미세연속성

비표준 분석에서, a 지점에서 내부 함수 f의 고전 수학, 미세연속성(또는 S-연속성) 내의 부문은 다음과 같이 정의된다.

a에 무한히 가까운 모든 x에 대해 f(x) 값은 f(a)에 무한히 가깝다.

여기서 x는 f의 도메인을 통과한다. 공식에서 이것은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$x$가${\displaystyle }${${\displaystyle 인}$경우 {\$displaystyle x\$ 약 $a}$이면 ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \approx }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)\$ 약 $f(a$

For a function f defined on ${\displaystyle \mathbb {R} }$, the definition can be expressed in terms of the halo as follows: f is microcontinuous at ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ if and only if ${\displaystyle f(hal(c))\subseteq hal(f(c))}$, where the natural extension of f to 하이퍼레알은 여전히 f로 표시된다. 또는 c에서 미세연속성의 속성은 c의 ${\displaystyle \mathrm{후광}}$에 성분 ${\displaystyle \text{st}}$ ${\displaystyle \circ }$ f ${\displaystyle {\text{st}\circ f}$이(가) 일정하다고$$ 명시함으로써 표현할 수 있으며, 여기서 "st"는 표준 부품 기능이다.

역사

기능의 연속성의 현대적 특성은 1817년 볼자노에 의해 처음 정의되었다. 그러나 볼자노의 작품은 1860년대 하이네에서 재발견되기 전까지 더 큰 수학계에서는 주목받지 못했다. 한편, 카우치의 교과서 쿠르스 다안날리스는 1821년에 위와 같은 인피니티시멀을 이용하여 연속성을 정의했다.^[1]

연속성 및 균일한 연속성

미지속성의 속성은 일반적으로 실제 함수 f의 자연 확장 f*에 적용된다. 따라서 실제 간격에서 정의된 f는 i의 모든 지점에서 f*가 마이크로연속적인 경우에만 연속적이다. 한편, f*가 해당 도메인 I의 자연 확장 I*의 모든 지점(표준 및 비표준)에서 마이크로 연속적인 경우에만 f는 I에 균일하게 연속된다(Davis, 1977, 페이지 96 참조).

예 1

진짜 함수 f())=1){\displaystyle f())={\tfrac{1}{)}}}때문에 f의 자연스러운 연장 f* 무한소를 사용하여<>microcontinuous;0{\displaystyle a>0}실패할 경우 개구간에(0,1)균일하게 연속이 아니다. 실제로, 이러한 a의 값과 2a무한히 가깝지만 값이 f*, nam엘리 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\$ 및$$ $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ a ${\$은(는) 한없이 가까운 것이 아니다$$.

예 2

The function ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ on ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is not uniformly continuous because f* fails to be microcontinuous at an infinite point ${\displaystyle H\in \mathbb {R} ^{*}}$. Namely, setting ${\displaystyle e={\tfrac {1}{$$H}}$과 K = H + e, H와 K는 무한히 가깝지만 f*(H)와 f*(K)는 무한히 가깝지 않다는 것을 쉽게 알 수 있다.

균일 수렴

균일한 수렴은 유사하게 초현실적인 환경에서 단순화된 정의를 허용한다. 따라서 f* 도메인의 모든 x와 모든 무한 n에 대해 $f{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $){\displaystyle f_{n}^{*(x)}$가 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}x}$) ${\$displaystyle $f^{*}}}}}$에 무한히 가까운$$ 경우 시퀀스 f n$${\$displaystyle$ f$^{{*}}}}}}}}$에 수렴한다$.$

참고 항목

• 표준 부품 함수

참고 문헌 목록

• 마틴 데이비스(1977) 비표준 분석 적용. 순수하고 응용된 수학. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons, 뉴욕-런던-시드니] 시이+181 페이지 ISBN0-471-19897-8
• 고든, E. I.; 쿠스래프, A. G.; 쿠타테라제, S. S.: 무한 분석. 2001년 러시아 원문의 개정 번역. 쿠타테라제가 번역했다. 수학과 그 응용, 544. 2002년 Dordrecht의 Kluwer Academic Publishers.

참조