외부파생상품

Exterior derivative

가변성 다지관에서 외부 파생상품은 함수의 차등 개념을 더 높은 수준의 차등 형태까지 확장한다. 외부 파생상품은 1899년 Elie Cartan에 의해 현재의 형태로 처음 설명되었다. 스톡스의 정리, 가우스의 정리, 벡터 미적분학에서 그린의 정리를 자연적이고 미터법적으로 일반화할 수 있게 한다.

차동 k-폼이 다지관의 각 지점에서 극소수 k-병렬로를 통해 유속을 측정하는 것으로 생각되는 경우, 그 외부 파생상품은 각 지점에서 a(k + 1)-병렬로의 경계를 통해 순유속을 측정하는 것으로 생각할 수 있다.

정의

k차등 형태(여기서 단순성을 위한 k-형식 또는 just k-형식)의 외부 파생형 k + 1의 차등 형태다.

f부드러운 함수(0-form)인 경우 f의 외부 파생상품은 f차등이다. 즉, df는 모든 부드러운 벡터장 X, df(X) = dX f , 여기서 dfX X의 방향으로 f방향 파생상품이다.

차동 형태(동일한 기호 로 표시됨)의 외부 제품은 포인트와이즈 외부 제품으로 정의된다.

일반 k-폼의 외부 파생상품에는 다양한 등가 정의가 있다.

공리의 관점에서 보면

외부 파생상품은 다음과 같은 특성을 갖는 k-forms에서 (k + 1)-forms까지의 고유한 unique-선형 매핑으로 정의된다.

  1. df는 0-form f에 대한 f차등이다.
  2. d(df ) = 0-form f의 경우 0.
  3. d(αβ) = β + (-1) p(α) 여기서 α는 p형식이다. 즉, d는 미분양식의 외부 대수학에서 1등급반분법이다.

두 번째 정의 속성은 더 일반적이다: 모든 k-form α에 대해 d() = 0; 더 간결하게, d2 = 0. 세 번째 정의 속성은 f가 함수이고 α a가 k-form이면 d(fα) = d() = d(fα) = d(f α) = df α + f α 는 함수가 0-form이기 때문에 df α = df α + f α dα는 인수 중 하나가 스칼라일 때 스칼라 곱셈과 외부 제품은 동등하다는 특수한 경우를 내포한다.[citation needed]

국부좌표면

또는 로컬 좌표계(x1, ..., xn)에서 완전히 작업할 수 있다. 좌표 차분 dx1, ..., dxn 각각 좌표와 연관된 단일 형태의 공간의 기초를 형성한다. 다중 지수 I = (i1, ..., ik)가 1 ip i n n이고 1 ≤ p ≤ k (그리고 dxi1 ∧을 나타냄... 표기법 dxI 남용dxik), a (iiiii) k-form의 외부 파생 모델

overn ℝ은 다음과 같이 정의된다.

(아인슈타인 요약 규칙을 사용한다). 외부 파생상품의 정의는 일반 k-폼으로 선형적으로 확장된다.

여기서 다중 인덱스의 각 구성 요소 I {1, ..., n}의 모든 값에 대해 실행된다는 점에 유의하십시오. 다중 인덱스 I의 구성 요소 중 하나와 같을 때마다 dxi dxI = 0(외부 제품 참조).

국부 좌표에서 외부 파생상품의 정의는 공리성의 측면에서 앞의 정의에서 따온 것이다. 실제로 위에서 정의한 k-form φ으로,

여기서 g를 0형식으로 해석한 다음 외부 파생상품의 특성을 적용했다.

이 결과는 다음과 같이 일반 k-form Ω으로 직접 확장된다.

특히 1형식 Ω의 경우, 국부좌표에서 의 성분은 다음과 같다.

주의: d d d d k 의 의미에 관한 두 가지 규약이 있다 대부분의 현재 작가들은[citation needed] 다음과 같은 규약을 가지고 있다.

고바야시, 노미즈, 헬가슨과 같은 구본에 있는 동안.

불변 공식의 관점에서 보면

또는 k+1 임의의 부드러운 벡터장 V, V01, ..., Vk: 쌍을 이루는 경우 k-form Ω의 외부 파생 모델에 대해 명시적 공식을 제공할[citation needed] 수 있다.

여기서 [Vi, Vj]Lie Bracket[further explanation needed] 나타내며, 모자는 해당 요소의 누락을 나타낸다.

특히 Ω이 1형식인 경우 우리는 (X, Y) = dX(Ω(Y) - dY(Ω(X) - Ω(X) - Ω([X, Y]

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{의 요인에 의하여 현재의 관습으로 참고:., Kobayashi–Nomizu과 Helgason 공식을 다르다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/k+1:.

예 1. 스칼라 필드 u경우 1-form basis dx11, ..., dx2n 고려하십시오. 외부 파생상품은 다음과 같다.

합계가 i = 3에서 시작하는 마지막 공식은 외부 제품의 특성에서 쉽게 따라온다. , dxidxi = 0.

예 2. σ = u dx + v dy를 ℝ에 걸쳐2 정의된 1-폼으로 한다. 위의 공식을 각 항에 적용함으로써(고려2 x1 = x, x = y) 다음과 같은 합을 얻는다.

스톡스의 다지관 정리

M이 경계를 가진 콤팩트한 매끄러운 방향의 n차원 다지관이고, ΩM (n - 1)형이라면, 스토크스 정리의 일반화된 형태는 다음과 같이 명시한다.

직감적으로 M을 극소수 영역으로 나누고, 모든 영역의 경계를 통해 플럭스를 더하면 내부 경계가 모두 취소되어 총 플럭스는 M의 경계를 통과하게 된다.

추가 특성

닫힌 정확한 양식

k-form Ω = 0이면 closed라고 하고, d커널은 closed라고 하며, 일부 (k - 1)-form α에 대해서는 Ω = 라고 하고, 정확한 형태는 d이미지라고 한다. d2 = 0이기 때문에 모든 정확한 형태는 닫힌다. 푸앵카레 보조정리기는 계약 가능한 지역에서 그 반대가 사실이라고 말한다.

드 람 코호몰로지

외부 파생상품 dd2 = 0의 특성을 가지기 때문에, 다지관의 de Rham cohomology를 정의하기 위한 미분(공동 경계)으로 사용할 수 있다. 닫힌 k-forms의 나머지를 정확한 k-forms의 Rham cohomology(그룹)드 그 k-th은 벡터 공간, 앞 절에서 지적했듯이 푸앵카레 부명제에서는 이러한 벡터 공간은 줄일 수 있는 지방까지 k을에 평범하고;0.원활한 manifolds 들어, 형태의 통합은 singula에 드 Rham cohomology에서 자연스러운 불완전 변태를 준다.에 대한 코호몰로지. 드 람의 정리는 이 지도가 실제로 이소모르프(Isomorphism)이며 푸앵카레 보조마(Poincaré)의 광범위한 일반화라는 것을 보여준다. 일반화된 스톡스의 정리에서 제시된 바와 같이, 외부 파생상품은 특이소설에 대한 경계지도의 "이중"이다.

자연성

기술적 의미에서 외부 파생상품은 자연스럽다: f : M → N이 매끄러운 지도이고 Ωk 각 다지관에 k-폼의 공간을 할당하는 역변성 매끄러운 펑터라면, 다음 도표는 통관한다.

Exteriorderivnatural.png

so1 d() = fdΩ, 여기 f는 f의 풀백을 나타낸다. 이는 (·)에서 f 푸시포워드Ω(··)로 이어진다. 따라서 dΩ에서k Ω으로k+1 자연 변환하는 것이다.

벡터 미적분학에서 외부 파생 모델

대부분의 벡터 미적분 연산자는 외부 분화 개념의 특별한 경우 또는 밀접한 관계를 가지고 있다.

그라데이션

실제로 다른 다지관 M매끄러운 함수 f : M은 0형식이다. 이 0-폼의 외부 파생상품은 1-폼 df이다.

내부 제품 ⟨··⟩을 정의할 때, 함수 f의 구배 ff는 V의 고유한 벡터로 정의되어 V의 어떤 요소를 가진 그 내부 제품이 벡터를 따라 f의 방향성 파생물이 된다.

그것은

여기서 은 내생물에 의해 유도되는 음악적 이형성 : V → V 나타낸다.

1-형식 df는 각 점의 등각 공간에서 f에 대한 국소 선형 근사치를 제공하는 등각형 번들의 한 섹션이다.

발산

n 벡터 필드 V = (v12, v, ..., vn)에 해당하는 (n - 1)-형식이 있다.

여기서 (는) 해당 요소의 누락을 나타낸다.

(예를 들어, n = 3일 때, 즉 3차원 공간에서 2-폼 ΩV 국소적으로 V가 있는 스칼라 트리플 제품이다.) 초저면 위에 ΩV 적분은 그 초저면 위에 V흐른다는 것이다.

이 (n - 1) 형식의 외부 파생형은 n-form이다.

n 벡터장 V에도 해당하는 1형식이 있다.

로컬로, ηV V가 있는 도트 제품이다. 경로를 따라 ηV 통합은 해당 경로를 따라 -V에 대해 수행된 작업이다.

n = 3일 때 3차원 공간에서 1-폼 derivativeV 외부 파생형은 2-폼이다.

벡터 미적분학에서 연산자의 불변성 제형

표준 벡터 미적분 연산자는 모든 의사-리만 다지관에 대해 일반화할 수 있으며 다음과 같이 좌표가 없는 표기법으로 작성할 수 있다.

여기서 호지별 연산자, 음악적 이소모르파, f스칼라장, F벡터장이다.

에 대한 표현은 n - 2의 형태인d(F)에 작용하도록 요구하는 점에 유의한다. 을 임의의 k-forms에 자연적으로 일반화하면 이 표현은 어떤 n에 대해서도 이치에 맞다.

참고 항목

메모들

참조

  • Cartan, Élie (1899). "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Série 3 (in French). Paris: Gauthier-Villars. 16: 239–332. ISSN 0012-9593. JFM 30.0313.04. Retrieved 2 Feb 2016.
  • Conlon, Lawrence (2001). Differentiable manifolds. Basel, Switzerland: Birkhäuser. p. 239. ISBN 0-8176-4134-3.
  • Darling, R. W. R. (1994). Differential forms and connections. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 35. ISBN 0-521-46800-0.
  • Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. p. 20. ISBN 0-486-66169-5.
  • Loomis, Lynn H.; Sternberg, Shlomo (1989). Advanced Calculus. Boston: Jones and Bartlett. pp. 304–473 (ch. 7–11). ISBN 0-486-66169-5.
  • Ramanan, S. (2005). Global calculus. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. p. 54. ISBN 0-8218-3702-8.
  • Spivak, Michael (1971). Calculus on Manifolds. Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 9780805390216.
  • Warner, Frank W. (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3

외부 링크