부피 적분

수학(특히 다변량 미적분학)에서 부피 적분(∰分)은 3차원 영역에 걸쳐 있는 적분을 가리킨다. 즉, 복수 적분들의 특수한 경우다. 볼륨 통합은 예를 들어 플럭스 밀도를 계산하기 위해 많은 응용 분야에서 특히 중요하다.

좌표 내

또한 영역 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $f{\displaystyle }$(x$$ ${\displaystyle ,y}$ ,${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(x,y,z)$ 내의 삼중 적분을 의미할 수 있으며 일반적으로$$ 다음과 같이 기록된다.

$\displaystyle \iint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

원통형 좌표에 통합된 부피는

${\displaystyle \iint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\varphi \,dz,}$

구면 좌표에 통합된 볼륨(방사선 및$$ 극축에서 측정된$$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$과(와)의 각도에 ISO 규약을 사용하여 {$${\$displaystyle \theta }$이(규약에 대한 자세한 내용 참조)이 형식이다.

${\displaystyle \iint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\ta \,d\d\varphi .}$

예

${\displaystyle \mathrm{단위}}$ 큐브에$$ $f{\displaystyle (x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle f(x,y,z)=1}$식을 통합하면 다음과 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1}$

그래서 단위 큐브의 부피는 예상대로 1이다. 그러나 이것은 다소 사소한 것이고, 볼륨 일체형이 훨씬 더 강력하다. 예를 들어, 만약 우리가 유닛 큐브에 스칼라 밀도 함수를 가지고 있다면, 볼륨 적분은 큐브의 총 질량을 줄 것이다. 밀도함수의 예:

${\displaystyle {\begin}f:\mathb {R} ^{3}\to \mathb {R} \f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\case}}}$

큐브의 총 질량은:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}}$

참고 항목

• 발산정리
• 표면 적분
• 부피요소

외부 링크

• "Multiple integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Volume integral". MathWorld.