텐서 미적분학

Tensor calculus

수학에서 텐서 미적분학, 텐서 분석 또는 리치 미적분텐서 분야(예: 스페이스타임에서 다지관에 걸쳐 변화할 수 있는 텐서)로 벡터 미적분을 확장한 것이다.

그레고리오 리치-쿠르바스트로(Gregorio Ricci-Curbastro)와 그의 제자 툴리오 레비-시비타(Tullio Levi-Civita)에 의해 개발되었으며,[1] 알버트 아인슈타인이 그의 일반 상대성 이론을 발전시키기 위해 사용하였다.최소 미적분과는 달리 텐서 미적분은 다지관의 좌표 선택무관한 형태로 물리학 방정식을 제시할 수 있다.

텐서 미적분은 탄성, 연속역학, 전자기학(전자장 수학적 기술 참조), 일반 상대성(일반 상대성 수학 참조), 양자장 이론, 기계 학습물리학, 공학, 컴퓨터 과학 분야에서 응용 분야가 많다.

외부 미적분 엘리 카르탄의 주요 지지자와 함께 작업하면서, 영향력 있는 지구계 시잉-센 체른은 텐서 미적분의 역할을 다음과 같이 요약한다.[2]

다지관을 말하는 우리 미분 기하학 과목에서 한 가지 난이도는 좌표로 설명되지만 좌표는 의미가 없다는 것이다.그들은 변신을 할 수 있다.그리고 이런 상황을 다루기 위해서 중요한 도구는 이른바 텐서 분석, 즉 수학자들에게는 생소한 리치 미적분학이다.수학에서는 함수가 있고, 함수를 적거나, 계산하거나, 더하거나, 곱하거나, 분화시킬 수 있다.아주 구체적인 걸 가지고 있구나.기하학에서 기하학적 상황은 숫자로 설명되지만, 임의로 숫자를 변경할 수 있다.그래서 이것을 다루기 위해서는 리치 미적분학(Ricci 미적분이 필요하다.

구문

텐서 표기법은 변수 객체를 공변량(하위 지수), 반변량(상위 지수) 또는 혼합 공변량 및 반변량(상위 지수 모두 포함)으로 표시하는 데 사용되는 물체에 상·하위 지수를 사용한다.사실 전통적인 수학 구문에서는 공변 지수 , , 3 ) (를) 자주 다룰 때 공변량 지수(cariant Indexed Component)로서 텐서 구문을 제한적으로 사용하는 것을 깨닫지 못하고 있다.

텐서 표기법은 종래의 수학 구문으로부터의 정상적인 전력 연산과 혼동될 수 있는 물체의 상위 색인을 허용한다.예를 들어, 일반 수학 구문에서는 = = m 그러나 텐서 구문에서는 텐서 색인 사용 대 일반 전원 작동의 모호성을 해소하는 전력으로 상승하기 전에 물체 주위에 괄호를 사용해야 한다In tensor syntax we would write, and .내측 괄호 안의 숫자는 외측 괄호 번호가 수량을 올릴 수 있는 힘을 구별하는 반대 성분을 구별한다.물론 이것은 임의의 방정식에 불과하며, 우리는 c가 텐서(tensor)가 아니며, 이 특정 변수가 c의 품질을 2의 힘으로 가져가기 위해 괄호가 필요 없다는 것을 알 수 있었지만, c가 벡터라면 텐서(tensor)로 표현될 수 있고, 이 텐서(tensor)는 정상적인 수학 외설과 구별될 필요가 있을 것이다.한 세력으로 수량을 올리는 것을 나타내는 xes

주요개념

벡터 분해

Tensors notation allows a vector () to be decomposed into an Einstein summation representing the tensor contraction of a basis vector ( or ) with a component vector ( 또는 V V

Every vector has two different representations, one referred to as contravariant component () with a covariant basis (), and the other as a covariant component () with a contravariant basis (모든 상위 인덱스를 가진 텐서 객체를 역행성이라고 하며, 모든 하위 인덱스를 가진 텐서 객체를 공변성이라고 한다.역행성과 공변성을 구별할 필요성은 우리가 특정 좌표계와 관련된 그것의 기본 벡터로 임의 벡터를 점으로 할 때, 이 도트 제품을 해석하는 두 가지 방법이 있다는 사실에서 비롯된다. 우리는 이것을 임의 벡터에 대한 기본 벡터의 투영으로 보거나, 프로젝트로 본다.기본 벡터에 임의 벡터의 경우, 도트 곱의 두 뷰는 완전히 동일하지만, 성분 요소와 기본 벡터가 서로 다르다.

예를 들어, 물리학에서는 벡터장으로부터 시작하여 공변량 기반에 관해서 분해하게 되고, 그렇게 해서 역변동 좌표를 얻게 된다.정형외과적 데카르트 좌표의 경우 공변량 및 반변량 기반은 동일하다. 단, 이 경우에 설정된 기본은 정체성 매트릭스일 뿐이므로, 극성 또는 구형과 같은 비관계 좌표계의 경우 콤폰 생성을 위해 설정된 반변량 또는 공변량 기준의 사용으로 분해 구별할 필요가 있다.좌표계의 nts.

공변량 벡터 분해

가변적 설명 유형
벡터 불변의
상쇄성분(스칼라 세트) 변형된
공변량 기준(백악기 집합) 변형된

상쇄 벡터 분해

가변적 설명 타자를 치다
벡터 불변의
공변성분(스칼라 세트) 변형된
대각선 베이스(원추형 탐촉자 세트) 변형된

미터법 텐서

미터법 텐서는 스칼라 요소( j 또는 Z가 있는 행렬을 나타내며, 수축이라는 연산에 의해 다른 텐서 객체에 대한 지수를 올리거나 내리는 데 사용되는 텐서 개체로서, 따라서 공변 텐서는 반대 텐서인 텐서로 변환할 수 있다.그 반대의 경우도 마찬가지야.

메트릭 텐서를 사용하여 인덱스 낮추는 예제:

메트릭 텐서를 사용하여 인덱스 상승 예제:

미터법 텐서는 다음과 같이 정의된다.

이것은 우리가 기본 벡터 세트의 모든 순열을 취해서 서로 반대편에 점선하여 정사각형 행렬로 배열한다면, 우리는 미터법 텐서(metric tensor)를 가질 수 있다는 것을 의미한다.여기서 주의사항은 순열의 두 벡터 중 어느 벡터가 다른 벡터에 대한 투영에 사용되는가 하는 것으로, 이는 역변량 메트릭 텐서와 비교하여 공변량 메트릭 텐서의 구별되는 특성이다.

메트릭 텐서의 두 가지 맛은 (1) 반대 메트릭 텐서( Z와 (2) 공변 메트릭 텐서( 이다.미터법 텐서의 이 두 가지 맛은 정체성과 관련이 있다.

For an orthonormal Cartesian coordinate system, the metric tensor is just the kronecker delta or , which is just a tensor equivalent of the identity matrix, and

야코비안

또한 텐서는 다음과 같은 기본 벡터 집합을 가진 막힘 없는 좌표( 에서 막힘 없는 좌표(로 쉽게 변환할 수 있다.

Jacobian 매트릭스 관계( 1 }=를 사용하여 막힘 좌표계와 막힘이 없는 좌표계 사이의 Jacobian 매트릭스 관계를 사용한다.금지된 시스템과 금지되지 않은 시스템 사이의 Jacobian은 공변량 및 왜곡된 기본 벡터를 정의하는데 중요한 역할을 한다. 이러한 벡터가 존재하기 위해서는 금지된 시스템과 금지되지 않은 시스템에 대해 다음과 같은 관계를 충족해야 한다.

반대 벡터는 다음과 같은 법률을 준수해야 한다.

공변 벡터는 다음과 같은 법률을 준수해야 한다.

제이콥 매트릭스에는 두 가지 맛이 있다.

1. 막힘 없는 좌표에서 막힘 없는 좌표로의 변화를 나타내는 J 행렬.J를 찾으려면 "barred gradient"(즉, ""의 i 에 대한 부분적인 추출을 취한다

2. 행렬, 막힘 없는 좌표에서 막힘 없는 좌표로의 변경을 나타낸다.을(를) 찾으려면 "제한되지 않은 그라데이션" 즉, 에 대한 부분적인 추출을 취한다

그라데이션 벡터

텐서 미적분은 모든 좌표계에서 작동하는 표준 미적분학에서 구배 벡터 공식에 일반화를 제공한다.

위치:

반대로 표준 미적분학의 경우 구배 벡터 공식은 사용 중인 좌표계에 의존한다(예: 데카르트 구배 벡터 공식 대 극 구배 구배 벡터 공식 등).표준 미적분학에서 모든 좌표계에 대해 동일한 구배 공식이 하나만 있는 텐서 미적분학과는 달리 각 좌표계에는 고유의 특정한 공식이 있다.이것은 텐서 미적분이 사용하는 미터법 텐서 이해에 의해 가능하다.

참고 항목

참조

  1. ^ Ricci, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (March 1900). "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" [Methods of the absolute differential calculus and their applications]. Mathematische Annalen (in French). Springer. 54 (1–2): 125–201. doi:10.1007/BF01454201. S2CID 120009332.
  2. ^ "Interview with Shiing Shen Chern" (PDF).

추가 읽기

외부 링크