사이클로이드

기하학에서 사이클로이드는 미끄러지지 않고 직선을 따라 굴러갈 때 원의 한 점에 의해 추적되는 곡선을 말한다. 사이클로이드(cycloid)는 트로코이드의 특정한 형태로서 룰렛의 예로서, 다른 곡선에서 굴러가는 곡선에 의해 생성된다.

쿠스프가 위를 향하고 있는 사이클로이드는 일정한 중력(브라키스토크론 곡선) 아래에서 가장 빠른 하강 곡선이 된다. 또한 곡선을 따라 단순 조화 운동(위아래로 반복적으로 회전)으로 물체의 주기가 물체의 시작 위치(토우토크론 곡선)에 좌우되지 않는 곡선의 형태다.

역사

이 사이클로이드는 17세기 수학자들 사이에서 잦은 다툼을 일으켜 "지오메트리의 헬렌"이라고 불려왔다.^[1]

수학 역사학자들은 사이클로이드를 발견한 사람에게 몇 명의 후보를 제안했다. 수학사학자 폴 태너리는 이 곡선이 고대에 알려져 있다는 증거로 시리아 철학자 아이암블리쿠스의 비슷한 작품을 꼽았다.^[2] 1679년에 쓴 영국의 수학자 존 월리스는 이 발견을 쿠사의 니콜라스의 탓으로 돌렸지만,^[3] 그 이후의 장학금 지급은 월리스가 잘못 알고 있거나 그가 사용한 증거가 현재 없어졌다는 것을 보여준다.^[4] 갈릴레오 갈릴레이의 이름은 19세기^[5] 말에 발표되었고 적어도 한 명의 저자가 마린 메르센에게 공로가 주어졌다고 보고하고 있다.^[6] 모리츠 칸토르와^[7] 지그문트 귄터(Sigmund Günther)의 작품을 시작으로,^[8] 1503년에 출판된 그의 기하학에서 사이클로이드에 대한 묘사를 바탕으로 현재 학자들은 프랑스 수학자 샤를 드 보벨레스에^[9][10][11] 우선권을 부여하고 있다.^[12] 이 작품에서 보벨레스는 굴림 바퀴에 의해 추적된 아치를 작은 바퀴보다 120% 더 큰 반지름을 가진 더 큰 원의 일부로 착각한다.^[4]

갈릴레오는 사이클로이드라는 용어의 유래로 곡선을 진지하게 연구한 최초의 사람이었다.^[4] 그의 제자 에반젤리스타 토리첼리에 따르면,^[13] 1599년 갈릴레오는 판금 위에서 생성 원과 결과 생성되는 사이클로이드를 모두 추적하여 잘라내고 무게를 재는 것을 포함하는 비정상적인 경험적 접근법으로 사이클로이드의 사분화를 시도했다. 그는 그 비율이 대략 3:1이라는 것을 발견했지만 그 비율이 불합리한 부분이라고 잘못 결론을 내렸기 때문에 사분법이 불가능했을 것이다.^[6] 1628년경, 길레스 페르손 드 로베르발은 페레 마린 메르센느로부터 4각형 문제를 알게 되었고, 1634년 카발리에리의 정리를 이용하여 4각형을 발효시켰다.^[4] 그러나 이 작품은 (그의 특성 데 인디비시블에서) 1693년에야 출판되었다.^[14]

사이클로이드 탄젠트 건설은 메르센이 로베르발, 피에르 드 페르마, 르네 데카르트로부터 독특한 방법을 받은 1638년 8월로 거슬러 올라간다. 메르센은 이러한 결과를 갈릴레오에게 전해주었고 갈릴레오는 이를 제자인 토리첼리와 비비아나에게 주었고, 그는 이를 4중주를 제작할 수 있었다. 이 결과 등은 1644년 토리첼리에 의해 출판된 것으로 사이클로이드에 대한 최초의 인쇄물이기도 하다.^[13] 이로 인해 로베르발은 토리첼리를 표절 혐의로 기소하게 되었고, 1647년 토리첼리의 조기 사망으로 논란은 일단락되었다.^[14]

1658년, Blaise Pascal은 신학을 위해 수학을 포기했지만, 치통을 앓는 동안, 사이클로이드에 관한 몇 가지 문제를 고려하기 시작했다. 그의 치통은 사라졌고, 그는 연구를 진행하기 위해 이것을 하늘의 징표로 받아들였다. 8일 후, 그는 에세이를 완성했고, 그 결과를 알리기 위해 공모전을 제안했다. 파스칼은 사이클로이드의 무게중심과 면적, 부피와 관련된 3가지 질문을 제안했고, 수상자나 수상자는 스페인어 더블론 20개, 40개의 상을 받았다. 파스칼, 로베르발, 카르카비 상원의원이 심사위원으로 나섰고, 두 제출물(존 월리스와 앙투안 데 랄루베레) 중 어느 것도 적절하다고 판단되지 않았다.^{[15]: 198} 콘테스트가 진행되는 동안 크리스토퍼 렌은 파스칼에게 사이클로이드를 교정할 수 있는 증거에 대한 제안서를 보냈다; 로버발은 그 증거를 수년 동안 알고 있었다고 즉시 주장했다. 월리스는 월리스의 트랙터스 듀오에 렌의 증명서(크레디팅 렌)를 발표하여, 렌이 처음으로 출판된 증명에 우선권을 주었다.^[14]

15년 후, Christiaan Huygens는 크로노미터계를 개선하기 위해 사이클로이드 진자를 배치했고, 입자가 시작점에 상관없이 같은 시간 안에 반전 사이클로이드 아치의 한 부분을 가로지른다는 것을 발견했다. 1686년 고트프리드 빌헬름 라이프니즈는 분석 기하학을 이용하여 곡선을 하나의 방정식으로 묘사하였다. 1696년 요한 베르누이는 브라키스토크론 문제를 제기했는데, 그 해결책은 사이클로이드다.^[14]

방정식

원점을 통과하는 사이클로이드는 x축에 의해 주어진 수평 베이스로 베이스의 "양" 면(y ≥ 0) 위로 굴러가는 반지름 r 원(circle r)에 의해 생성되며, 포인트(x, y)로 구성된다.

${\displaystyle {\regated}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{arged}}}$

여기서 t는 롤링 원이 회전한 각도에 해당하는 실제 매개변수다. 주어진 t의 경우 원의 중심은 (x, y) = (rt, r)이다.

t를 해결하고 교체를 할 때, 데카르트 방정식은 다음과 같은 것으로 밝혀졌다.

${\displaystyle x=r\cos ^{-1}\좌측(1-{\frac {y}{r}\오른쪽)-{\sqrt {y(2r-y)}}.}$

y를 x의 함수로 볼 때, 사이클로이드는 x축에 부딪히는 쿠스프를 제외하고 어디에서나 구별이 가능하며, 파생상품은${\displaystyle \mathrm{}}$usp ${\displaystyle \infit }$ 또는$$ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaysty$ -$\infit }$을(를) 향하게 된다$$. t에서 (x, y)까지의 지도는 등급 C의^∞ 서로 다른 곡선이나 파라메트릭 곡선이며, 파생상품이 0인 특이점은 일반적인 첨단이 된다.

점$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)$${\$displaystyle(x,y)}$에서 사이클로이드에 접하는 기울기는 다음을 통해 주어진다$$.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\frac {t}{2}}:}$

한 끝에서 다음 끝까지의 사이클로이드 세그먼트를 사이클로이드 아치라고 한다. 사이클로이드의 첫 번째 아치는 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \le }$ t ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 2\pi }$ . ${\displaystyle$ 0$\leq t\leq 2\pi .}$과 같은 점들로 구성된다.

사이클로이드의 방정식은 ^[16]미분 방정식을 만족한다.

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}\오른쪽)^{2}={\frac {2r}{y}-1.}$

비자발적

사이클로이드의 비자발성은 정확히 그것이 유래한 것과 같은 사이클로이드라는 특성을 가지고 있다. 그렇지 않으면 이것은 처음에 사이클로이드의 반 아크 위에 놓여 있던 철사의 끝에서 볼 수 있는데, 사이클로이드 호는 포장되지 않은 상태였던 호와 동일하다(사이클로이드 진자와 호 길이 참조).

데모

그 주장에는 몇 가지 시범이 있다. 여기에 제시된 것은 한 점의 순간 속도가 그 궤도에 접하는 사이클로이드와 키네마틱 특성을 물리적으로 정의한 것이다. 인접한 그림을 참조하여 P ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}와$$ ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}은 두 개의 롤링 원에 속하는 접선점이다$$. 두 원은 미끄러지지 않고 같은 속도와 같은 방향으로 굴러가기 시작한다. ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 그림과 같이 두 개의 사이클로이드 호를 그리기 시작한다$$. 임의의 순간(빨간색 선)에서 P 1${\$$}}$과 ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$$${\$displaystyle P_{2$}}개의 선이 언제든 하부 호에 접하고$$ 상부 아의 P ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에 접선과 직교한다는 것을 증명할 수 있다.c. $어떤{\displaystyle }$ 사람은$$Q {\$displaystyle$ Q$}$을(를) 호출하는 것이$$ 상위 원과 하위 원 사이의 공통점이라고 본다.

• ${\displaystyle P_{1},Q,P_{2}}$ are aligned because ${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$ (equal rolling speed) and therefore ${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}$$}}={\widehat{O_{2}QP_{2}}.$ The point ${\displaystyle Q}$ lies on the line ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ therefore ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{1}QO_{2}}}=\pi }$ ad analogously ${\display$$style {\widehat {P_{2}QO_{2}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$. From the equality of ${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}}$ and ${\displaystyle {\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$ one has that also ${\displaystyle {\wideha$$t {P_{1}QO_{2}}}={\widehat {P_{2}QO_{1}}}}$. It follows ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$ .
• ${\displaystyle A}$이(가) $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1$}:{1}$의 직선으로 $가는$ $수직선$과 ${\displaystyle \mathrm{P}}$ $2{\displaystyle }$ ${\displaystyle P2}$의 원과 접선 사이의 만남 지점이라면$$ $삼각형{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystystyle P_{1$}{1},$$ 즉 삼각형 P1$}$$AP_{2}}$ is isosceles because ${\displaystyle {\widehat {QP_{2}A}}={\frac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$ and ${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\frac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=}$(easy to prove seen the construction)${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}}$ . For the previous noted equality between ${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}}$ and ${\displaystyle {\widehat {QO_{2}P_{2}}}}$ then ${\displaystyle \widehat{Q{P}_{1}A}=\stackrel{}{Q{P}_2}}$$^$ {\$displaystyle${\$widehat {QP_{1$}A$}={\widehat {QP_{2$}A$}}$ $및{\displaystyle {}_{}}$ P$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle P_{$$1$}$AP_{2}}:$ isosceles이다$$.
• Conducting from ${\displaystyle P_{2}}$ the orthogonal straight to ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ , from ${\displaystyle P_{1}}$ the straight line tangent to the upper circle and calling ${\displaystyle B}$ the meeting point is now easy to see that ${\displaystyle P_{1$$}}AP_{2}B}$는 평행선 사이의 각도에 관한 이론들을 사용하여 rhombus이다.
• 이제 P ${\$ P_{2}}의 $속도$ V $2{\$$displaystyle$ V_${2$}}. 롤링 $속도$ V ${\displaystyle a_{}}$ ${\$와 표류 $속도{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ d ${\$의 합으로 볼 수 있다.$$ 두 가지 속도는 원이 미끄러지지 않고 굴러가기 때문에 모듈루에서 동일하기 때문이다. ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$는 P $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{1}A}$에$$평행하고, V ${\displaystyle a_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $P_{$2}A$}$의 $하단$ 원에 접하므로 P ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystystyled.$ 따라서 구성 요소 V ${\displaystyle d_{}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle V_{}}$ a ${\$에서 구성되는 rhombus는 평행한 면이 있으므로$$ $rhombus{\displaystyle }$ B ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ A ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle BP_{1}AP_{2}}$와 (동일한 각도) 유사하다$$. The total speed of ${\displaystyle P_{2},V_{2}}$ is then parallel to ${\displaystyle P_{2}P_{1}}$ because both are diagonals of two rhombuses with parallel sides and has in common with ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ the contact point ${\displaystyle P_{2}}$ . It follows that the speed vector ${\displaystyle V_{2}}$ lies on the prolongation of ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ . Because ${\displaystyle V_{2}}$ is tangent to the arc of cycloid in ${\displaystyle P_{2}}$ (property of velocity of a trajectory), it follows that also ${\di$$splaystyle P_{1}P_{2$}}: $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 하단 사이클로이드 호와 접선하고 일치한다$.$
• 유사하게 $P{\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}P_${$2}}이$$V 1 {\displaystyle $V_{1}}$와 직교한다는$$ 것을 쉽게 증명할 수 있다($$롬버스의 다른 대각선).
• ${\displaystyle {처음}_{}}$에는 낮은 사이클로이드의 반원호 위에 뻗어 있고 $P{\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\$}의 위쪽 원에 경계된 확장 불가능한 와이어의 끝은 팁의 속도가 와이어와 직교하는 각 순간이기 때문에 길이를 변경하지 않고 그 경로를 따라 점을 따라간다$$( 스트레칭이나 압축 없음). 장력과 입증된 항목이 있기 때문에 와이어는 하단$$ ${\displaystyle {호}_{}}$에$$P 2 {\$displaystyle P_{2}}:$ 동시에 접선될 것이다. 접선이 되지 않을 경우 ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}에 불연속부가 있을 것이고$$ 결과적으로 불균형 장력 힘이 있을 것이다.

면적

반지름 r의 원에 의해 생성된 사이클로이드의 아치 하나에 대해 위의 매개변수화를 사용한다.

${\displaystyle {\regated}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{arged}}}$

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi ,}$에 대해 아치 아래의 영역은$$ 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}A&=\int _{x=0}^{2\pi r}y\,dx\\&=\int _{t=0}^{0}^{2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}dt\\&=3\pi r^{2}.\end{정렬}}}$

이 결과, 그리고 일부 일반화는 마미콘의 시각적 미적분학으로 계산 없이 얻을 수 있다.

호 길이

하나의 아치의 호 길이 S는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\reasoned}S&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }r{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt\\&=2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\,dt\\&=8r.\end{정렬}}}$

비자발자의 특성을 고려한 사이클로이드의 길이를 계산하는 또 다른 즉각적인 방법은 비자발자를 설명하는 와이어가 완전히 풀렸을 때 그것은 길이가 4r인 두 직경을 따라 스스로 확장된다는 것을 알아채는 것이다. 철사는 포장을 푸는 동안 길이가 변하지 않기 때문에 사이클로이드의 절반의 호는 4r이고 완전한 호는 8r이다.

사이클로이드 진자

단순한 진자가 사이클로이드의 정점에 매달려 "끈"이 사이클로이드의 인접 호 사이에 구속되고 진자의 길이 L이 사이클로이드의 호 길이의 절반(즉, 발생 원의 지름 L=4r)과 같을 경우, 진자의 단도 또한 사이클로이드 경로를 추적한다. 그러한 사이클로이드 진자는 진폭에 관계없이 등시적이다. 첨부의 위치에 중심화된 좌표계를 도입하면 운동 방정식은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\time}x&=r[2\theta(t)]+\sin(2\tea(t)]\y&=r[-3-\cos(2\ta)(t)),\end{igned}}}}}$

여기서 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta$}은$$(는) 수직 축에 대한 문자열의 직선 부분의 각도이며, 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle \sin \theta(t)=A\cos(\omega t),\qquad \omega ^{2}={\frac {g}{L}}={\frac {g}{4r},}$

여기서 A<1은 "진도"이고, $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은 진자와 g 중력 가속도의 라디안 주파수다.

17세기 네덜란드의 수학자 크리스티아안 후이겐스는 항해에 사용될 보다 정확한 진자 시계 디자인을 찾다가 사이클로이드의 이러한 특성을 발견하고 증명했다.^[17]

관련 곡선

몇몇 곡선은 사이클로이드와 관련이 있다.

• 트로코이드: 곡선을 추적하는 점이 롤링 원(곡선) 내부 또는 외부(프로롤)에 있을 수 있는 사이클로이드의 일반화.
• 하이포시클로이드(hypocycloid) : 선 대신 다른 원의 안쪽에서 원을 굴리는 사이클로이드의 변종.
• 에피시클로이드(Epicycloid)는 선이 아닌 다른 원의 바깥쪽에서 원이 굴러가는 사이클로이드의 변종이다.
• 하이포트로이드: 발생점이 롤링 원의 가장자리에 있지 않을 수 있는 하이포시클로이드의 일반화.
• 에피크로코이드: 생성점이 롤링 서클 가장자리에 있지 않을 수 있는 에피시클로이드의 일반화.

이 모든 곡선은 균일한 곡선의 또 다른 곡선을 따라 원이 굴려진 루렛이다. 사이클로이드, 에피사이클로이드, 저포시클로이드는 각각 전멸과 비슷한 성질을 가지고 있다. q가 원의 반지름과 함께 곡률의 산물이고, epi-에 대해 양으로 서명된 경우, 곡선:evolute similitude ratio는 1 + 2q이다.

고전적인 스피로그래프 장난감은 하이포트로코이드와 상피로코이드 곡선을 추적한다.

기타 용도

사이클로이드 아치는 텍사스 포트워스의 킴벨 미술관 설계에 건축가 루이스 칸에 의해 사용되었다. 월러스 K에서도 사용되었다. 해리슨, 뉴햄프셔 하노버에 있는 다트머스 대학의 ^[18]홉킨스 센터 디자인.

초기 연구에 따르면 황금기 바이올린 판의 일부 가로 아치형 곡선은 커트형 사이클로이드 곡선으로 촘촘히 모형화되었다.^[19] 이후의 연구는 커트형 사이클로이드가 이러한 곡선의 일반적인 모델 역할을 하지 않는다는 것을 나타내며,^[20] 이는 상당히 다르다.

참고 항목

• 사이클로곤
• 사이클로이드 기어
• 주기함수 목록
• 투토크론 곡선

참조

추가 읽기

• 물리학의 응용 프로그램: 가탁, A. & Mahadevan, L. Crack street: 시트를 찢는 실린더의 사이클로이드 깨침. 신체검사 편지, 91, (2003) link.aps.org
• Edward Kasner & James Newman (1940) Mathical and the Imagination, pp 196–200, Simon & Schuster.
• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 445–47. ISBN 0-14-011813-6.

외부 링크

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Cycloid", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• Weisstein, Eric W. "Cycloid". MathWorld. 2007년 4월 27일 회수.
• 키클로이드(Cycloids at the Knot)
• 사이클로이드와 모든 형태의 사이클로이드 커브에 관한 논문, 리처드 A의 모노그래프. 코넬 대학교 도서관이 올린 B.A. 프록터.
• 데이비드 폰 세게른의 기부로 션 매드센의 사이클로이드 커브, 울프램 데모 프로젝트.
• PlanetPTC(Mathcad)의 사이클로이드
• 톰 아포톨의 미적분학 문제에 대한 시각적 접근