평면계

평면계는 평면계로도 알려져 있으며 임의의 2차원 형상의 면적을 결정하는 데 사용되는 측정 기구이다.

건설

평면계는 여러 종류가 있지만 모두 비슷한 방식으로 작동합니다.기계식 평형계의 주요 유형은 극성, 선형, 그리고 프라이츠 또는 "해칫" 평형계로 구성되는 정확한 방법은 다양합니다.스위스의 수학자 야콥 암슬러-라폰은 1854년 최초의 현대식 평면계를 만들었고, 이 개념은 1814년 요한 마틴 헤르만에 의해 개척되었다.전자 버전을 포함한 많은 개발들이 Amsler의 유명한 평면계를 따랐다.

다양한 종류의 평면계

극평면계
둘레를 추적하여 표시된 면적을 측정하는 평면계(1908)
암슬러 극평면계
선형 평탄계.휠을 사용하면 긴 면적을 제한 없이 측정할 수 있습니다.
3개의 평면계: 디지털, 프라이츠(도끼) 및 암슬러(극성)
왼쪽에 휠이 있는 프라이츠 평형계

Amsler(극성) 유형은 2바 링크로 구성됩니다.하나의 링크 끝에는 측정할 형상의 경계를 추적하는 데 사용되는 포인터가 있습니다.링크의 다른 한쪽 끝은 링크의 움직임을 막는 무게에 따라 자유롭게 회전합니다.두 링크의 접합부 근처에는 미세 회전을 나타내는 눈금이 있는 보정된 직경의 측정 휠과 보조 턴 카운터 눈금을 위한 웜 기어가 있습니다.영역 윤곽이 추적되면 이 휠이 도면 표면에서 롤링합니다.연산자는 휠을 설정하고 카운터를 0으로 돌린 다음 도형의 둘레를 중심으로 포인터를 추적합니다.추적이 완료되면 측정 휠의 눈금이 도형의 면적을 표시합니다.

평면계의 측정 휠이 축에 수직으로 움직이면 회전하며 이 움직임이 기록됩니다.측정 휠이 축에 평행하게 움직이면 휠이 회전하지 않고 미끄러지기 때문에 이 움직임은 무시됩니다.즉, 평면계는 측정 휠의 회전 축에 수직으로 투영되어 측정 휠이 이동하는 거리를 측정합니다.형상의 면적은 측정 휠이 회전하는 횟수에 비례합니다.

극평면계는 크기와 형상에 따라 결정되는 한계 범위 내의 면적을 측정하도록 설계되어 있습니다.그러나 선형 유형은 롤링할 수 있기 때문에 1차원에는 제한이 없습니다.휠이 미끄러져서는 안 됩니다.왜냐하면 운동은 일직선으로 구속되어야 하기 때문입니다.

평면계의 발달에 따라 면적의 첫 번째 모멘트(질량의 중심)와 면적의 두 번째 모멘트의 위치가 결정될 수 있습니다.

다양한 종류의 평면계

선형 평면계
극평면계

이미지는 선형 및 극평면계의 원리를 보여 줍니다.평면계의 한쪽 끝에 있는 포인터 M은 측정할 표면 S의 윤곽선 C를 따릅니다.선형 평면계의 경우 "팔꿈치" E의 이동이 Y 축으로 제한됩니다.극성 평탄계의 경우 "팔꿈치"는 다른 끝점 O가 고정된 위치에 있는 암에 연결됩니다.암 ME는 ME와 회전축이 평행한 측정용 휠로 연결되며, 암 ME의 움직임은 ME와 수직인 움직임으로 분해되어 휠이 회전하고, ME와 평행한 움직임으로 인해 휠이 미끄러져 판독에 영향을 주지 않습니다.

원칙

선형 평면계의 원리

선형 평면계의 작동은 직사각형 ABCD의 면적을 측정하여 설명할 수 있습니다(이미지 참조).포인터와 함께 A에서 B로 이동하면 암 EM은 PQ×EM과 동일한 면적의 노란색 평행 사변형을 통과합니다.이 영역은 평행사변형 A"ABB"의 면적과도 같습니다.측정 휠은 거리 PQ(전자파에 수직)를 측정합니다.C에서 D로 이동하면 암 EM이 D"DCC" 직사각형의 면적과 동일한 녹색 평행 사변형을 통과하여 이동합니다.이제 측정 휠이 반대 방향으로 이동하여 이 판독값을 뺍니다.BC와 DA의 이동은 동일하지만 반대이기 때문에 휠 판독에 영향을 미치지 않고 서로 상쇄됩니다.최종 결과는 ABCD 영역인 노란색과 녹색 영역의 차이를 측정하는 것입니다.

수학적 유도

다음과 같이 주어진 벡터장 N의 성분에 그린의 정리를 적용하여 선형 평면계의 작동을 정당화할 수 있습니다.

\!,N(x,y)=(b-y,x),

여기서 b는 팔꿈치 E의 y 좌표입니다.

이 벡터 필드는 측정 암 EM에 수직입니다.

{EM}}\cdot N=xN_{x}+(y-b)N_{y}=0

측정 암의 길이 m과 동일한 일정한 크기를 갖습니다.

\!,\N\} = rt {(b-y)^{2}+x^{2}}=m

그 후, 다음과 같이 입력합니다.

{\displaystyle {displaystyle {narged}&\point _{C}(N_{x},dx+N_{y},dy)=\iint _{S}\left({\frac {nargential x}}-{\frac {\partial y}}}-{\frac {\partial y}\fright},\dy},\pt},\pt},

이유:

{\frac}{\frac y}(y-b)=frac {\frac}{\frc {m^2}-x^{2}}=0,

등고선으로 둘러싸인 면적 A와 동일한 위 방정식의 왼쪽은 측정 휠에 의해 측정된 거리에 비례하며 비례 계수 m은 측정 암의 길이이다.

위의 도출의 근거는 선형 평면계가 측정 암에 수직인 움직임만 기록한다는 점에 있습니다.

N\cdot (dx,dy)=N_{x}dx+N_{y}dy

N_{x}dx+N_{y}

dy

}

이

N\cdot (dx,dy)=N_{x}dx+N_{y}dy

(가) 0이 아닙니다.이 양이 닫힌 곡선 C에 적분되면 그린의 정리와 면적이 뒤따른다.

극좌표

그린의 정리와의 연관성은 극좌표에서의 적분이라는 관점에서 이해할 수 있다: 극좌표에서 면적은 적분 ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$ θ ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$ 1 ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$ 2 ( ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$ ( ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$ ) ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$ d ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$ , ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$ , {\ $textstyle \int$ _ ${\theta }{1}{{\tfrac$ {1 $}(r$ \ $)^2},$ dta}에 ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$ 의해 계산된다 $.$ 각도의 변화에 따른 면적 변화는 반지름에 따라 2차적으로 변화한다.

극좌표 모수 방정식의 경우, 여기서 r과 θ는 시간의 함수로 변화한다.

\displaystyle \int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t)^{2},d(\theta(t))=\int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t)^{2},{\dot {\theta }}(t), dt}

극평면계의 경우 회전은 이동 거리에 비례하므로 휠의 총 회전은 ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ r ( ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ ) ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ ( ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ $）$ d ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ , \ $textstyle \int$ _ { t ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ } ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ r ( t ) , { \ $dot$ \ theta } （ $t$ ）、 r ( ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ } , $dt$ , { \ $dot$ }에 ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ 비례합니다. 회전은 이동 거리에 비례합니다. 이동 거리에 비례합니다.이 거리는 어느 시점에서의 반지름에 비례합니다.각은 원의 변화합니다. ${\textstyle \int r\,d\theta =2\pi r}$ ${\textstyle \int r\,d\theta =2\pi r}$ = $πr$ \ $textstyle$ \ $int r$ , d \ theta $=$ 2 \ $pi$ ${\textstyle \int r\,d\theta =2\pi r}$ r } ${\textstyle \int r\,d\theta =2\pi r}$

이 마지막 ${\textstyle r(t)\,{\dot {\theta }}(t)}$ r ${\textstyle r(t)\,{\dot {\theta }}(t)}$ ( $t$ ) $text$ t ( $t$ ){\ $dot {theta }}($ t)}}}은 ${\textstyle r(t)\,{\dot {\theta }}(t)}$ (는) 이전 ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}$ 2 ( ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}$ r ( ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}$ ) ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}$ ( ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}$ $){$ $textstyle$ { $tfrac {1}{2}}(r$ ( t $)$ 의 파생어로 인식할 수 있습니다. $^{2}{\dot$ {\ $theta }}(t)}($ r에 대하여) 그리고 극평면계가 도함수의 면적을 계산한다는 것을 보여주며, 이는 (1차원) 등고선의 선 적분을 (2차원) 적분과 동일시하는 그린의 정리에 반영된다.

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레퍼런스

원천

Bryant, John; Sangwin, Chris (2007), "Chapter 8: In pursuit of coat-hangers", How Round is your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet, Princeton University Press, pp. 138–171, ISBN 978-0-691-13118-4
Gatterdam, R. W. (1981), "The planimeter as an example of Green's theorem", The American Mathematical Monthly, 88 (9): 701–704, doi:10.2307/2320679, JSTOR 2320679
Hodgson, John L. (1 April 1929), "Integration of flow meter diagrams", Journal of Scientific Instruments, 6 (4): 116–118, Bibcode:1929JScI....6..116H, doi:10.1088/0950-7671/6/4/302
Horsburgh, E. M. (1914), Napier Tercentenary Celebration: Handbook of the Exhibition of Napier Relics and of Books, Instruments, and Devices for facilitating Calculation, The Royal Society of Edinburgh
Jennings, G. (1985), Modern Geometry with Applications, Springer
Lowell, L. I. (1954), "Comments on the polar planimeter", The American Mathematical Monthly, 61 (7): 467–469, doi:10.2307/2308082, JSTOR 2308082
Wheatley, J. Y. (1908), The polar planimeter, New York: Keuffel & Esser, ISBN 9785878586351

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