u_R = Ω_RR(u_zR × u) = Ω_θθ × u_R = -Ω u_R. 그러면 원심력은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Cfgl} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})=m\omega _{R}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ ,}$

그것은 자연스럽게 프레임의 회전률에만 의존하고 항상 바깥쪽에 있다. 코리올리스의 힘은

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Cor}-}=-2m{\boldsymbol {\Oomega }\time \mathbf {v} _{B}=2m\omega_{R}R\mathbf {u}_{R}}}}}}}}}}}}:{R}}}}}}}}}$

그리고 구들이 프레임보다 빠르게 움직일 때 바깥쪽으로, 그리고 구들이 프레임보다 느리게 움직일 때 안으로 있을 때(Ω_SS < 0 ^[15]) 기호를 바꾸는 능력이 있다. 용어 조합:^[16]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=\mathbf {F} _{\mathbf {Cfgl}+\mathbf {F} _{\mathrmatbf {Cor}}}}}}}}}}}}}}}.$ ${\displaystyle =\좌(m\omega _{R}^{2}R+2m\omega _{S}\오메가 _{R}R\우)\mathbf {u} _{R}=m\omega _{R}+2\omega _{S}\우)R\mathbf {u} _{R}}$

${\displaystyle =m(\omega _{I}-\omega _{S})(\omega _{I}+\omega _{S}}\R\mathbf {u}_{R}=-m\left(\omega _{S}^{2}\ri}\rig)\R}}$

결과적으로, 위에서 발견된 회전구 문제에 대한 가공의 힘은 일반적인 결과와 일치하며 이 단일 예에 대한 합의를 이끌어내기 위한 임시 해결책이 아니다. 더욱이 원심력 기여가 항상 바깥쪽으로 있기 때문에 어느 Ω_I, Ω_S 중 어느 것이 더 큰가에 따라 가공력이 기호를 바꿀 수 있게 하는 것이 코리올리 힘이다.

회전 및 우주 배경 복사

우주 배경 방사선의 동위원소는 우주가 회전하지 않는다는 또 다른 지표다.^[17]

참고 항목

참조 및 참고 사항