접선 반각 치환

Tangent half-angle substitution

적분학에서 접선 반각 치환적분을 평가하는 데 사용되는 변수의 변경으로, = ⁡ x 2 {\t=\x}{2}}}를 설정하여 x 삼각함수유리함수를 t 의 일반 유리함수로 변환합니다. 이것은 각도 측정으로 매개변수화된 단위 원실선에 대한 1차원 입체 투영입니다. 일반적인[1] 변환 공식은 다음과 같습니다.

반각 접선은 구면 삼각법에서 중요하며 17세기에는 반접선 또는 반접선으로 알려지기도 했습니다.[2] 레온하르트 오일러1768년 적분학 교과서에서 d / (+ x) dx/(a + b\cos x)}를 평가하는 데 사용했으며, 1817년에 일반적인 방법을 설명했습니다.

대체재는 19세기 후반 이후 대부분의 적분학 교과서에 기술되어 있으며, 보통 특별한 이름 없이 사용됩니다.[5] 러시아에서는 보편적인 삼각 치환으로 알려져 있으며,[6]접선 치환 또는 반 각도 치환과 같은 변형 이름으로도 알려져 있습니다. 이것은 때때로 Weierstrass 대체물로 잘못 분류됩니다.[7] 마이클 스피박은 이것을 "세계에서 가장 교활한 대체물"이라고 불렀습니다.[8]

대체.

접선 반각 치환은 선의 기울기와 각도를 연관시킵니다.

Introducing a new variable sines and cosines can be expressed as rational functions of and can be expressed as the product of and a rational function of 다음과 같이:

tanx, cotx, secxcscx에 대해서도 유사한 표현을 쓸 수 있습니다.

파생

= 2 ⁡ x 2 ⁡ x 2 =22}}}\ {x}{2}} = cos 2⁡ x 2 - sin ⁡ x =cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}-\tfrac {x}{2}}}에 대한 쌍각 공식을 사용하고 다음과 같은 분모를 하나씩 소개합니다. 피타고라스 1 = 2+ x 2 {\=\2}{\}+\2}{\tfrac {x}{2}}} 결과는 다음과 같습니다.

마지막으로 = ⁡ x 2 {\t =\x2}}이므로 미분 규칙은 다음과 같습니다.

그리하여

공동선천자

분자와 분모에 x - ⁡ x csc x-\cot x}를 곱하고 = ⁡ x - cot ⁡ u =\csc x-\cot x, (- +csc 2 x ) d x \\xcot x+\csc ^{2}x\right)\,}.

- = ⁡ x: {\textstyle \x-\=tan {\tfrac {x}{2}}\colon }

할선 적분도 유사한 방식으로 평가할 수 있습니다.

정적분

첫 번째 행에서는 단순히 = t=을 두 개의 적분 한계로 대체할 수 없습니다. = π {\ =\pi}에서 = ⁡ x 2 }{}}의 특이점(이 경우 수직 점근선)을 고려해야 합니다. 또는 먼저 부정적분을 평가한 다음 경계값을 적용합니다.

대칭에 의해서.
이전 답변과 동일한 내용입니다.

세 번째 예: 사인 및 코사인 둘 다

- + b )> 0 + b > 0

기하학.

접선 반각 치환은 (0, 0)을 중심으로 하는 단위 원을 매개변수화합니다. + ∞와 - ∞ 대신에, 우리는 실선의 양쪽 끝에 오직 하나의 ∞만 있습니다. 그것은 종종 유리함수와 삼각함수를 다룰 때 적절합니다. (이것은 라인을 한 으로 압축한 것입니다.)

x가 변함에 따라 점(cos x, sin x)은 (0, 0)을 중심으로 하는 단위 원 주위를 반복적으로 감습니다. 포인트.

t가 -∞에서 +∞로 이동할 때 원을 한 바퀴 돌 뿐이며, t가 ±∞에 가까워짐에 따라 한계로 접근하는 점(-1, 0)에 도달하지 않습니다. t가 -∞에서 -1로 갈수록 t에 의해 결정되는 점은 3사분면에 있는 원의 부분을 지나 (-1, 0)에서 (0, -1)로 이동합니다. -1에서 0으로 갈수록 점은 (0, -1)에서 (1, 0)까지 4사분면에 있는 원의 부분을 따릅니다. t가 0에서 1로 갈수록 점은 (1, 0)에서 (0, 1)까지 첫 번째 사분면에 있는 원의 부분을 따릅니다. 마지막으로 t가 1에서 + ∞로 갈수록 점은 (0, 1)에서 (-1, 0)까지 두 번째 사분면에 있는 원의 부분을 따릅니다.

여기에 또 다른 기하학적 관점이 있습니다. 단위원을 그리고 P를 점(-1, 0)으로 합니다. P를 통과하는 선(세로선 제외)은 기울기로 결정됩니다. 또한 각 선(세로선 제외)은 단위 원과 정확히 두 점에서 교차하며, 그 중 하나는 P입니다. 이것은 단위 원의 점에서 기울기까지의 함수를 결정합니다. 삼각함수는 각도에서 단위원 위의 점으로 가는 함수를 결정하며, 이 두 함수를 결합하면 각도에서 기울기로 가는 함수를 갖게 됩니다.

쌍곡선함수

삼각 함수와 쌍곡선 함수 사이에 공유되는 다른 속성과 마찬가지로 쌍곡선 ID를 사용하여 유사한 형태의 치환인 = ⁡ x 2 {\t =\x2}}를 구성할 수 있습니다.

tanh x, coth x, sech xcsch x에 대해서도 유사한 표현을 쓸 수 있습니다. 기하학적으로 이 변수들의 변화는 쌍곡면의 푸앵카레 원반 모형과 유사하게 실제 구간에 쌍곡선을 1차원 입체 투영한 것입니다.

대안

삼각함수를 통합하는 다른 방법도 있습니다. 예를 들어 오일러 공식을 사용하여 삼각함수를 eix eix 다시 쓰는 것이 도움이 될 수 있습니다.

참고 항목

추가읽기

  • Courant, Richard (1937) [1934]. "1.4.6. Integration of Some Other Classes of Functions §1–3". Differential and Integral Calculus. Vol. 1. Blackie & Son. pp. 234–237.
  • Edwards, Joseph (1921). "§1.6.193". A Treatise on the Integral Calculus. Vol. 1. Macmillan. pp. 187–188.
  • Hardy, Godfrey Harold (1905). "VI. Transcendental functions". The integration of functions of a single variable. Cambridge. pp. 42–51. 1916년 제2판 52-62페이지
  • Hermite, Charles (1873). "Intégration des fonctions transcendentes" [Integration of transcendental functions]. Cours d'analyse de l'école polytechnique (in French). Vol. 1. Gauthier-Villars. pp. 320–380.
  • Stewart, Seán M. (2017). "14. Tangent Half-Angle Substitution". How to Integrate It. Cambridge. pp. 178–187. doi:10.1017/9781108291507.015. ISBN 978-1-108-41881-2.

참고자료 및 참고자료

  1. ^ 다른 삼각함수는 사인과 코사인으로 표기할 수 있습니다.
  2. ^ Gunter, Edmund (1673) [1624]. The Works of Edmund Gunter. Francis Eglesfield. p. 73
  3. ^ Euler, Leonhard (1768). "§1.1.5.261 Problema 29" (PDF). Institutiones calculi integralis [Foundations of Integral Calculus] (in Latin). Vol. I. Impensis Academiae Imperialis Scientiarum. pp. 148–150.E342, 이안 브루스 옮김.
    참고.
  4. ^ p. Legendre, Adrien-Marie (1817). Exercices de calcul intégral [Exercises in integral calculus] (in French). Vol. 2. Courcier. 245-246.
  5. ^ 예를 들어, 시간 순서대로,
  6. ^ Piskunov, Nikolai (1969). Differential and Integral Calculus. Mir. p. 379.
    Zaitsev, V. V.; Ryzhkov, V. V.; Skanavi, M. I. (1978). Elementary Mathematics: A Review Course. Mir. p. 388.
  7. ^ 1966년 윌리엄 에버라인(William Eberlein)은 이를 칼 바이에르스트라스(Karl Weierstrass, 1815–1897)에게 대체했다고 합니다.
    Eberlein, William Frederick (1966). "The Circular Function(s)". Mathematics Magazine. 39 (4): 197–201. doi:10.1080/0025570X.1966.11975715. JSTOR 2688079. (Equations (3) [], (4) [], (5) [] are, of course, the familiar half-angle substitutions introduced by Weierstrass to integrate rational functions of sine, cosine.)
    20년 후, 제임스 스튜어트(James Stewart)는 1987년에 처음 출판된 유명한 미적분학 교과서에서 대체에 대해 논의할 때 위어스트라스(Weirstrass)를 언급했습니다.
    Stewart, James (1987). "§7.5 Rationalizing substitutions". Calculus. Brooks/Cole. p. 431. ISBN 9780534066901. The German mathematician Karl Weierstrass (1815–1897) noticed that the substitution t = tan(x/2) will convert any rational function of sin x and cos x into an ordinary rational function.

    이후의 저자들은 스튜어트를 인용하여 이것을 때때로 위어스트라스 대체물이라고 언급했습니다.

    에버라인과 스튜어트 모두 위어스트라스에 귀속된 증거를 제시하지 않았습니다. 이와 관련된 대체물은 Weierstrass의 Mathematical Works에 등장하는데, 1875년 강의에서 Weierstrass는 Carl Gauss (1818)에게 ∫ψ H(⁡ ψ ⁡ ψ / G ( ⁡ ψ,⁡ ψ) dcos \psi ){\big /}{\sqrt {G(\sin \psi, t - / 2 )에 의해 \ )}}. -\cot(\ / 2).

    Weierstrass, Karl (1915) [1875]. "8. Bestimmung des Integrals ...". Mathematische Werke von Karl Weierstrass (in German). Vol. 6. Mayer & Müller. pp. 89–99.

  8. ^ Spivak, Michael (1967). "Ch. 9, problems 9–10". Calculus. Benjamin. pp. 325–326.

외부 링크