부정형

미적분학과 다른 수학적 분석 분야에서, 두 함수의 합, 차이, 곱, 몫 또는 거듭제곱의 한계를 취할 때, 이 두 함수의 해당 한계를 각각 단순히 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나누거나, 지수화하는 것이 종종 가능할 수 있습니다.그러나 이 두 한계의 합, 차이, 곱 또는 검정력이 무엇이어야 하는지 불분명한 경우가 있습니다.예를 들어, 다음 표현식이 무엇을 ^[1]평가해야 하는지 명확하지 않습니다.

{\style\frac {0}, ~{\frac {\infty}, ~0\times \infty, ~\infty -\infty, ~0^{0}, ~1^{\infty}, {\text} 및 }\infty ^{0}을 표시합니다.

이 일곱 가지 표현식은 불확정한 형태로 알려져 있습니다.더 구체적으로, 그러한 표현은 대수적 한계 정리를 순진하게 적용하여 두 함수의 해당 산술 연산의 한계를 평가함으로써 얻어지지만, 0으로 수렴한 후 다른 유한 값으로 수렴하거나 무한대로 발산하거나 그냥 발산하는 함수 쌍의 예가 있습니다.한계가 무엇인지 결정할 수 없는 것은 왜 이러한 형태가 불확실한 것으로 간주되는지를 설명합니다.무한으로 확인된 한계는 특정 값(무한)^[1]을 갖는 것으로 확인되었기 때문에 불확실하지 않습니다.이 용어는 원래 19세기 중반에 코시의 학생인 모이니노에 의해 도입되었습니다.

비결정형의 가장 일반적인 예는 각각 0으로 수렴하는 두 함수의 몫입니다.이 불확실한 형식은 0 / 0 {{displaystyle 0/0}으로 표시됩니다. 예를 들어, x {\displaystyle x}가 0 {{\displaystyle x/x^{3}}에 가까워지면 비율 x / x {\displaystyle x/x} 및 x 2 / {\displaystyle x^{2}가 각각 }, 1 {\displaystyle 0}로 이동합니다.각 경우에 분자와 분모의 한계를 대입하면 결과 식은 0 $0/0$ / $0/0$ ${\displaystyle 0/$ 0 $0/0$ 이며, 이는 불확실합니다.이러한 의미에서 0 $0/0$ / $0/0$ { $displaystyle$ 0 $/0}$ 은 $0/0$ (는) 분자와 분모에 넣을 함수를 적절히 선택하여 0 $0~$ {\ $displaystyle$ 0 $0~$ $1$ {\ $displaystyle$ 1 $1$ 또는 $∞$ {\ $displaystyle \infty$ $0~$ 을 취할 수 있습니다.주어진 특정 값이 한계인 함수 쌍을 실제로 찾을 수 있습니다.더 놀라운 것은, 아마도, 두 함수의 계수가 단순히 무한대로 발산되는 것이 아니라 실제로 발산될 수 있다는 것입니다.예를 들어 x $x\sin(1/x)/x$ ( $x\sin(1/x)/x$ $x\sin(1/x)/x$ ) / $x\sin(1/x)/x$ {\ $displaystyle$ x $\sin(1/x)/x$ 을(를) 입력합니다.

따라서 x $($ $x){displaystyle$ f $(x)}$ 와 $f(x)$ g $){displaystyle$ g $(x$ )} 두 $g(x)$ $f(x)$ 가 x({ $displaystyle$ x})가 어떤 $한계점$ c({ $displaystyle$ c})에 $x$ $c$ $x$ 에 따라 0 $({$ 0 $~})$ 으로 $0~$ $0~$ 한다는 사실은 한계를 결정하기에 충분하지 않습니다.

{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.

대수적 한계 정리를 적용하는 것 이외의 방법으로 발생하는 표현식은 동일한 형태의 부정형을 가질 수 있습니다.그러나 표현식이 한계를 결정하는 맥락을 벗어나면 표현식을 "불확정 형식"이라고 부르는 것은 적절하지 않습니다.예를 들어, f(x) = x / (x - 1 - 1 ) {\ displaystyle f(x) = x / (x - 1 - 1 ) {\ displaystyle f(x) x x / (x-1 - 1)} 방정식에서 x에 0을 대입함으로써 발생하는 0 / 0은 유한한 표현식이 아니기 때문에 불확실한 형식이 아니다.또 다른 예로는 0 ${{$ 0 $^{0$ 이라는 표현이 있습니다.이 표현식이 정의되지 않은 상태로 유지되는지, 또는 1 $({displaystyle$ 1 $1$ 과 $1$ 하게 정의되는지 여부는 응용 분야에 따라 다르며 작성자마다 다를 수 있습니다.자세한 내용은 0에서 0의 거듭제곱 기사를 참조하십시오.0 $∞$ {\ $displaystyle$ 0 $^{\infty }$ 및 $0^{\infty }$ 무한대를 포함하는 다른 식은 불확실한 형식이 아닙니다.

몇 가지 예와 비예

형식 0/0 불확정

그림 1:y=x/x
그림 2:y= x²/x
그림 3:y죄 /x
그림 4:yx - 49/480x - 7(용)x= 49)
그림 5:y/axx 어디서a= 2
그림 6:y= x/x³

무한 $0/0$ 0 $0/0$ / $0/0$ 0 { $displaystyle$ 0/ $0}$ 은 $0/0$ 미적분학에서 특히 일반적인데, 한계의 관점에서 정의를 사용하여 미분을 평가할 때 종종 발생하기 때문입니다.

위에서 언급한 바와 같이,

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad

x

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad

=

,

\

displaystyle \lim

_

{x\to

0

}{\frac {x}}=1,\qquad

}(

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad

그림 1 참조)

하는 동안에

\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad

x

\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad

\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad

x

\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad

\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad

=

,

\

displaystyle \lim

_

{x\to

0

}{\frac {x^{2}}=0,\qquad }(

그림 참조).2)

이는 0 $0/0$ / $0/0$ ${{displaystyle$ 0 $/0}$ 이 $0/0$ (가) 불확실한 $0/0$ 을 보여주기에 충분합니다.이 불확실한 형태의 다른 예는 다음을 포함합니다.

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad

x

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad

sin

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad

(

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad

)

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad

=

,

{\displaystyle \lim_{x\to

0}{\

frac \sin(x)}{x

}}=

1,\

qquad

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad

}(그림 참조).3)

그리고.

\lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad

x

\lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad

\lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad

x -

\lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad

x -

\lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad

=

,

\

displaystyle \lim

_

{x\to

49

}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}},-7

}=

14,\qquad}(

그림 참조).4)

x ${displaystyle$ x $}$ 가 $x$ 접근하는 숫자를 이러한 식 중 하나로 직접 대입하면 이러한 예제가 불확실한 $0/0$ 0 ${displaystyle$ 0 $/0$ 에 해당하지만 이러한 한계는 많은 다른 값을 가정할 수 있습니다.이 불확정한 형식에 대해 원하는 $({displaystyle$ a})은 $a$ 다음과 같이 구할 수 있습니다.

=

\qquad }(

그림 참조).5)

값 $\infty$ σ({ $displaystyle \infty})$ 도 $\infty$ 얻을 수 있습니다(무한대로의 발산).

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad

x

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad

=

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad

.

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad

\

displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3

}}}=\

infty

.\

qquad

}(

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad

그림 6 참조)

부정형⁰ 0

그림 7:y=x⁰
그림 8:y= 0^x

$0^{0}$ 한계는 식 0 $0^{0}$ {{ $displaystyle$ 0 $^{0}$ 이 $0^{0}$ (가) 불확실한 형식임을 나타냅니다.

\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1,\qquad

x

\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1,\qquad

+

\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1,\qquad

0 =

,

{\displaystyle

\

lim _{x\to 0^{+}}x

^{0}=1

,\qquad

}(그림 7 참조)

.

\qquad }(

그림 참조).8)

따라서 일반적으로, $\textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0$ x $\textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0$ $\textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0$ $\textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0$ ( $\textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0$ ) $=$ { \ $displaystyle \textstyle$ $\$ $lim$ _{ $x\to$ c $}$ $f($ x)\; $0$ 및 $\textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0$ $\textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0$ $\textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0$ $\textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0$ g ( $\textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0$ $=$ { \ $displaystyle$ \ $textstyle$ \ $lim _{x\to c}$ g(x)\;0 $}$ 는 $\textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0$ 를 $\textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0$ 평가하기에 충분하지 않습니다.

{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)} 표시

함수 f{displaystyle f}와 g{displaystyle g}가 c{displaystyle c}에서 분석적이고, f{displaystyle f}가 x{displaystyle x}에 대해 c{displaystyle c}에 충분히 근접(그러나 동일하지는 않다)면 f(x) g(x)^{g(x)}}의 한계는 1이 된다,아래 표의 변환을 사용하여 한계를 평가합니다.

불확실한 형식이 아닌 식

일반적으로 1 $1/0$ / $1/0$ {{ $displaystyle$ 1 $/0}$ 이라는 $1/0$ 표현은 불확실한 형식으로 간주되지 않습니다. f $f/g$ / $f/g$ {{ $displaystyle f/g$ }의 $f/g$ 한계가 존재하는 경우 항상 분산되므로 값에 대한 모호성이 없기 때문입니다.구체적으로 f ${displaystyle$ f $}$ 가 $f$ 1 ${displaystyle$ 1 $}$ 에 $1$ $g$ 하고 g ${displaystyle$ g}가 0 ${$ 0 $0~$ 에 $0~$ 하는 $g$ $f{displaystyle$ f $}$ $및$ g{ $displaystyle$ g $}$ 는 $g$ 다음과 같이 선택할 수 있습니다.

$f/g$ / $f/g$ {\ $displaystyle$ f $/g}$ $+\infty$ 접근법 $f/g$ + $∞$ {\ $displaystyle$ +\ $infty}$
$f/g$ / $f/g$ {\ $displaystyle$ f $/g}$ $-\infty$ 접근 $f/g$ 방식 - $∞$ {\ $displaystyle -\infty}$
제한이 존재하지 않습니다.

각각의 경우 절대값 f / g {\displaystyle f/g }가 + ∞ \displaystyle + \infty에 접근하므로, f / g {\displaystyle f/g}는 확장된 실수의 의미에서 발산되어야 한다. (투영적으로 확장된 실수의 틀에서, 한계는 세 경우 모두에서 부호 없는 무한대이다.).마찬가지로, $a=+\infty$ $a\neq 0$ {\ $displaystyle$ a $\neq$ 0 $}($ $a=-\infty$ $a=+\infty$ $a=-\infty$ + $a=+\infty$ $a=-\infty$ {\ $displaystyle$ a = +\ $infty$ 및 a $a=-\infty$ - $∞$ {\ $displaystyle$ a =-\ $infty$ $a=+\infty$ )을 $a\neq 0$ a $a/0$ / $a/0$ {\ $displaystyle$ a/ $0}$ 의 $a/0$ 표현식은 항상 다른 형식이 아닙니다.

$0^{\infty }$ $∞$ {{ $displaystyle$ 0 $^{\infty$ } 식은 $0^{\infty }$ 불확실한 형식이 아닙니다.lim x → c f ( x ) g ( x ) \ lim _ {x\to c} f(x)^{g(x)}}을 고려하여 얻은 0 + ∞ {\displaystyle 0^{+\infty} 식은 f (x) {\displaystyle x}가 c에 접근할 때 음이 아닌 상태로 유지되는 경우 한계 0 {\displaystyle 0}을 제공한다.0 $0^{-\infty }$ - $+\infty$ {\ $displaystyle$ 0 $^{-\infty}$ $0^{-\infty }$ 1 $1/0$ / $1/0$ $f(x)>0$ $f(x)>0$ $displaystyle$ $f(x)>0$ 1 $/$ $0}$ 과 $f(x)>0$ 유사합니다. $f(x)>0$ x{\ $displaystyle$ x $}$ 가 c{\ $displaystyle$ c $c$ 에 $x$ $가까워지면$ 한계는 + $+\infty$ ∞ {\ $displaystyle$ +\ $infty$ 로 $+\infty$ 표시됩니다.

그 이유를 알아보려면, L = lim x → c f ( x ) g, \displaystyle L = \lim _{x\to c}^{g(x)}, 여기서 lim x → c f (x) = 0, \displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}, lim x (x) = lymtystystyle \lim _{x\to c{g} → lim t{g} }의 양쪽을 lmtype} 로 로그 (x (x (x (x) $\lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,$ $\ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,$ $}\$ $times$ { $f(x)}$ $\ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,$ $-\infty,}$ $\ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,$ L $L={e}^{-\infty }=0.$ $\ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,$ ( $\ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,$ × ln ⁡ $)$ ) $\ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,$ $L={e}^{-\infty }=0.$ $\ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,$ × - $=$ - ∞, \ $displaystyle$ \ $lim _{x\to$ $c}({g($ x)}\times \infty \ $times$ ${f(x$ )}, $\ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,$ 즉 L $=$ $}$

비정형 양식 평가

형용사 부정형은 위의 많은 예들이 보여주듯이 한계가 존재하지 않는다는 것을 의미하지 않습니다.많은 경우, 대수적 제거, L'Hopital의 규칙 또는 다른 방법을 사용하여 한계를 평가할 수 있도록 식을 조작할 수 있습니다.

등가 무한소

두 $\alpha$ α{\ $displaystyle \alpha$ $}$ 와 $\alpha$ $\beta$ $\beta$ $\textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1$ {\ $displaystyle \lim$ $\textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1$ \ $frac$ \\ $alpha$ $1$ 에서 0으로 수렴하는 경우, 이들을 동등한 무한소(equiv)라고 합니다. $\alpha \sim \beta$ ~ $({displaystyle \alpha \sim \sim }$ 표시).

또한 $\alpha '$ α $'{\$ 와 $\alpha '$ $\beta '$ β $'{\$ $\$ $beta$ $}$ 가 $\alpha \sim \alpha '$ α $~$ $\beta \sim \beta '$ \alpha $\$ sim $\beta \sim \beta '$ $\$ alpha}와 $\alpha \sim \alpha '$ $\beta \sim \beta '$ β $~$ β $'{\$ \beta $\beta \sim \beta '$ 인 경우:

표시 스타일 \lim \frac {\alpha }= \lim \frac {\alpha '}

다음은 간단한 증거입니다.

두 개의 동등한 $\alpha \sim \alpha '$ ~ α $'({$ \alpha $')$ 와 $\alpha \sim \alpha '$ $\beta \sim \beta '$ ~ β $displaystyle \beta \sim \beta$ 가 있다고 가정합니다.

표시 스타일 \lim \frac \frac \\alpha }=\lim \frac \alpha ' {\alpha '}=\lim {\frac \alpha '}=\lim {\alpha '}

$0/0$ 한 $0/0$ 0 / $0/0$ 0 {\ $displaystyle 0/0$ 을 평가하기 위해, 동등한 무한소에 대한 다음 사실을 사용할 수 있습니다(예 $x\sim \sin x$ $x\sim \sin x$ ~ $x\sim \sin x$ x \ $x\sim \sin x$ \ $displaystyle$ x \ $sin$ x $x\sim \sin x$ ).^[4]

표시 스타일 x\sim \sinx,}

displaystyle x\sim \arcsin x,}

displaystyle x\sim \sinh x,}

displaystyle x\sim \tanx,}

displaystyle x\sim \arctan x,}

{\displaystyle x\sim \sim(1+x)} 표시

디스플레이 스타일 1-\cos x\sim {frac {x^{2}}{2}},

\cosh x-1\sim {frac {x^{2}}{2}},

표시 스타일 a^{x}-1\sim x\delaya,}

e^{x}-1\simx,

디스플레이 스타일(1+x)^{a}-1\simax.

예:

표시({style{aligned}\lim_{x\to0}{\frac{1}{x^{3}}}\left[\left]\frac\frac{2+\cosx}{3}}^{x}-1\frac{x\to0}&=\frac{x\cos{3}}-1{x\cos{\cos}}{\cos}\cos}{\cos}{{{\cos}}}{{{{\cos}}}}}}}}{{{{{{\\&=\lim _{x\to 0}{\frac \cos x-1}{3x^{2}}}\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\&=-{\frac {1}{6}}\end{}}}}}

2차 등식에서는 y = x ln ⁡ 2 + cos ⁡ 3 (\displaystyle y = x \displaystyle {2+\cos x \over 3})을 사용하고, y = cos x 1 (1 + y ) \displaystyle y \sim \display{(1 + y)}에서 y = cos x 1 (1 + cos x 1)을 사용한다, $1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}$ 1 $1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}$ - $1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}$ $1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}$ ~ $1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}$ $1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}$ ${$ x $\sim$ { $x^{2}$ \ $over$ 2}}은 $1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}$ 5번째 등식에서 사용됩니다.

리호피탈의 법칙

L'Hopital의 규칙은 0 $0/0$ / $0/0$ \ $displaystyle$ 0 $/0$ 및 $\infty /\infty$ / $∞$ { \ $displaystyle \infty /\infty$ 를 $0/0$ 평가하는 일반적인 방법입니다. 이 규칙은 다음과 같이 명시합니다. (적절한 조건 하에서)

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)},

여기서 f'{{displaystyle f'}와 g'{{displaystyle g}는 f{displaystyle f}와 g{displaystyle g}의 도함수이다. (이 규칙은 식 ∞ / 0 {displaystyle \infty / 0}, 1 / 0 \displaystyle 1/0 등에는 적용되지 않는다.)이러한 파생물을 통해 대수적 단순화를 수행하고 최종적으로 한계를 평가할 수 있습니다.

L'Hopital의 규칙은 먼저 적절한 대수 변환을 사용하여 다른 불확실한 형태에도 적용될 수 있습니다.예를 들어, 0 형식을⁰ 평가하려면:

{\displaystyle \lim \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac \lim f(x)}{1/g(x)}}.

오른쪽은 $\infty /\infty$ / $∞$ {\ $displaystyle \infty /\infty$ 형식이므로 L'Hopital의 규칙이 적용됩니다.자연 로그(ln)는 연속 함수이기 때문에 이 방정식은 유효합니다.f ${$ $displaystyle$ $g$ $f$ $}$ 와 g ${displaystyle$ g $g$ }가 점근적으로양의 값인 $한$ 얼마나 잘 $f$ 는 중요하지 않습니다.(로그의 영역은 모든 양의 실수의 집합입니다.)

L'Hopital의 규칙은 0 $0/0$ / $0/0$ {\ $displaystyle$ $\infty /\infty$ 0 $/0}$ 및 $0/0$ $\infty /\infty$ / $∞$ {\ $displaystyle \infty$ /\infty $\infty /\infty$ $0/0$ 에 적용되지만, 특정한 경우에는 이러한 형식 중 하나가 다른 형식보다 더 유용할 수 있습니다(그 이유는 대수적 단순화의 가능성 때문입니다).f $f/g$ / ${displaystyle$ f $/g}$ 를 $f/g$ $(1/g)/(1/f)$ $(1/g)/(1/f)$ ) $(1/g)/(1/f)$ / ( $(1/g)/(1/f)$ / $(1/g)/(1/f)$ ) {\ $displaystyle (1/g)/(1/f$ 로 $f/g$ 하여 이러한 형식을 변경할 수 있습니다.

불확정 양식 목록

다음 표에는 가장 일반적인 비정형 형식과 L'Hopital의 규칙을 적용하기 위한 변환이 나와 있습니다.

부정형	조건들	$0/0$ $0/0$ 0 $({displaystyle$ 0 $/0})$ 으로 변환	∞ $\infty /\infty$ / ∞ $\infty /\infty$ {\ $displaystyle \infty /\infty}($ 으)
${{style 0} 표시$ / ${{style 0} 표시$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	—	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$
$스타일 표시(\infty)$ / $스타일 표시(\infty)$	$\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty,\lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$	—
$스타일 0\cdot \infty 표시$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\\lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}\!$
$displaystyle \infty -\infty}$	$\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty,\lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\fac \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!$
${\displaystyle 0^{0}} 표시$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\displaystyle f(x)}}\!$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac \lim f(x)}{1/g(x)}\!$
$스타일 1^{\infty} 표시$	$\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\\lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac \lim f(x)}{1/g(x)}\!$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\displaystyle f(x)}}\!$
${\infty^{0} 표시 스타일$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty,\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\displaystyle f(x)}}\!$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac \lim f(x)}{1/g(x)}\!$

참고 항목

레퍼런스

^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Indeterminate". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-02.
^ Louis M. Rotando; Henry Korn (January 1977). "The indeterminate form 0⁰". Mathematics Magazine. 50 (1): 41–42. doi:10.2307/2689754. JSTOR 2689754.
^ "Undefined vs Indeterminate in Mathematics". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-12-02.
^ "Table of equivalent infinitesimals" (PDF). Vaxa Software.

[:1-1] Weisstein, Eric W. "Indeterminate". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-02.

[2] Louis M. Rotando; Henry Korn (January 1977). "The indeterminate form 0⁰". Mathematics Magazine. 50 (1): 41–42. doi:10.2307/2689754. JSTOR 2689754.

[:3-3] "Undefined vs Indeterminate in Mathematics". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-12-02.

[4] "Table of equivalent infinitesimals" (PDF). Vaxa Software.

[1]

[4]

v t 미적분학.
프리칼큘러스	이항 정리 오목함수 연속 함수 요인 유한차분 자유 변수 및 결합 변수 함수 그래프 선형 함수 라디안 롤 정리 세컨트 경사 접선
한계	부정형 함수의 한계 단측한계 수열의 한계 근사순서 (ε, δ)-한계의 정의
미분학	파생상품 두 번째 도함수 부분 도함수 미분 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠 표기법 뉴턴의 표기법 미분의 법칙 직선성 힘 합 체인 L'Hopital's 제품. 라이프니츠 장군의 통치 지수 기타 기술 암묵적 미분 역함수와 미분 로그 도함수 관련율 정지점 1차 도함수 시험 2차 도함수 시험 극한값 정리 최대 및 최소 추가 적용 뉴턴의 방법 테일러 정리 미분 방정식 상미분 방정식 편미분 방정식 확률미분방정식
적분	반파생 호 길이 리만 적분 기본 속성 적분 상수 미적분의 기본 정리 통합 기호 아래에서 구별 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각의 오일러 접선 반각 치환 적분의 부분 분수 이차 적분 사다리꼴 규칙 볼륨 와셔 방식 셸법 적분 방정식 미분방정식
벡터 미적분학	파생상품 컬 방향성 도함수 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 선 적분 그린스 스토크스 가우스
다변수 미적분	발산 정리 기하학적 헤센 행렬 야코비안 행렬과 행렬식 라그랑주 곱셈기 선 적분 매트릭스 다중 적분 부분 도함수 표면 적분 부피 적분 고급 항목 미분형식 외부 도함수 일반화 스톡스 정리 텐서 미적분학
시퀀스 및 시리즈	산술기하학 시리즈 유형 교대로 이항식 푸리에 기하학적 하모음 인피니트 힘 마클라우린 테일러 망원경 수렴 검정 아벨의 교대 급수 코시 응축 직접 비교 디리클레츠 적분 한계비교 비율 뿌리 용어
특수 함수 와 숫자들	베르누이 수 e(통계 상수) 지수함수 자연 로그 스털링 근사
미적분학의 역사	적정성 브룩 테일러 콜린 매클로린 대수학의 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 무한소 무한소미분학 아이작 뉴턴 플럭션 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 유동법 기계적 정리의 방법
목록	차별화 규칙 지수 함수의 적분 목록 쌍곡선 함수의 적분 목록 역쌍곡선함수의 적분 목록 역삼각함수의 적분 목록 비합리적 함수의 적분 목록 로그 함수의 적분 목록 합리적 함수의 적분 목록 삼각함수의 적분 목록 세컨트 세컨트 큐빅 한계 목록 적분 목록
기타 항목	복소 미적분학 등고선 적분 미분기하학 다지관 곡률 곡선의 표면의 텐서 오일러-매클로린 공식 가브리엘의 뿔 통합 비 22/7이 π을 초과한다는 증거 레지오몬타누스의 각도 최대화 문제 스타인메츠 고체

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목차

몇 가지 예와 비예

형식 0/0 불확정

부정형⁰ 0

불확실한 형식이 아닌 식

비정형 양식 평가

등가 무한소

리호피탈의 법칙

불확정 양식 목록

참고 항목

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