편미분 방정식

Partial differential equation
수직 방향과 색상으로 표현되는 온도를 가진 2차원 열 방정식에 대한 해법의 시각화.

수학에서, 편미분 방정식(PDE)은 다변수 함수의 다양한 편미분 사이에 관계를 부과하는 방정식이다.

함수는 종종 x - 3x + 2 = 02 같은 대수 방정식에서 x가 풀릴 미지의 수로 생각되는 것과 유사하게 풀어야 할 "수"로 생각됩니다.그러나 편미분방정식의 해법에 대한 명시적 공식을 적는 것은 보통 불가능하다.이에 대응하여 컴퓨터를 사용하여 특정 편미분 방정식의 해법을 수치적으로 근사하는 방법에 대한 방대한 현대 수학 및 과학적 연구가 있다.편미분방정식은 또한 순수 수학 연구의 큰 영역을 차지하는데, 여기서 일반적인 질문은 존재, 고유성, 규칙성, [citation needed]안정성과 같은 다양한 편미분방정식의 해법의 일반적인 질적 특징을 식별하는 것이다.Navier에 대한 솔루션의 존재와 부드러움도 많은 미해결 질문 중 하나입니다.-스토크스 방정식은 2000년 밀레니엄상 문제 중 하나로 선정되었습니다.

편미분방정식은 물리학과 공학 같은 수학 지향 과학 분야 어디에나 있습니다.예를 들어, 그것들은 소리, , 확산, 정전, 전기역학, 열역학, 유체역학, 탄성, 일반 상대성 이론, 양자역학(슈뢰딩거 방정식, 파울리 방정식 등)에 대한 현대 과학 이해의 기초가 됩니다.그것들은 또한 미분 기하학과 변이 계산과 같은 많은 순수 수학적인 고려사항에서 발생한다; 다른 주목할 만한 응용들 중에서, 그것들은 기하학적 위상으로부터 푸앵카레 추측을 증명하는 기본 도구이다.

부분적으로 이러한 다양한 선원들 때문에, 다양한 유형의 편미분 방정식의 광범위한 스펙트럼이 있으며, 발생하는 많은 개별 방정식을 다루기 위한 방법이 개발되어 왔다.이와 같이, 일반적으로 편미분 방정식의 "일반론"은 존재하지 않으며, 전문가 지식은 근본적으로 구별되는 여러 하위 [1]분야로 다소 나뉘어져 있다.

일반 미분 방정식은 단일 변수의 함수에 해당하는 편미분 방정식의 하위 클래스를 형성합니다.확률적 편미분 방정식과 비국소 방정식은 2020년 현재 "PDE" 개념의 확장에 대해 특히 널리 연구되고 있다.여전히 활발한 연구가 있는 보다 고전적인 주제로는 타원포물선 편미분 방정식, 유체역학, 볼츠만 방정식, 분산 편미분 방정식이 있다.

서론

어떤 이는 세 변수의 함수 u(x, y, z)가 조건을 만족한다면 "조화" 또는 "라플라스 방정식의 해"라고 말한다.

이러한 함수는 고전 역학과의 관련성 때문에 19세기에 널리 연구되었다. 예를 들어, 균질 고체의 평형 온도 분포는 조화 함수이다.함수가 명시적으로 주어지는 경우, 일반적으로 그것이 조화인지 아닌지를 확인하는 것은 간단한 계산의 문제입니다.예를 들어.
★★★★★★★★★★★★★★★★★」
그렇지 않습니다.주어진 두 고조파 함수의 예가 서로 현저하게 다른 형태라는 것은 놀라운 일일 수 있다.이는 라플라스 방정식의 "일반해 공식"의 특별한 경우가 아니라는 사실을 반영한다.는 라플라스 방정식과 거의 유사한 일반 미분 방정식(ODE)의 경우와는 현저한 대조를 이루며, 많은 입문 교과서가 일반적인 솔루션 공식으로 이어지는 알고리즘을 찾는 것을 목적으로 한다.라플라스 방정식은 다수의 편미분 방정식과 마찬가지로 그러한 해 공식은 존재하지 않는다.

이 장애의 성질은 다음 PDE의 경우에 보다 구체적으로 확인할 수 있습니다. 두 변수의 함수 v(x, y)에 대해서는 다음 방정식을 고려하십시오.

단수 함수 f와 g에 대해 v(x, y) = f(x) + g(y) 형식함수 v가 이 조건을 만족하는지 직접 확인할 수 있다.이는 ODE 솔루션 공식에서 사용할 수 있는 선택지를 훨씬 뛰어넘는 수치입니다.일반적으로 ODE 솔루션 공식에서는 몇 가지 숫자를 자유롭게 선택할 수 있습니다.PDE 연구에서는 일반적으로 기능을 자유롭게 선택할 수 있습니다.

이 선택지의 성질은 PDE에 따라 다릅니다.주어진 방정식에 대해 그것을 이해하는 것은 존재와 고유성 이론이 보통 중요한 조직 원칙이다.많은 입문 교과서에서는 ODE의 존재 역할과 고유성 이론이 다소 불투명할 수 있다.대개 존재의 절반은 제안된 솔루션 공식을 직접 확인할 수 있기 때문에 불필요하지만 고유성의 절반은 제안된 솔루션 공식이 p만큼 일반적이라는 것을 확실히 하기 위해 백그라운드에서만 존재하는 경우가 많다.골화성이와는 대조적으로 PDE의 경우 존재와 고유성 이론이 수중에 있는 수많은 다양한 솔루션을 탐색할 수 있는 유일한 수단인 경우가 많습니다.이 때문에, 유저에 의해서 지시되는 데이터와 계산하기 위해서 컴퓨터에 남겨지는 데이터를 이해하고 있을 필요가 있기 때문에, 순수 수치 시뮬레이션을 실시할 때에도, 이러한 데이터는 기본이 됩니다.

이러한 존재와 고유성 이론을 논하기 위해서는 "알 수 없는 함수"의 영역에 대한 정밀도가 필요하다.그렇지 않으면 "두 변수의 함수"와 같은 용어로만 말하면 결과를 의미 있게 공식화할 수 없다.즉, 알 수 없는 함수의 도메인은 PDE 자체의 구조의 일부로 간주되어야 합니다.

다음은 그러한 존재와 고유성 이론의 두 가지 고전적인 예를 제시합니다.문제의 2개의 PDE는 매우 유사하지만 동작에 현저한 차이가 있습니다.첫 번째 PDE에서는 1개의 기능을 무료로 처방하고 두 번째 PDE에서는 2개의 기능을 무료로 처방합니다.

  • B는 평면에서 원점 주위의 단위 반지름 원반을 나타냅니다.단위 원의 모든 연속 함수 U에 대해, B에는 정확히 하나의 함수 u가 존재하며, 다음과 같다.
    단위 원에 대한 제한은 U에 의해 주어진다.
  • 실선 R 위의 함수 f와 g에 대하여, R × (-1, 1)에 정확히 하나의 함수 u가 존재한다.
    u(x, 0)=f())과.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output과 그리고.sfrac .den{.Border-top:x라의 모든 값에 대해 1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆫ∂u(x, 0))g())

더 많은 현상이 가능하다.예를 들어, 다음과 같은 PDE는 미분 기하학 분야에서 자연적으로 발생하며 단순하고 완전히 명확한 솔루션 공식이 존재하지만 하나의 함수가 아닌 3개의 숫자만 자유롭게 선택할 수 있는 예를 보여줍니다.

  • u가 R 2 함수인 경우
    그러면 u(x, y) = ax + by + c인 숫자 a, b, c가 있습니다.

이전의 예와 달리, 이 PDE는 제곱근과 제곱근 때문에 비선형이다.선형 PDE는 균질한 경우 두 솔루션의 합계가 솔루션이며, 모든 솔루션의 상수 배수도 솔루션이 됩니다.

포스니스

Well-Posedness는 PDE에 관한 일반적인 정보 개략도 패키지입니다.PDE가 적절한 위치에 있다고 하려면 , 다음의 조건을 만족할 필요가 있습니다.

  • 자유롭게 선택된 기능의 처방으로 PDE의 특정 해법을 선택할 수 있다고 주장하는 존재와 고유성 정리
  • 자유선택권을 지속적으로 변경함으로써 대응하는 해법을 지속적으로 변경한다.

이것은, 복수의 다른 PDE에 적용할 필요가 있기 때문에, 다소 애매합니다.특히, "연속성"의 요건은 모호하다. 왜냐하면 "연속성"을 엄격하게 정의할 수 있는 많은 불평등한 수단이 있기 때문이다.그러나 PDE가 적절한 위치에 있는 방법을 지정하지 않고 연구하는 것은 다소 드문 일이다.

에너지법

에너지 방법은 초기 경계값 [2]문제의 적절한 위치를 확인하는 데 사용할 수 있는 수학적 절차입니다.다음 예에서는 결과 IBVP가 적절한 위치에 배치되도록 어느 경계 조건을 부과해야 하는지를 결정하기 위해 에너지 방법을 사용합니다.1차원 쌍곡선 PDE에 대해 생각해 봅시다.

서 α0\alpha \ 0 이고u( 초기 u( 0) f {u()=인 미지의 함수입니다.uu})와 곱하면 다음과 같은 값을 얻을 수 있습니다.

그것을 사용하여

부품별 통합이 두 번째 관계에 사용되면

여기서{ L 규격을 나타냅니다.well-posedness 동안 우리는 해결의 에너지, 즉 그 ∂ ∂ 몸 상태를‖ 너 ‖ 2≤ 0{\textstyle{\frac{\partial}{\partial지}})은 x=너{\displaystyle u}는{\displaystyle x=a}만약α 을 지정하여 달성된다u\ ^{2}\leq 0}일 경우,;0{\displaystyle \alpha>0}x=bnon-increasing 요구한다{)α< { displaystyle < 경우 x이는 유입시 경계조건만 부과하는 것에 해당한다.적절한 위치는 데이터(초기 및 경계)의 측면에서 증가를 허용하므로 모든 데이터가 0으로 설정된 경우 u 20 { \ { \ \ } { \ t} \ \ \ 0}이 유지됨을 보여주기에 충분하다.

로컬 솔루션의 존재

코시 초기값 문제에 대한 코시-코왈스키 정리는 기본적으로 편미분 방정식의 항이 모두 해석 함수로 구성되고 특정 횡단성 조건이 충족된다면 (초기 데이터가 배치된 하이퍼플레인 또는 보다 일반적으로 하이퍼서페이스는 다음과 관련하여 특징적이지 않아야 한다.)편미분 연산자)의 경우 특정 영역에는 반드시 분석 함수와 같은 솔루션이 존재한다.이것은 편미분 방정식의 분석 연구에서 기본적인 결과입니다.놀랍게도, 이 정리는 매끄러운 함수의 설정에는 적용되지 않는다; 1957년에 한스 르위(Hans Lewy)에 의해 발견된 는 계수가 매끄럽지만(즉, 모든 차수의 도함수를 갖는) 해답이 존재하지 않는 분석적이지 않은 선형 편미분 방정식으로 구성되어 있다.그래서 코시-코왈레프스키 정리는 그 범위가 분석 함수로 제한될 수밖에 없다.

분류

표기법

PDE를 쓸 때는 첨자를 사용하여 편도함수를 나타내는 것이 일반적입니다.예를 들어 다음과 같습니다.

u가 n변수의 함수일반적상황에서i u는 i번째 입력에 대한 첫 번째 편도함수ij, u는 i번째 및 j번째 입력에 대한 두 번째 편도함수 등을 나타낸다.

그리스 문자 δ라플라스 연산자를 나타냅니다. 만약 u가 n개의 변수의 함수라면,

물리학 문헌에서 라플라스 연산자는 종종 ;2로 표시되며, 수학 문헌에서 2uu헤시안 행렬을 나타낼 수도 있다.

일차 방정식

선형 및 비선형 방정식

PDE는 미지 및 그 도함수에서 선형인 경우 선형이라고 합니다.예를 들어 x와 y의 함수 u의 경우 2차 선형 PDE는 다음과 같은 형식입니다.

여기i a와 f는 독립 변수의 함수일 뿐입니다(종종 혼합 부분 도함수xy uyx u는 동일하지만 선형성에 대한 논의에는 필요하지 않습니다).ai 상수(x y와 독립적)인 경우 PDE는 계수가 일정한 선형이라고 합니다.f가 어디에서나 0이면 선형 PDE는 균질하고, 그렇지 않으면 불균질합니다.(이는 PDE 솔루션에 대한 계수의 고주파 진동의 영향을 연구하는 점근 균질화와는 별개입니다.)

선형 PDE에 가장 가까운 것은 반선형 PDE로, 독립 변수의 함수인 계수와 함께 가장 높은 차수의 미분만 선형 항으로 나타납니다.저차 미분 및 알 수 없는 함수는 임의로 나타날 수 있습니다.예를 들어, 두 변수에서 일반적인 2차 반선형 PDE는 다음과 같습니다.

준선형 PDE에서 고차 도함수는 마찬가지로 선형 항으로만 나타나지만, 미지 및 저차 도함수의 함수와 함께 나타날 수 있다.

물리학의 많은 기본 PDE들은 일반 상대성 이론아인슈타인 방정식Navier와 같은 준선형이다.유체 운동을 설명하는 방정식을 강조합니다.

선형성 특성이 없는 PDE는 완전 비선형이라고 불리며, 하나 이상의 가장 높은 차수의 도함수에서 비선형성을 가집니다.를 들어, 미분 [3]기하학에서 발생하는 Monge-Ampere 방정식이 있습니다.

2차 선형 방정식

2차 타원, 포물선, 쌍곡선 편미분 방정식은 20세기 초부터 널리 연구되어 왔다.단, Korteweg-de Vries 방정식을 비롯한 다른 중요한 PDE 유형이 많이 있습니다.오일러-트리코미 방정식과 같은 잡종도 있는데, 이는 영역의 다른 영역에 대해 타원형에서 쌍곡선까지 다양하다.이러한 기본적인 타입의 중요한 확장이 고차 PDE에도 있지만, 그러한 지식은 보다 전문화되어 있습니다.

타원/포물선/초과기 분류는 적절한 초기 및 경계 조건과 용액의 부드러움에 대한 지침을 제공한다.uyx = u라고 가정하면xy, 두 독립 변수에서 일반 선형 2차 PDE는 다음과 같은 형태를 갖는다.

여기서 계수 A, B, C...는 x와 y에 의존할 수 있다.xy-plane 영역 상에서 A + B2 + C2 >0경우2, PDE 는 그 영역에서 2번째가 됩니다.이 형식은 원뿔 섹션의 방정식과 유사합니다.

보다 정확하게는,x θ를 X로 치환하는 것과 마찬가지로 (공식적으로 이것은 푸리에 변환에 의해 행해진다) 다른 변수도 마찬가지로 상수계수 PDE를 같은 정도의 다항식으로 변환하고, 분류에 가장 중요한 항(여기서는 균질한 다항식, 2차 형식)이 있다.

원뿔 단면과 2차 형태를 판별2 B - 4AC에 따라 포물선, 쌍곡선, 타원형으로 분류하는 것과 마찬가지로, 주어진 지점에서 2차 PDE에 대해서도 동일한 작업을 수행할 수 있습니다., PDE의 판별식xy 항이 B가 아닌 2B이기 때문에 B - AC에 의해2 부여된다. 형식적으로 (관련된 2차 형식의) 판별식(22B) - 4AC = 42(B - AC)이며, 단순성을 위해 인수는 4가 떨어진다.

  1. B2 - AC < 0 (엘립틱 편미분 방정식):타원 PDE의 해는 방정식과 해법이 정의된 영역 내에서 계수가 허용하는 한 매끄럽다.예를 들어, 라플라스 방정식의 해는 정의된 영역 내에서 분석적이지만, 해법은 평활하지 않은 경계값을 가정할 수 있다.아음속에서의 유체의 움직임은 타원 PDE로 근사할 수 있으며, 오일러-트리코미 방정식은 x < 0일 때 타원이다.
  2. B2 - AC = 0(포물선 편미분 방정식):모든 점에서 포물선인 방정식은 독립 변수의 변화에 의해 열 방정식과 유사한 형태로 변환될 수 있습니다.변환된 시간 변수가 증가함에 따라 솔루션이 원활해집니다.오일러-트리코미 방정식은 x = 0인 선에 포물선 유형을 가진다.
  3. B2 - AC > 0 (하이퍼볼릭 편미분 방정식):쌍곡선 방정식은 초기 데이터에서 함수나 도함수의 불연속성을 유지합니다.예를 들어 파동 방정식이 있습니다.초음속에서의 유체의 움직임은 쌍곡 PDE로 근사할 수 있으며, 오일러-트리코미 방정식은 x > 0인 쌍곡선이다.

n개의 독립1 변수2 x, xn, …, x가 있다면, 2차 일반 선형 편미분 방정식은 다음과 같은 형태를 갖는다.

분류는 계수 행렬i,j a의 고유값 시그니처에 따라 달라집니다.

  1. 타원: 고유값이 모두 양수이거나 모두 음수입니다.
  2. 포물선: 고유값이 모두 양수이거나 모두 음수입니다. 단, 0은 제외합니다.
  3. 쌍곡선: 음의 고유값이 하나만 있고 나머지는 모두 양수이거나 양수의 고유값이 하나만 있고 나머지는 모두 음수입니다.
  4. 극단적 과격: 둘 이상의 양의 고유값과 둘 이상의 음의 고유값이 있고 [4]0개의 고유값이 없습니다.

타원, 포물선, 쌍곡선 방정식의 이론은 주로 라플라스 방정식, 방정식, 파동 방정식의 표준 예제를 중심으로 수 세기 동안 연구되어 왔다.

1차 방정식 및 특성 표면 시스템

편미분 방정식의 분류는 1차 방정식의 시스템으로 확장될 수 있다. 여기서 미지u는 m개의 성분을 가진 벡터이고 계수 행렬ν A는 θ = 1, 2, …, n에 대해 m x m 행렬이다.편미분 방정식은 다음과 같은 형태를 취한다.

여기서 계수 행렬ν A와 벡터 B는 x와 u에 의존할 수 있다.하이퍼서페이스S가 암묵적인 형식으로 지정되어 있는 경우
여기서 θ는 0이 아닌 구배를 가지며, S는 특성 형태가 사라지면 주어진 지점에서 연산자 L에 대한 특성 표면이다.

이 조건의 기하학적 해석은 다음과 같다: 표면 S에 u에 대한 데이터가 규정되어 있으면 미분 방정식에서 S에 대한 u의 정규 도함수를 구할 수 있다.S에 대한 데이터와 미분 방정식이 S에 대한 u의 정규 도함수를 결정한다면 S는 비특징이다.S에 대한 데이터와 미분방정식이 S에 대한 u의 정규도함수를 결정하지 않으면 표면은 특성이며 미분방정식은 S에 대한 데이터를 제한한다: 미분방정식은 S에 대한 내부이다.

  1. 1차계 Lu = 0은 표면이 L에 대해 특징적이지 않은 경우 타원형이다. 즉, S에 대한 u의 값과 미분 방정식은 항상 S에 대한 u의 정규 도함수를 결정한다.
  2. 1차계는 그 점에 법선θ를 갖는 공간상 표면 S가 있으면 그 점에서 쌍곡선이다.즉, θ에 직교하는 임의의 비항복 벡터 θ와 스칼라 승수 θ가 주어졌을 때, Q(θ + θ) = 0은 m의 실근 θ1, θ2, …, θm 가진다.만약 이 뿌리가 항상 구별된다면, 시스템은 엄밀하게는 쌍곡선이다.이 조건의 기하학적 해석은 다음과 같다. 특성 형식 Q(표준) = 0은 균일한 좌표 θ를 갖는 원뿔(일반 원뿔)을 정의한다.쌍곡선의 경우, 이 원뿔은 m개의 시트를 가지며, 축 = runs은 이들 시트 안쪽으로 흐릅니다. 즉, 어느 쪽도 교차하지 않습니다.그러나 원점에서 ,만큼 어긋나면 이 축은 모든 시트와 교차합니다.타원형의 경우, 노멀 콘에는 실제 시트가 없습니다.

분석 솔루션

변수 분리법

선형 PDE는 변수 분리라는 중요한 기술에 의해 일반 미분 방정식의 시스템으로 환원될 수 있다.이 기술은 미분 방정식에 대한 해법의 특성에 기초하고 있습니다. 방정식을 풀고 경계 조건을 만족시키는 해법을 찾을 수 있다면, 그것은 해입니다(이것은 ODE에도 적용됩니다).변수 공간 및 시간에 대한 솔루션의 의존성을 각각 하나의 매개변수에 의존하는 용어의 곱으로 기술할 수 있다고 가정하고 이를 통해 [5]문제를 해결할 수 있는지 확인합니다.

변수 분리 방법에서는 PDE를 더 적은 변수에서 PDE로 환원합니다.이것은 하나의 변수에서 일반적인 미분 방정식입니다.이러한 변수들은 풀기 더 쉽습니다.

이것은 분리 가능한 편미분 방정식이라고 불리는 단순한 PDE에서 가능하며, 도메인은 일반적으로 직사각형(구간 곱)입니다.분리 가능한 PDE는 대각 행렬에 해당합니다. 즉, "고정 x 값"을 좌표로 생각하면 각 좌표를 개별적으로 이해할 수 있습니다.

이는 특성 방법에 일반화되어 적분 변환에도 사용됩니다.

특징의 방법

특수한 경우 방정식이 ODE로 감소하는 특성 곡선을 찾을 수 있습니다. 이러한 곡선을 직선화하기 위해 영역의 좌표를 변경하면 변수를 분리할 수 있으며, 이를 특성 방법이라고 합니다.

보다 일반적으로, 특징적인 표면을 발견할 수 있다.

적분 변환

통합 트랜스폼은 PDE를 보다 단순한 것, 특히 분리 가능한 PDE로 변환할 수 있습니다.이는 연산자의 대각선화에 해당합니다.

이것의 중요한 예는 사인파의 고유 염기를 사용하여 열 방정식을 대각선으로 하는 푸리에 분석입니다.

도메인이 유한하거나 주기적인 경우에는 푸리에 급수와 같은 솔루션의 무한합이 적절하지만 일반적으로 무한 도메인에 푸리에 적분 같은 솔루션의 적분이 필요하다.위에 제시된 열 방정식의 점 소스에 대한 해법은 푸리에 적분 사용의 예입니다.

변수 변경

PDE는 기존의 솔루션에서는 적절한 변수 변경에 의해 보다 단순한 형태로 축소될 수 있습니다.를 들어, 블랙-숄즈 방정식

열방정식으로 환원할 수 있다
변수의[6] 변화에 의해

기본 솔루션

비균질[clarification needed] 방정식은 종종 기본 솔루션(점 소스용 솔루션)을 찾은 다음 경계 조건을 사용하여 솔루션을 얻음으로써 해결할 수 있습니다(항상 계수 PDE의 경우).

이는 신호 처리에서 임펄스 응답으로 필터를 이해하는 것과 유사합니다.

중첩 원리

중첩 원리는 PDE의 선형 시스템을 포함한 모든 선형 시스템에 적용된다.이 개념의 일반적인 시각화는 위상에서의 두 파형의 상호작용으로, 예를 들어 sin x + sin x = 2 sin x 등 더 큰 진폭이 발생한다.같은 원리가 PDE에서도 관찰될 수 있습니다.PDE에서는 솔루션이 실제 또는 복잡하며 가법적일 수 있습니다.u2 u가 어떤 함수 공간 R에서 선형 PDE의 해라면, 어떤1 상수1 c와 c2 갖는 u11 = cu22 + cu도 동일한 함수 공간에서의 PDE의 해이다.

비선형 방정식의 방법

비선형 PDE를 해결하기 위해 일반적으로 적용할 수 있는 방법은 없습니다.여전히, 존재와 고유성 결과(코시-코왈레프스키 정리 등)는 종종 가능하지만, 솔루션의 중요한 질적 및 양적 특성에 대한 증거(이 결과를 얻는 것이 분석의 주요 부분)도 가능하다.비선형 PDE에 대한 계산 해법인 분할 단계 방법은 비선형 슈뢰딩거 방정식과 같은 특정 방정식에 존재합니다.

그럼에도 불구하고 일부 기술은 여러 유형의 방정식에 사용될 수 있습니다.h 원리는 결정되지 않은 방정식을 푸는 가장 강력한 방법입니다.리퀴어-자넷 이론은 많은 분석 과잉 결정 시스템에 대한 정보를 얻는 효과적인 방법입니다.

특성 방법은 비선형 편미분 [7]방정식을 풀기 위해 일부 매우 특별한 경우에 사용될 수 있습니다.

경우에 따라 PDE는 섭동 분석을 통해 해결되며, 이 경우 해답은 알려진 해답과의 방정식에 대한 보정으로 간주됩니다.대안은 단순한 유한 차이 체계에서 보다 성숙한 멀티그리드유한 요소 방법에 이르는 수치 분석 기법이다.과학과 공학에서 많은 흥미로운 문제들이 컴퓨터, 때로는 고성능 슈퍼컴퓨터를 사용하여 이런 방식으로 해결된다.

거짓말군법

1870년부터 Sophus Lie의 연구는 미분 방정식의 이론을 보다 만족스러운 토대 위에 올려놓았다.그는 나이 든 수학자들의 적분 이론들이, 현재 리 군이라고 불리는 것의 도입으로, 공통의 원천에 언급될 수 있다는 것을 보여주었고, 그리고 같은 극소 변환들을 받아들이는 일반적인 미분 방정식은 적분의 비슷한 어려움을 야기합니다.그는 또한 접촉의 변혁에 대한 주제를 강조했다.

PDE를 해결하기 위한 일반적인 접근법은 미분 방정식의 대칭성, 즉 솔루션에 대한 솔루션의 연속적인 극소 변환(거짓말 이론)을 사용합니다.연속군 이론, 리 대수미분 기하학은 적분 가능한 방정식을 생성하기 위한 선형 및 비선형 편미분 방정식의 구조를 이해하고, Lax 쌍, 재귀 연산자, Becklund 변환을 찾고, 마지막으로 PDE에 대한 정확한 분석 솔루션을 찾기 위해 사용됩니다.

대칭법은 수학, 물리학, 공학, 그리고 많은 다른 분야에서 발생하는 미분 방정식을 연구하는 것으로 알려져 있다.

반비례법

Adomian 분해법,[8] Lyapunov 인공 소량 파라미터법 및 그의 호모토피 섭동법은 모두 보다 일반적인 호모토피 분석법[9]특수한 경우이다.이것들은 직렬 확장 방법이며, 랴푸노프 방법을 제외하고, 잘 알려진 섭동 이론과 비교하여 작은 물리적 매개 변수와는 독립적이며, 따라서 이러한 방법들은 더 큰 유연성과 솔루션 일반성을 제공한다.

수치 솔루션

PDE를 해결하기 위해 가장 널리 사용되는 3가지 수치 방법FEM, Finite Volume Method(FVM) 및 FDM이며, 앞서 언급한 방법이 제한적인 문제를 해결하기 위해 만들어진 Meshfree 방법이라고 불리는 다른 종류의 방법입니다.FEM은 이러한 방법, 특히 예외적으로 효율적인 고차 버전 hp-FEM 중에서 중요한 위치를 차지하고 있다.FEM 및 Meshfree 방법의 다른 하이브리드 버전은 GFEM, 확장 유한요소법(XFEM), 스펙트럼 유한요소법(SFEM), 메시프리 유한요소법, 불연속 갤러킨 유한요소법(DGFEM), 요소프리 갤러킨법(EFGM), 보간 갤러킨법을 포함한다.IEFGM) 등

유한요소법

유한요소법(FEM)은 적분방정식뿐만 아니라 편미분방정식([10][11]PDE)의 근사해를 찾기 위한 수치적 기법이다.솔루션 접근법은 미분 방정식을 완전히 제거하거나(안정 상태 문제), PDE를 일반 미분 방정식의 근사 시스템으로 만드는 데 기초하고 있으며, 이 시스템은 오일러 방법, 룽게-쿠타 등과 같은 표준 기법을 사용하여 수치적으로 통합됩니다.

유한차분법

유한차이법은 미분방정식을 이용하여 미분방정식에 대한 해법을 근사하는 수치방법이다.

유한 부피법

유한 차분법 또는 유한 요소법과 마찬가지로, 값은 메쉬 지오메트리상의 이산적인 장소에서 계산된다."무한 볼륨"은 메시의 각 노드 점을 둘러싼 작은 볼륨을 의미합니다.유한체적분법에서는 발산항을 포함하는 편미분방정식의 표면적분을 발산정리를 이용하여 체적분으로 변환한다.그런 다음 이러한 항은 각 유한 부피의 표면에서 플럭스로 평가됩니다.주어진 부피로 들어가는 플럭스는 인접한 부피에서 나오는 플럭스와 동일하기 때문에 이들 방법은 설계상 질량을 보존한다.

「 」를 참조해 주세요.

일반적인 PDE의 일부

경계 조건의 종류

다양한 토픽

메모들

  1. ^ Klainerman, Sergiu (2010). "PDE as a Unified Subject". In Alon, N.; Bourgain, J.; Connes, A.; Gromov, M.; Milman, V. (eds.). Visions in Mathematics. Modern Birkhäuser Classics. Basel: Birkhäuser. pp. 279–315. doi:10.1007/978-3-0346-0422-2_10. ISBN 978-3-0346-0421-5.
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