한계 목록

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "한계 목록" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (1919년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

이 목록은 불완전하므로 누락된 항목을 추가하여 도움을 줄 수 있다.(2011년 2월)

기본 기능 등 공통 기능에 대한 한계 목록이다. 이 글에서 a, b, c라는 용어는 x에 관한 상수다.

일반 기능에 대한 제한

한계 정의 및 관련 개념

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=$$L}$ if and only if ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0:0< x-c <\delta \implies f(x)-L <\varepsilon }$. This is the (ε, δ)-definition of limit.

The limit superior and limit inferior of a sequence are defined as ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}$ and ${\displaystyle \liminf$$_{n\to \ft \x_{n}=\lim _{n\to \ft }\$ft }\$ft(\inf _{m\geq n}x_{m}\오른쪽)}$.

함수 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x$는 다음과 같은 경우 한 점에서 연속적이라고 한다.

알려진 단일 제한에 대한 작업

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=$인 경우$L$$}:$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm a]=L\pm a}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,af(x)=aL}$^[1][2][3]
• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ c ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{f}{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{L}{}}$ ${\$ L이 0과 같지 않으면$$^[4]
• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ c ${\displaystyle f\underset{}{}}$( ${\displaystyle x{}^{}}$) ${\displaystyle n^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$n^[1][2][3]}.
• ${\displaystyle \underset{}{}}$lim ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle \underset{}{c}}$ ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\frac{\mathrm{1n}}{}}^{}}$= L ${\displaystyle {\frac{\mathrm{1n}}{}}^{}}$ ${\$ ^[1][3]$\lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}}$에 n이 양의 정수이고 n이 $짝수$라면 L > 0.

일반적으로 g(x)가 L과 ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}}$ (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=$에서 연속적인 경우$L}$ 그러면$$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}g\왼쪽(f(x)\오른쪽)=g(L)}$^[1][2]

알려진 두 가지 제한에 대한 작업

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}}$ (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ c$}f(x)=$인 경우$L_{1},$ ${\displaystyle \underset{}{lim<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash lim\; \_\{x\backslash to\; c\}f(x)=L\_\{1\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f5996f562c0d80b534089ab96f43a80376c9e789"\; style="vertical-align:\; -1.838ex;\; width:13.836ex;\; height:3.843ex;"\; papago-attr-id="55">}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}}$ g${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$L_$${2}}:$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}:$^[1][2][3]
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\cdot L_{2}}$^[1][2][3]
• ${\displaystyle \lim_{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}}={\frac {L_{1}:{2}}:}\qquad {\text{{{{}{{}}}}{}}}}{}}}}}}}{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$^[1][2][3]

파생 모델 또는 최소의 변경과 관련된 제한

이러한 제한에서 최소 $변경{\displaystyle }$ h ${\displaystyle h}$은(는) $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x}$ 또는$$ $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta$ x$}$로 표시되는 경우가 많다$.$ $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyf(x)$가 x ${\displaystystystyle$ x}에서 서로 다른 경우$$$,$

• ${\displaystyle \underset{}{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{h}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{f}}\frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$+ h${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle {}^{}\frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$) h${\displaystyle }$= f ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x$ 파생상품의 정의다. 또한 모든 차별화 규칙은 제한을 포함하는 규칙으로 다시 구성될 수 있다. 예를 들어, g(x)가 x에서 서로 다른 경우,
  • ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{h}}$→ ${\displaystyle \frac{0}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\circ }{}}$ g${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$+ ${\displaystyle \frac{h}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$- f ${\displaystyle \frac{\circ }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( x )${\displaystyle \frac{}{}}$h${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$[ ${\displaystyle g]}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle g}$ ${$ ( )${\displaystyle }${\$displaystyle \lim _{h\to 0}{f\circle g(x+h)-f\circircleg$ g$) \over$ h$}=f'g'$g'($x$ 이것이 규칙이다.
  • ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$. This is the product rule.
• ${\displaystyle \lim_{h\to 0}\left\frac {f(x+h)}{f(x)}}^{1/h}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}\right)}$
• ${\displaystyle \lim_{h\to 0}{\\reftf(e^{h}x) \over {f(x)}^{1/h}=\exp \left({\frac {frac'}{f(x)}}\right)}$

If ${\displaystyle f(x)}$ and ${\displaystyle g(x)}$ are differentiable on an open interval containing c, except possibly c itself, and ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty }$, L'Hôpital's rule can be used:

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}}{g(x)}}}=\lim_{x\to c}{\frac {f'(x)}}}}}$^[2]

불평등

c 자체를 제외한 c를 ${\displaystyle \mathrm{포함}}$하는 간격의 모든 x에 대해$$ $f{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ g${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)\leq$ g$(x)}$이(가) 있고 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ $및{\displaystyle }$ g$$ (${\displaystyle x}$) ${\displaysty g(x)}$의 한도가 모두 c에 있는 경우^[5]

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle c}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ x${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}}$ h (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}h(x)=$L$}$ 및$$ $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle h}$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)}$을(를) 포함하는 열린 간격의 모든 x에 대해, 가능한$$ c 자체를 제외하고,

이것을 압착 정리라고 한다.^[1][2] 이는 f(x)와 g(x)가 c에서 서로 다른 값을 취하거나 c에서 불연속적인 경우에도 적용된다.

x^a 형식의 다항식 및 함수

• $\displaystyle \lim _{x\to c}a=a}$^[1][2][3]

다항식(x)

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}$^[1][2][3]
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b}$
• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ c ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}^{}}$= ${\displaystyle c^{}}$ ${\$n}이(가) 양의 정수인^[5] 경우$$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infit }x/a={\party{case}\infit,&a=0\-\\nft;&a<0\end{case}}}}}}$

일반적으로 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle p(x)}$이(가) 다항식이라면 다항식의 연속성에 ^[5]의해

이는 합리적인 기능에도 해당 도메인에서 연속적으로 작용하기 때문에 해당된다.^[5]

x^a 형식의 함수

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}.$$}$ 특히$$^[5],
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \ft }x^{a}={\\party,&a}0\1,&a=0\\0,&a<0\end{case}}}}}}$
• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ c ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}}$/ a${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle a^{}}$ ${\$ 특히$,$^[5]
  • ${\displaystyle \lim_{x\to \infit }x^{1/a}=\lim_{x\to \infit }{\sqrt[{a}]{x}}}}}}}}}\infty {\text{}}}}}}$^[6]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}x^{-n}=\lim {\frac {1}{x^{n}}}=+\inflit }}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\+\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim_{x\to \inflt }ax^{-1}=\lim_{x\to \inflt }a/x=0{\text{}실제{}a}$

지수함수

a^g(x) 형식의 함수

• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle \underset{}{c}}$ ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}^{}}$= ${\displaystyle e^{}}$ ${\$ $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\$ e$^{x}}}$의 연속성 때문에$.$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \ft}a^{x}={\poth{case}\ft;&a1\1,&a=1\0,&0<1\case}}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \ft}a^{-x}={\\na}1,&a=1\\\nft;&0<1\case}}}}}}}}}}}$^[6]
• ${\displaystyle \lim_{x\to \infit }{\sqrt[{x}]{a}^{a}^{1/x}={\case}1,&a]0\\&a=0\{\text}}}}}}{x\x\cline}}}}}}}은(존재하지 않음,&a<0\case}).$

x^g(x) 형식의 함수

• ${\displaystyle \lim_{x\to \ft }{\sqrt[{x}}]{x}=\lim_{x\to \ft \ft }^{1/x}=1}$

f(x)^g(x) 형식의 함수

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\inflit }\frac {x}{x+k}\오른쪽)^{x}=e^{-k}}}$^[2]
• ${\displaystyle \lim_{x\to 0}\좌측(1+x\오른쪽)^{\frac {1}{x}=e}$^[2]
• ${\displaystyle \lim_{x\to 0}\좌측(1+kx\오른쪽)^{\frac {m}{x}=e^{mk}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\inflt }\왼쪽(1+{\frac {1}{x}\오른쪽)^{x}=e}$^[7]
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\inflt }\왼쪽(1-{\{\frac {1}{x}\오른쪽)^{x}={\frac {1}{e}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\influt }\왼쪽(1+{\frac{k}{x}\오른쪽)^{mx}=e^{mk}}}$^[6]
• ${\displaystyle \underset{}{\lim }}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}\underset{}{}{}^{}}$( 1${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle a^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$( (${\displaystyle {e^{}}^{}}$ -${\displaystyle {{}^{}}^{}}$x -${\displaystyle 1^{}}$) ) - ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$= e ${\displaystyle a^{}}$ $\$ 이 한계는 이 한도에서 도출할 수 있다.

합계, 제품 및 복합 재료

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}xe^{-x}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \ft }xe^{-x}=0}$
• ${\displaystyle \underset{}{\lim }}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ 0 (${\displaystyle \underset{}{}}$x${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle ln}$ ${\displaystyle }$ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle \lim$ \lim $_{x\to 0}\frac {a^{x}-1}{x}\right)=\ln {a}}}$ 모든 양성 a에 대해$$.^[4][7]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\좌측값\frac {e^{x}-1}{x}}{x}\오른쪽)=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\왼쪽 사진\frac {e^{ax}-1}{x}\오른쪽)=a}$

로그 함수

자연 로그

• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c$$\},$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\$의 연속성 때문에 특히,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}\log x=-\fty }$
  • $\displaystyle \lim _{x\to \ft }\log x=\ft }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}=1}$
• ${\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}=1}$^[7]
• $displaystyle \lim$$}{x}=a}$. 이 한계는 L'H'Pital의 규칙에 따른다.
• ${\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}x\ln x=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \inflt }{\frac {\ln x}{x}=0}$^[6]

임의 기준에 대한 로그

b > 1의 경우,

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-\fty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \flotty }\log _{b}x=\flotty }$

b < 1의 경우

• ${\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\log_{b}x=\infully }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \flotty }\log _{b}x=-\flotty }$

두 경우 모두 다음과 같이 일반화할 수 있다.

• ${\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\log_{b}x=-F(b)\flotty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \ft }\log _{b}x=F(b)\ft }$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $F{\displaystyle (}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2H}(\mathrm{x}}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle F(x)=2H(x-1)-1}$ 및$$ $H{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle H(x)}$은 Hwaviside 단계 함수임

삼각함수

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 라디안으로 표시되는 경우:

• $\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}$
• $\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}$

이러한 제한은 죄악과 코스의 연속성에서 온다.

• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle \underset{}{0}}$ ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}\frac{=}{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to$ 0$}{\frac {\sin$ x$}{x}=1$}$$^[7]또는 일반적으로
  • ${\displaystyle \underset{}{}}$lim ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ 0 ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac${\$sin$ ax$}{ax}=1$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}=a}$
  • ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle \underset{}{0}}$ ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ x x${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\$ b가 0이 아닐 경우$.$
• ${\displaystyle \lim_{x\to \inflt }x\sin \left\frac {1}{x}\right)=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}=0}$^[4]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}={\frac {1}{2}}:}$
• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$± ${\displaystyle \mathrm{tann}\underset{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \pi }$x + ${\displaystyle \pi \frac{2}{}}$) = ${\displaystyle \mp }$ ${\displaystyle \mathrm{\{}}$ {$$\$displaystyle \lim_{x\to$ n$^{\pm }}\tan \left(\pi x+{}{pi }{2}}\rig)=\mpinfty},$정수 n.
• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{\sin }}}$ ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{}}}$ sin ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{\sin }}}$ (${\displaystyle \underset{}{x0}}$ )${\displaystyle \underset{}{\underset{}{{}_{}}}}$ n${\displaystyle \underset{}{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }\underbrace {\sin \cdots \sin(x_{0}}) _$$n},$ 여기서 x는₀ 임의의 실수이다.
• $lim$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{\cos }}\underset{}{}\underset{}{\underset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{\cos }}}$ ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{}}}$ cos ${\displaystyle \underset{}{\underset{}{{}_{}}}}$cos = =${\displaystyle \underset{}{}\underset{}{\underset{}{}}n}$ = d ${\displaystyle \lim _{n\to \inft }\ \cos \cos \codots \cos($x_$\{$$0}}}).$ 여기서 d는$$도티 번호다$.$ x는₀ 임의의 실제 숫자가 될 수 있다.

합계

일반적으로 무한 시리즈는 그 부분적인 총액의 한계다. 예를 들어, 분석 함수는 테일러 시리즈의 한계로, 수렴 반경 내에 있다.

• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}\underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \sum _{}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ n ${\displaystyle \frac{1}{}}$ k${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}=\inflt$ $\}.$ 이것은 고조파 계열로 알려져 있다.^[6]
• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle (\sum \underset{k}{\overset{}{}}}$ =${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{1n}}}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{1k}}{}}$ -${\displaystyle \log \mathrm{logn}}$) =${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lim_{n\to \inflt }\flt(\$sum $_{k=1$}^{$n}{k}-log$ n$\rig)=\gma$ $\}\}.$ 이것은 오일러 마셰로니 상수이다.

주목할 만한 특별 한도

• ${\displaystyle \lim _{n\to \inflit }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}$
• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{n!)}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}}$/ n${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \inflit }\{n}}^{1/n}=\inflit$ $\}\}.$ 이는 $불평등$ e${\displaystyle {}^{}}$x ${\displaystyle x\frac{{}^{}}{}}$ x ${\displaystyle \frac{{}^{}}{!}}$ ${\displaystystyle$ e^{$x}\gq$ {x}{x$^{n}}}}}}}}}{x^{x$^{x^{x^{$n!}}}}}}}}}{n!$$}}}$ ${\displaystyle x}$ =${\displaystyle }$n$$ ${\displaystyle x=n$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }$. This can be derived from Viète's formula for π.

제한행동

점근성 등가성

점근성 동등성, ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$~ g (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$은$($는) ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ x${\displaystyle \underset{}{}}$→ $∞$ ${\displaystyle \underset{}{}\frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$) ${\displaystyle \mathrm{g}\frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$x${\displaystyle \frac{}{}}$)$$= 1 {\$displaystyle \lim _{$x$\frac {f(x)}{g($x)}}}}}}}}}=1$}$의 경우 참이다$.$ 따라서 한계로 다시 표시할 수도 있다. 주목할 만한 점증적 동등성에는 다음이 포함된다.

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x/\ln x}{\pi (x)}}=1}$, due to the prime number theorem, ${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$, where π(x) is the prime counting function.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }{\frac {{\sqrt{2\pi$$^{n}}{n!$}}}=$1$ 스털링의 근사 $때문$에 n${\displaystyle !~\sqrt{\mathrm{2\pi n}}}$ ${\displaystyle ({n\frac{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{e}{}}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ n$}}}\왼쪽({\frac {n}{e}\오른쪽)$$^{n}}$.

빅 O 표기법

빅 O 표기법으로 기술된 함수의 동작도 한계로 기술할 수 있다. 예를 들면

• ${\displaystyle }$${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \in }$ O${\displaystyle }$( (${\displaystyle x}$) )${\displaystyle f(x)\in {\mathcal {O}$$x)},$ sup → ( )g< ${\displaystyle \limsup _{x\frac \}{g(x)}{g$($x)}}}{$g(x)\$ft.$

참조