내부 세트

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수학 논리학에서 특히 모델 이론과 비표준 분석에서 내부 집합은 모델의 구성원인 집합이다.

내부 집합의 개념은 실수 R의 속성과 초현실수라 불리는 *R을 나타내는 더 큰 장의 속성의 논리적 관계를 다루는 전송원리를 형성하는 도구다. 필드 *R에는 특히 극소수("무한히 작은")의 숫자가 포함되며, 이를 사용할 수 있는 엄격한 수학적 정당성을 제공한다. 대략적으로 말하면, R에 대한 분석을 수학적 논리의 적절한 언어로 표현한 다음, 이 언어가 *R에도 동일하게 잘 적용된다는 점을 지적하는 것이다. 이는 집합이론적 수준에서 그러한 언어의 명제는 모든 집합에 적용되는 것이 아니라 내부 집합에만 적용되는 것으로 해석되기 때문에 가능한 것으로 밝혀진다(위의 느슨한 의미로 "언어"라는 용어를 사용한다는 점에 유의한다).

에드워드 넬슨의 내부 세트 이론은 비표준 분석에 대한 자명한 접근법이다(건설적 비표준 분석의 팜그렌도 참조). 비표준적 분석의 종래의 비위생적인 계정들 또한 내부 집합의 개념을 사용한다.

울트라파워 구조의 내부 세트

그hyperreal 숫자의 시퀀스 등가 교실ultrapower 건설에 비해서는hyperreal[n너]{\displaystyle은 실제 세트의 시퀀스에 의해 정의되}, An⟩{\displaystyle\langle A_{n}\rangle ⟨ reals의 진로가 n⟩{\displaystyle\langle u_{n}\rangle}, *R의 내부적인 부분 집합[한]⟨.$[u_{n}]}$은(는) 집합${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R{}^{}\mathbb{}}$ ${\$에 속한다고 한다$$.${\$${\displaystyle {mathb}_{}}$${R}}}$ $u{\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle u_{n}\in$ A_${n$과 같은 인덱스 집합이 *R의 구조에 사용되는 초여광필터의 멤버인 경우에만$$ 해당된다.

보다 일반적으로 내부 실체는 실체의 자연적 확장의 구성원이 된다. Thus, every element of *R is internal; a subset of *R is internal if and only if it is a member of the natural extension ${\displaystyle {}^{*}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$ of the power set ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$ of R; etc.

실제의 내부 하위 집합

(내장된) R의 부분집합인 *R의 모든 내부 부분집합은 반드시 유한하다(정리 3.9.1 Goldblatt, 1998 참조). 즉, 하이퍼레알의 모든 내부 무한 부분집합은 반드시 비표준적인 요소를 포함하고 있다.

참고 항목

• 표준 부품 함수
• 상부구조(수학)

참조

• 골드블랫, 로버트 과급에 대한 강의. 비표준 분석의 도입. 수학 대학원 교과서 188. 스프링거-베를라크, 1998.
• Abraham Robinson (1996), Non-standard analysis, Princeton landmarks in mathematics and physics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3