p에서 p+1 형태까지 일정한 텐서(tensor)가 걸리는 작업
가변성 다지관 에서 외부 파생상품은 함수의 차등 개념을 더 높은 수준 의 차등 형태까지 확장한다. 외부 파생상품은 1899년 Elie Cartan 에 의해 현재의 형태로 처음 설명되었다. 스톡스의 정리 , 가우스의 정리 , 벡터 미적분학에서 그린의 정리 를 자연적이고 미터법적으로 일반화할 수 있게 한다.
차동 k-폼이 다지관의 각 지점에서 극소수 k-병렬로 를 통해 유속 을 측정하는 것으로 생각되는 경우, 그 외부 파생상품은 각 지점에서 a(k + 1)- 병렬로의 경계를 통해 순유속을 측정하는 것으로 생각할 수 있다.
정의 도 k 의 차등 형태(여기서 단순성을 위한 k-형식 또는 just k-형식)의 외부 파생형 은 도 k + 1의 차등 형태다.
f 가 부드러운 함수 (0-form)인 경우 f 의 외부 파생상품은 f 의 차등 이다. 즉, df 는 모든 부드러운 벡터장 X, df (X ) = dX f , 여기서 df 는X X 의 방향으로 f 의 방향 파생상품 이다.
차동 형태(동일한 기호 ∧ 로 표시됨)의 외부 제품은 포인트와이즈 외부 제품 으로 정의된다.
일반 k-폼의 외부 파생상품에는 다양한 등가 정의가 있다.
공리의 관점에서 보면 외부 파생상품은 다음과 같은 특성을 갖는 k-forms에서 (k + 1)- forms까지의 고유한 unique-선형 매핑으로 정의된다.
df 는 0-form f 에 대한 f 의 차등 이다. d (df ) = 0-form f 의 경우 0 . d (α ∧ β ) = dα ∧ β + (-1) p (α ∧ dβ ) 여기서 α 는 p형식이다 . 즉, d 는 미분양식의 외부 대수학 에서 1등급 의 반분법 이다. 두 번째 정의 속성은 더 일반적이다: 모든 k-form α에 대해 d (dα ) = 0 ; 더 간결하게, d 2 = 0 . 세 번째 정의 속성은 f 가 함수이고 α a가 k-form이면 d ( fα) = d(fα ) = d ( fα) = d(f α ) = df α + f α dα 는 함수가 0-form이기 때문에 df α = df α + f α dα는 인수 중 하나가 스칼라일 때 스칼라 곱셈과 외부 제품은 동등하다는 특수한 경우를 내포한다.[citation needed ]
국부좌표면 또는 로컬 좌표계 (x 1 , ..., x n )에서 완전히 작업할 수 있다. 좌표 차분 dx 1 , ..., dx 는n 각각 좌표와 연관된 단일 형태의 공간의 기초를 형성한다. 다중 지수 I = (i 1 , ..., i k ) 가 1 ip i n n이고 1 ≤ p ≤ k (그리고 dx i 1 ∧을 나타냄... ∧ 표기법 dx 를I 남용 한 dx i k ), a (iiiii) k-form의 외부 파생 모델
φ = g d x I = g d x i 1 ∧ d x i 2 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \varphi =g\,dx^{ I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}}} overn ℝ은 다음과 같이 정의된다.
d φ = ∂ g ∂ x i d x i ∧ d x I {\displaystyle d{\varphi }={\frac {\fract g}{\back x^{i}}\,dx^{i}\bas dx^{}}} I}} (아인슈타인 요약 규칙 을 사용한다). 외부 파생상품의 정의는 일반 k-폼으로 선형적 으로 확장된다.
ω = f I d x I , \displaystyle \omega =f_{ I}\,dx^{I}} 여기서 다중 인덱스의 각 구성 요소 I 이 {1, ..., n }의 모든 값에 대해 실행된다는 점에 유의하십시오. 다중 인덱스 I 의 구성 요소 중 하나와 같을 때마다 dx i ∧ dxI = 0(외부 제품 참조).
국부 좌표에서 외부 파생상품의 정의는 공리성의 측면 에서 앞의 정의 에서 따온 것이다. 실제로 위에서 정의한 k-form φ 으로,
d φ = d ( g d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) = d g ∧ ( d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) + g d ( d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) = d g ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k + g ∑ p = 1 k ( − 1 ) p − 1 d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i p − 1 ∧ d 2 x i p ∧ d x i p + 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k = d g ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k = ∂ g ∂ x i d x i ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle{\begin{정렬}d{\varphi}&, =d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots dx^{i_{k}}\right \wedge)\\&,=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots dx^{i_{k}}\right \wedge)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots dx^{i_{k}}\right \wedge)\\&, =dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots dx^{i_{k}}+g\sum _ᆰ^ᆱ())^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \we \wedge.dge dx^{i_{p -1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\\end{aligned}}} 여기서 g 를 0형식으로 해석한 다음 외부 파생상품의 특성을 적용했다.
이 결과는 다음과 같이 일반 k-form Ω 으로 직접 확장된다.
d ω = ∂ f I ∂ x i d x i ∧ d x I . {\displaystyle d\omega ={\frac {\preason f_{ I}{{\partial x^{i}}\,dx^{i}\wedge dx^{{}} I}} 특히 1형식 Ω 의 경우, 국부좌표 에서 dΩ 의 성분은 다음과 같다.
( d ω ) i j = ∂ i ω j − ∂ j ω i . {\displaystyle (d\omega )_{ij}=\cHB _{i}\i}\i}\i}\i} } 주의 : d x i 1 ∧ ∧ ⋯ d d d d d k {\ displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}} 의 의미에 관한 두 가지 규약이 있다. 대부분의 현재 작가들은[citation needed ] 다음과 같은 규약을 가지고 있다.
( d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) ( ∂ ∂ x i 1 , … , ∂ ∂ x i k ) = 1. {\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \dx^{i_{1}}}}\fldots,{\frac{\i_}}}}}}}{\k}}\오른쪽)=1. } 고바야시, 노미즈, 헬가슨과 같은 구본에 있는 동안.
( d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) ( ∂ ∂ x i 1 , … , ∂ ∂ x i k ) = 1 k ! . {\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \dx^{i_{1}:{\fldots }{\frac{\i_}}}}}}}{\frac {1}{1}k! }}.} 불변 공식의 관점에서 보면 또는 k + 1 임의의 부드러운 벡터장 V, V0 1 , ..., V k :와 쌍을 이루는 경우 k-form Ω 의 외부 파생 모델에 대해 명시적 공식을 제공할[citation needed ] 수 있다.
d ω ( V 0 , … , V k ) = ∑ i ( − 1 ) i d V i ( ω ( V 0 , … , V ^ i , … , V k ) ) + ∑ i < j ( − 1 ) i + j ω ( [ V i , V j ] , V 0 , … , V ^ i , … , V ^ j , … , V k ) {\displaystyle d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}\left(\omega \left(V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}\right)\right)+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega \left(\left[V_{i},V_{j}\right], V_{0},\ldots,{\hat {V}_{i},\dots,{\hat {V}_{j},\dots,V_{k}\right)}} 여기서 [Vi , Vj ] 는 Lie Bracket 을[further explanation needed ] 나타내며, 모자는 해당 요소의 누락을 나타낸다.
ω ( V 0 , … , V ^ i , … , V k ) = ω ( V 0 , … , V i − 1 , V i + 1 , … , V k ) . {\displaystyle \omega \left(V_{0},\ldots,{V}_{i},\ldots, V_{k}\right)=\omega \left(V_{0},\ldots, V_{i+1},\ldots, V_{k}\rigets. } 특히 Ω 이 1형식인 경우 우리는 dΩ (X , Y ) = d X (Ω (Y ) - d Y (Ω (X ) - Ω (X) - Ω ([ X, Y]
.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{의 요인에 의하여 현재의 관습으로 참고:., Kobayashi–Nomizu과 Helgason 공식을 다르다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/k+1:.
d ω ( V 0 , … , V k ) = 1 k + 1 ∑ i ( − 1 ) i d V i ( ω ( V 0 , … , V ^ i , … , V k ) ) + 1 k + 1 ∑ i < j ( − 1 ) i + j ω ( [ V i , V j ] , V 0 , … , V ^ i , … , V ^ j , … , V k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,d_{{}_{V_{i}}}\left(\omega \left(V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}\right)\right) \\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}-1)^{i+j}\오메가 \left([V_{i}},V_{j}), V_{0},\ldots,{\hat {V}_{i},\ldots,{\hat {V}_{j},\ldots, V_{k}\right). \end{정렬}}} 예 예 1. 스칼라 필드 u 의 경우 1-form basis dx1 1 , ..., dx 를2 n 고려하십시오. 외부 파생상품은 다음과 같다.
d σ = d u ∧ d x 1 ∧ d x 2 = ( ∑ i = 1 n ∂ u ∂ x i d x i ) ∧ d x 1 ∧ d x 2 = ∑ i = 3 n ( ∂ u ∂ x i d x i ∧ d x 1 ∧ d x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}} 합계가 i = 3 에서 시작하는 마지막 공식은 외부 제품 의 특성에서 쉽게 따라온다. 즉 , dx i ∧ dx i = 0.
예 2. σ = u dx + v dy 를 ℝ에 걸쳐2 정의된 1-폼으로 한다. 위의 공식을 각 항에 적용함으로써(고려 2 x 1 = x, x = y) 다음과 같은 합을 얻는다.
d σ = ( ∑ i = 1 2 ∂ u ∂ x i d x i ∧ d x ) + ( ∑ i = 1 2 ∂ v ∂ x i d x i ∧ d y ) = ( ∂ u ∂ x d x ∧ d x + ∂ u ∂ y d y ∧ d x ) + ( ∂ v ∂ x d x ∧ d y + ∂ v ∂ y d y ∧ d y ) = 0 − ∂ u ∂ y d x ∧ d y + ∂ v ∂ x d x ∧ d y + 0 = ( ∂ v ∂ x − ∂ u ∂ y ) d x ∧ d y {\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right) \\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right) \\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}}
스톡스의 다지관 정리 M 이 경계를 가진 콤팩트한 매끄러운 방향의 n차원 다지관이고, Ω 이 M 에 (n - 1)형이라면, 스토크스 정리의 일반화된 형태 는 다음과 같이 명시한다.
∫ M d ω = ∫ ∂ M ω {\d}d\omega =\int_{\partial {M}\omega} 직감적으로 M 을 극소수 영역으로 나누고, 모든 영역의 경계를 통해 플럭스를 더하면 내부 경계가 모두 취소되어 총 플럭스는 M 의 경계를 통과하게 된다.
추가 특성 닫힌 정확한 양식 k-form Ω 은 dΩ = 0 이면 closed 라고 하고, d 의 커널 은 closed라고 하며, 일부 (k - 1)- form α 에 대해서는 Ω = dα 라고 하고 , 정확한 형태는 d 의 이미지 라고 한다. d 2 = 0 이기 때문에 모든 정확한 형태는 닫힌다. 푸앵카레 보조정리기 는 계약 가능한 지역에서 그 반대가 사실이라고 말한다.
드 람 코호몰로지 외부 파생상품 d 는 d 2 = 0 의 특성을 가지기 때문에, 다지관의 de Rham cohomology 를 정의하기 위한 미분(공동 경계)으로 사용할 수 있다. 닫힌 k-forms의 나머지를 정확한 k-forms의 Rham cohomology(그룹)드 그 k-th은 벡터 공간, 앞 절에서 지적했듯이 푸앵카레 부명제에서는 이러한 벡터 공간은 줄일 수 있는 지방까지 k을에 평범하고;0.원활한 manifolds 들어, 형태의 통합은 singula에 드 Rham cohomology에서 자연스러운 불완전 변태를 준다. Ⅱ 에 대한 코호몰로지. 드 람의 정리는 이 지도가 실제로 이소모르프(Isomorphism)이며 푸앵카레 보조마(Poincaré)의 광범위한 일반화라는 것을 보여준다. 일반화된 스톡스의 정리에서 제시된 바와 같이, 외부 파생상품은 특이소설에 대한 경계지도 의 "이중"이다.
자연성 기술적 의미에서 외부 파생상품은 자연스럽다: f : M → N 이 매끄러운 지도이고 Ω 이k 각 다지관에 k-폼의 공간을 할당하는 역변성 매끄러운 펑터라면 , 다음 도표는 통관한다.
so1 d (fΩ ∗ ) = fdΩ ∗ , 여기 서∗ f 는 f의 풀백 을 나타낸다. 이는 fΩ∗ (·) 에서 f 의∗ 푸시포워드 인 Ω ∗ (··) 로 이어진다. 따라서 d 는 Ω 에서k Ω 으로k +1 자연 변환 하는 것이다.
벡터 미적분학에서 외부 파생 모델 대부분의 벡터 미적분 연산자는 외부 분화 개념의 특별한 경우 또는 밀접한 관계를 가지고 있다.
그라데이션 실제로 다른 다지관 M 의 매끄러운 함수 f : M → ℝ 은 0형식이다. 이 0-폼의 외부 파생상품은 1-폼 df이다.
내부 제품 ⟨··⟩ 을 정의할 때, 함수 f의 구배 ff 는 V의 고유 한 벡터로 정의되어 V 의 어떤 요소를 가진 그 내부 제품이 벡터를 따라 f 의 방향성 파생물이 된다.
⟨ ∇ f , ⋅ ⟩ = d f = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i d x i . {\displaystyle \langle \langlea f,\cdot \rangle=\df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\fract f}{\frome x^{i}}}}\\cdx^{i}. } 그것은
∇ f = ( d f ) ♯ = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( d x i ) ♯ , {\displaystyle \nabla f=(df)^{}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {\fract f}{\n1}{\precipal x^{i}}}}\{\put(dx^{i}\오른쪽) ^{\filency } 여기서 ♯ 은 내생물에 의해 유도되는 음악적 이형성 ♯ : V → V 를∗ 나타낸다.
1-형식 df 는 각 점의 등각 공간에서 f 에 대한 국소 선형 근사치를 제공 하는 등각형 번들 의 한 섹션이다.
발산 ℝ 의n 벡터 필드 V = (v1 2 , v, ..., vn ) 에 해당하는 (n - 1)- 형식이 있다.
ω V = v 1 ( d x 2 ∧ ⋯ ∧ d x n ) − v 2 ( d x 1 ∧ d x 3 ∧ ⋯ ∧ d x n ) + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 v n ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n − 1 ) = ∑ i = 1 n ( − 1 ) ( i − 1 ) v i ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x i − 1 ∧ d x i ^ ∧ d x i + 1 ∧ ⋯ ∧ d x n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\ \&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}} 여기서 d x i ^ {\ displaystyle {\widehat {dx^{i}}}} 은 (는) 해당 요소의 누락을 나타낸다.
(예를 들어, n = 3일 때, 즉 3차원 공간에서 2-폼 Ω 은V 국소적으로 V 가 있는 스칼라 트리플 제품 이다.) 초저면 위에 Ω 의V 적분은 그 초저면 위에 V 가 흐른다는 것이다.
이 (n - 1) 형식의 외부 파생형은 n-form이다 .
d ω V = 칸막이하다 V ( d x 1 ∧ d x 2 ∧ ⋯ ∧ d x n ) . {\displaystyle d\bogomega _{V}=\operatorname {div}V\왼쪽(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right). } 컬 ℝ 의n 벡터장 V 에도 해당하는 1형식이 있다.
η V = v 1 d x 1 + v 2 d x 2 + ⋯ + v n d x n . {\displaystyle \eta_{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n}. } 로컬로, η 은V V 가 있는 도트 제품이다. 경로를 따라 η 의V 통합은 해당 경로를 따라 -V 에 대해 수행된 작업 이다.
n = 3일 때 3차원 공간에서 1-폼 derivative 의V 외부 파생형은 2-폼이다.
d η V = ω 곱슬곱슬하게 하다 V . {\displaystyle d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl}V}} 벡터 미적분학에서 연산자의 불변성 제형 표준 벡터 미적분 연산자는 모든 의사-리만 다지관 에 대해 일반화할 수 있으며 다음과 같이 좌표가 없는 표기법으로 작성할 수 있다.
등급을 매기다 f ≡ ∇ f = ( d f ) ♯ 칸막이하다 F ≡ ∇ ⋅ F = ⋆ d ⋆ ( F ♭ ) 곱슬곱슬하게 하다 F ≡ ∇ × F = ( ⋆ d ( F ♭ ) ) ♯ Δ f ≡ ∇ 2 f = ⋆ d ⋆ d f ∇ 2 F = ( d ⋆ d ⋆ ( F ♭ ) − ⋆ d ⋆ d ( F ♭ ) ) ♯ , {\displaystyle {\put{array}{rcccl}\fgradname {grad} f&\equiv &\putla f&=&\left(df\right) ^{\sharp }\\\operatorname {div}F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\\star }{\mathord {\\좌(F^{\flat }\오른쪽) }}}\\\operatorname {curl}F&\equiv &\nabla \time F&=&\\왼쪽({\star }d}\mathord {\\\(F^{\flat }\오른쪽)}\오른쪽) ^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&#{\star }d{\df\\&\nabla ^{2} F&=&\\ft(d{\star }d{\d}d{\star }{\flat }\오른쪽){\mathord {\\d}{\star }d{\d}d{\mathord {\ft(F^{\flat }\right)}\오른쪽) ^{\\put }\\end{array}}} 여기서 ⋆ 은 호지별 연산자 , ♭ 과 ♯ 은 음악적 이소모르파 , f 는 스칼라장 , F 는 벡터장 이다.
컬 에 대한 표현은 ♯ 가 n - 2 의 형태인 ⋆d (F ♭ )에 작용하도록 요구하는 점에 유의한다. ♯ 을 임의의 k-forms에 자연적으로 일반화하면 이 표현은 어떤 n 에 대해서도 이치에 맞다.
참고 항목
메모들
참조 Cartan, Élie (1899). "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Série 3 (in French). Paris: Gauthier-Villars. 16 : 239–332. ISSN 0012-9593 . JFM 30.0313.04 . Retrieved 2 Feb 2016 . Conlon, Lawrence (2001). Differentiable manifolds . Basel, Switzerland: Birkhäuser. p. 239. ISBN 0-8176-4134-3 . Darling, R. W. R. (1994). Differential forms and connections . Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 35. ISBN 0-521-46800-0 . Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences . New York: Dover Publications. p. 20. ISBN 0-486-66169-5 . Loomis, Lynn H.; Sternberg, Shlomo (1989). Advanced Calculus . Boston: Jones and Bartlett. pp. 304 –473 (ch. 7–11). ISBN 0-486-66169-5 . Ramanan, S. (2005). Global calculus . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. p. 54. ISBN 0-8218-3702-8 . Spivak, Michael (1971). Calculus on Manifolds . Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 9780805390216 . Warner, Frank W. (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups , Graduate Texts in Mathematics, 94 , Springer, ISBN 0-387-90894-3
외부 링크